IES Fernando de Herrera Curso 2012/13 Global 1ª evaluación 4º ESO 28 de noviembre de 2012 NOMBRE

Transcripción

1 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 NOMBRE 1) Simplificr ls siguientes expresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: ( 1) ( ) ) ( puntos) 19 0 ( ) b) 8 c) d) ) Cuánto sumn los 1000 primeros números pres ( )? (1 punto) ) Cuánto sumn ls 0 primers potencis de (es decir: )? Pr este ejercicio, no se puede usr l clculdor, menos que se encuentre un fórmul que simplifique el proceso. (1 punto) ) Relir: ( puntos) ) Expresr log x en función de ln x. b) Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l expresión resultnte, en: 10x A d) Quitr logritmos en: log A log x log + log + 1 ) ) Pr P(x) x + mx + 1, hllr el vlor de m que hce que teng un rí en x 1. Escribir como qued P(x) l sustituir el m obtenido. b) Indicr, como consecuenci de lo nterior, plicndo el Teorem del Resto, un polinomio Q(x) de grdo 1 entre el que se divisible P(x). c) Efectur dich división, e indicr dividendo, divisor, cociente resto. d) Por último, relir l prueb correspondiente l división efectud. ( puntos) 6) Fctorir P(x) 8x 18x + 7x + ( puntos)

2 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 SOLUCIONES 1) Simplificr ls siguientes expresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: ( 1) ( ) ) ( puntos) 19 0 ( ) Pr todos estos ejercicios, simplemente plicmos propieddes de potencis de ríces, recogids en ls fórmuls fundmentles publicds en nuestr web, ls operciones con rdicles, que tmbién están en l web. ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) b) c) d) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de ( ( ) ) ( ) En este problem h que dvertir de vris circunstncis. En primer lugr, el método estándr pr conseguir rcionlir un denomindor en el que precen dos sumndos con ríces cudrds en ellos consiste en multiplicr numerdor denomindor por el conjugdo de dicho denomindor. En segundo lugr, en el resultdo finl, similr lgunos intermedios, no podemos efectur 9 + 6, porque el segundo sumndo no es 6, sino 6. En tercer lugr, no podrímos simplificr los del enuncido, otros similres de los distintos psos, porque en un división no se pueden simplificr sumndos ni prte de sumndos, sino sólo fctores. ) Cuánto sumn los 1000 primeros números pres ( )? (1 punto) Tenemos que efectur Se trt de l sum de 1000 términos es progresión ritmétic, donde el primer término es 1 l diferenci, d. Así, el último término es: (1000 1)d L sum solicitd es, entonces: 1 s

3 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 ) Cuánto sumn ls 0 primers potencis de (es decir: )? Pr este ejercicio, no se puede usr l clculdor, menos que se encuentre un fórmul que simplifique el proceso. (1 punto) Aquí nos encontrmos frente un sum de 0 términos en progresión geométric, con 1, r. Por tnto: ( 0 1 r 1) ( 0 1) s r 1 1 ) Relir: ) Expresr log x en función de ln x. Simplemente, plicmos l fórmul de cmbio de bse en logritmos: ln x log x ln ( puntos) b) Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. log x x x x c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l expresión resultnte, en: 10x A 10x 10x A log A log log 10 x log log 10 + log x + log 1 log 1 + log x + 1 log log d) Quitr logritmos en: log A log x log + log + 1 log A log x + 1 log + log 10 log log 10 + log x + 1 log log log 10x + log log log 10x A 10x ) ) Pr P(x) x + mx + 1, hllr el vlor de m que hce que teng un rí en x 1. Escribir como qued P(x) l sustituir el m obtenido. ( puntos) Tener un rí en x 1 signific, por definición, que P(x) 0 en x 1: P( 1) ( 1) + m ( 1) m + 1 m + 0 m Consecuentemente, P(x) x + x + 1 b) Indicr, como consecuenci de lo nterior, plicndo el Teorem del Resto, un polinomio Q(x) de grdo 1 entre el que se divisible P(x). Por el Teorem del Resto, si P( 1) 0, entonces P(x) es divisible entre x ( 1) x + 1. Por tnto, Q(x) x + 1. c) Efectur dich división, e indicr dividendo, divisor, cociente resto. Efectumos l división por Ruffini: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

