CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

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1 FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil

2 Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES... REGLA PARA LA RESTA DE NÚMEROS REALES... MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES... 0 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES... ORDEN DE OPERACIONES... FRACCIONES... Frcciones y Números Mixtos... Expresr Un Frccion Impropi Como Numero Mixto... Expresr Un Número Mixto Como Frcción Impropi... PRÁCTICA INMEDIATA... Simplificr Frcciones... 6 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES... Denomindores igules... Denomindores distintos... MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES... EXPONENTES ENTEROS... Leyes de exponentes... Práctic... Respuests... 6 TEMA A:... 6 SUMA DE NUMEROS REALES... 6 REPASO TEMA A : ENTEROS, FRACCIONES Y ORDEN DE OPERACIONES...

3 TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Nturles N = {,,,,, 6,,,, 0,,... } Números Crdinles W = { 0,,,,,, 6,,,, 0,,... } ("Whole Numbers") Enteros Z = {... -, -, -, -, 0,,,,,... } Números Rcionles Q = { p/q p, q son enteros y q 0 } Ejemplos,, 0.6, 0.06, 0. =, 0 = 0, =, = Son números rcionles: ls frcciones, los enteros, decimles periódicos, decimles finitos. Importnte 0 0 ==> indefinido ; ==> indefinido, denomindor 0 0 El denomindor nunc puede ser cero. Números Irrcionles Q'= { Números cuy representción deciml no termin y no son decimles repetitivos } Ejemplos.60.., π., e.,. Los decimles infinitos no periódicos son irrcionles. Ls ríces de números primos son irrcionles. Ejemplos,,,,,,, Números Reles R = { Todo número rcionl o irrcionl } = { Q Q'}

4 Números Reles Números Rcionles Números Irrcionles Enteros No enteros Números Crdinles Números Nturles Un conjunto es un colección de objetos que tienen uns crcterístics en común Utilizmos ls llves, {}, pr encerrr los elementos de un conjunto. Pr nombrr los conjuntos le signmos un letr myúscul del lfbeto. Seprmos los elementos del conjunto con un com. Ejemplos El conjunto de enteros myor que uno y menor de 0.- {,,,,6,,,} El conjunto de los números pres - {,, 6,, 0,,,...} Observ que no siempre es posible enumerr o listr todos los elementos de un conjunto. Conjunto finito: conjunto en el que es posible enumerr todos sus elementos. Conjunto infinito: conjunto en el que no es posible enumerr todos sus elementos. Notción de Conjuntos "pertenece " relcion un elemento con el conjunto l que pertenece. "incluído en" Ejemplos 0 N - Z relcion conjunto con otro conjunto de tl form que todo elemento del primer conjunto está incluido en el segundo conjunto, es decir, el primer conjunto se dice subconjunto del segundo. Ejemplos {,, } Z N W Z R "no incluído en" indic que l severción no se cumple. Ejemplo { 0 } N

5 Rect Numéric {números negtivos } U { cero } U { números positivos } Existe un correspondenci uno uno entre los puntos en l rect y los números reles. El cero es el medio de l rect y se conoce como el origen. Gráfic punto socido con un número en prticulr. Un coordend es l loclizción de un punto. El opuesto de un número es otro número en l rect numéric que se encuentr igul distnci del cero. Se un número rel denotmos el opuesto de de l siguiente form Notción - ( ) El opuesto de es - -() = - El opuesto de - es -(-) = El vlor bsoluto de un número es l distnci desde ese número en l rect numéric hst el cero. El punto de referenci es el cero. Notción: Se un número rel denotmos el vlor bsoluto de de l siguiente mner Ejemplos El vlor bsoluto de es = El vlor bsoluto de es = El vlor bsoluto de - es - = El vlor bsoluto de - es - = El vlor bsoluto de 0 es 0 0 = 0 Definición forml El vlor bsoluto de un número rel lo denotmos y se define como: = si 0 y = si < 0 Es decir;

