2Unidad. Expresiones algebraicas. fraccionarias EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A: 68 Unidad 2

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1 Epresiones lgebrics Unidd frccionris EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A: Interpretr ls epresiones lgebrics frccionris como un generlizción de l opertori con frcciones numérics. Reconocer pr qué vlores un epresión frccionri lgebric puede ser positiv, negtiv o cero, y pr qué vlores se indetermin. Resolver situciones en ls que se necesrio simplificr frcciones lgebrics. Resolver situciones en ls que se necesrio sumr, restr, multiplicr o dividir frcciones lgebrics. 68 Unidd

2 CONVERSEMOS DE: Los ntiguos griegos ern conocidos por buscr l perfección en tods ls coss. El Prtenón de Atens, templo ubicdo en l Acrópolis, dedicdo l dios Atene y considerdo el monumento más importnte de l civilizción grieg ntigu, está construido de mner que el lrgo y ncho de l bse formn un rectángulo que considerbn idel. Es un rectángulo tl que, si se quit el myor cudrdo posible, se obtiene un nuevo rectángulo, cuyos ldos están en l mism proporción que el rectángulo originl. Est relción entre los ldos del rectángulo se puede epresr como: + = Hs visto lgun vez un epresión como est? Eiste lgún vlor de que stisfce tl relción?, cómo lo sbes? Pr qué vlores de está definid l frcción del ldo izquierdo? Intent dibujr un rectángulo que cumpl con est condición. Epresiones lgebrics frccionris 69

3 Cuánto sbes? Recuerd lo que prendiste en ños nteriores y resuelve en tu cuderno.. Resuelve los siguientes ejercicios con frcciones y simplific cd vez que se necesrio b. c. d. e.. Determin si ls siguientes firmciones son verdders o flss. Justific tu respuest.. L dición de frcciones cumple con ls propieddes socitiv y conmuttiv. 0 b. Si 0, entonces = 0 + b c. Si, b y 0, entonces = b b d. Si, b y 0, entonces = b e. eiste. 0 f. L multiplicción de frcciones cumple con ls propieddes conmuttiv y socitiv.. Resuelve los siguientes ejercicios: b. 5y y c. 5 4 d. 6 : 4 e b 6b + 5b 4b b 70 Unidd

4 Unidd f. + b b + b b b 5b g. (b + b c) ( c) h. (5y ) (y y) 6 i Compr tus respuests con ls de tus compñers y compñeros. Te equivocste en lgun?, cuál fue el error? Eplíclo y resuelve correctmente el ejercicio. QUÉ DEBES RECORDAR? Pr sumr o restr frcciones con igul denomindor, se sumn o restn los numerdores y se conserv el denomindor. Pr sumr o restr frcciones con distinto numerdor, se puede mplificr o simplificr hst obtener frcciones equivlentes con igul denomindor y, luego, sumrls o restrls. Al multiplicr frcciones, se obtiene un frcción cuyo numerdor corresponde l producto de los numerdores, y cuyo denomindor, l producto de los denomindores. c c En generl, si, b, c, d, b 0, d 0 = b d b d Pr dividir frcciones, se puede multiplicr l primer frcción por el inverso multiplictivo de l segund. c En generl, si, b, c, d, b 0, c 0, d 0 : = b d b Alguns fctorizciones y productos notbles son: ( b) = b + b (cudrdo de binomio) ( + b) ( b) = b (sum por su diferenci) + ( + b) + b = ( + ) ( + b) ( b) = b + b b (cubo de binomio) b = ( b) ( b + b ) (producto de dos binomios con un término común) (sum y diferenci de cubos) d c Epresiones lgebrics frccionris 7

5 Frcciones lgebrics An debe trotr cutro vuelts l pist de tletismo de su colegio. Su desempeño es como sigue: se demor t segundos en dr l primer vuelt, luego trot más rápido, demorándose t 0 segundos en l segund, pero cerc del finl se cns un poco, y se demor t 5 segundos en l tercer vuelt y t + 5 segundos en dr l últim vuelt. ANALICEMOS... Si l distnci recorrid en un vuelt es, qué epresión permite clculr l rpidez con que recorrió cd vuelt? En qué vuelt trotó myor rpidez y en qué vuelt menor rpidez? Si los dtos de l situción nterior se orgnizn en un tbl, se obtiene: RECUERDA QUE... L rpidez es el cuociente entre l distnci recorrid y el tiempo empledo en recorrerl. d v = t Los elementos de un frcción son: b GLOSARIO Numerdor Denomindor Álgebr: rm de l mtemátic en l cul ls operciones ritmétics se generlizn emplendo números, letrs y signos. Cd letr o signo represent simbólicmente un número u otr entidd mtemátic. Epresión lgebric frccionri (o frcción lgebric): epresión de l form, donde y b son b epresiones lgebrics, con b 0. Distnci recorrid Tiempo Rpidez Primer vuelt t t Segund vuelt t 0 t 0 Tercer vuelt t 5 t 5 Curt vuelt t+ 5 t + 5 Luego, ls epresiones,, y representn l rpidez de t t 0 t 5 t + 5 An en cd vuelt. Epresiones como ls nteriores son llmds epresiones lgebrics frccionris o simplemente frcciones lgebrics. Observ que corresponden cuocientes entre epresiones lgebrics. Tl como en ls frcciones, se llm numerdor y denomindor cd prte de l frcción lgebric. Ahor, considerndo que un pist de tletismo tiene 400 m se puede remplzr este vlor por, y suponiendo que en l primer vuelt An se demoró 80 s, se obtiene: 400 Primer vuelt: = = 5 Rpidez: 5 m/s t Segund vuelt: = = 5,7 Rpidez: 5,7 m/s t Tercer vuelt: = = 5, Rpidez: 5, m/s t Curt vuelt: = = 4,7 Rpidez: 4,7 m/s t Luego, An trotó con myor rpidez durnte l segund vuelt, y con menor rpidez en l últim vuelt. 7 Unidd

6 Unidd EN TU CUADERNO. Clcul cuál serí l rpidez de An en cd vuelt suponiendo hor que en l primer vuelt se demor:. minuto. b. minuto y 0 segundos. c. un minuto y medio. En cd cso, en qué vuelts se tienen l myor y menor velocidd? Eiste lgun diferenci con el ejemplo? De ser sí, en qué csos cmbin?. Determin el vlor de ls siguientes frcciones lgebrics si n =,,, 4, 5: n. c. e. n + n + 7 n 4n b. d. f. 5n n + n n + ( ) n n n +. Observ el siguiente ejemplo: 4 5 n Ls frcciones,,,,,..., son generds por l frcción lgebric, porque se obtienen n + l remplzr n =,,, 4 y 5, respectivmente. Encuentr l frcción lgebric que gener ls siguientes frcciones en cd cso: ,,,,,... c.,,,,, b.,,,,,... d.,,,,, EN RESUMEN Dds dos epresiones lgebrics representds por p y q, con q 0, llmremos epresión lgebric p frccionri o frcción lgebric tod epresión de l form. q Ejemplo: n + Ls epresiones y son frcciones lgebrics. n n n + 9 Epresiones lgebrics frccionris 7

