MÓDULO III ÁLGEBRA. 1. Conceptos preliminares

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1 . Conceptos preliminres MÓDULO III ÁLGEBRA BIBLIOGRAFÍA En mtemátic, cundo utilizmos letrs en vez de números, nos ubicmos en el terreno del Algebr. Con el Algebr trbjmos con un visión más generl que cundo utilizmos vlores numéricos concretos.. L generlizción Burgos, N.; Bergnz, R. Mtemátic 7. Editoril Zmphirópolos. ª Edición. Asunción, Prguy pg. Cid, E.; Pomrede, R. Mtemátic 9.º Grdo. Editoril McGrw-Hill Intermericn. Editoril Antártic Quebecor S.A. Sntigo, Chile pg. Elbridge, V. Álgebr y Trigonometrí Moderns. Fondo Eductivo Intermericno S. A. ª Edición Estdos Unidos de Améric pg. Giovnni, J.; et l. Mtemátic Fundmentl. Editor FTD S. A. ª Edición Sn Pblo, Brsil pg. Gómez, G.; et l. Mtemátic. Editoril Sntilln. ª Edición. Asunción, Prguy pg. Kubot, F.; Bergnz, R. Mtemátic 7. Editoril Sntilln. ª Edición. Asunción, Prguy pg. Leith de Rodríguez, I.; Bergnz, R. Mtemátic er. Curso. Editoril Gráfic Comuneros S.A. ª Edición. Asunción, Prguy pg. Recordmos un propiedd de l dición pr introducir el concepto de generlizción: + + (propiedd conmuttiv de l dición) Est propiedd se verific pr culquier pr de números. Ejemplo ) ) ) ) ) , 0, + 6) + + Así podemos seguir indefinidmente, escribiendo más y más igulddes que cumpln est propiedd. Si queremos expresr est propiedd con un iguldd que brque tods ls posibiliddes existentes, podemos escribir: 64

2 + b b + Aquí y b representn dos números, por lo generl distintos. Si escribimos + estrímos indicndo l sum de dos números igules. Concepto clve El álgebr es un rm de l mtemátic que emple números, letrs y signos pr generlizr ls distints operciones ritmétics. El término proviene del ltín lgĕbr que, su vez, deriv de un vocblo árbe que signific reducción o cotejo. Esto proviene del trtdo escrito por el mtemático pers Muhmmd ibn Mus l-jwrizmi.. Expresiones lgebrics Si utilizmos letrs pr representr números, tenemos un expresión lgebric, en l cul l operción entre dos o más números distintos qued indicd. Ejemplo ) + b ; ) x + y ; ) m + n Concepto clve Expresión Algebric: sucesión de letrs o de letrs y números veces seprdos por los signos del cálculo (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) Guí de Trbjo 8 ) - ) ) Guí de Trbjo 9 6) 6 ; 7) m 7 ; 8) - ; Guí de Trbjo ) Mrí: 4 ; Pedro: ) T: G ; Z: 000 G ) dólres 4) 96 ; ) 6 x + 9 ; 7 6) G 7) Jun: ; Alberto: 8) 8 ; 8 ; 8 9) 64 0) 6 ; 8 ) Rúl: 000 G ; Vleri: 000 G ) G ) 40 cbllos ; 0 vcs 4) 84 ) 8 6) Luis: ; Miguel: 7) 0 ; 0 8) vrones ; 0 mujeres 9) 0) ; 0 ) 4 ; ) 70 de 00 G ; 8 de 00 G ) y 6 ; -6 y - 4) 0 y ; - y -0 ) 6 libros ; 000 G 6) ; km 7) 40 h 8) 84 y 6 ; -6 y -84 9) ; 0) ) 7 m b) 800 G ) x + ; 7 km ) ) 80 h b) hors ) ) docens b) 00 G 4) 40 ; 60 ) 00 ; 000 G 6) 6 ; 6 ; 70 ; 77 7) 78 ; 9 8) 9) 48.) Figur : + b ; Figur : 4 b + b ; Figur : + b + b Figur 4: b + b ; Figur : b ; Figur 6: + b Figur 7: 4 b.) ) Figur : x ; Figur : y ; z ) x 4 6

3 RESPUESTAS Guí de Trbjo. Monomio Ls expresiones lgebrics más sencills son los monomios. ) A ; ) D - Guí de Trbjo ) ) 8 x 4 6 x + 6 x 96 x + 6 ) m 6 + m + 60 m m + 40 m + 9 m ) 6 84 b b b 0 b b b 7 + b 6 8 ) b b 60 b 80 + b b + b 7 79 Monomio: Expresión lgebric que const de un solo término. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) Ejemplo ) ; ) x y ; ) b ; 4) 0, b ; ) - p q+t- 7) ) x x y + x y + x y + xy + y b + b b + b b Coeficiente b b 9 8 ) ) 0) 4 m + m m + m n + mn + n ) 6) x + x x + y ) m + ) m m 9 m 4 + b ) 6) + b Guí de Trbjo ) 7) b b + 6 m ) 4) 8) 6 x + y x x y 4) x + 4 x y + xy + b 4 + b 4 b 9) 6 Coeficiente: Número o, en generl, fctor que, escrito l izquierd e inmeditmente ntes de un monomio, hce oficio de multiplicdor. (Diccionrio de l Rel Acdemi Espñol) En generl se dice lo nterior refiriéndose los números que cumplen l función descrit. En los monomios que tenemos como ejemplo los coeficientes son: 0, b 0, x y - p q+t- - b 6

4 . Prte literl Prte literl: Dícese de los conceptos y mgnitudes que se expresn con letrs. (Diccionrio de l Rel Acdemi Espñol) En los monomios que tenemos como ejemplo, l prte literl es: x y xy b b 0, b b - p q+t- p q+t-. Más áres ) Expresr por medio de un monomio el áre sombred de cd un de ls siguientes figurs:.6 Exponente Exponente: Número que se escribe l derech y en lto de un cntidd pr indicr que potenci h de ser elevd. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) ) Expresr lgebricmente el áre de l siguiente figur: En Álgebr, por extensión, el exponente tmbién puede ser un letr. En nuestro ejemplo: 0, b y x y y - p q+t- q + t b 4 6