6 Se x un número rel, entonces x x x si si x 0 x 0 x 0 Ejemplo x 0 x 0 si si x x 0 0 Ejemplo m m m si si m m Distnci entre dos puntos en un mism rect Se x y x ls coordends de dos puntos en l rect; entonces l distnci, d, entre éstos dos puntos es dd por: d = x - x Ejemplos L distnci entre y en l rect es dd por: d (, ) = = - = El orden de los números no cmbi el resultdo puesto que está definid medinte un vlor bsoluto, es decir; d (, ) = = = Práctic inmedit : Determin l distnci pr los vlores indicdos. d( -, ). d ( -6, - 0 ) ropiedd de Comprción o Tricotomí Ddos culquier dos números reles y b, exctmente uno de ls siguientes relciones plic: = b > b " es myor que b" < b " es menor que b" De cuerdo l propiedd nterior ls siguientes severciones son corrects.. Si > b entonces - b > 0. Si < b entonces b - > 0. Si = b entonces - b = 0 Si > b entonces b - es positivo o negtivo? 6

7 Propieddes de ls Igulddes Sen,b y c números reles Propiedd Reflexiv = Ejemplo = Propiedd de Simetrí Si = b entonces b = Ejemplo Si x = entonces = x Propiedd de Trnsitividd Si = b y b = c entonces = c Propiedd de Sustitución Ejemplo Si x = y y x =, entonces y= Si = b entonces podemos sustituir en culquier expresión lgebric en l que prezc l expresión b por l expresión. Ejemplo x = x - = () - = Ejemplo n = p p + n = p + (p) = p = Ejemplo P = + l (fórmul de perímetro) p = l = =? Aplicndo l propiedd de sustitución tenemos = + () Simplificmos = + Aplicmos l propiedd reflexiv + = Simplificmos 6 = = /6 =. Propieddes en el Conjunto de los Números Reles Sen, b y c números reles: Clusur Observ que l sumr culesquier dos números reles l sum es tmbién un número rel. Est propiedd tmbién ocurre pr l multiplicción. Sum + b es un número rel + = -0 + = Multiplicción x b es un número rel x = 60 - x = 0 Existe l propiedd de clusur en los reles pr l división?

8 Conmuttiv Sum + b = b = + 0 = - + = + - = Multiplicción x b = b x - x = - x - = - Asocitiv Sum ( + b ) + c = + ( b + c ) = + 0 = + = = = + = 0 Multiplicción ( x b ) x c = x ( b x c ) x x = 60 x = x 6 = 0 - x 0 x - = -0 x - = - x -0 = 60 Distributiv x (b + c ) = x b + x c - x ( + ) = = -6 m(p + ) = mp + m Identidd Sum + 0 = El elemento identidd pr l sum es el cero. Multiplicción x = El elemento identidd pr l multiplicción es el uno. Invers Sum Multiplicción + - = 0 L sum de un número y su opuesto es siempre cero. El producto de un número rel y su recíproco es siempre uno. Multiplicción por cero b 0 si y solo si 0 o b 0

9 REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES Números con signos igules si no Sumr sus vlores bsolutos Hllr l diferenci de sus vlores bsolutos El signo de l sum ser el mismo de sus sumndos El signo de l sum corresponde l signo del sumndo cuyo vlor bsoluto se myor. Ejemplos. + = = = = = - Práctic. - + = = =. - + = = REGLA PARA LA RESTA DE NÚMEROS REALES b ( b ) Ejemplos. -- = - + (-) = = + (-6) = -. --(-) = - + = Práctic. - =. - =. - (- ) =

10 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES Regls pr l multiplicción de enteros. Positivo x Positivo = Positivo x = 0 Negtivo x Negtivo = Positivo - x - = 0 Positivo x Negtivo = Negtivo x - = - Negtivo x Positivo = Negtivo - x = -6 Práctic. - x -0 =. -6 x - =. - x =. 0 x - =. - x = 6. - x = =. - x - =. - x = 0. - x - =. - x - x - =. - x x -0 =. x - x - x =. - x x - x = 0

11 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES Regls pr l división de enteros. Positivo Positivo = Positivo = Negtivo Negtivo = Positivo -0 - = 0 Positivo Negtivo = Negtivo 60-0 = - Negtivo Positivo = Negtivo -0 = - Práctic. - = =. - = = = 6. - = =. - - =. - - = =

12 Respuests ORDEN DE OPERACIONES Ls operciones ritmétics en un problem se simplificn o evlún en el siguiente orden: # Se resuelven ls expresiones que se encuentren dentro de un símbolo de grupción, como: { }, [ ], ( ). # Aplic los exponentes en l expresión. # Multiplic o divide según el orden en que prezcn de izquierd derech. # Sum o rest según el orden en que prezcn de izquierd derech. Resuelve cd expression. x. 6 x. x x.. 6. ( ). + =. x + x =.