7 Comprción de frcciones lgebrics Dos socios discuten cerc de unos cmbios que desen relizr en un terreno rectngulr cuyo lrgo mide b m y su áre es de m. Uno de ellos quiere umentr el áre en m sin cmbir el lrgo, pero el otro quiere umentr el lrgo del terreno en m sin cmbir el áre, y necesitn determinr en qué cso es myor el ncho del terreno. ANALICEMOS... En qué cso se obtiene un medid myor del ncho del terreno? Cómo se puede determinr el nuevo ncho del terreno en cd cso? Cómo se pueden comprr ls nuevs medids del ncho? GLOSARIO Desiguldd: epresión mtemátic que sirve pr representr que ciert cntidd es menor o myor que otr. RECUERDA QUE... Si, b, c, con < b y b < c, entonces < c. Pr poder comprr ls dos propuests y decidir en qué cso se obtiene myor ncho, consider que el ncho originl del terreno es igul m. b El primer socio dese umentr el áre totl en m, y como el lrgo + sigue siendo igul b m, l nuev medid del ncho es m. b El segundo socio quiere umentr el lrgo en m, y mntener el áre totl. Por tnto, en este cso l nuev medid del ncho es m. b + Ddo que en este cso > 0 y b > 0, y que son medids de áre y de longitud, debemos comprr cuál de ests frcciones es myor. + En el primer cso, ls frcciones y, mbs son de igul denomindor b b (positivo), pero el numerdor de l segund frcción es myor (y que tmbién es positivo), de modo que: b < + b En el segundo cso, l comprr con el ncho originl se tienen frcciones con igul numerdor, pero el denomindor de l tercer frcción es myor, por tnto tenemos l relción: < b + b Luego, se verific l relción: b + < + b Entonces, el ncho del terreno es myor con l modificción propuest por el primer socio. 74 Unidd

8 Unidd En otros csos, el vlor de un frcción lgebric depende de solo un vrible, y es necesrio nlizr los csos posibles. Observ. n + n. Si n > 0, se tiene que >. n n n + n. Consider n < 0, se tiene hor l relción <. n n Se n = k, k > 0, luego l remplzr se tiene: n + k + k n k = =, = = k + n k k n k k k k + n + n Y como k > 0 se tiene hor <, es decir, <. k k n n RECUERDA QUE... Pr, b, c, d, números nturles, c < es equivlente d < bc. b d Al multiplicr mbos ldos de un desiguldd por un fctor negtivo, est se invierte. c c > < con b, d 0 b d b d EN RESUMEN Pr comprr frcciones lgebrics, observ que: Si ls epresiones son positivs y mbs frcciones tienen igul denomindor, es myor l frcción de myor numerdor. Si ls epresiones son positivs y mbs frcciones son de igul numerdor, es myor l frcción de menor denomindor. Si lgun de ls epresiones es negtiv, se debe tener cuiddo y nlizr cso cso, y que ls desigulddes pueden cmbir. EN TU CUADERNO. Compr ls frcciones según los vlores ddos en cd cso.. p + p,, > 0, b > 0, > b. c.,, < p < 0, q > 0. + b b q q + b. p + p,, p > 0, q > 0. d.,, > 0, b > 0, < b. q q + + b b +. Determin, pr cd cso, cuál de ls frcciones, es myor:. > 0, > 0, >. c. > 0, < 0, <. b. > 0, > 0, <. d. > 0, < 0, >. Epresiones lgebrics frccionris 75

9 Análisis de frcciones lgebrics Además de ordenr dos o más frcciones lgebrics, tmbién es importnte decidir qué tipo de vlores puede tomr un frcción lgebric, dependiendo de los vlores de l o ls vribles. Por ejemplo, consider l frcción: ANALICEMOS... Qué ocurre con l frcción lgebric dd cundo =?, ocurrirá esto pr otro vlor? Si < 0, qué signo tiene el numerdor?, qué signo tiene el denomindor?, y l frcción? En el cso de que >, qué signo tiene l frcción?, por qué? Pr qué vlores de l frcción es siempre negtiv?, cómo lo clculste? RECUERDA QUE... b = = b b Pr nlizr cómo cmbi el signo de un frcción lgebric, se debe recordr que el signo de un frcción depende del signo del numerdor y del denomindor. Si tienen igul signo, l frcción es positiv, y cundo tienen distinto signo, l frcción es negtiv. En este cso, el numerdor es positivo si > y negtivo si <. Por otr prte, el denomindor es positivo si > 0 y negtivo si < 0. Entonces, l considerrlos simultánemente, se obtiene que l frcción es positiv si > y si < 0, y negtiv si 0 < <. Si l frcción lgebric tiene más de un vrible, se deben nlizr todos los csos posibles. GLOSARIO Se dice que un epresión mtemátic se nul en cierto vlor, si l evlurl en ese vlor l epresión tiene vlor 0. RECUERDA QUE... Al dividir números de igul signo se obtiene un cuociente positivo, y l dividir números de distinto signo se obtiene un cuociente negtivo. Consider, por ejemplo, l frcción. Antes de determinr qué tipo de b + vlores tom, se debe determinr pr qué vlores se nuln el numerdor y denomindor. En este cso, esto ocurre pr = 0 y pr b =, respectivmente. Entonces, pr nlizr l frcción no se considern estos vlores, pero son importntes pr seprr los csos que se vn nlizr. Observ el nálisis de l frcción : b + Si > 0 y b >, tnto el numerdor como el denomindor son positivos, de modo que l frcción tom vlores positivos. Si > 0 y b <, el numerdor es positivo, pero el denomindor es negtivo, y l frcción tom vlores negtivos. Si < 0 y b >, el numerdor es negtivo, pero el denomindor es positivo, y l frcción nuevmente tom vlores negtivos. Si < 0 y b <, tnto el numerdor como el denomindor son negtivos, y por lo tnto l frcción tom vlores positivos. 76 Unidd

10 Unidd Finlmente, pr = 0, si b, el vlor de l frcción es cero, y que el vlor del numerdor es cero. En conclusión, l frcción tom vlores positivos cundo > 0, b >, y cundo < 0, b < ; en cmbio, tom vlores negtivos pr > 0, b <, y pr < 0, b >, y tom el vlor cero cundo = 0 y b. EN RESUMEN Pr nlizr los vlores que tom un frcción lgebric, se debe considerr pr qué vlores se nuln el numerdor y el denomindor. Luego, se seprn los csos en que cd vrible es myor o menor que estos vlores hlldos, pr comprrlos y determinr el signo de l frcción. EN TU CUADERNO. Determin pr qué vlores de ls siguientes frcciones son positivs:. c e. b d. + 5 f ( ) 4. Cuáles de ls siguientes frcciones son siempre positivs pr todo >?. c. + 7 e. b. d. 7 + f. 8. Determin los vlores que pueden tomr m y n, de mner que ls siguientes frcciones sen negtivs: m n +. b. c. n m m 5 + n Epresiones lgebrics frccionris 77