5 . Alguns plicciones l Geometrí.7 Polinomio. Determinr áres en función de ldos Tods ls figurs que se ven continución están construids con los segmentos y b. Determinr el áre de cd un de ls figurs que están sombreds, en función de y b, es decir, se debe escribir un expresión lgebric que represente el áre y en l cul prezcn y b. Polinomio: Expresión lgebric que const de dos o más términos o monomios ligdos por el signo de l sum o por el de l rest. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) Ejemplo 4 ) + c b ; ) x + bx + c Un polinomio entero es quel cuyos términos son todos enteros. Los dos polinomios del ejemplo nterior son enteros. Un polinomio es rcionl si tiene lgún término rcionl, por ejemplo: + 60

6 .8 Vrible Vrible: Mgnitud que puede tomr diferentes vlores. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) En todos los ejemplos nteriores, tods ls letrs que precen en monomios y polinomios son vribles.. Operciones con expresiones lgebrics. El dueño de un librerí compró ciert cntidd de libros en G. Al controlr l compr descubre que 6 libros están deteriordos y que no los puede vender. Pr no perder, debe umentr en 700 G el precio de cd libro l venderlos. Clculr: ) cuántos libros compró b) el precio de compr de cd libro. 4. Hllr dos números tles que si l myor se ñde el 0 % del menor se obtiene 7 y si l menor se sum el % del myor se obtiene 96.. Se compr ciert cntidd de lts de dulce en G. Si cd lt hubiese costdo 0 % menos se podrí hber comprdo lts más. Clculr: ) cuánts lts se comprn b) el precio de cd lt. 6. Hllr cutro múltiplos consecutivos de 7 tles que su sum se Hllr dos múltiplos consecutivos de tles que l sum de sus cudrdos se 4 6. Relizr operciones con expresiones lgebrics, consiste básicmente en plicr ls propieddes de ls operciones definids en el conjunto de los números reles (socitividd, conmuttividd, distributividd, etc.) sí como ls propieddes de ls potencis y de los rdicles Un grupo de migos inventn un juego que consiste en scr (sin mirr) trjets de un cj. En l cj hy trjets de color rojo y zul. Por cd trjet roj se gnn 0 puntos y por cd trjet zul se pierden. Jun sc 0 trjets y consigue gnr 49 puntos. Cuánts trjets rojs scó Jun? 9. Hllr el número de tres cifrs tl que l sum de sus cifrs se 7, l cifr de ls decens es l mitd de l cifr de ls uniddes y cundo l número se sum 97, ls cifrs se invierten. Vmos recordr lguns operciones con números pr comprender como operr con ls expresiones lgebrics. + ( + ) Propiedd distributiv Generlizndo: + b ( + b) 6 9

7 . Se tiene G en moneds de 00 G y 00 G. Cuánts moneds son de 00 G y cuánts de 00 G?. Hllr dos números enteros consecutivos tles que su producto se Hllr dos números pres consecutivos cuyo producto se 0.. Un person compró ciert cntidd de libros en G. Si hubier comprdo 6 libros menos por el mismo dinero es porque cd libro hbrí costdo 000 G más. Cuántos libros compró y cuánto costó cd libro? 6. El producto de dos números es 80 y su sum 7. Hllr los números. 7. Un tren h recorrido 00 km en cierto tiempo. Pr recorrer es mism distnci en un hor menos, l velocidd tendrí que hber km umentdo en 0. h Hllr l velocidd del tren. 8. Dos números están en l relción de. Si el producto de los dos números es Hllr los números. 9. Hllr dos números enteros consecutivos tles que l sum de sus inversos se igul Se compr ciert cntidd de metros de cordón, pgndo en totl 600 G. Si el metro de cordón hubiese costdo 64 G más se comprrín metros menos. Clculr: ) cuántos metros se compró, b) el precio de un metro de cordón.. El áre de un cudrdo es 49 y se expres por medio de 4 x + x + 9. Encontrr l expresión que represent l ldo y el vlor de x. + ( + ) 8 Propiedd distributiv Generlizndo: + ( + ) 8 En este cso y son monomios semejntes o términos semejntes porque tienen l mism prte literl. Entonces: Pr hllr l sum de monomios semejntes se determin l sum de los coeficientes. Est operción se denomin reducción de términos semejntes. Reducir términos semejntes en ls siguientes expresiones lgebrics: x + x 4 x + x ( ) x 6 x 4 m n 0, m n + m n (4 + ) m 4 n m n b + b + + b b ( + ) + ( ) b 7 + b Recordmos l multiplicción de números igules: b b b b m m m m m m. Un utomóvil recorre en cierto tiempo un distnci de 40 km. Si l velocidd hubiese sido 0 hor más. Clculr: km menos, recorrerí es distnci en un h ) l velocidd del utomóvil b) el tiempo de durción del vije. Pr multiplicr bses igules se sumn los exponentes. 8 7

