EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS CÓMO ESTAMOS EN EL TEMA? 1. Enunci verlmente ls siguientes epresiones lgerics: ) - : "L diferenci entre un número " ) c) + 8 d) t + 9 e) t f) - g) h) z i) 1 j) k) ( - ) l) ( + ). Epres lgericmente los siguientes enuncidos verles: ) Un número culquier. ) El triple de un número culquier. c) Un número umentdo en 7. d) Un número disminuido en 10. e) Un número umentdo en su quíntuplo. f) El ntecesor de un número culquier. g) El sucesor de un número culquier. h) L centésim prte de un número.. Simplific ls siguientes epresiones: ) ) c),q -,7q + 1,q +,8q d) d d 10. Evlú cd un de ls siguientes epresiones si n = -, m =-1 s =. ) n + m + s ) nm + ms 1 1 c) n m d) s + m n n m e) s + m + n f) n s Fundmentos lgericos Epresiones lgerics Un epresión lgeric es un cominción de constntes vriles en ls que intervienen operciones como dición, l multiplicción, l potencición o sus inverss. Algunos ejemplos de epresiones lgerics son: TERMINO Tod epresión lgeric está conformd por términos, un TERMINO es un epresión lgeric que no está seprd por los signos más (+) menos (-). Así por ejemplo l epresión + tiene dos términos, l vrile l constnte. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 11

2 L epresión + 1 tiene tres términos,, - 1. Ls epresiones lgerics se clsificn de cuerdo l número de términos que tengn, sí: MONOMIOS: Epresión lgeric de un sólo término. Ej. ; ; -m 1 BINOMIOS: Epresión lgeric de dos términos. Ej. + ;. TRINOMIO: Epresión lgeric de tres términos. Ej. m + m 8; 9c c c POLINOMIOS: Es un epresión lgeric que tiene dos o ms términos. TERMINOS SEMEJANTES Son quellos términos que tienen ls misms vriles el mismo eponente, no importndo que tengn diferentes constntes o coeficiente. Por ejemplo: 9n n ; c,7 c 8 c Cundo un polinomio no contiene términos semejntes se dice que está escrito en form simple o está reducido. OPERACIONES CON LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ADICIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: pr sumr dos o más epresiones lgerics se grupn los términos semejntes, se sumn ls prtes numérics se dej l mism prte literl. Así por ejemplo: Al sumr los polinomios , procedemos de l siguiente mner: ( + 8) + ( + 11 ) = Eliminmos préntesis = Regrupmos términos = + + Adicionmos SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Pr restr dos epresiones lgerics, se le sum l minuendo el opuesto del sustrendo se procede como en el cso nterior. Así por ejemplo: Al efectur l rest: (8 + 9 ) (- + ), procedemos de l siguiente mner: (8 + 9 ) (- + ) = Cmimos signos del sustrendo = Regrupmos términos = Adicionmos MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Pr multiplicr dos epresiones lgerics se hll el producto de ls prtes numérics pr cd producto de ls prtes literles se plic el producto de potencis de igul se. Antes se encuentr el signo del producto, utilizndo l le de los signos, en l multiplicción. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS: Multipliquemos m n por mn c = -.. m.m. n. n. c = -1m n c MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO: Al multiplicr un monomio por un polinomio el monomio multiplic cd uno de los términos del polinomio, sí como se ilustr el siguiente ejemplo: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1

3 MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO: Pr multiplicr un polinomio por un polinomio se multiplicn cd uno de los términos del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio. Multipliquemos - por - ( - )( - ) = ( - ) () ( - ) ( ) = = DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Pr dividir dos epresiones lgerics primero hllmos el signo del cociente, luego dividimos ls prtes numérics pr el cociente de l prte literl se coloc l mism se se restn los eponentes. Así por ejemplo: 1 1 ; 7 DIVISIÓN DE POLINOMIO POR MONOMIO: Pr dividir un polinomio entre un monomio se divide cd término del polinomio entre el monomio. Dividmos entre Productos cocientes notles Recien este nomre quells epresiones, que se están multiplicndo o dividiendo, pueden escriirse nuevmente sin l necesidd de relizr lgún procedimiento, es decir, cumplen lgun regl o condición. CUADRADO DE UN BINOMIO: Es igul l cudrdo del primer término más (o menos) el dole producto del primer por el segundo termino, más el cudrdo del segundo término. ( ) ; ( ) DIFERENCIA DE CUADRADOS: Es igul l cudrdo de l primer cntidd menos el cudrdo de l segund cntiddes. ( )( ) BINOMIO AL CUBO: Es igul l cuo del primer termino más (o menos) tres veces el primero l cudrdo por el segundo ms tres veces el primero por el segundo l cudrdo más (o menos) el cuo del segundo término. ( ) ; ( ) EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1