11 Restricciones en frcciones lgebrics + Pedro y Pblo necesitn nlizr l frcción lgebric. Quieren sber cuándo se obtienen vlores positivos y negtivos de est epresión. ANALICEMOS... Si es un número rel culquier, cómo son los vlores que se obtienen pr l epresión dd?, positivos o negtivos?, enteros o decimles? Justific tus respuests.. Eisten vlores que hcen indefinid est epresión?, cuál o cuáles? Cómo se describe lo que ocurre pr estos csos? Pr diversos vlores de, Pedro y Pblo obtienen l siguiente tbl: Vlor de + Cuociente 0 4 0,5 0, 0 0, 0, ,5 0,5 0,9 0, 0, 0,,5 0,5 0,9 0,75 0,5 0 9,5 GLOSARIO Un frcción lgebric está indefinid pr un cierto vlor de un vrible si su denomindor se nul pr tl vlor y el numerdor es distinto de 0. Si 0, está indefinid. 0 Según los vlores que precen en l fil de los cuocientes, se observ que: Cundo =, el vlor de l epresión es 0. Si es positivo y cercno 0, el cuociente es cd vez myor. Si es positivo y lejno 0, el cuociente es un número cercno. Si es negtivo y cercno 0, el cuociente es cd vez menor. Si es negtivo y lejno 0, el cuociente es un número cercno. Cundo = 0, l epresión se indefine, y se dice que tiene un restricción. EN RESUMEN Pr el nálisis de epresiones lgebrics frccionris, es importnte considerr vlores distintos, positivos y negtivos, grndes y pequeños. Además, se debe distinguir si l epresión se indefine y los vlores pr los cules se nul. 78 Unidd

12 Unidd HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS En est ctividd, prenderás cómo nlizr epresiones lgebrics y obtener sus vlores utilizndo un plnill de cálculo como Ecel. Primero, debes fmilirizrte con el procedimiento pr escribir fórmuls, y l mner de remplzr vlores en ells. Consider, por ejemplo, l fórmul + 5. Seleccion en l celd A y escribe un número rel. A continución, l ldo escribe l fórmul, escribiendo en lugr de l celd en l que escribiste tu número. Es decir, escribe como fórmul = A^ + 5. Aprecerá el resultdo de remplzr en l fórmul el vlor escrito ntes. Ahor estás en condiciones de nlizr frcciones lgebrics. Como ejemplo consider l epresión. En un plnill de cálculo como Ecel, hz lo siguiente: En l column A escribe, hci bjo, un serie de números, los cules pueden ser enteros, frccionrios, positivos o negtivos. Pr notr frcciones, not en l celd correspondiente, por ejemplo =5/7. Luego, en B escribe lo siguiente: =A/(-A), y que con esto ingresrás l fórmul; l terminr, priet enter. El número que prece es el resultdo de remplzr en l epresión el vlor escrito en A. A continución, copi el resultdo que prece en B de mner que prezc bjo de cd vlor escrito nteriormente. Lo que hce l plnill de cálculo es copir l fórmul escrit (en este cso, l frcción lgebric) y mostrr el resultdo inmeditmente. Si prece el mensje # DIV/0!, el vlor l que compñ es un restricción pr. Ejercicios Repite el procedimiento nterior de nálisis, indicndo los vlores de pr los cules ls epresiones son positivs, negtivs o cero, demás de los puntos donde l epresión no está definid Epresiones lgebrics frccionris 79

13 Simplificción de frcciones lgebrics 6( + )( + ) Mrio y Vleri discuten cerc del siguiente problem: se les pide simplificr l epresión y no están de cuerdo en cómo resolverlo. 6( + )( + ) Él reliz lo siguiente: = ( ) ( )( ) 4( + )( + ) ANALICEMOS... Es correcto lo que hizo Mrio?, se puede seguir simplificndo?, cómo? ( ) Vleri simplificó l epresión y obtuvo. Es correcto?, 4( + ) por qué? Pr simplificr l epresión nterior, se pueden simplificr primero los fctores numéricos comunes en el numerdor y denomindor. Pr esto, se divide por 4, el máimo común divisor entre y 6. Entonces: = ( ) ( )( ) 6 ( + )( + ) = ( ) 4( + )( + ) GLOSARIO Fctor de un número: es un divisor del número. Fctorizr: epresr un número o un epresión lgebric como producto de dos o más números o epresiones lgebrics, llmdos fctores. RECUERDA QUE... Un frcción irreducible es quell cuyo numerdor y denomindor no poseen divisores comunes, distintos de. A continución, se debe determinr si eisten fctores lgebricos igules en el numerdor y denomindor pr simplificr. Luego, se debe fctorizr tmbién el numerdor: y se tiene que: = ( + )( ) ( ) ( )( ) 4( + )( + ) = + 4( + )( + ) = ( ) 4( + ) con Como hor no hy fctores comunes en el numerdor y denomindor, l frcción es irreducible, cuy restricción pr es y. Por lo tnto, mbos tuvieron rzón l decir que hbí que simplificr por números, pero Vleri tuvo rzón l observr que, demás, hbí que encontrr fctores lgebricos comunes. 80 Unidd

14 Unidd EN RESUMEN Pr simplificr frcciones lgebrics, se puede fctorizr completmente el numerdor y el denomindor y revisr si eisten fctores numéricos y/o lgebricos comunes en el numerdor y el denomindor, y si eisten, dividir por estos, obteniendo un frcción lgebric irreducible. Finlmente, si es necesrio, se deben indicr ls restricciones pr los vlores que pued tomr. Ejemplos: = ( ) 6 + =, ( )( ) + con, = ( )( ) = ( )( + 0) + 0 con 0, EN TU CUADERNO. Simplific ls siguientes frcciones, indicndo ls restricciones, si ls hubier: d. g. ( )( + 9) ( y) b. e. h ( y) y c. f. i. y ( ) ( ) ( 5). Encuentr el vlor de ls siguientes epresiones frccionris sin desrrollrls, como en el ejemplo: Ejemplo: + ( 0, 6) + 0, 6 ( ) ( + 0, 6) + ( 0, 6) + ( 0, 6) = ( + 06, ) ( 07, ) ( 0, ). c. ( 07, ) ( 0, ) = + 0, 6+ 0, 6 =, 96 ( 0, ) + 0 (, ) + ( 0, ) 8 (,) 6 (,) + b. d. (,) (, ) (, ) (, ) (, ) + Epresiones lgebrics frccionris 8