8 Vemos hor l siguiente situción m m Recordmos que un monomio es el producto de un número conocido por un o vris letrs. Entonces: m m m m Como l multiplicción es un operción conmuttiv, podemos escribir: m m m m Efectundo ls operciones entre los números y ls letrs: m m 6 m Pr multiplicr monomios se multiplicn entre sí: - los coeficientes - l prte literl. Grdo de un monomio y de un polinomio El grdo de un monomio se obtiene sumndo los exponentes de ls vribles que formn l prte literl. Ejemplo ) Segundo grdo ) - 4 b Tercer grdo ) xy z Curto grdo. Entre Rúl y Vleri tienen G. Si Rúl perdier G, lo que tiene Vleri será el triple de lo que le quede Rúl. Cuánto tiene cd uno?. A y B comienzn jugr entre ellos con G cd uno. Cuánto perdido A sí B tiene hor el triple de lo que le qued A?. Compré cuádruplo número de cbllos que de vcs. Si hubier comprdo cbllos más y vcs más, tendrí triple número de cbllos que de vcs. Cuántos cbllos y cuánts vcs compré? 4. En un triángulo rectángulo uno de los ctetos mide y l hipotenus tiene dos uniddes más que el otro cteto. Cuál es el perímetro del triángulo?. El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivle l exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hllr el número. 6. L edd de Luis es triple de l edd de Miguel y dentro de ños será el doble. Hllr ls eddes ctules de Luis y Miguel. 7. L sum de dos números es 40. Si l myor se rest el doble del menor se obtiene 0. Hllr los números. 8. En un curso de 4 lumnos el número de mujeres es el doble que el número de vrones. Cuántos vrones y cuánts mujeres hy? 9. Si los dos términos de un frcción se ñde, el vlor de l frcción resultnte es y si los dos términos de l mism frcción se rest, el vlor obtenido es. Hllr l frcción. 0. Dos números están en l relción de 6. Si el menor se ument en y el myor se disminuye en 6 l nuev relción es de 9 8. Hllr los números.. Si el myor de dos números se divide por el menor el cociente es y el residuo 4. Sí veces el menor se divide por el myor, el cociente es y el residuo 7. Hllr los números. 8 7

9 Guí de Trbjo Resolver los siguientes problems, utilizndo ecuciones.. L edd de Mrí es el triple de l de Pedro y hce ños l edd de Mrí er el cuádruplo de l de Pedro. Hllr ls eddes ctules de Mrí y Pedro.. Un comercinte dquiere 0 trjes y pres de zptos en 000 G. Cd trje costó el doble de lo que costó cd pr de zptos más G. Hllr el precio de un trje y de un pr de zptos.. Seis persons quieren comprr un cs contribuyendo por prtes igules, pero l desistir dos de ells, cd un de ls restntes debe poner 000 dólres más pr comprr l cs. Cuál es el precio de l cs? El grdo de un polinomio es el grdo que corresponde l término de myor grdo: b b + c Tercer grdo. Polinomios ordendos y completos Un polinomio se llm ordendo cundo un vrible figur en cd término con un exponente myor o menor que el nterior. Ejemplo 6 ) Decreciente ) x + x x Creciente 4. L sum de dos números es 08 y el doble del myor excede l triple del menor en 6. Hllr los números.. En un triángulo equilátero, cd ldo est expresdo como x +. Cuál es l expresión del perímetro? Si el perímetro es myor que 7 y menor que 7, cuál es el myor vlor de x? 6. Tení G. Gsté ciert sum y lo que me qued es el cuádruplo de lo que gsté. Cuánto gsté? 7. Hce ños l edd de Jun er el doble de l edd de Alberto y dentro de ños l edd de Jun será 68 ños menos que el triple de l edd de Alberto. Hllr ls eddes ctules de Jun y Alberto. 8. Hllr tres números enteros consecutivos tles que el doble del menor más el triple del medino más el cuádruplo del myor se En un rectángulo el lrgo es tres veces myor que el ncho. Si el áre del rectángulo es 9, cuál es su perímetro? 0. Hllr dos números cuy diferenci se 8 y cuy sum es el triple de l diferenci. Si no flt lgún término de lgún grdo intermedio, el polinomio se llm completo. Ejemplo 7 ) 4 + Completo ) x x + Incompleto. Operciones con monomios y polinomios.. Adición y sustrcción Anteriormente nlizmos l dición de monomios. Lo llí estblecido se plic tmbién l sustrcción. Efectumos un dición de polinomios: 6 9

10 (4 b + b ) + (- b + b ) + (0,4 b + b ) x x x x x x x + 8 x 90 0 Pr efectur un sustrcción, recordmos que ést se reliz dicionndo l minuendo el opuesto del sustrendo: ( x xy + y ) (4 x + xy y ) x 8 ± 8 4 ( 90) 8 ± ± x 40 El precio del rtículo es: Multiplicción Hbímos visto nteriormente como multiplicr monomios. L respuest es: G Ahor presentmos un multiplicción de polinomios. El fundmento es l propiedd distributiv. Por ejemplo: ( b) b 6 0 b (x y) ( x + y) x + xy 6 xy 4 y x 4 xy 4y Situciones más complejs podemos mnejrls de l siguiente form: ( b b ) ( + b) 0

11 6 ; ; ; 4 y 0 Verificmos el resultdo obtenido: L respuest es: 0 Ejemplo 6 7 ; 4 7 ; 0 7 Tengo G y voy Ciudd del Este comprr rtículos electrónicos. Como consigo que el comercinte me descuente G en el precio de cd rtículo, puedo comprr 8 rtículos más. Cuál es el precio del rtículo sin rebj?.. División Recordemos lo desrrolldo en el Módulo I En el cso del cociente de dos bses igules: (7 ) Construimos l siguiente tbl pr ubicr todos los dtos del problem: Precio de un rtículo Cntidd de rtículos Gsto x x x x Plntemos l ecución: ( x 0 000) (x + 8) x x 4 Pr dividir bses igules los exponentes se restn. Aplicmos esto l división entre monomios: (7 b ) (9 b c ) ( ) b ( ) c (0 ) b - c - L interpretción del exponente negtivo es l siguiente: -

12 Pero tmbién: - Guí de Trbjo 0 Designr por medio de un vrible culquier l cntidd desconocid y escribir l notción simbólic correspondiente cd situción: Pr dividir monomios se dividen entre sí: - los coeficientes - l prte literl Tmbién podemos considerr l situción del exponente 0: Pero tmbién: 0 0 Pr dividir polinomios utilizremos el procedimiento generl pr hcer l división. Ejemplo 8 ( x 4 x + x 6 x + 0) (x 7) ) El triple de un número ) Los dos tercios de un número ) El doble de un número umentdo en curent y tres 4) Tres números enteros consecutivos ) El número nterior l número nturl m 6) Cutro números pres consecutivos 7) L mitd de un número umentdo en cinco 8) L edd de Pedro hce ños 9) El doble de l edd que tendrá Emili dentro de 4 ños Un vez que semos cpces de elegir un buen notción, escribimos l ecución siguiendo ls condiciones estblecids en el enuncido del problem. Viene después el proceso de resolver l ecución, y por último, lo más importnte, verificr que los vlores numéricos obtenidos cumplen con ls condiciones del problem. Ejemplo 0 L sum de tres múltiplos consecutivos de 7 es 09, cuál es el número myor? Si llmmos x l número menor, los otros dos serán: x + 7 ; x + 4 Entonces: x + x x x + 09 x 008 x 6 Los números son:

13 6) l curt prte de un número umentdo en p: x + p 4 7) l quint prte de l diferenci entre un número y 8: x 8 8) el doble de l sum entre un número y 7: (x + 7) 9) un número multiplicdo por si mismo: x 0) un número umentdo en 7 y multiplicdo por el mismo número disminuido en 6: (x + 7) (x 6) ) l diferenci de dos números es 6: x y 6 ) l sum de números es : x + y ) un número excede en 0 uniddes otro: x 0 y 4) tres números consecutivos: (x ), x, (x + ) ) tres números pres consecutivos: x, (x + ), (x + 4) x, ( x + ), ( x + 4) ( x ), x, ( x + ) 6) tres números impres consecutivos: x, (x + ), (x + 4) (x ), (x + ), (x + ) 7) el recíproco de un número: x 8) l sum de tres números consecutivos l cudrdo: [(x ) + x + (x + )] 9) l sum de los cudrdos de tres números consecutivos: (x ) + x + (x + ) 0) l sum de dos números l cudrdo: x + y ) el cudrdo de l sum de dos números: (x + y) ) l sum de los inversos de dos números: + x y ) l invers de l sum de dos números: x + y 4) un número de dos cifrs: 0 x + y ) un número de tres cifrs: 00 x +0 y + z 6) el sucesor de un número x + 7) el ntecesor de un número x 8) el numerdor de un frcción se ument en y el denomindor de disminuye en : x + x Ejemplo 9 ( + ) ( + )..4 Potencición Recordmos lo estudido en el Módulo I con respecto ls potencis: L potenci equivle l producto de bses igules: L potenci de un potenci l interpretmos sí: 6 ( ) 6 ( ) ( ) Observción: debemos tener en cuent que: ( ) ; en efecto Pr efectur un potenci de potenci se multiplicn los exponentes

14 En ls potencis de monomios se plic l mism propiedd: ( ) 4 (- x) (-) x 9 x (- x) (-) x -7 x (- y ) (-) (y ) y 6 El cso de los polinomios de nlizrá más delnte... Rdicción Tmbién se utiliz lo prendido en el Módulo I. Ejemplo 0 ) 4 [porque ( ) 4 ] 6 4 ) ( ) x y x y x y Guí de trbjo ) Determinr el vlor de A pr que el resultdo del producto (x + A x 7) (x + ) se x + 8 x + 8 x. ) Determinr el vlor de D pr que l división (x x 4 + x + D x + 6 x) (x x + ) se exct Notción simbólic. Resolución de problems Es evidente que l plicción fundmentl de ls ecuciones es l resolución de problems. Pr resolver un problem usndo ecuciones debemos comenzr por logrr escribir un notción simbólic que represent l situción plnted en el problem. Ejemplo 9 Jun pregunt un migo, cuántos ños tiene Mrí? y el migo le responde, no lo se, pero Mrí me dijo que su pdre tiene 7 ños más que ell. Est informción l podemos mnejr sí: Edd de Mrí: x (vlor desconocido) Edd del pdre: x Lenguje común expresdo en lenguje lgebrico Los enuncidos de un problem conllevn un lenguje simbólico, cuy interpretción tiene que ver con l Lógic y l Mtemátic. L codificción de este lenguje nos permite plnter y resolver problems, siguiendo los psos que nos brind el Algebr pr el plntemiento y resolución de ecuciones o sistems de ecuciones simultánes. 0. Alguns expresiones comunes y su interpretción lgebric ) un número umentdo en n uniddes: x + n ) el doble de un número: x ) el triple de un número disminuido en k uniddes: x k 4) el doble de un número umentdo en uniddes: x + x ) l tercer prte de un número:

15 6) Ls ríces de l ecución x p x + q x p 0 son números nturles consecutivos. Clculr el vlor de p. 7) Clculr el menor vlor de m pr el cul un de ls ríces de l siguiente ecución es el doble que l otr ríz: x (m + ) x + (m 9m + 9) 0 8) L sum de los cudrdos de ls ríces de l ecución: x + hx es 0. Clculr el vlor de h.. Igulddes Iguldd: Equivlenci de dos cntiddes o expresiones. (Diccionrio RAE) Equivlenci de dos cntiddes que, en álgebr se formul escribiendo ls dos expresiones lgebrics seprds por el signo. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) Así, un iguldd es: + b ( + ) es el primer miembro y b es el segundo miembro Vemos l situción que se represent en el siguiente gráfico: Vemos que en l blnz dos tomtes están equilibrdos con un pes de 80g. Podemos decir que hy un equivlenci entre los pesos de los dos pltillos (unque en este cso se miden ls mss). Entonces podemos escribir: tomtes 80 g Pr que se mnteng el equilibrio, si colocmos un tercer tomte en el pltillo de l izquierd, deberemos poner otro tomte del mismo peso en el pltillo de l derech.. Alguns propieddes de ls igulddes El mismo criterio de mntener el equilibrio se plic ls igulddes, pensdo que cd uno de los miembros es como si fuern los pltillos de l blnz. 0