4 COCIENTES VARIOS: ; Fctorizción Fctorizr es descomponer en fctores, vemos lguns regls sencills pr fctorizr epresiones lgerics. FACTOR COMÚN: Este método consiste en encontrr en l epresión dd, elementos o fctores comunes que se encuentren en todos los términos, sen evidentes o de mner tácit. Se puede considerr tmién l fctor común como el elemento que divide l epresión que queremos fctorizr. Así por ejemplo, l fctorizr: 10 0 ( Aquí se puede oservr como el puede dividir ectmente 10, 0 él mismo, de igul form se escogió el término que pudo dividir ectmente, respectivmente. Es mu importnte notr que el término que se h escogido como fctor común, es quel que prezc en tods ls epresiones demás se el de menor eponente. Pr precir mejor l mecánic del fctor común vemos el proceso medinte l división que se reliz implícitmente ( ) ( En conclusión se puede decir que scr fctor común es dividir l epresión por el término que se h escogido como elemento común. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: L únic diferenci con el fctor común es l posiilidd de primero grupr convenientemente l epresión dd, pr con ello scr el fctor común por grupos similres. Así por ejemplo: 1. z. z ( z ) ( z ) ( z ) ( z ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ) ( z )( ) TRINOMIOS DE LA FORMA X + BX +C AX +BX + C: Dentro de este conjunto de trinomios, se encuentrn quellos llmdos trinomios cudrdos perfectos, los cules se convierten por sol inspección en inomios l cudrdo. Pr relizr este procedimiento st con chequer los etremos del trinomio determinr si tienen ríz cudrd ect, luego nlizr el término de l mitd pr compror si es equivlente l dole producto de ls ríces encontrds en el pso nterior. Ejemplos de trinomio cudrdo perfecto: ( ) EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1

5 ( Los trinomios de l form X + BX +C, se podrán fctorizr utilizndo diversos métodos, uno ellos es el llmdo de Los numeritos, que consiste en encontrr dos números que multiplicdos den el tercer término del trinomio sumdos den el segundo término incluendo el signo respectivo. Este procedimiento se plic dos préntesis que inicin cd uno con l ríz del primer término del trinomio, el signo del primer préntesis será el signo del segundo término del trinomio el signo del segundo préntesis será el resultdo del producto de los signos del segundo tercer términos del trinomio respectivmente. Así por ejemplo: 1. (?)(?) Por lo tnto los números son, sí ( )( ). 10 (?)(?) ( ) 10 Por lo tnto los números son -, sí 10 ( )( ) Los trinomios de l form AX + BX +C, se podrán fctorizr dicionndo unos psos l método nterior, consistentes en multiplicr todo el trinomio por el coeficiente de l X, teniendo l precución de dejr l multiplicción indicd en el segundo término, de tl form que se coloc el multiplicndo dentro de un préntesis, esto fvorecerá el procedimiento de l úsqued de los numeritos. Adicionlmente se deerá tener en cuent que si se h multiplicdo por un número culquier se dividirá tod l epresión por el mismo número. Se continú con el procedimiento de signos úsqued de los números como en el método nterior. Finlmente se uscrá l posiilidd de encontrr fctores comunes dentro de los préntesis pr trtr de cncelr el fctor común con el divisor de l epresión. Así por ejemplo: 1. 7 ( 7 ) 7() 18 ( 9)( ) ( )( ( )( ( )( ( ) ( ) 11 1 ( ) 11( (1 0)(1 9) ( )( ) 1( )( ) ( )( ) MÉTODO DE LA EVALUACIÓN: Pr l plicción de este método como herrmient de Fctorizción, es necesrio mnejr correctmente el concepto de división de polinomios. Adicionlmente recordemos que si un ecución se nul o vuelve cero pr un vlor, entonces decimos que se puede dividir l ecución entre l epresión Ddo un polinomio culquier se encuentrn todos los divisores del término independiente, esto quiere decir que se tendrán en cuent los vlores positivos negtivos, por ejemplo es divisile por EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 )