15 Multiplicción de frcciones lgebrics Consider l siguiente figur: b P R c Q ANALICEMOS... Cuál es el áre pintd en función de ls áres P, Q y R, sbiendo P que c =, b = y R =?, cómo lo resolviste? Pr multiplicr frcciones lgebrics, se procede igul que con ls frcciones numérics? Si no es igul, qué cmbi en este procedimiento? Como primer pso, se deben determinr ls medids del lrgo y el ncho del rectángulo pintdo. Primero, se determin el ncho: Q Ancho = = c Q Luego, se clcul el lrgo, que es igul l cuociente de P sobre, más el cuociente de R sobre b, de modo que se tiene: P R P P P P Lrgo = + = + = + = b b P Finlmente, el áre del rectángulo se obtiene clculndo el lrgo por el ncho hlldos: Q P Áre = = PQ 8 Unidd

16 Unidd EN RESUMEN Pr multiplicr dos frcciones lgebrics, se clcul de mner similr que pr multiplicr frcciones numérics. Primero, se fctorizn los numerdores y los denomindores en mbs frcciones; luego, se simplificn por los fctores comunes que eistn, tnto numéricos como lgebricos; y, finlmente, se multiplicn los términos restntes. Ejemplos:. 0 y 9y = 5 y y 5 = = 5, con y = 7 5y y = 5 y = 9 5y, con 0, y 0. b = b b + ( )( + ) =, con y b ( b)( + b + b ) + b+ b 4. 4 y = ( ) y ( y ) ( y ) ( y + ) = ( ) ( + + ) y +, con e y + + EN TU CUADERNO. Resuelve ls siguientes multiplicciones. Simplific cundo se posible.. ( ) ( )( 5 ) e b. f. + + c. b b g. + b b d. + + h m + 5m 4 7m 8 ( m 8) m + ( m + ) m 5m 5 m+ m y y + ( ) y 5 4 w w y + y + 6 y w w + w Epresiones lgebrics frccionris 8

17 División de frcciones lgebrics Aprovechndo el buen tiempo, un grupo de migos fue de ecursión. Al terminr el pseo, scron de su mochil un envse cilíndrico lleno de gu. A continución, scron vsos cilíndricos más pequeños, cuy ltur er l tercer prte de l ltur del envse y cuyo rdio er l mitd del rdio del envse. ANALICEMOS... Cuántos vsos se podín servir?, cómo lo clculste? Pr poder dividir frcciones lgebrics, se procede igul que en l división con frcciones numérics? Si no se procede de igul mner, qué coss cmbin en el procedimiento? RECUERDA QUE... Observ l relción entre el tmño del envse y el de un vso. Pr dividir un frcción por otr, se debe multiplicr el dividendo por el inverso multiplictivo del divisor. h r Si se llm r l rdio y h l ltur del envse, entonces los vsos tienen h r ltur igul y rdio igul. Luego, se debe resolver l operción: r h πrh: π = Pr resolverl, se puede trnsformr en un multiplicción de frcciones, cuyo segundo término es el inverso multiplictivo del divisor. Observ. π π π r h r h : = r h π r h Simplificndo por los fctores comunes en numerdores y denomindores, y multiplicndo los demás términos, se obtiene: π π π r h r h : = r h π r h = = Luego, el contenido del envse lcnz pr servir vsos de ess medids. 84 Unidd

18 Unidd Según cómo se fctorice cd frcción, se puede simplificr ntes de multiplicr. Observ los siguientes ejemplos.. 0 y 0y : = = 9 y 0y y = 0 y y, con 0 e y 0.. 7y 4 7y 7 y y : = = =, con = = ( ) 5 ( + ) 5 : = , con 4. b b b + = + : b = b ( + )( ) + = ( b)( + b+ b ) + b+ b, con y b EN RESUMEN Pr dividir dos frcciones lgebrics, se procede de mner similr que pr l división de frcciones numérics; es decir, se trnsform en un multiplicción de frcciones, en l cul el segundo término corresponde l inverso multiplictivo del divisor. EN TU CUADERNO. Resuelve ls siguientes divisiones de frcciones lgebrics y simplific cundo se posible. Indic ls restricciones en cd cso. m 8m 008 m : e. m + 4 7m y y y b. : f z 6z 4 6 c. : g d. : h. 8 b ( ) b b : 4 4 cb cb 5 y yw w yz 5w y 5y : 7w 5w 4 4 c + c : 6 6 b b b z 4 + z 4 z : z 7 z Epresiones lgebrics frccionris 85

19 MI PROGRESO. Orden ls siguientes frcciones lgebrics de menor myor. Consider tods ls vribles con vlores positivos. 6 b b.,, b.,, c.,, b b 4b b + b b + 6b 4b. Determin los vlores de pr los cules se nuln ls siguientes frcciones lgebrics. Luego, determin los vlores pr los cules quedn indefinidos. ( 5). b. c. d Determin los vlores de pr los cules ls siguientes frcciones lgebrics son positivs: 4 7. b. c. d Clcul ls siguientes multiplicciones de frcciones lgebrics: b. c ( ) Clcul ls siguientes divisiones de frcciones lgebrics: 4 5 b b. : 4 b. : c b b + 5 : + Cómo voy? Revis tus respuests y, luego, escribe l cntidd de ejercicios correctos en tu cuderno. CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS Ordenr frcciones lgebrics. / Determinr pr qué vlores se nul un frcción lgebric y qued indefinid. / 4 Determinr pr qué vlores un frcción lgebric es positiv. / 4 Resolver multiplicciones de frcciones lgebrics. 4 / Resolver divisiones de frcciones lgebrics. 5 / 86 Unidd

20 Mínimo común múltiplo de epresiones lgebrics Unidd Diego recibió de reglo un tblero seprdo en dos prtes, cd un con bloques tringulres y rectngulres igules entre sí. Como es curioso, notó que l ltur de los triángulos er el doble del lrgo del rectángulo y que l bse de los triángulos medí l sum del lrgo y del ncho del rectángulo. ANALICEMOS... Si hy suficientes bloques de cd form como pr cubrir un mism áre, cuál es l menor áre que puede cubrirse con bloques de un mism form? Es posible encontrr el mínimo común múltiplo (mcm) de epresiones lgebrics de l mism form que en el cso numérico?, por qué? b + b b En l situción nterior, se debe determinr cuál es l menor áre que puede cubrirse con bloques de un mism form. Consider que es el lrgo y b el ncho del rectángulo. Entonces, l bse del triángulo mide + b, y l ltur del triángulo es igul b. Ahor, observ cómo clculr el áre de cd figur: Áre del rectángulo: b = b Áre del triángulo: ( + b) b = b + b Ahor, se clcul el mcm de mbs epresiones. Un buen ide es fctorizr cd un de ls epresiones, y buscr su mcm. En este cso, se obtiene como fctores, b y ( + b). Por lo tnto, el mcm de b y de b( + b) es igul b( + b). Luego, triángulos cubren l mism áre que ( + b) rectángulos. Como debe ser el menor de los múltiplos comunes, hy que fijrse en los fctores pr no considerr más fctores de los necesrios. Observ.. Encuentr el mcm de b y b. Fctorizndo: b = ( b) b = ( + b) ( b) Los fctores que contienen son, ( b) y ( + b), y por tnto el mcm es ( b) ( + b) = b. RECUERDA QUE... El áre de un rectángulo de ldos e y es y. El áre de un triángulo de bse b b h y ltur h es. GLOSARIO Múltiplos de un número: números que se obtienen l multiplicr el número ddo por otro. Mínimo común múltiplo (mcm): entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de ellos.. Encuentr el mcm de 0 + y 9. Fctorizndo: 0 + = ( ) ( 7) 9 = ( ) ( + ) Los fctores que contienen son ( 7), ( ) y ( + ), y por tnto el mcm es ( 7)( )( + ). Epresiones lgebrics frccionris 87