13 PRÁCTICA INMEDIATA. - x =. - x -0 =. + x =. x 6. - (-) = (-) =. x - =. ( + ) x + =. - x 6 = 0. ( +6 x ) =. - + =. - (- ) =. [ ( )]. 0 x x. ( )

14 DESTREZAS BÁSICAS DE MATEMÁTICAS FRACCIONES Frcciones propis, Por lo tnto b b Frcciones impropis, Por lo tnto b b,,,, 0, Frcciones y Números Mixtos Tod frcción impropi se puede expresr como número mixto. Un número mixto const de un entero y prte de otro. EJEMPLO L prte sombred de est figur corresponde : frcción número mixto Expresr Un Frccion Impropi Como Numero Mixto Pr expresr un frcción impropi como número mixto llevmos cbo l operción implícit de división que present l frcción. 6 El cociente es el entero del número mixto El residuo es el numerdor de l frcción propi 0 Expresr Un Número Mixto Como Frcción Impropi x 6 Ejemplos x El procedimiento pr hllr el numerdor de l frcción impropi consiste en multiplicr el denomindor por el entero y luego sumrle el numerdor. El denomindor será el correspondiente l frcción del número mixto ddo.

15 I Simplific ls siguientes frcciones PRÁCTICA INMEDIATA II Expres ls siguientes frcciones impropis en su número mixto III Expres los siguientes números mixtos en frcciones impropis

16 Simplificr Frcciones Tod frcción se debe expresr en l form más simple, esto se conoce como su expresión mínim. Un frcción está en su expresión mínim si entre el numerdor y el denomindor no hy fctores comunes excepto por el. Pr simplificr un frcción debemos identificr el fctor común del numerdor y el denomindor y luego plicr l regl de l cncelción. Est regl nos dice que todo fctor común del numerdor y el denomindor se pueden cncelr. Regl de cncelción c bc c x x b c b b ; donde b, c 0 Fctoriz el numerdor y el denomindor, busc el máximo común divisor de mbos, y cncel los fctores comunes. Procedimiento pr simplificr frcciones: Se fctoriz el numerdor y el denomindor y se cnceln los fctores comunes. Ejemplo 0 x x Fctor común ; se cncel. Ejemplo x x Ejemplo Fctor común ; se cncel. 6 0 x 0 x 0 Fctor común ; se cncel. 6

17 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Denomindores igules En ls frcciones sólo podemos sumr si ésts tienen un mismo denomindor, es decir, un denomindor común. A ests frcciones se les conoce como homogénes. El resultdo debe expresrse en su form más simple, por lo tnto, debemos verificr luego de sumr si hy fctores comunes entre el numerdor y el denomindor. EJEMPLO Simplific r el resultdo : cncelr fctores comunes. EJEMPLO REGLA DE LA RESTA b ( b ) ( ) Denomindores distintos Ls frcciones que tienen distintos denomindores se les llm heterogénes. REGLA b c d d bd bc bd d bc bd b c d d bd bc bd d bc bd b 0, d 0 b 0, d 0 Est regl es útil cundo los denomindores no tienen fctores comunes. EJEMPLO EJEMPLO x x x x x x x x Si uno de los denomindores es múltiplo de los otros, entonces lo mejor es utilizr éste como denomindor común. EJEMPLO x 6 6

18 PRÁCTICA INMEDIATA PRÁCTICA ASIGNADA

19 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Al multiplicr dos o más frcciones, se multiplic el numerdor de un frcción por el numerdor de l otr y se multiplic el denomindor de un frcción por el denomindor de l otr. b x c x c = d b x d Ejemplo x x x 6 Fctor común Ejemplo x x x Podemos plicr l regl de cncelción ntes de efectur l operción de multiplicción. Fctoriz el numerdor y el denomindor, lo idel es buscr un máximo común divisor de mbos, cncel los fctores comunes y multiplic los fctores que quedn. x x x x x x x x x Al multiplicr frcciones y números mixtos: Se convierten los números mixtos en frcciones impropis Se procede multiplicr según prendido Ejemplo Fctor común x x x x