16 Ejemplo ) 7 x 4 6 x 9 x 6 x ) x x + x 8 x 4 0 ) x + 4 x 7 x b se puede trnsformr en + + d b + d O se: + b + + d b + d () + b ( + ) b () + b + b () + b ( + ) b (4) Guí de Trbjo 8 ) Si ls ríces de l ecución x 6 x 4 x 0 son, b, c ; clculr + +. b c ) Hllr m pr que ls ríces, b, c de l ecución: x x (m ) x + 0 verifiquen l relción: + b 4 c. El despeje En el lenguje mtemático, despejr un término o un vrible en un iguldd implic dejr ese término o es vrible sol en culquier de los miembros de l iguldd. Supongmos que en l siguiente iguldd queremos despejr l x: ) Hllr k pr que un de ls ríces de l ecución: x k x + k 0 se el doble de l otr. Guí de Trbjo 9 Sigmos los siguientes psos: x + y Determinr ls ecuciones que correspondn ls ríces dds continución, y comprobr que ls misms verificn l situción plnted: Adicionmos mbos miembros - y: x + y + (- y) + (- y) x y Dividimos entre mbos miembros: x y x 6 y ) x 4, x -, x ) x, x -4, x -, x 4 ) x, x, x -, x 4, x - 4) x 4 ; + x, ) x, x -4, x + x ; 49 x 4

17 9.. Relciones (fórmuls) de Viet Se l ecución polinómic: n x n + n- x n- + n- x n x + x de ríces r, r, r,..., r n. En ell se cumplen ls siguiente relciones entre los coeficiente y ls ríces de l ecución: r + r + r r n 48 n r r + r r r r n + r r r r n r n r n r r r + r r r r n r n r n r r r... r n r n ( ) Guí de Trbjo 7 n n 0 n n n n Resolver ls siguientes ecuciones y verificr, utilizndo l clculdor científic, si ls ríces obtenids nuln el polinomio: ) x 8 x x ) 6 x 4 7 x + 8 x + x 0 ) 4 x 4 4 x 9 x + x + 0 4) x 8 x + x 0 0 ) 6 x + x 4 0 x 4 x + 4 x + 0 6) x 6 x 9 x + 0 7) 8 x x + 4 x 9 x 9 0 8) 9 x 4 x 7 x + 8 x 0 0 9) x 4 8 x + x + 9 x 6 0 0) 6 x + x 4 x n En generl, cundo en mbos miembros relicemos l mism operción con cntiddes igules, l iguldd subsiste. 4. Vlor numérico de expresiones lgebrics Considermos l fórmul del áre de un triángulo: b h A (b: bse ; h: ltur) Clculmos el áre de un triángulo que tiene b 8 y h 7. Pr ello sustituimos en l fórmul bse y ltur por sus vlores correspondientes: b h 8 7 A 8 Ese procedimiento que cbmos de hcer es hllr el vlor numérico de l expresión lgebric (fórmul) sustituyendo cd vrible (letrs) por sus vlores correspondientes y luego efectundo ls operciones ritmétics indicds. Ejemplo ) b (pr -4 y b ) ) ( b + ) + c ( + ) (pr, b y c -) ( b + ) + c ( + ) ( + ) + - ( + ) ( b + ) + c ( + ) ( + ) + - ( + ) ( b + ) + c ( + ) ( b + ) + c ( + )

18 . L regl de Ruffini y el teorem del Resto L regl de Ruffini permite hllr el cociente y el resto de un división sin efectur l división. Esto se puede plicr exclusivmente cundo el dividendo es un polinomio P(x) y el divisor es de l form (x ± ). Ejemplo ( x 4 x + x 6 x + 0) (x 7) (págin, ejemplo 8) Ejemplo 8 Resolver l ecución 4 x x 4 x x + 0 Los vlores de p son: ±, ± Los vlores de q son:,,, 6, 9, 8, 7, 4 Ls posibiliddes pr ls ríces son: Comenzmos por hcer l siguiente trnsformción: ( x x + x + -6 x + 0) (x + -7) Lo primero que se debe hcer es ordenr y completr el dividendo y el divisor si el cso lo requiere. El procedimiento permite trbjr solo con los coeficientes numéricos y los términos independientes (vlor numérico que no tiene vrible). L regl estblece los siguientes psos: ) Se distribuyen los coeficientes de l form en que está indicd en el grfico. A l izquierd se copi el opuesto del término independiente del divisor. ) El primer término se copi igul en el lugr los resultdos de ls operciones. ) Se multiplic el término independiente del divisor por y se sum el resultdo -. 4) En los psos siguientes se continú con el mismo procedimiento hst completr l list. ) Al comenzr l división tenemos: x 4 x x 6) El cociente se construye con los resultdos obtenidos, comenzndo con x y utilizndo los vlores obtenidos como resultdos como coeficientes. El último término de l list es el residuo. 8 ±, ±, ±, ± 6, ± 9, ± 8, ±, ±, ±, ±, ±, ± Con un máquin de clculr científic (si es progrmble mejor!) podemos hllr fácilmente: P( ) 0 ; P( ) 0 Teniendo dos ríces, efectumos l división: (4 x x 4 x x + ) [(x ) (x )] 9 x + 9 x + Resolviendo l ecución de º grdo encontrmos que ls ríces son: L respuest es:,,, - y - Si no disponemos de máquin de clculr, podemos plicr el lgoritmo de Ruffini pr hllr ls ríces. 47

19 Ejemplo 7 Así tenemos: Clculr ls ríces de l ecución x 7 x + 7 x 0 Como 0 - los vlores posibles pr p son: -, -,,. Tmbién tenemos que n, entonces, los vlores posibles pr q son:,. Ls posibiliddes pr q p son: -, -,,, -, Clculmos P(-), P(-), P(), P() y encontrmos: P(-) -60 ; P(-) -8 ; P() 0 ; P() 0 Y tenemos dos ríces de l ecución: y. Con un máquin de clculr científic es fácil buscr P(- ) ; P( ) y encontrmos que P( ) 0. Ls ríces de l ecución son:,, Si no tenemos l clculdor científic podemos hcer lo siguiente: ( x 7 x + 7 x ) [(x ) (x )] x Esto implic que: x 7 x + 7 x (x ) (x ) ( x ) En l búsqued de ríces, cundo lleguemos conocer n ríces (n es el grdo de l ecución) podemos proceder como lo hicimos nteriormente y resolver lo que qued fctorizndo o usndo l fórmul de l ecución de segundo grdo. Cociente: x + x + 7 x + 68 Residuo: 986 El teorem del Resto estblece que pr conocer el residuo de un división se tiene en cuent lo siguiente: 46 9