6 1,. Luego de encontrr los divisores del término independiente, se tnte cul de estos vlores nul el polinomio ddo. Encontrdo un vlor determindo, lo convertimos en epresión dividimos el polinomio. Al relizr l división, siempre se encontrrá que el residuo será cero, por lo tnto eminmos si el cociente lo podemos fctorizr por lgún otro método conocido. De no ser sí continumos l división ensndo otro de los divisores del término independiente. Este ciclo se continú hst tener el polinomio representdo en todos los fctores posiles hlldos. Así por ejemplo: Fctorizr el polinomio Divisores de 8: 1,,,,, 8, 1, 1, 8 Evluemos (+ en el polinomio: ( 19( 9( 10( ( 8 10 Evluemos (-: ( 19( 9( 10( ( 8 Evluemos (+): () 19() 9() 10() () 8 7 Evluemos (-): ( ) 19( ) 9( ) 10( ) ( ) 8 0 OK! Trnsformndo l form tenemos Relizndo l división se otiene: Evluemos (+): () 19() 9() 10() () 8 0 Trnsformndo l form tenemos Relizndo l división del cociente otenido se continú: OK! EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1

7 0 Evluemos (+): () 19() 9() 10() () 8 70 Evluemos (-): ( ) 19( ) 9( ) 10( ) ( ) 8 0 Trnsformndo l form tenemos Relizndo l división del cociente otenido se continú: 8 OK! Y en este punto se oserv que se hn gotdo los vlores que hcen cero l polinomio, por tnto se intent fctorizr el último cociente otenido. En este cso se puede fctorizr directmente por uno de los métodos conocidos. ( ) 1() 1 ( )( ) ( )( ( )( ( )( Así el polinomio: ( )( )( )( )( TALLER : epresiones lgerics I. Represent los enuncidos en form de epresiones lgerics: 1. Un número incrementdo en 8.. veces un número.. L diferenci de un número.. A se le rest un número.. L quint prte de un número.. Cutro veces un número ms El producto de dos números elevdos l cudrdo. 8. El dole producto de un número menos 7. II. Resuelve los préntesis reduce términos semejntes: 1. -( ) + ( + 7). (m + 1n) - (-1m -1n). z - [z + (t - z) - (t z) + 1]. -[ - (- + ) + (- +)]. -( + ) - [-(-7 -) + ( -) - ]. - { + c + [(- - +c) - ( c)] - + c} III. Vlor ls siguientes epresiones lgerics: - + 0, + 0,7 / - 9/ , -0, 8/ 1/ EXPRESIONES ALGEBRAICAS 17

8 / - 1/ IV. Escrie en form simple los siguientes polinomios: z + z. m + + m + + c c + + c + + c 7. n p + m + 7p + m n V. Reliz ls siguientes operciones entre epresiones lgerics: 1. + ; + + c. m + n + p; m n + p. 9 ; 7 +. m n p; m n + p. ( + + ) + (- + ). ( + + ( + 7) 7. (7 + )+ (- + ) 8. ( + 8) + ( + 8) 9. ( + + ( ) 10. ( + ) + ( + 7 ) 11. (- + ) + (- ) 1. (z + ) + ( ) ; 1. ; ; ; ; 1. ; ; ( + c) ( + c) 18. ( + ) (7 ) 19. ( z) (9 z) 0. De l sum de con rest 1. De l sum de 7 c con c + rest 7 + c. De l sum de c con c rest + c. ( + ) ( + ). (mn + n p) (n + p m). ( + ) ( ). ( ) ( + ) 7. -1z z z. ( + ) (-). (X+ ( ). ( + +9) ( ). (m + n) (7n +m) 7. ( - (- ) 8. (- + + ) (- + ) 9. (z z + ) (z) 0. ( ) (- + ) 1. ( + ) (-8 ). (- + + ) (- + ). ( + + ) (-). ( ( + ). ( z ) (-). (7 + - ) (- + 8) 9 c c n 1n 18n n m m m m. 9m n m n m n m n VI. Resuelve ls siguientes operciones, plicndo ls regls estudids: 1. ( + ). (7 ). (1m 8). (n ). (z ). ( + ) ( ) EXPRESIONES ALGEBRAICAS 18