21 . Encuentr el mcm de 4 6b + 6b y 8b. Fctorizndo: 4 6b + 6b = 4 ( 4b + 4b ) = ( b) 8b = ( 4b ) = ( + b) ( b) Los fctores que se obtienen son, ( b) y ( + b), y el mcm es 4( b) ( + b). EN RESUMEN Pr encontrr el mcm de epresiones lgebrics, se sugiere fctorizr cd epresión, si es posible, y luego multiplicr todos los fctores encontrdos. Si hy lgún fctor que se repite, se elige el de eponente myor. EN TU CUADERNO. Encuentr el mcm de ls epresiones:. 8, 4, e. 0 0, 4 0, b., b 4 y, b f. + 0, 00, 9 c.,, ( ) g y, + y, 9 + y + 4y d. +, + 8, 4 h ,, 6. Amplific por el fctor necesrio pr igulr los denomindores en ls siguientes frcciones lgebrics: z b z., c. zc + d ( zc d) b 54, + z z b., d. b c c b z cd z,, c bc b 88 Unidd

22 Adición de frcciones lgebrics Unidd Se requiere terminr l construcción de un edificio, y solmente flt pintr su interior, pr lo cul se contrt dos grupos con igul cntidd de trbjdores, todos de igul eficienci y con l mism cntidd de hors de trbjo dirio. El segundo grupo comenzrá trbjr lgunos dís después que el primero. ANALICEMOS... Si l comienzo solmente trbj el primer grupo, qué frcción del trbjo totl logrn hcer dirimente cd uno de ellos y en conjunto? Si el segundo grupo debe pintr l superficie, menos 000 metros cudrdos que le corresponden l primer, qué prte del trbjo reliz prtir de este momento? Qué prte del trbjo dirio relizn mbos grupos prtir del momento que ingres el segundo de ellos trbjr? En l situción nterior, no se sbe l cntidd de trbjdores que se vn contrtr, entonces se pueden signr vribles. Se N l cntidd de metros cudrdos que se deben pintr l interior del edificio, h l cntidd de hombres que conformn cd grupo y n l cntidd de metros cudrdos que puede pintr cd uno de los trbjdores del primer grupo l dí. n De est mner, cd uno de ellos hce un frcción del trbjo igul, N y por lo tnto, el primer grupo hce dirimente un frcción del trbjo igul h n hn =. N N Pr el segundo grupo, se debe notr que no pueden trbjr sobre 000 metros cudrdos que corresponden l primero. De modo que cd n trbjdor del segundo grupo reliz l dí un frcción igul, N 000 hn y, por tnto, el trbjo relizdo por el segundo grupo es igul. N 000 A prtir del momento que ingres el segundo grupo, el trbjo dirio relizdo hn hn por mbos grupos es igul +. Pr reducir un frcción, N N 000 se mplific cd frcción pr tener el mismo denomindor, que en este cso es N(N 000): hn hn( N 000) hn hnn = = N NN ( 000) N 000 NN ( 000) Es decir, el trbjo en conjunto hecho dirimente es igul : hn N hn hn( N 000) + hnn + = N 000 NN ( 000) hnn 000hn hn( N 500) = = NN ( 000) NN ( 000). Que corresponde l prte que relizn mbos grupos cundo comienzn trbjr juntos. RECUERDA QUE... Pr sumr frcciones de igul denomindor, simplemente se sumn los numerdores. Epresiones lgebrics frccionris 89

23 Cundo se sumn frcciones lgebrics, el procedimiento es similr l que se plic en ls frcciones numérics. Observ... b 7b b 5 7b 5b+ 4b 9b + = + = = y + = + ( ) + 5 0y = 4y ( y) ( y) ( y) EN RESUMEN Pr sumr frcciones lgebrics, debemos ver si sus denomindores son igules. De no ser sí, debemos encontrr frcciones equivlentes de denomindor igul l mínimo común hlldo. Finlmente, se sumn los numerdores de ls frcciones equivlentes hllds. EN TU CUADERNO. Vloriz ls frcciones correspondientes l trbjo dirio relizdo por cd grupo por seprdo y en conjunto en el ejemplo de l págin nterior pr:. h = 0, n = 8, N = 000 b. h = 0, n = 5, N = c. h = 5, n = 5, N = Resuelve ls siguientes diciones de frcciones lgebrics:. + e. 4 z b. + f d d d c. g. + d + + d 8 d. h. + + ( + ) y y+ y Se requiere llenr un estnque usndo dos llves, un de ls cules demor ls tres curts prtes del tiempo (en minutos) que se demor l otr.. Determin l prte del estnque que llenn mbs por minuto. b. Intent clculr cuántos minutos demorn mbs llves en llenr el estnque. 90 Unidd

24 Sustrcción de frcciones lgebrics Unidd A medid que psn los dís, el personl crgo de l construcción h queddo stisfecho con el trbjo de mbos grupos, de modo que comienzn comprr el trbjo relizdo por cd grupo y scr conclusiones. ANALICEMOS... Si el segundo grupo comenzó trbjr dos semns después del primero y trbjn cinco dís por semn, qué prte del trbjo llevn después de cutro semns de trbjo? Cuánto más de vnce tendrín en el cso que mbos grupos hubiesen comenzdo trbjr l mismo tiempo? Cuántos dís menos hbrín trddo en terminr l obr si mbos grupos comenzbn trbjr juntos? Ddo que el primer grupo comenzó trbjr solo durnte dos semns, hn el trbjo dirio relizdo por este grupo es igul, luego, l psr N 0hn cutro semns (0 dís de trbjo), h hecho del trbjo totl. N Hst entonces, el segundo grupo h trbjdo durnte dos semns (0 dís), hn y como l dí relizn del trbjo, l fech hn hecho 0hn N 000 N 000 del trbjo totl. De modo que, el trbjo de mbos grupos juntos es: 0hn 0hn 0hn( N 000) 0hnN 0hn( N 000) + = + = N N 000 NN ( 000) NN ( 000) NN ( 000) RECUERDA QUE... El signo menos, cundo está ntes de un préntesis, indic que l momento de eliminr el préntesis, los signos + y que estbn dentro de este cmbin. ( + b c) = b + c En el cso de que mbos grupos empezrn trbjr l mismo tiempo, cd dí relizrín hn( N 500) del totl, y durnte ls cutro semns NN ( 000) hubiesen relizdo 40hn( N 500) del trbjo totl. NN ( 000) Por lo tnto, l diferenci de vnce entre el cso que mbos comienzn l mismo tiempo menos el trbjo efectivmente relizdo en ls cutro semns es igul : 40hn( N 500) NN ( 000) Que corresponde l frcción de trbjo que relizrí el segundo grupo durnte los dís que no pudo estr presente. Epresiones lgebrics frccionris 9