20 9. Ecuciones de grdos superiores Fórmuls de Viet El vlor numérico del dividendo coincide con el vlor del resto, pr quellos vlores de l vrible que nuln el divisor de Ruffini. Tomemos por ejemplo l división nterior: ( x 4 x + x 6 x + 0) (x 7) Hemos comprobdo que l hcer l división por (x 7) el resto que se obtiene es: 986. El vlor numérico del divisor pr x 7 nos drá el resto: Guí de Trbjo Aplicr l regl de Ruffini pr determinr el cociente y el resto de cd un de ls divisiones siguientes. Verificr el resto obtenido plicndo el Teorem del resto. Comprr los resultdos obtenidos con los demos compñeros de clse. Observción: Recordr ls propieddes de l división estudids en el Módulo I. ) ( x x 4) (x ) ) ( x + x 7) (x + ) ) ( ) ( ) 4) (4 m + m 6) (m + ) Considerciones iniciles Un ecución polinómic es l que se puede expresr como: n x n + n- x n- + n- x n x + x Cundo el polinomio se puede descomponer en fctores, y sbemos que es muy fácil l solución de culquier ecución, unque se de grdo myor, porque podemos relizr l fctorizción utilizndo el método de evlución (regl de Ruffini). Así mismo, sbemos que es muy fácil l descomposición de un polinomio en fctores cundo conocemos ls ríces de l ecución polinómic correspondiente. Si l ecución no tiene tods sus ríces reles, entonces precen ls ríces irrcionles o complejs. Si un ecución tiene como ríz el número irrcionl + b c, necesrimente dmitirá como ríz b c, y si un de sus ríces es el número complejo + b i otr de sus ríces será el conjugdo b i. Tod ecución polinómic de grdo impr dmite por lo menos un ríz rel. Un ecución polinómic que no teng término independiente dmite un número de ríces nuls igul l menor exponente de l incógnit. 9.. Búsqued de ríces rcionles Si un ecución polinómic P(x) n x n + n- x n- + n- x n x + x (con n 0, o 0) de coeficientes enteros dmite un ríz rcionl q p (p Z, q Z +, p y q primos entre si), entonces p es divisor de 0 y q es divisor de n. 4

21 Aplicmos esto l ecución: x x 0 x ( ) ± x ± 8 ( ) 4 ( ) x + 8 ± 4 + ; x Guí de Trbjo ± 64 - ) Resolver ls ecuciones utilizndo l fctorizción. Verificr los resultdos obtenidos reemplzándolos en l expresión originl. ) x x 4 0 b) x 8 x 48 0 c) x + x 0 d) x x 4 x 0 e) 8 x 0 x + 0 f) x 0 x g) x x 6 0 h) 4 x + x 6 x 0 ) Resolver ls ecuciones utilizndo l compleción del cudrdo. Verificr los resultdos obtenidos reemplzándolos en l expresión originl. ) x x 6 0 b) x x 0 c) x + x d) x + x e) x x 0 0 f) x + x ) Resolver ls ecuciones utilizndo l fórmul. Verificr los resultdos obtenidos reemplzándolos en l expresión originl. ) x 0 b) x x 0 c) 9 x x 0 d) 49 x 4 x ) ( b b + b ) (b 4) 6) ( x 4 x + ) (x + ) 7) (x x + x ) ( x ) 8) ( m 4 m + m 4) ( m + ) 9) ( x 4 x + ) (4 x ) 0) ( ) ( ) 6. Productos y cocientes notbles. Triángulo de Trtgli o de Pscl. Binomio de Newton 6. Productos notbles Se llmn productos notbles ciertos productos que se pueden escribir por simple inspección. Vemos lgunos ejemplos: Cudrdo de un binomio ( + b) ( + b) ( + b) + b + b + b + b + b El cudrdo de un binomio es igul l cudrdo del primer término más (o menos) el doble producto del primero por el segundo más el cudrdo del segundo término. Cubo de un binomio ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) ( + b + b ) ( + b) + b + b + b + b + b ( + b) + b + b + b 44

22 El cubo de un binomio es igul l cubo del primer término más (o menos) el triple cudrdo del primer término por el segundo más el triple del primer término por el cudrdo del segundo más (o menos) el cubo del segundo término. Luego: x x x x + + x x + 6 (x ) 6 x ± 4 x 4 x x -4 x - Producto de un sum por su diferenci ( + b) ( b) b + b b b El producto de l sum de dos términos por l diferenci de los mismos equivle l diferenci de los cudrdos de dichos términos. 9.. Aplicndo l fórmul de resolución pr ecuciones de Segundo grdo Podemos generlizr l form de un ecución de segundo grdo de l form siguiente: x + b x + c 0 A prtir de est generlizción seguimos los siguientes psos y plicmos l compleción del cudrdo: Productos de l form (x + ) (x + b) (x + ) (x + b) x + bx + x + b x + ( + b) x + b x + b x - c x + b x + c 0 x b b + x + c b - + Ejemplo 4 x b b + x + 4 c b ( + ) ( 7) ( 7 - ; -7 -) (x + b b 4 c ) 4 x + b b 4 c ± 4 Productos de l form (x + b) (cx + d) (x + b) (cx + d) cx + dx + bcx + bd cx + (d + bc) x + bd b b 4 c x - ± b ± b 4 c 4

