FORMACIÓN PROFESIONAL BÁSICA MATEMÁTICAS II CAPÍTULO 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS

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1 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios FORMACIÓN PROFESIONAL BÁSICA MATEMÁTICAS II CAPÍTULO EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS ACTIVIDADES PROPUESTAS. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. A finles de cd mes l empres de telefoní móvil nos proporcion l fctur mensul. En ell prece much informción, en prticulr, el número totl de llmds relizds (N sí como l cntidd totl de minutos de conversción (M. Con los dtos del nterior ejemplo, justific que el importe de ls llmds efectuds durnte ese mes es ( 0'0 M (0' N 0'0 M 0' N. Escrie l epresión lgeric que nos proporcion el áre de un círculo.. Escrie en lenguje lgerico los siguientes enuncidos, referidos dos números culesquier e L mitd del opuesto de su sum. L sum de sus cuos El cuo de su sum d El inverso de su sum e L sum de sus inversos. Trduce un enuncido en lenguje nturl ls siguientes epresiones lgerics + / ( + + z / d ( / (. Un tiend de rop nunci en sus escprtes que está de rejs que todos sus rtículos están rejdos un % sore el precio impreso en cd etiquet. Escrie lo que pgremos por un prend en función de lo que prece en su etiquet.. El nterior comercio, en los últimos dís del periodo de rejs, dese deshcerse de sus eistencis pr ello h decidido umentr el descuento. Mntiene el % pr l compr de un únic prend, prtir de l segund, el descuento totl ument un % por cd nuev piez de rop, hst un máimo de 0 rtículos. Anliz cuánto pgremos l relizr un compr en función de l sum totl de ls cntiddes que figurn en ls etiquets del número de rtículos que se dquiern. 7. Clcul el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgerics pr el vlor o los vlores que se indicn + 7 pr = 0. ( + ( + pr = =. + pr =.. Indic en cd cso el vlor numérico de l siguiente epresión z =, =, z = =, = 0, z = = 0, =, z = 0. FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

2 0 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO. Indic el coeficiente l prte literl de ls siguientes monomios (/ (/ 7c (z/ 0. Reliz ls siguientes sums de polinomios ( ( ( ( ( (. Simplific ls siguientes epresiones lgerics ( + + ( + ( + (( + ( d ( + (. Escrie el polinomio opuesto de cd uno de los siguientes polinomios. Consider los polinomios p, q, sí como el polinomio sum s pq. Hll los vlores que dopt cd uno de ellos pr, es decir, clcul p (, q ( s (. Estudi si eiste lgun relción entre esos tres vlores.. Otén el vlor del polinomio p en. Qué vlor tom el polinomio opuesto de p en?. Efectú los siguientes productos de polinomios ( ( ( ( ( ( d ( (. Reliz ls siguientes diferencis de polinomios ( ( ( ( ( ( 7. Multiplic cd uno de los siguientes polinomios por un número de tl form que surjn polinomios mónicos. Clcul simplific los siguientes productos ( + ( ( + ( ( d ( ( (. Reliz los siguientes productos de polinomios ( ( ( ( 0. De cd uno de los siguientes polinomios etre lgún fctor que se común sus monomios FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

3 FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez LirosMreVerde.tk Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Comprue que los cálculos que tienes continución reflejn lo que se hizo en el ejemplo nterior pr dividir el polinomio ( p entre el polinomio ( q. Primer etp Primer segund etps Ls tres etps. Divide los siguientes polinomios entre entre 7 7 entre d 7 entre e 7 entre. Encuentr dos polinomios tles que l dividirlos prezc ( q como polinomio cociente ( r como resto.

4 FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez LirosMreVerde.tk Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. Efectú los siguientes cálculos d. Reliz ls siguientes operciones lterndo, en cd prtdo, solo uno de los denomindores, su respectivo numerdor. Comprue, simplificndo, ls siguientes igulddes d e 7. Clcul los siguientes cocientes ( ( ( 0 d (. Simplific ls siguientes frcciones lgerics 7 d