4 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Globl 1ª evlución º ESO 8 de noviembre de 01 Dividendo: P(x) x + x + 1 divisor: Q(x) x + 1 Cociente: C(x) x + x x + 1 Resto: R d) Por último, relir l prueb correspondiente l división efectud. Q(x) C(x) + R (x + 1)( x + x x + 1) + 0 x + x x + x + x + x x + 1 x + x + 1 6) Fctorir P(x) 8x 18x + 7x + ( puntos) Comenmos probndo divisores positivos negtivos del término independiente : No encontrmos fácilmente un divisor excto, por lo que probmos encontrr ls ríces del polinomio 8x 10x igulándolo 0 resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: x x 0 x Conocemos ls dos ríces de este polinomio de segundo grdo. Por el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: 8x 10x 8(x + 1/)(x /). L fctorición del polinomio de prtid es, pues: 8x 18x + 7x + 8(x 1)(x + 1/)(x /) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 NOMBRE 1) Simplificr ls siguientes expresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: 9 ( 1) ( ) ) ( puntos) 1 0 ( ) b) 7 c) d) ) Los primeros términos de un sucesión son: ; ; ; sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por 0.01 pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, puntos) b) Cuánto sumn los infinitos términos de est sucesión? (0, puntos) c) Podrí decir un consecuenci reltiv l resultdo? (0, puntos) ) En un progresión ritmétic se tiene: Hllr d. (1, puntos) ) Relir: ( puntos) ) Relcionr log x con ln x. b) Aplicndo l definición de logritmo, clculr x sbiendo que log x 1. c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l expresión resultnte, en: 100x A d) Quitr logritmos en: log A log x log log ) Pr P(x) x + mx +, hllr, sin efectur l división, el vlor de m que hce que l división entre x + se exct. Escribir como qued P(x) l sustituir el m obtenido. (1 punto) 6) Clculr. A continución, fctorir, sin usr clculdor, el polinomio siguiente: P(x) 7x + 1x 11x ( puntos)

6 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 SOLUCIONES 1) Simplificr ls siguientes expresiones, rcionlindo el denomindor, en su cso: 9 ( 1) ( ) ) ( puntos) 1 0 ( ) 9 ( 1) ( ) 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) b) c) 1 d) ( ( ) ) 8 16 ( ) 8 16 ( ) ) Los primeros términos de un sucesión son: ; ; ; sí sucesivmente, multiplicndo el término nterior por 0.01 pr obtener el que le sigue. Se pide: ) Qué tipo de sucesión es? (0, puntos) Es un progresión geométric con rón r 0.01 b) Cuánto sumn los infinitos términos de est sucesión? (0, puntos) L sum de infinitos términos de un progresión geométric de rón positiv menor que 1 es: s 1 1 r c) Podrí decir un consecuenci reltiv l resultdo? (0, puntos) Tenemos l frcción genertri de /99 ) En un progresión ritmétic se tiene: Hllr d. (1, puntos) n 1 + (n 1)d 1 + ( 1)d d d (90 00)/ 1 IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 1 de

7 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de 01 ) Relir: ) Relcionr log x con ln x. log b x Como log x log b ln x log x ln ( puntos) b) Aplicndo l definición de logritmo, clculr x sbiendo que log x 1. log x 1 x 1 x x c) Tomr logritmos (en bse 10) simplificr l expresión resultnte, en: 100x A 100x log A log log( 100x ) log log log x 1 + log log 1 + log x + log log d) Quitr logritmos en: log A log x log log log A log x log log log x log log log ( x 100 log x + log log ) log log x 100 log A x 100 ) Pr P(x) x + mx +, hllr, sin efectur l división, el vlor de m que hce que l división entre x + se exct. Escribir como qued P(x) l sustituir el m obtenido. (1 punto) Según el Teorem del Resto, el resto de dividir P(x) entre x + es P( ). Como este resto debe vler 0 pr que l división se exct: P( ) 0 ( 8) m m 1 m m 7 Por lo que P(x) x 7x + 6) Clculr. A continución, fctorir, sin usr clculdor, el polinomio siguiente: P(x) 7x + 1x 11x ( puntos) 76. Probndo, por Ruffini: No encontrmos cómo seguir, pero l tener un polinomio de segundo grdo, pr encontrr sus ríces podemos optr por igulrlo 0 resolver l ecución de segundo grdo resultnte: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

8 IES Fernndo de Herrer Curso 01/1 Recuperción 1ª evlución º ESO 10 de enero de x x 0 x 0 9 Como consecuenci, plicndo el Teorem de Descomposición Fctoril de Polinomios: P(x) 7x + 1x 11x 7(x + 1)(x + 1 )(x 9 ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de