9 7. ( +) 8. ( 7 ) ( + 7 ) 9. ( ) 10. (n-p) 11. (m + n ) (m -n ) 1. (7m c) 1. (c +m) 1. (1n -p ) (1n + p ) 1. (n ) 1. (n ) (n+) 17. (p+ q ) 18. ( + c) 19. ( ) (+ ) 0. (9 + 1z 7 ) (9 1-z 7 ) 1. ( + ) (m ). m n. ( 7). 7. ( 1 ) c 0. ( 9 z). ( m ) ( ) ( ) ( m n) ( 9) ( mn ) 1 VIII. Escoge l respuest correct en cd uno de los siguientes csos: 1. Al desrrollr l epresión (w + n), nos d como resultdo A) w + n + wn B) w + wn + n C) + wn + D) wn + + n. L epresión lgeric equivlente (m + 8) (m ) es A) + m - B) m + m C) m + m D) m + +. El resultdo de ( + - c) es A) c + c + c B) + c - - c + c C) c - c + c D) + + c + - c - c. L epresión lgeric equivlente ( - ) es A) - 1 B) + C) D) - + EXPRESIONES ALGEBRAICAS VII. Fctorizr ls siguientes epresiones lgerics, si es posile n n m n 0mn m 1m m m m m m m m m

10 . Al desrrollr l epresión ( + c), otenemos A) - + B) C) + c + + c D) + c + c + c. Resolviendo el producto notle ( 7) ( + ), otenemos l epresión A) B) - 8 C) + D) Al reemplzr = en l epresión ( + m), otenemos A) + m + m B) +.m + m C) +.m + m D) B C son corrects 8. Al fctorizr l epresión (m + mt + t ), otenemos A) (m + t) B) (m + t) C) (m + t). (m + t) D) A C son corrects 9. Al simplificr l epresión ( + m +m +m ), otenemos A) ( + m) B) ( + m) C) + m D) ningun de ls nteriores 10. Al simplificr l epresión ( + + c + c + + c ), otenemos A) ( + ) B) ( + ) C) ( ) D) (A +B + C) IX. A cd uno de los siguientes prolems, formulr el modelo lgerico correspondiente l situción que se plnte. 1. Si Jun Felipe tiene dólres, Cuántos dólres tendrá Nthli en cd cso? A. Ell tiene $ más que Jun Felipe. B. Ell tiene $ menos del dole de lo que tiene Jun Felipe. C. Ell tiene $ más que l mitd de lo que tiene Jun Felipe.. Si Andrés Felipe tiene ños Alejndr es ños más joven, qué edd tiene Jon en cd cso? A. Jon tiene ños más que Alejndr. B. Jon es 1 ño mor que l edd promedio de Andrés Felipe Alejndr. C. Jon es 10 ños menor que l sum de ls eddes de Andrés Felipe Alejndr. D. Jon es ños menor que cinco veces l diferenci de ls eddes de Andrés Felipe Alejndr. Jun Cmilo Nthli juntos tienen $70. Si Nthli tiene $0 pesos más que Jun Cmilo, cuánto dinero tiene Nthli?. En un clse de Mtemátics pr l Administrción h estudintes. Si el número de chicos es 7 más que el dole de chics, determine el número de chics en l clse.. Un pdre es tres veces mor que su hijo. En 1 ños, él tendrá el dole de l edd de su vástgo. Qué eddes tienen el pdre le hijo hor?. Hce ños, Nthli tení el dole de l edd de su hermno. Encuentr l edd ctul de Nthli si l sum de sus eddes es ho de 0 ños. 7. Alejndr tiene moneds más de cinco centvos de diez centvos, moneds más de diez centvos que moneds de veinticinco centvos. En totl tiene U$.10. Cuánts moneds de cd un tiene? 8. Yo tengo el dole de moneds de diez centvos en mi olsillo que de moneds de veinticinco centvos. Si tuvier moneds menos de diez centvos moneds de veinticinco centvos, tendrí $.0. Cuánts moneds de diez centvos de veinticinco centvos tengo? 9. L sum de dos números reles es 10 su diferenci 0. Encontrr dichos números. 10. L sum de un número veces el mismo es 10. Encontrr el número. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 0