20 0 PRÁCTICA: MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Multiplic

21 DIVISIÓN DE FRACCIONES Al dividir dos frcciones se multiplic l primer frcción por el recíproco de l segund frcción. c x d b d b c El recíproco de b es b. Ejemplos : El recíproco de es. El recíproco de El recíproco de es es ; Propiedd del recíproco: El producto de un número y su recíproco es uno (). b b = Ejemplos 6 x x x 0 x. x x Solo se puede simplificr en l multiplicción PRÁCTICA: DIVISIÓN DE FRACCIONES

22 EXPONENTES ENTEROS Notción exponencil: x x x x... x = n donde es l bse y n es el exponente Ejemplos ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 6 ( )( )( ) El signo de l bse fect el resultdo. Contest l siguiente tbl y lleg tus propis conclusions. Ejercicio Resultdo Expresr en notción exponencil - x - = (-) = - x - x - = - (-) = - - x - x - x - = - x- x - x - x - = - x - x - x -x - x - = - x - x - x -x - x -x - = Observs lgún ptrón en los signos de ls potencis obtenids en l tbl nterior? Este ptrón tiene lgun relción con el exponente? Evlú. (-) =. - =. (-) =. (-) =. = 6. (-) =

23 Leyes de exponentes Regl Ejemplos Producto m n m n ; 0 = = x x = x 0 x y y x = x y Potenci m n m n ) ( ; 0 ( ) = 6 (x ) = x ( ) 0 = 0 = ( ) = 6 Cociente m n m n 0 0 / 6 = 0-6 = m 6 /m 6 =m 6-6 = m 0 x /x = x - = x p /p =p - = p -0 n n n b b ) ( (x ) = x 6 ) ( z x z x (n m) = n 0 m n n n b b ; b 0 (/) = / = / (x /y) = x 0 /y x y z x zy b 0 = ; b 0 0 = (xf ) 0 = z 0 = 0 b b b n n 0 h h h p p

24 Práctic. ( x y ) ( ). ( x y z )( xy ) 6. ( x ). ( y ). ( b ). ( b ) 0. ( b b ). ( 6 m n ). ( x y )( x y ). ( b ) ( b ) 0.. ( ) 6.

25 . ( x ( x y ) y ). (-) + (-) =. (-) + = 0. + (-) =. ( )

26 Respuests TEMA A: SUMA DE NUMEROS REALES Práctic RESTA DE NUMEROS REALES MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES Práctic DIVISIÓN DE NUMEROS REALES Práctic ORDEN DE OPERACIONES Frcciones Simplificr. /. ½. /. ¼. 6/ 6. ½. /6. N. / 0. N Expresr como número mixto. /. /. /. ¼. N 6. /. ½. / Expresr como frcción impropi. /. /. 6/. /. / 6. /. /0. / Sum y rest. /. /. /0 = /0. /6= /6. / = / 6. /. /. /. / 0. / = /. /. /. 6/6 = /6. / = ¼. /0 6. ¼. /. /60 Multiplicción. 6/. /. 6/= /. /. /= / 6. 6/ = /. /6. / División. / = ½.. /. /. / 6. /. /. / Leyes de exponentes x y z 6. x. y. 0 b b b 6m. n 6. x. b x y 6

27 REPASO TEMA A : ENTEROS, FRACCIONES Y ORDEN DE OPERACIONES I Contest pr cd severción si es CIERTA o FALSA.. es un número primo.. es múltiplo de 0.. El opuesto de un número es un número negtivo.. El producto de dos enteros negtivos es siempre un entero negtivo.. es producto de y es múltiplo de.. -(-) 6 = -. y no tienen máximo común divisor.. Los divisores de son {,,6, }. 0. Todos los números primos son impres.. El medio de l rect numéric se le llm origen y en él encontrmos l cero.. - =. - - = 0. Los múltiplos de 0 son: {,,,,,0,0,0}. En l siguiente división =, es el cociente II Llev cbo l operción indicd y simplific

28 III Simplific. - - (-) =. (-)² - (-)² =. ( - ) 6 - =. 6 ² + ( - ) =. ( - ) x 0 ( - x ) =. Simplific ( ). Simplific IV Resuelve ls siguientes expresiones y simplific tu respuest ( puntos cd uno ). ) ( x. x y 0 0. x x x. x x y y ; x 0, y 0. ( b c ) =