25 EN RESUMEN Pr restr frcciones lgebrics, se siguen los mismos psos de l dición; es decir, se busc el mcm de los denomindores y se trnsformn en frcciones equivlentes con denomindor igul l mcm hlldo. Luego, se restn los numerdores. Ejemplos: = = = ( + ) = 5 ( 5) ( + 5) = 5 5 EN TU CUADERNO. Vloriz ls frcciones correspondientes l trbjo hecho por mbos grupos l fech y en el cso que hubiern comenzdo l mismo tiempo en el ejemplo de l págin nterior, pr:. h = 0, n = 6, N = b. h = 5, n = 5, N = c. h = 5, n = 0, N = Resuelve ls siguientes sustrcciones de frcciones lgebrics:. + yz y 4 8z e. b. + + f. c. + 4 g. d. + + h ( + ) w w w w w + + w w 9 Unidd

26 Ecuciones que involucrn frcciones lgebrics Unidd Lee tentmente el siguiente enuncido: Qué número debe sumrse l numerdor y restrse del denomindor de l frcción y simultánemente restrse del numerdor y sumrse l 5 denomindor de pr que ls frcciones resultntes sen equivlentes? 47 ANALICEMOS... Cómo se trduce el enuncido en frcciones lgebrics? Cómo se puede escribir l incógnit y los dtos conocidos? Compr l ecución con un compñero o compñer, cuál de ls ecuciones obtenids es más sencill? Eiste un únic mner de epresr l ecución?, por qué? Cómo se puede resolver l ecución plnted? Pr responder este enuncido, se puede plnter un ecución. Observ que, si se sign l incógnit l número buscdo, l ecución que lo represent es: + = ( + ) (47 + ) = (5 ) ( ) = = 00 = 7 En el cso de ls ecuciones con incógnits en el denomindor, l finlizr se debe verificr l pertinenci de l solución obtenid. Es decir, que el número obtenido relmente resuelv el enuncido o situción plnted. En este cso: = RECUERDA QUE... c = d = b c b d NO OLVIDES QUE... Además de verificr si l solución efectivmente stisfce l ecución, debe verificrse que ningun de ls frcciones de l ecución se indefin en el vlor de l solución =, que son frcciones equivlentes, luego, l solución es correct. 54 Epresiones lgebrics frccionris 9

27 EN RESUMEN Pr resolver ecuciones que involucrn frcciones lgebrics, se procede de mner similr ls ecuciones con coeficientes frccionrios, esto es, se puede trnsformr l ecución en un con coeficientes enteros, multiplicndo cd miembro de ell por el mcm de los denomindores de ls frcciones lgebrics. EN TU CUADERNO. Escribe los siguientes enuncidos como un ecución:. Hll un número tl que su séptim prte, más l tercer prte de su inverso multiplictivo, se igul l número más 4. b. Hll un número tl que l diferenci entre l tercer prte del número y l curt prte de su inverso multiplictivo se igul l doble, del número umentdo en. c. Encuentr un número tl que l diferenci entre su cudrdo y el doble de su inverso multiplictivo se igul.. Plnte ls ecuciones que representn los siguientes problems y, luego, resuélvels:. Hll un número que sumdo veces su inverso multiplictivo d como resultdo 0. b. Un número es tl que l mitd de este es igul 8 veces su inverso multiplictivo. Cuál es el número? c. Un número es tl que l noven prte de 5 veces el número, umentd en, es igul veces l set prte del número menos. Cuál es el número?. Resuelve ls siguientes ecuciones pr l incógnit : 5 9 n. = f. =, mn =/ 0 m mn 4 b. + = g. 4 + = 4 + c. 0 h., =/ 0 y b =/ = + + b b = + b b d. 5 5 = i. 4 e. = j = 5 + = Unidd

28 Situciones que involucrn frcciones lgebrics Unidd Un curio requiere ser llendo medinte un pr de llves ubicds en uno de sus costdos. Se sbe que mbs llves junts llenn el curio en tres hors y que un de ls llves sol se demor l mitd de tiempo que l otr llve sol. ANALICEMOS... Cuánto tiempo demor cd un de ls llves por seprdo?, cómo lo sbes? Qué tipo de epresiones determinn los tiempos de cd un de ls llves? Qué operciones se requieren pr resolver el problem? En l situción nterior, pr determinr el tiempo en hors que demor cd llve pr llenr el curio, se sign l vrible, tiempo (en hors) que necesit l primer llve pr llenr el curio. Por ls condiciones del problem, se tiene: = tiempo (en hors) que trd l segund llve en llenr el curio. Además, se debe sber qué prte del curio llen cd llve por seprdo por unidd de tiempo (en este cso, un hor). De este modo, se tiene: l llve A llen del curio; l llve B llen del curio. Y por tnto, l frcción que llenn mbs llves junts en un hor es igul l sum de cd un de ls prtes: A + B = + del curio Por otro ldo, mbs llves llenn el curio en hors, es decir, en un hor llenn del curio. Entonces, se tiene l ecución: + = + = = = 9 9 = Por lo tnto, l primer llve demor cutro hors y medi en llenr el curio sol, y l segund lo hce en nueve hors. Epresiones lgebrics frccionris 95

29 EN RESUMEN Pr resolver un problem que involucr epresiones lgebrics frccionris, se debe reconocer l incógnit y plnter l ecución según el conteto y ls condiciones del problem. EN TU CUADERNO. Plnte ls ecuciones y resuelve los siguientes problems:. Determin qué número disminuido en sus equivle su triple disminuido en. 8 b. L sum de l quint prte de un número con los del número ecede en 49 l doble de l diferenci 8 entre y del número. Hll el número. 6 c. L edd de Jun es los de l de Mrt, y si mbs eddes se sumn, l sum ecede en 4 ños l 5 doble de l edd de Jun. Hll l edd de Jun. d. El triple de un número ecede en 48 l tercio del mismo número. Hll el número. 4 e. Escribe dos números consecutivos tles que los del myor sen equivlentes l menor disminuido en 4. 5 f. Tení ciert cntidd de dinero. Gsté $ 000 y presté de lo que me quedb. Si hor tengo $ 000, cuánto tení l principio? g. Después de gstr l mitd de lo que tení y de prestr l mitd de lo que me quedó, tengo $ 500. Cuánto tení l principio? h. L edd de Mrcos es de l edd de Kren, y hce 5 ños l edd de Mrcos er de l de 6 Kren. Cuáles son ls eddes ctules?. Escribe un problem que involucre epresiones lgebrics frccionris. Junto con un compñero o compñer, intercmbien sus enuncidos y cd uno plntee l ecución correspondiente. 96 Unidd