23 Vemos tres procedimientos pr resolver l ecución: 9.. Fctorizción: Ejemplo ( x + 4) ( x ) 6 x + (-0 + ) x 0 6 x + x 0 x x 0 (x + ) (x ) 0 Como el producto de los dos fctores es 0, uno de ellos o los dos deben ser 0. Con esto se cumplirá l iguldd. Así tenemos: 6. Cocientes notbles Son ciertos cocientes que se pueden escribir por simple inspección: Ejemplo 6 x + 0 x - x 0 x 9.. Compleción del cudrdo ) ) + b b b b b + b El procedimiento es el siguiente: Logrr que el término independiente quede en el segundo miembro: x x 0 x x ) 4) + + b b b b b + b + b + b x x Recordmos que el trinomio cudrdo perfecto tiene l form: x + mx + m x x +... x + mx + m m - m - m (-) El trinomio cudrdo perfecto es: x x + En el cso de ( + b ), no se puede dividir entre ( + b) ni ( b). En generl podemos decir que l sum de potencis pres no se puede dividir ni por l sum ni por l diferenci de ls bses. En el cso de ls potencis impres el único divisor posible es el que corresponde l mism operción. Por ejemplo, ( + b) no es divisor de ( b ). Esto es fácil de comprobr con el teorem del resto: b (-b) b -b b 0 Entonces: 4

24 6. Triángulo de Pscl o de Trtgli Desrrollemos ls potencis de un binomio: ( + b) 0 x y L representción gráfic correspondiente es: ( + b) + b ( + b) + b + b ( + b) + b + b + b ( + b) 4 ( + b) ( + b + b + b ) ( + b) b + b + b + b + b + b + b 4 ( + b) b + 6 b + 4 b + b 4 Atendiendo los coeficientes, se construye el triángulo de Pscl o de Trtgli que justmente nos d los coeficientes en l expnsión de l potenci de un binomio Si signmos y el vlor 0 nos qued un ecución de segundo grdo, cuys ríces son - y, o se, los puntos donde l gráfic de l función cort l eje de ls x. L ecución es: x x x x 0 Ríz de un ecución: Vlor(es) de un vrible que hcen verdder l ecución. 4 4

25 9. Funciones y ecuciones de segundo grdo Supongmos que un pelot se mueve en un clle inclind en l form que se detll en l siguiente tbl: Tiempo en segundos Distnci recorrid en metros Si llmmos t l tiempo y d l distnci recorrid por l pelot, podemos generlizr l situción de l siguiente form: d t Tmbién podemos llmr x l tiempo e y l distnci, entonces tenemos: y f(x) x Est es un función de segundo grdo o función cudrátic. Considermos hor l función de segundo grdo: Construimos l tbl de vlores: y x x x y Binomio de Newton L fórmul que nos permite hllr ls potencis de un binomio se conoce como binomio de Newton. ( + b) n n + n n- b + n ( n )! n- b + n ( n )( n ) L expresión n! se denomin fctoril de n y se define como: Por ejemplo: ( ) ( ) ( ) 4 +! n! n (n ) (n )... 6! ( )! 4 ( ) 4 4! n- b b n 4 ( ) +! ( ) 40 4 b Guí de Trbjo Desrrollr ls potencis de los binomios siguientes plicndo lterndmente el Triángulo de Trtgli y el Binomio de Newton. ) ( + ) ) ( x ) 4 ) (m + ) 6 4) (4 b ) 7 ) ( b) 6 6) (x + y) 7) ( b) 7 40

26 7. Fctorizción Vmos estudir lguns situciones que se presentn cundo queremos descomponer en fctores un polinomio. 7. Fctor común 4 + b 6 b ( + b b ) (x + ) + b (x + ) (x + ) ( + b) 7. Fctor común por grupción de términos + b + x + bx ( + b) + x ( + b) ( + b) ( + x) x bx y + 4 by x ( b) + y (- + b) x bx y + 4 by x ( b) y ( b) x bx y + 4 by ( b) (x y) 7. Trinomio cudrdo perfecto En est situción se debe determinr primero que efectivmente el trinomio es cudrdo perfecto. Pr eso tienen que hber dos términos que sen cudrdos perfectos y el tercero que se el doble producto del primer término por el segundo, de cuerdo l producto notble: Si l primer ecución linel escribimos como: y 0 x dndo y el vlor 0 tenemos: 0 x 0 x 0 lo cul corresponde con el punto en el cul l rect cort l eje x. Si hcemos los mismo con l segund ecución linel tenemos: y x ; x 0 x Hemos resulto gráficmente el sistem de ecuciones. Vemos hor como hcerlo nlíticmente. Aquí existen vrios procedimientos. Estudiremos uno de ellos que no requiere más herrmients que ls que conocemos: x + y 0 ; x y Despejmos x en l primer ecución y l sustituimos en l segund. Luego resolvemos l ecución de primer grdo que nos qued: x + y 0 x 0 y Entonces: ( + b) + b + b ( + ) Luego: 0 y y 0 y 8 y y 4 x + y 0 x x Cutrinomio cubo perfecto Debemos recordr que: ( + b) + b + b + b 6 9

27 Vmos representr gráficmente mbs ecuciones: x y x y Fctorizr el polinomio: 8 + m 6 + m + 6 m 4 () + (m ) + m + (m ) 8 + m 6 + m + 6 m 4 ( + m ) 7. Diferenci de cudrdos Recordemos que: ( + b) ( b) b Fctorizr: x 6 (x + 4 ) (x 4 ) 7.6 Trinomio cudrático ( + ) ( ) Pr hcer l fctorizción buscmos dos números cuy sum se - y cuyo producto se -. En el cso de que el término independiente se grnde procedemos de cuerdo l ejemplo: x + x 70 Anlizndo l representción gráfic podemos descubrir vris coss: Ls dos rects representds se encuentrn en el punto (6, 4) o se que x 6 e y 4. Esos son los dos números que estmos buscndo. 8 Entonces: x + x 70 (x + 0) (x ) 7

