Matemática DETERMINANTES. Introducción:

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1 Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits. Además, sirve pr sber si un mtriz tiene o no invers (y hblremos de esto más trde). Por hor diremos que el determinnte es un número socido un mtriz cudrd. Vemos cómo clculrlo, sus propieddes y lguns de sus múltiples utiliddes. Notción: Notremos det (A) ó A l determinnte de l mtriz A (no confundir con el módulo o vlor bsoluto: el determinnte es un número no necesrimente positivo) Determinntes de segundo orden: (pr mtrices de x) Si A = c Ejemplo: b, det(a) =.d b.c d = (-).. = = - Determinntes de tercer orden: (pr mtrices de x) Regl de Srrus: = Esto prece imposible de recordr pero no lo es tnto; veámoslo de otr form: dd l mtriz, construímos otr de x, repitiendo nuevmente ls primers, debjo de ls tres fils. Trzmos ls digonles de tres elementos como se indic bjo: to AÑO Determinntes pg. /

2 Mtemátic El determinnte es el producto de ls rojs, sumds entre sí, menos el producto de ls zules tmbién sumds entre sí. Vemos un ejemplo: Clculemos Procedemos como ntes: Det (A) = = = + + = = Determinntes de culquier orden: (pr mtrices de nxn) Este método sirve pr clculr determinntes de mtrices de culquier orden, por eso recomendmos su utilizción. Definición: Dd culquier mtriz cudrd, se llm cofctor de ij l determinnte de l mtriz que result de suprimirle l originl l fil i y l column j multiplicdo por (-) elevdo l i más j. Lo notremos C ij Por ejemplo: si A =, C = (-) +. = to AÑO Determinntes pg. /

3 Mtemátic C = = (-) +.(-) = y sí sucesivmente Método de Lplce: Dd un mtriz, elegimos culquier fil o column de l mtriz y hcemos l siguiente operción: si A =, supongmos que elijo l segund column, el determinnte de A es: Det (A) =.C +.C +.C Vemos nuestro ejemplo: Clculemos Elijmos primero l tercer fil: =.(-) +. +.(-) + +.(-) +. = = (-)..( - ) + (-).. ( ) + (-).. ( ) = =.. (-) + (-).. (-) +.. (-) = - + = Hgámoslo nuevmente: elijmos hor l primer column: to AÑO Determinntes pg. /

4 Mtemátic =.(-) +. +.(-) +. +.(-) +. = = (-)..( - ) + (-).. ( ) + (-).. ( ) = =.. (-) + (-).. (-) +.. (-) = - + = Como verán, por culquier método d lo mismo. Conviene tomr l fil o column que teng más cntidd de ceros porque si el coeficiente es cero nos horrmos el cálculo de un determinnte. No se olviden que si l mtriz originl tiene orden, tenemos que clculr determinntes de orden y, pr cd uno de estos de orden. Pero nos preocupremos por esto más delnte cundo hblemos de ls propieddes de los determinntes. Ejercicio : Clculr los siguientes determinntes: i) ii) iii) iv) v) Ejercicio : Dd A = x x, hllr x R tl que A =. Propieddes de los determinntes: L plicción de ls propieddes es reltivmente fácil y muy útil, sobre todo si queremos clculr el determinnte de un mtriz de orden myor o igul. Lmentblemente, l demostrción de ests propieddes excede mplimente ls posibiliddes de este curso y ls dejremos pr quellos que decidn tomr un curso de mtemátic superior. Propiedd : El determinnte de un mtriz es igul l de su trspuest. Propiedd : El determinnte de un mtriz que tiene un fil o column nul es cero (esto es obvio si pensmos en l form en que clculmos el determinnte por el método de Lplce). Propiedd : Si en un mtriz se permutn entre si dos fils o dos columns, el determinnte cmbi de signo. Propiedd : El determinnte de un mtriz tringulr (superior o inferior) es el producto de los elementos de l digonl principl: (se llm digonl principl l formd por ; ; ;, etc) to AÑO Determinntes pg. /

5 Mtemátic Ejemplo: si A = Pr clculr el determinnte de A, elijo l primer column. Det (A) =.(-) +. =. Pr este nuevo determinnte tmbién elijo l primer column; entonces, Det(A) =. =..(-) +. =.. Pr este nuevo determinnte tmbién elijo l primer column, entonces, Det(A) =.. =..(-).(-) +. =..(-). =..(-).(.-.) = =..(-).. Como vemos, el determinnte de A es el producto de los elementos de l digonl principl. Propiedd : det(a.b) = det(a).det(b) Propiedd : Si en un mtriz, se multiplic tod un fil o tod un column por un número el determinnte qued multiplicdo por el mismo número, por ejemplo: =. Si multiplicmos por l tercer column, =. = to AÑO Determinntes pg. /

6 Mtemátic Propiedd : Si en un mtriz se sustituye un fil o column por ést más un múltiplo de otr, el determinnte no cmbi. L propiedd, es sin dud l más útil de tods. Vemos un ejemplo de cómo clculr el determinnte de un mtriz de x utilizndo propieddes: Se A = Multiplicmos l primer fil por, utilizndo l propiedd, det(a) =. / /. Aclrción: como el determinnte de l nuev mtriz es l mitd del determinnte de A, pr que se igul, debemos multiplicr por. Ahor reemplzremos l segund fil por ést más (-) por l primer, es decir, F = F.F. Aplicmos l propiedd y vemos que esto no cmbi nuestro determinnte. det(a) =. / / / / Utilizndo l mism propiedd reemplzremos: F = F.F F = F.F det(a) =. / / / / / /. to AÑO Determinntes pg. /

7 Mtemátic Como vemos, conseguimos un column con el primer elemento y el resto ceros. Si elegimos est column pr clculr el determinnte, qued: / / det(a) =. / / Multiplicmos l primer fil por, utilizndo l propiedd : / / det(a) =. / / Utilizndo l propiedd reemplzremos: F = F + /.F F = F.F F = F +.F det(a) =. / / / / / / / Como vemos, conseguimos un column con el primer elemento y el resto ceros. Si elegimos est column pr clculr el determinnte, qued: det(a) =. / / / / / Vmos multiplicr l fil por, l fil por y l fil por pr conseguir todos números enteros, entonces: to AÑO Determinntes pg. /

8 Mtemátic det(a) =... / / / = =... / = / =.... Permutemos ls dos primers fils, hcemos esto porque l segund fil tiene números más chicos. det(a) =.... = (utilizndo l propiedd ) =.....(-). Multiplicmos l primer fil por, utilizndo l propiedd, det(a) =.....(-). (-). / / Utilizndo l propiedd reemplzremos: F = F +.F F = F +.F det(a) =.....(-). (-). / / / / to AÑO Determinntes pg. /

9 Mtemátic Como vemos, conseguimos un column con el primer elemento y el resto, ceros. Si elegimos est column pr clculr el determinnte, qued: det(a) =. /....(-). (-). / = =.....(-). (-)... = =.....(-). (-). (-) = Por supuesto, ls propieddes que utilizmos ls vmos eligiendo según nuestr comodidd. Si un vez que llegmos un mtriz de x, no queremos plicr más propieddes y preferimos clculrlo, no hy problem. Ejercicio : Clculr los siguientes determinntes utilizndo propieddes: i) ii) iii) Ejercicio : Dd A = / Clculr det (A ) Respuests: Ejercicio : i) - ii) iii) - iv) v) Ejercicio : x = ó x = Ejercicio : i) - ii) iii) Ejercicio : - to AÑO Determinntes pg. /

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