30 Unidd MI PROGRESO. Encuentr el mcm de:., 4 8, c. ( )( + ), 6( + )( + ), 8( )( + ) b. b b, b + b d. 9 ( + ), 6( + ), 5( + ). Resuelve ls siguientes operciones: d. b. + + ( + ) e. c. 9 f ( + ) ( + ) Resuelve ls siguientes ecuciones: + 7. = 8 b. 4 + = c = Determin un número positivo, tl que, si se le rest 4 veces su inverso multiplictivo, se obtiene. Cómo voy? Revis tus respuests y, luego, escribe l cntidd de ejercicios correctos en tu cuderno. CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS Determinr el mínimo común múltiplo de epresiones lgebrics. / 4 Resolver diciones y sustrcciones de frcciones lgebrics. / 6 Resolver ecuciones que contienen frcciones lgebrics. / Resolver problems que involucrn frcciones lgebrics. 4 / Epresiones lgebrics frccionris 97

31 Cómo resolverlo Problem resuelto A cm B cm C cm Se consider un rectángulo dividido en cutro prtes como se muestr en l figur. Si se conoce el áre de tres de ests prtes, determin el áre del rectángulo zul en función de ls áres conocids. Solución: Primero, se debe considerr que no se conocen ls longitudes de los ldos de ningún rectángulo, de modo que debemos ponerles nombres provisionles. De est form, el lrgo y el ncho del myor de los rectángulos menores serán m cm y p cm, respectivmente. De modo que tenemos l relción: m p = A El segundo rectángulo, ubicdo debjo del que tiene áre A, tiene el mismo lrgo (igul m cm), pero es de ncho distinto (digmos, q cm). Por tnto, tenemos: m q = B Y el tercer rectángulo de áre conocid, tiene el mismo ncho del segundo (es decir, q cm), pero su lrgo es distinto del de los nteriores (digmos, n cm), luego tenemos: n q = C De lo nterior, podemos deducir que el rectángulo desconocido tiene el mismo lrgo del tercer rectángulo (es decir, n), y que su ncho es igul l del primer rectángulo (es decir, p). Por tnto, podemos clculr su áre: NO OLVIDES QUE... Si el problem tiene dtos con uniddes de medid, l respuest l problem se debe escribir con l unidd de medid correspondiente. Áre = n p = C A q m AC = AC = mq B A C El áre del rectángulo zul es igul cm. B EN TU CUADERNO. Un terreno rectngulr se divide en cutro prtes, de mner que tres de sus prtes tienen áres igules 40, 60 y 80 hectáres. Determin el áre del rectángulo restnte.. Un cudrdo se divide en 4 prtes, de form que el áre de l prte myor es l sum de ls áres de los rectángulos restntes. En qué proporción quedron los ldos del cudrdo después de los cortes? 98 Unidd

32 Unidd Problem resuelto Un tren v un rpidez de v km/h. Un psjero que v en él ve psr otro tren en sentido contrrio, y el tiempo que trd este en psr por su vist es de segundos y medio. Si l rpidez del tren en que v er ls dos tercers prtes de l del otro tren, y mbos mntienen su rpidez en ese instnte, cuál es l longitud del tren que vio el psjero? Solución: Primero se debe determinr l longitud del tren que el psjero ve psr por cd segundo. Entonces, su longitud es igul l producto de l longitud que ve psr cd segundo por el tiempo que lo ve psr. Cd segundo que vnz el tren en el que vij, recorre como distnci v metros. 6, Pero, su vez, el tren que vij en sentido contrrio recorre de l distnci del primer tren, y que su rpidez es dos tercios l rpidez del primer tren. v Es decir, el otro tren recorre en el sentido contrrio metros en un segundo, 6, y como los trenes vn en sentido contrrio, en relidd el psjero ve psr cd segundo l sum de ls distncis recorrids por mbos trenes, es decir: Como el psjero ve el segundo tren durnte segundos y medio en totl, entonces el lrgo del tren es igul : Es decir, el lrgo del tren corresponde v v 5 v + = 6, 6, 6, 5 v 5 5 v 5 5 5v 5 5 v = 6 8 = =, v metros. RECUERDA QUE... m/s =,6 km/h Luego, v km/h corresponde v m/s.,6 EN TU CUADERNO. Determin l longitud del tren en el cso de que el psjero vije 80 km/h y ve psr el tren en sentido contrrio 0 km/h.. Determin l longitud del tren que ve el psjero, pr el cso en que mbos trenes vijen l mism rpidez.. Encuentr l longitud del tren que ve si el psjero vij 70 km/h, el segundo tren está inmóvil, y lo ve durnte 5 segundos. Epresiones lgebrics frccionris 99

33 En terreno Ley de enfrimiento de Newton Newton figur como uno de los más grndes pensdores de l histori, tnto por el impcto de sus teorís como por los giros rdicles que significron en su époc. Un de ls tnts plicciones del cálculo que Newton desrrolló es l llmd ley de enfrimiento, l que dice: L rpidez con que un objeto se enfrí es directmente proporcionl l diferenci de temperturs entre el objeto y el medio que lo rode. El modelo mtemático de est ley se epres por: T(t) = T 0 + T e kt En este modelo, k es un constnte positiv, T 0 es l tempertur del mbiente, T es l diferenci entre l tempertur inicil del objeto y l tempertur del medio que lo rode, y el tiempo t está epresdo en hors. En lgunos csos, sirve pr determinr l hor de muerte de ls persons. Vemos el siguiente ejemplo: El doctor llegó l lugr de los hechos ls 0 de l mñn y l tempertur del cdáver es hor er de 9 ºC. L tempertur de l piez donde se encontró el cuerpo er de ºC. Un hor y medi después, l tempertur del cuerpo bjó 7 ºC. El doctor necesitb sber l hor ect de l muerte de su pciente pr llenr el certificdo de defunción. Considerndo k = 0,70007, qué hor murió el pciente? EN TU CUADERNO. Con yud de un clculdor, y usndo l proimción e =,788, encuentr los vlores de T 0 y de T, fin de determinr el modelo.. Luego, encuentr un proimción pr l tempertur del cuerpo humno, si se sbe que murió ls 7 de l mñn. El tiempo está considerdo en hors. Observ que pr este cso debes considerr un vlor negtivo de t, ddo que l muerte del pciente fue ntes de ls 0 de l mñn.. Qué otros tipos de problems se pueden resolver medinte este modelo? 4. Qué otrs situciones se pueden modelr usndo est fórmul? 5. De qué mner el vlor de k depende de los dtos portdos en el problem? 00 Unidd