5 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO. Complet, cundo se posile, ls siguientes fctorizciones ( ( ( ( ( d ( ( 0. Determin un polinomio de grdo que dmit un descomposición fctoril en l que prticipe el polinomio.. Estudi si los siguientes números son o no ríz de los polinomios indicdos de de de d 0 de e de. Supongmos que tenemos dos polinomios, p ( p (, un número rel. Si Si es un ríz de p (, tmién es ríz del polinomio sum p p (? ( es un ríz de p (, tmién es ríz del polinomio producto p p (? ( H lgun relción entre ls ríces del polinomio p ( ls del polinomio p (?. Construe un polinomio de grdo tl que pose tres ríces distints.. Determin un polinomio de grdo tl que teng, l menos, un ríz repetid.. Construe un polinomio de grdo de form que teng un únic ríz.. Conjetur, luego demuestr, un le que nos permit ser cuándo un polinomio culquier n n n n... 0 dmite l número 0 como ríz. 7. Demuestr un norm que señle cuándo un polinomio culquier n n n n... 0 dmite l número como ríz.. Otén tods ls ríces de cd uno de los siguientes polinomios 7 d e f g h i FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

6 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. Us l regl de Ruffini pr relizr ls siguientes divisiones de polinomios entre entre entre d entre 0. Emple l regl de Ruffini pr dictminr si los siguientes números son o no ríces de los polinomios citdos de de de d de. Utiliz l regl de Ruffini pr conocer el vlor del polinomio en.. Estudi si es posile usr l regl de Ruffini, de lgun form, pr dividir entre.. Pr cd uno de los siguientes polinomios señl, en primer lugr, qué números enteros son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son d. Complet el ejemplo precedente comprondo que, en efecto, es ríz del polinomio.. Pr cd uno de los siguientes polinomios indic qué números rcionles son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son. Simplific, si es posile, ls siguientes epresiones 7. Reliz ls siguientes operciones teniendo en cuent ls fctorizciones de los denomindores FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

7 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. Reliz los cálculos d ( ( ( ( e (. Otén ls fórmuls de los cudrdos de los siguientes trinomios ( ( 0. Desrroll ls siguientes potencis ( + ( + / ( / d ( e ( f (/ /. Epres como cudrdo de un sum o de un diferenci ls siguientes epresiones lgerics d + + e + f + +. Efectú estos productos ( ( ( ( ( (. De cuerdo con lo epuesto, fctoriz los siguientes polinomios 7. Clcul los siguientes productos ( + ( ( ( + ( ( + d ( + (. Epres como sum por diferenci ls siguientes epresiones d 00. Simplific ls siguientes frcciones lgerics FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

8 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios RESUMEN Epresión lgeric Epresión mtemátic que se construe con números reles letrs sometidos ls operciones mtemátics ásics de sum, rest, multiplicción /o división z Vlor numérico de un epresión lgeric Al fijr un vlor concreto pr cd indetermind, o vrile, de un epresión lgeric prece un número rel el vlor numérico de es epresión lgeric pr tles vlores de ls indeterminds Si, en l epresión precedente, hcemos =, =, z=/ otenemos ( ( Monomio Polinomio Epresión dd por el producto de números reles e indeterminds Epresión construid prtir de l sum de monomios z de grdo coeficiente 7 de grdo coeficiente 7 Grdo de un polinomio Sum producto de polinomios División de dos polinomios El mor grdo de sus monomios El nterior polinomio es de grdo El resultdo siempre es otro polinomio Al dividir el polinomio p( entre q( se otienen otros dos polinomios, los polinomios cociente, c(, resto, r(, tles que p( q( c( r( = = p( q( c( r( Fctorizción de un polinomio Ríces fctorizción Regl de Ruffini Consiste en epresrlo como producto de otros polinomios de menor grdo Si es un ríz del polinomio p ( es equivlente que el polinomio p( dmit un descomposición fctoril de l form p( ( c( pr cierto polinomio c ( Nos puede udr l hor de fctorizr un polinomio conocer sus ríces ( ( es un ríz de ( ( FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

9 7 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios EJERCICIOS Y PROBLEMAS. En este ejercicio se v presentr un truco medinte el cul vmos divinr el número que result trs mnipulr repetidmente un número desconocido. Convierte en un epresión lgeric ls sucesivs lterciones del número desconocido justific lo que ocurre. i. Dile un compñero que escri en un ppel un número nturl que no lo muestre ii. Que lo multiplique por iii. Que l resultdo nterior le sume iv. Que multiplique por lo otenido v. Que divid entre l últim cntidd vi. Que l resultdo precedente le reste el número que escriió vii. Independientemente del número desconocido originl, qué número h surgido?. En este otro ejercicio vmos divinr dos números que h pensdo un compñero. Construe un epresión lgeric que recoj todos los psos, finlmente, descure el truco. i. Solicit un compñero que escri en un ppel, no muestre, dos números nturles uno de un cifr (entre otro de dos cifrs (entre 0 ii. Que multiplique por el número escogido de un cifr iii. Que multiplique por lo otenido iv. Que multiplique el resultdo precedente por v. Que le sume lo nterior el número de dos cifrs que eligió vi. Si tu compñero te dice el resultdo de ests operciones, tu descures sus dos números. Si te dice, por ejemplo, 7, entonces ses que el número de un cifr es el de dos cifrs es 7, por qué?. Estudi si h números reles en los que ls siguientes epresiones no pueden ser evluds 7 ( ( d. Un person tiene horrdos 00 euros decide depositrlos en un producto ncrio con un tipo de interés nul del %. Si decide recuperr sus horros l co de dos ños, cuál será l cntidd totl de l que dispondrá?. Generlicemos el ejercicio nterior Si ingresmos X euros en un depósito ncrio cuo tipo de interés es del i % nul, cuál será l cntidd que recuperremos l co de n ños? FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

