FUNCIONES ELEMENTALES

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1 Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl CONCEPTOS BÁSICOS Se llm función rel de vrible rel culquier plicción f : D R con D Œ R, es decir, culquier correspondenci que soci cd elemento de D un único número rel. Hbitulmente, l notción que se us pr representr un función es y f( ), donde es l vrible independiente, y l vrible dependiente y f l plicción que indic como se obtiene el vlor de y conocido el vlor de. Se llm dominio de definición de f l conjunto de números reles pr los cules eiste f(). Se denot D(f), o simplemente D. Es decir, D { R eiste f()}. En lgunos csos, el dominio de l función no viene ddo priori sino que hy que clculrlo medinte l definición de f. Además, en los modelos económicos pr determinr el dominio no sólo hy que considerr l eistenci mtemátic de f(), sino tmbién que teng sentido en el conteto económico considerdo tnto como f(). Ejemplo 1: ) f : [, + ) R dd por f( ) 4 es un función rel de vrible rel cuyo dominio es D [, + ). b) 1 y es un función con D R - {} y que soci todo número rel distinto de un único elemento de R. c) L correspondenci dd por y no es un función, y que cd número rel positivo no nulo le soci dos vlores reles distintos, por ejemplo, pr 4, el vlor de l vrible y puede ser o d) El dominio de l función f( ) es D (0, + ) y que pr que eist, debe de ser myor o igul que 0, y demás como está en el denomindor no puede ser 0. e) El coste C por dí de un empres es función de su producción diri q según l relción C q. Si l empres tiene un cpcidd límite de producir 5000 uniddes l dí, el dominio de est función es D { q 0 q 5000 }. Observr que desde el punto de vist mtemático, el dominio de est función serí R, sin embrgo por el conteto económico el dominio se restringe l clculdo. FUNCIONES ELEMENTALES L myorí de ls funciones con ls que se trbj se obtienen l operr con uns pocs funciones llmds funciones elementles. A continución se ven con detlle lguns de ls más utilizds. Funciones Polinómics Un función polinómic de grdo n es de l form i R y n 0. El dominio de ests funciones es R. n n 1 P( ) n n con n N Funciones Rcionles Proyecto de innovción ARAGÓN TRES 1

2 Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl Son funciones de l form P( ) R ( ) con P ( ) y Q( ) funciones polinómics. Q ( ) El dominio est formdo por todos los números reles que no son ríces del polinomio del denomindor. Funciones Irrcionles Son funciones de l form f( ) n R ( ) donde R ( ) es un función rcionl y n un número nturl myor que 1. Si n es impr el dominio de est función es igul l dominio de R(). Si n es pr el dominio de est función está formdo por todos los números reles pr los que R ( ) 0. Ejemplo 6: 5 3 ) L función f( ) +7 4 es polinómic de grdo 5 y su dominio es R. 5 3 b) L función f( ) es rcionl y su dominio es R, y que, pr culquier vlor. + 1 c) L función f( ) 1 es irrcionl y como el índice de l ríz es pr (n ), pr clculr su dominio hy que estudir cundo 1 0. Pr resolver est inecución (Ver unidd ), se fctoriz el polinomio quedndo 1 ( + 1)( 1) y se estudi su signo en l tbl siguiente Signo (-, -1) (-1, 1) (1, + ) Por lo tnto, el dominio es (-, -1] [1, + ), y que se hn de incluir 1 y -1 puesto que cumplen l desiguldd por ser ést no estrict. Funciones Eponenciles Son funciones de l form f( ) con > 0. El dominio de ests funciones es R y su imgen (0, + ). A continución se enumern lguns propieddes de ls potencis que resultn muy útiles l hor de trbjr con ls funciones eponenciles (Ver unidd 1): y y y y y ( ) y ( b) b b b 1 y y L función eponencil más utilizd es f( ) e cuy gráfic se muestr en l siguiente figur, de ell se deduce que es estrictmente creciente, estrictmente conve y cotd inferiormente en R. Proyecto de innovción ARAGÓN TRES

3 Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl Funciones Logrítmics Son funciones de l form f( ) log con > 0 y 1. El dominio de ests funciones es (0, + ) y su imgen R. L función f( ) log es l función invers de l función eponencil con > 0. L función logrítmic más utilizd es l que viene dd por el logritmo neperino, es decir, l que tiene por bse el número e, que es l función invers de f( ) e. Se represent por f( ) ln y su gráfic se muestr en l siguiente figur de l que se deduce que es estrictmente creciente, estrictmente cóncv y no cotd superior ni inferiormente. Alguns funciones Trigonométrics L función seno viene dd por f( ) sen Su dominio es R, su imgen [-1, 1] y su gráfic es l siguiente: Como se observ en el dibujo nterior, está cotd superiormente por 1 e inferiormente por -1, es periódic de periodo π e impr. L función coseno viene dd por f( ) cos Su dominio es R, su imgen [-1, 1] y su gráfic es l siguiente: Proyecto de innovción ARAGÓN TRES 3

4 Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl Como se observ en el dibujo nterior, está cotd superiormente por 1 e inferiormente por -1, es periódic de periodo π y pr. L función tngente viene dd por f( ) tg Como tg siguiente: sen π, su dominio es D R - (n + 1) n N cos, su imgen R y su gráfic es l Como se observ en el dibujo nterior, no está cotd superior ni inferiormente, es periódic de periodo π e impr. Ls funciones inverss de ls nteriores son: L función rco seno es l invers de l función seno y se denot f( ) rcsen. Su dominio es [-1, 1] y su gráfic L función rco coseno es l invers del coseno y se denot f( ) rccos. Su dominio es [-1, 1] y su gráfic Proyecto de innovción ARAGÓN TRES 4

5 Unidd didáctic 7. Funciones reles de vrible rel Autors: Glori Jrne, Espernz Minguillón, Trinidd Zbl L función rco tngente es l invers de l tngente y se denot f( ) rctg. Su dominio es R y su gráfic Proyecto de innovción ARAGÓN TRES 5