FICHA 1 3/2008. Propiedades Adición (+) Multiplicación (. ) Conmutativa A1 a + b = b + a M1 a.b =b.a

Transcripción

1 FICHA 1 3/2008 Existe un conjunto de números llmdos reles en el que están definids 2 operciones: Adición (+) y multiplicción (.). Est estructur se indic sí: (R, +,. ) (Axiom de Cuerpo) Sen, b y c reles culesquier Propieddes Adición (+) Multiplicción (. ) Conmuttiv A1 + b = b + M1.b =b. Asocitiv A M Existenci del neutro Existenci del simétrico A3 ( 0), 0 R tl que: + 0 = 0 + = A4 (Opuesto) M M4 (Inverso) ( ), R y 0 ( 1/), 1/ R tl que:.1/= (1/). = 1 Distributiv D -... A prtir de est estructur se pueden vris propieddes útiles pr resolver ecuciones. 1 Monotoní de l sum: Si = b + c = b + c Resolver en R. (Justific l propiedd plicd) x + 4 = 9 2 Monotoní de l multiplicción: Si = b. c = b. c Resolver en R. (Justific l propiedd plicd) 4.x = 8 3 Propiedd cnceltiv ( + ): Si + c = b + c = b Resolver en R 2x + x 4 2 = x x Propiedd cnceltiv (. ). c = b. c = b c 0 Resolver en R. (x + 2). (x 3) = 7. (x 3) 5 Propiedd de Absorción del producto.. 0 = 0 Hllr m R pr que: (m + 6). (m + 1) = (m + 6). 2m 6 Propiedd Hnkelin.. b = 0 = 0 ó b = 0. Resolver en R: t 2 + t = 0

2 Ejercicios. 1) Resuelv en R e indique ls propieddes utilizds. ) 2x + 1 = x + 4 b) 3x 2 + 5x = 0 c) 2x + 1/(x + 1) = 2 + 1/(x + 1) d) (x 3). (x + 8) = 0 e) (6x 3).2x (6x 3) = x 2. (6x 3) 2) Aplicndo l propiedd en el recudro, resuelv ls ecuciones ) y b) x 2 = y 2 x = y ó x = -y ) (x 2) 2 = 9 b) (x 2) 2 = (x 1) 2 Fich 2 3/2008 Axiom de Orden. Este xiom nos permite definir los conceptos de myor y menor. R Reles positivos. O1) Si R + y b R + ( + b) R + y (. b) R +. O2) Si 0 R + ó (-) R + O3) 0 R +. Definiciones: 1) > b ( b) R +. 2) b > b ó = b. 3) < b b >. 4) b < b ó = b. 1) Propiedd Trnsitiv de > > b > c b > c 2) Propiedd de Monotoní de + > b + c > b + c 3) Propiedd de Monotoní de > b y c R +. c > b. c > b y (-c) R +. c < b. c Hllr los vlores que verificn l siguiente desiguldd, 2x + 5 > x + 3. Detlle ls propieddes que utilizó en cd pso. Indic con V ó F si son verdders ó fls respectivmente cd un de ls siguientes firmciones. ) Si x < y entonces x. z < y. z pr todos x, y, z reles (z 0) b) Pr todo z rel, si z 0 entonces z 2 > 0 c) Si < b entonces 2 < b 2 pr todos y b reles d) Si y b son reles positivos, < b 2 < b 2.