28 En el cso de que el coeficiente del primer término no se, vmos ver dos procedimientos. Queremos descomponer en fctores el trinomio: 6 x x En el recudro de l izquierd están los fctores que multiplicdos dn 6 y en el de l derech los que dn. Buscmos dos productos tomndo pr cd uno fctores de l izquierd y l derech de modo logrn obtener como resultdo de l sum de los dos productos -. Cruzndo los vlores encontrdos relizmos l fctorizción. Anlicemos este otro procedimiento: 6 x x ( x ) ( x + 7) Tenemos l ecución de l líne rect representd en el plno. Tmbién podemos decir que hemos representdo un función linel. Si en l ecución nterior hcemos y 0 tendremos: x 4 0 Est es un ecución de primer grdo. Pr resolver l ecución se debe despejr l x: x 4 0 x 4 x 4 x Si nos fijmos en l representción gráfic nterior, el vlor x corresponde l punto donde l rect cort l eje de ls x o se, l vlor 0 de y. Entonces, resolver un ecución de primer grdo equivle encontrr en que punto l rect cort l eje x. Se dice entonces que es l ríz de l función. Entonces: 6 x x (6 x x) + (4 x ) Hemos multiplicdo los dos extremos. Luego determinmos l descomposición cnónic de ese producto de modo hllr los dos fctores que sumdos nos den -. Ríz (o cero) de un función f(x) es todo vlor de x, perteneciente l dominio de dich función, tl que se cumpl: f(x) 0 Vemos como plicr esto un problem: L sum de dos números es 0 y l diferenci de los mismos es. Cuáles son los números? 6 x x x ( x ) + 7 ( x ) ( x ) ( x + 7) Si llmmos x e y los números tenemos: x + y 0 ; x y Al conjunto de ls ecuciones lineles se llm sistem de ecuciones 8 7

29 L representción gráfic es: Guí de Trbjo 4 Descomponer ls expresiones siguientes en el myor número de fctores diferentes de. Comprobr los resultdos obtenidos efectundo l multiplicción y controlndo con los compñeros del ul. ) ) x + x xy y ) ) b + 4 b 4 ) 6 + b 6 6) x b x + 7) ) X 8 + x ) x 4 x + 4 0) x x ) x y ) b ) x + y 4) ) x + y 6) ) + 6 8) x x x x 9) x 4 x + 4 0) x 4 x + 4 x x + 4 ) x 4 + x y + 9 y 4 )

30 8. Expresiones lgebrics rcionles Ls expresiones lgebrics rcionles son ls que se expresn como el cociente de dos expresiones lgebrics. Por ejemplo: x ; x + y x y 8. Producto de expresiones lgebrics rcionles Recordmos lo que ocurre l multiplicr frcciones numérics: y π x En este cso decimos que l longitud de l circunferenci está en función del rdio. Vemos otro cso: Tenemos: O se: f : M N Aplicmos el mismo concepto ls siguientes operciones: () b b b b 0 b Generlizndo: f () - 4 f () 0 4 f () 4 f (4) () + b + b + b + b b ( ( + b) ( b + b + b ) ( + b) ) f (x) x 4 Si llmmos y f (x) tendremos l función escrit como un ecución: + b + b + b + b + b + b + b ( + b) ( + b) ( b) b ( + b) ( + b) + b ( b ( + b) b b) + b 8. Cociente de expresiones lgebrics rcionles 8.. Algunos conceptos y procedimientos Supongmos que tenemos l frcción gráficmente: y l representmos y x 4 Est función es de primer grdo, porque el exponente de x es y se denomin ecución de l líne rect. Si representmos los vlores de x y de y en el plno crtesino tenemos primero que clculr lgunos pres ordendos. Se hce el cálculo pr lgunos números enteros y luego se tiene en cuent que en el plno crtesino están todos los números reles, y por eso se unen los puntos que representn los pres ordendos. Construimos l tbl de vlores: x y

31 9. Funciones y ecuciones 9. Funciones y ecuciones de primer grdo 4 Cundo cd elemento de un conjunto (A) hcemos corresponder un elemento de otro conjunto (B), decimos que tenemos un función. Pr indicr que l relción es un función se utiliz l notción siguiente: f : A B (se lee f es un función de A en B) El conjunto A se llm dominio y el conjunto B codominio. Los elementos de B que corresponden lgún elemento de A se llmn imágenes. Así por ejemplo, l imgen de b y de c es 6. Esto es escribe: f (b) 6 ; f (c) 6 Función: mgnitud cuyo vlor depende del que tom otr vrible llmd vrible independiente. (Diccionrio Ilustrdo de ls Ciencis Lrousse) Un función es un relción, o se, un conjunto de pres ordendos, en l cul, cd elemento del dominio tiene un sol imgen en el codominio. Por ejemplo, l longitud de un circunferenci depende del vlor del rdio. Si llmmos y l longitud de l circunferenci y x l vlor del rdio tendremos: en 6 prtes. L figur represent gráficmente l frcción. En l figur hemos hecho. Entonces hcemos dos coss simultánemente: Dividimos en dos prtes l prte pintd. Psmos considerr el entero dividido En l figur tenemos el resultdo del procedimiento que hemos seguido: 6. Interpretndo esto en números, tenemos: Luego: 6 (buscndo obtener frcciones homogénes) Consideremos otr división: División de expresiones lgebrics rcionles Aplicmos el mismo concepto nterior ls expresiones lgebrics: () x y x x y y y 9 x x y x y y y

32 ) x x y x y x y x y x x xy + xy x y x (x + y) (x + y) (x y) x (x + y) x + y 4 xy y 4 y (x y) 4 y x (x + y) x + y xy (x + y) 4 (x + y) xy (x + y) xy 4 y 4 y 4 y 4 (x + y) 4 Efectur ls operciones: ) 0 m m + 7 m + x + x 0 ) x 4 x x + ) ) ) 6) 7) 8) 9) 0) m mn + n m m m mn + n m Guí de Trbjo m n x 4 y + x xy x 6 x 6 x 6 x 4 y m + m 0 m m + 6 x m 9 + m x + xy 6 y x x 8 x 0 x m n m m n m (m + n) 4 x x + 4 ) ) ) 4) ) 6) b + b 0 b b b b b b 4 b m 9 m + 8 m + x + xy + y x + xy + b 4 + b b + b + + b b 4

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