10 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. Construe un polinomio de grdo, p (, tl que p (. 7. Consideremos los polinomios p (, q ( r (. Reliz ls siguientes operciones p q r p q pr d p r q. Clcul los productos (0, 0, + 0,z (0, + 0, 0,z ( ( (. Efectú ls divisiones de polinomios entre 7 7 entre 0. Clcul los cocientes. ( ( ( z ((/ z ( + + ( +. Reliz ls operciones entre ls siguientes frcciones lgerics d. Construe un polinomio de grdo tl que el número se ríz su.. Determin un polinomio de grdo tl que sus ríces sen, 0.. Determin un polinomio de grdo tl que sus ríces sen,, 0.. Construe un polinomio de grdo tl que teng únicmente dos ríces reles.. Determin un polinomio de grdo tl que sus ríces sen,,,. 7. Encuentr un polinomio q ( tl que l dividir p ( entre q ( se oteng como polinomio resto r (.. Hll ls ríces enters de los siguientes polinomios c d FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF

11 FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez LirosMreVerde.tk Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF Cpítulo Epresiones lgerics polinomios. Otén ls ríces rcionles de los polinomios del ejercicio nterior. 0. Descompón los siguientes polinomios como producto de polinomios irreduciles d. Clcul ls potencis ( + z ( ((/ + d (. Anliz si los siguientes polinomios hn surgido del desrrollo de potencis de inomios, o trinomios, o de un producto sum por diferenci. En cso firmtivo epres su procedenci. 0. Descompón en fctores z d +. Con este ejercicio se pretende mostrr l convenienci l hor de no operr un epresión polinómic que tenemos fctorizd totl o prcilmente. Comprue l iguldd ( (. Determin tods ls ríces del polinomio.. Fctoriz numerdor denomindor simplific. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posile ( ( 7. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posile 7 (. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posile. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posile

12 0 Cpítulo Epresiones lgerics polinomios AUTOEVALUACIÓN. Señl los coeficientes que precen en ls siguientes epresiones lgerics 7 z 7 z. El vlor numérico de l epresión 7 en,, z es z 7 d. Complet decudmente ls siguientes frses L sum de dos polinomios de grdo tres suele ser otro polinomio de grdo. L sum de tres polinomios de grdo dos suele ser otro polinomio de grdo. El producto de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. d L diferenci de dos polinomios de grdo cutro suele ser otro polinomio de grdo.. Al dividir el polinomio p ( entre q ( el polinomio resto resultnte dee ser de grdo. puede ser de grdo. dee ser de grdo. d dee ser de grdo menor que.. Consider el polinomio. Cuáles de los siguientes números enteros son rzonles cndidtos pr ser un ríz su? d 7. Consider el polinomio 7 7. Cuáles de los siguientes números rcionles son rzonles cndidtos pr ser un de sus ríces? d 7. Todo polinomio con coeficientes enteros de grdo tres tiene tres ríces reles; tiene, lo sumo, tres ríces reles. tiene, l menos, tres ríces.. Es posile que un polinomio, con coeficientes enteros, de grdo cutro teng ectmente tres ríces, sen diferentes o con lgun múltiple?. Justific l vercidd o flsedd de cd un de ls siguientes frses L regl de Ruffini sirve pr dividir dos polinomios culesquier. L regl de Ruffini permite dictminr si un número es ríz o no de un polinomio. L regl de Ruffini solo es válid pr polinomios con coeficientes enteros. d L regl de Ruffini es un lgoritmo que nos proporcion tods ls ríces de un polinomio. 0. Anliz si puede her lgún polinomio de grdo diez que no teng ningun ríz rel. FPB Cpítulo Epresiones lgerics polinomios LirosMreVerde.tk Autores Dvid Mirnd Edurdo Cuchillo Iáñez Ilustrciones Bnco de Imágenes de INTEF