3 Vlor Absoluto de un Rel. lxl = x si x 0 -x si x < 0 Ejemplos: l3l = 3 l-14l =14 l0l =0 l1-2 l = 2 1 ll1 - πl 3l = l π - 4l = 4 - π Resuelve grficmente: lxl = 4; lxl <3; lxl > 5 lxl 3; lxl 5 PROPIEDADES. Sen x e y dos reles culesquier. 1) lxl 0 2) lxl = l-xl 3) x 2 = lxl 4) lx. yl = lxl. lyl 5) lx/yl = lxl/lyl ; y 0 6) l x + y l lxl + lyl Ejercicios Resolver en R: l 1 + 2x l < 1 ; l 1 x l < 9 ; l x 1 l > 2 ; l x+2 l > 5 Fich 3 3/2008 Se A = {x, x R, 2 x < 4 } 2 4 Diremos que el número 5,3 es cot superior de A porque x 5,3, ( x), x A. En generl culquier número myor ó igul que todo elemento del conjunto es un cot superior de A. Trt de contestr ls siguientes pregunts: 109 es cot superior de A? -3 lo es? y 4? Existe un cot superior de A menor que 5,3? Existe un cot superior de A menor que tods ls cots superiores del conjunto?, cuál serí? Si llmmos extremo superior ó supremo de A l menor de ls cots superiores, cuál serí el extremo superior de A? Un conjunto tiene máximo si un de sus cots superiores pertenece l conjunto. El conjunto A tiene máximo? Análogmente, podrís determinr tres cots inferiores de A, observr si tiene extremo inferior (ínfimo) y si tiene mínimo? A prtir de l ctividd nterior completremos ls siguientes definiciones. Se A un conjunto de reles no vcío. A está cotdo superiormente ( h), h R / ( x), x A, x h. Al rel h lo llmmos cot superior de A. A está cotdo inferiormente ( k),... Al rel k lo llmmos cot inferior de A. 3) A está cotdo A está cotdo inferior y superiormente. 4) M es máximo de A M A y ( x), x A, x M. 5) M es mínimo de A... 6) Si existe l cot superior mínim de A, se le llm extremo superior ó supremo de A. ( ( ) ext A ) 7)...

4 Pr cd uno de los siguientes conjuntos, hll extremo superior, inferior, máximo y mínimo si existen. A = {x/x R, 1 < x 5 } ; B = { x/x R, 1 < x 5 ó 6 x < 7 } C = { x/x R, x > 0 y x 2 x 1 < 4 } ; D = { x/x R, < 0 } x + 1 AXIOMA DE COMPLETITUD A R, A, A está cotdo superiormente entonces K R / K = ext( A) Potencis. Propieddes. Sen R +, b R + x R, y R. 1) x. y = x + y 2) x : y = x y x. b x = (. b) x 4) x : b x = ( : b) x 5) ( x ) y = x. y Logritmos Definición: Logritmo de en bse b. Sen R + ; b R + y b 1 Log b = x b x = Propieddes Sen R + y R + b R + y b 1 1) b log b = 2) log b b x = x 3) log b b = 1 4) log b 1 = 0 5) log b (. ) = log b + log b 6) log b ( : ) = log b - log b 7) log b x = x. log b 8) log b n = (1/n). log b 9) Cmbio de bse Log b = log c / log c b con c > 0 y c 1. Logritmos Nturles Son logritmos en bse e. Notción: log e se not L ó ln. Ejercicios 1 Resuelve en R ) L(2x 1) = 1 1 b) 3 + L( ) = 2 x cl ) 3x 1 = 0 c) 2 x 4x e = 1 d) e 2x x e = 0 INTERVALOS Y ENTORNOS Intervlos. 1 Ddos y b reles, < b. Al conjunto { x R / x b } lo llmmos intervlo cerrdo de extremos y b. Anotmos: [, b] [, b] = { x R / x b } b 2 - Ddos y b reles, < b. Al conjunto { x R / < x < b } lo llmmos intervlo bierto de extremos y b. Anotmos: (, b) (, b) = { x R / < x < b } b

5 Ejercicio: Completr y representr grficmente. 3 - [, b) = { (, b] = { [, + ) = { x R / x } 6 (, + ) = { x R / < x } 7 - (-, ] = { (-, ] = { (-, + ) = R Entornos. 1 Sen y r, R y r R + ; definimos entorno de centro y rdio r l intervlo ( r, + r). Anotmos: E,r = ( r, + r) r + r Propiedd: Se x R; x E,r r < x < + r -r < x < r l x l < r Ejemplo: E 3,2 = (1, 5) Pr todo rel x, x E 3,2 se cumple: l x 3 l < 2. ( Ver rep. grf.) 2 En lgunos csos no nos v interesr considerr el centro del entorno. Llmmos entorno reducido de centro y rdio r l conjunto: E,r { } Anotmos: E,r = ( r, + r) { } 1 - Indicr si ls proposiciones son verdders ó flss. ) x E 2; 0,5 1,5 < x < 2,5 b) x E + 2; 0,5 x - 2 < ½ c) x E * 4; 2 2 < x < 6 r + r 2 Ddos los reles 1 y 2, existe un rel r / E 1,r E 2,r = φ? 3 - Hllr E 2,1 E 2;0,5