34 Unidd INVESTIGUEMOS Ahor trbjen en grupos de cutro persons:. Compren ls soluciones obtenids por cd integrnte y discutn sobre cuál deberí ser l solución correct en cso de que eistn diferencis entre los resultdos obtenidos.. Discutn en conjunto si eiste un mner de determinr el vlor de l constnte k, y que pr este cso fue dd.. El vlor de k ddo en el ejemplo, depende de ls condiciones del problem? Discutn. 4. Cd uno resuelv el siguiente problem: Un objeto fue colocdo en un hbitción que se encuentr tempertur constnte de 5 ºC; sin embrgo, solmente luego de un instnte se tom l tempertur, l cul es en ese momento de 6 ºC. Qué tempertur tiene el objeto psdos 0 minutos después de ese instnte?, con qué tempertur el objeto ingresó l hbitción, si psron 0 minutos ntes de que fuese tomd est? Pr todos los cálculos, consideren k = 0,0 y sign estos psos: Primero, ddo que el tiempo está epresdo en minutos, deben considerr l vrible t como tiempo trnscurrido desde que se tom l tempertur l objeto, en minutos. Luego, se remplzn los vlores ddos en l fórmul, y con esto encuentr el vlor de T. Conocido este vlor, se encuentr l tempertur del objeto psdos 0 minutos. Finlmente, ddo que se dese sber l tempertur en un instnte nterior l primer registro, se debe considerr un vlor de t negtivo pr sber l tempertur con l cul ingresó el objeto l hbitción. EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO Compren sus resultdos con los obtenidos por sus compñeros y compñers. Se obtienen los mismos vlores? De no ser sí, cuáles son ls diferencis? Qué sucede si el tiempo se mide hor en hors o en segundos? El vlor de k considerdo sirve pr este cso o debe ser cmbido? De ser sí, cómo podrí determinrse el nuevo vlor de k? Se relcion de lgun mner el vlor de l constnte k con los prámetros y uniddes de medid usdos? Eiste un dependenci de los dtos conocidos?, por qué? Epresiones lgebrics frccionris 0

35 Síntesis de l Unidd A continución, se presentn los conceptos fundmentles trbjdos en l unidd. Construye con ellos un mp conceptul, en tu cuderno. No olvides gregr ls plbrs de enlce que indicn ls relciones que hy entre los conceptos. Epresiones lgebrics frccionris Análisis Ecuciones Simplificción Problems Orden mcm de epresiones lgebrics Adición y sustrcción Restricciones Multiplicción y división Determin si ls epresiones siguientes son verdders o flss. Justific tu respuest.. Pr simplificr un frcción, bst dividir numerdor y denomindor por un número entero culquier. 5b b. L frcción lgebric es irreducible b+ 75b c. Un frcción lgebric qued indefinid en = si su denomindor se nul pr tl vlor de. d. L frcción es myor que l frcción, pr > 0 y b < b 4 + b e. Un frcción lgebric ument de vlor si el numerdor qued fijo y el de su denomindor disminuye. f. Pr determinr los vlores donde un frcción lgebric qued indefinid, es necesrio revisr los vlores pr los cules el numerdor se nul. g. El mínimo común múltiplo de 6b y 4 b ( + ) es b ( + ). 0 Unidd

36 Unidd n h. Ls frcciones son generds por l epresión.,, n + n i. L únic solución positiv de l ecución += 8 es =. j. Pr dividir dos frcciones lgebrics, es necesrio multiplicr l primer, por el inverso multiplictivo de l segund. k. En el cso > 0, > 0, <, el vlor de l frcción es menor que. l. L epresión se nul únicmente pr = 4. ( + ) 8 m. L únic solución de l ecución + = 0 es =. 6 9 n n. Ls frcciones,, son generds por l epresión ( n + ) Aplic lo que prendiste en l unidd pr desrrollr ls siguientes ctividdes:. Hll un número positivo tl que, l restrle 6 veces su inverso multiplictivo, se obteng. Es el único número que stisfce est propiedd?, cómo lo sbes? b. Dos viones se utilizn pr fumigr un prcel. Si uno de ellos se demor l mitd del tiempo que el otro, y juntos se demorn 5 hors, encuentr el tiempo que le tom cd vión por sí solo cubrir tod l prcel. + 5 c. Resuelve l ecución = d. Un grupo de 60 estudintes de un colegio cordron poner un cuot pr sistir l cine. Pero 0 de ellos se retirn, debiendo el resto poner $ 400 dicionles. Determin el vlor originl de l cuot. e. Fctoriz ls siguientes epresiones y determin los vlores de pr los cules no están definids. ( ) + i. ii. ( + ) ( + ) Epresiones lgebrics frccionris 0

37 Evlución de l Unidd Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuderno y seleccion l lterntiv correct en cd cso.. Cuál de ls siguientes frcciones es l myor pr >? A. D. + + B. E. C.. Cuál de ls siguientes frcciones es l menor pr > 0? A. D. 4 4 B. E. 8 C. 6. Si >, cuál de ls siguientes frcciones es l más cercn? + A. C. E. B y C + B. D. A y B 4. Cuál de ls siguientes no es un restricción ( ) ( 5) pr l frcción? ( )( +5) A. = 5 D. = B. = E. = C. = 0 5. Qué frcción no está generd por l mism epresión que ls restntes? 8 A. C. E. 5 4 B. 0 6 D. 7 m +4 6b 6. El resultdo de es: b 4 m A. D. bm ( + 4) bm ( 4) b ( + ) C. m El resultdo de : es: ( + ) A. D. 4( ) + 4( + ) B. E. 4( ) + 4( ) C El resultdo de : es: 5( + ) + + A. D. 7( + + ) + 7( + ) 5( + + ) B. E. 5( + + ) 7( + ) + C. + + b ( + ) b ( + ) B. E. m + 4 m 4 04 Unidd

38 Unidd + 9. L epresión no es equivlente : A. ( + ) C. ( + ) D E. 9 B El resultdo de 6 es igul : A. D. ( + ) B. E. + C.. L solución pr de l ecución + 6 = es: + 4 A. = B. = C. = D. = E. = ( ) 6. L operción m + m 4 m + d como resultdo: ( m + 5) A. m 4 B. ( m + 7) C. m 4 m 7 D. m 4 E. m + 5 m 4 ( m 7) m 4. Determin un número positivo tl que si se le sum 7, el resultdo se divide por, y si finlmente se le sum nuevmente 7, se obtiene 0 veces el inverso multiplictivo del número. A. D. 5 B. 4 E. C. 4. Por sistir cierto lugr, un grupo de migos se les cobrb $ en totl. Pero dos de ellos no pudieron sistir, de modo que cd uno de ellos debió pgr $ 50 más, pues el precio por el grupo se mntuvo. Cuántos migos hbí l comienzo? A. 7 D. B. 8 E. 5 C. 0 Epresiones lgebrics frccionris 05

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