Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

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1 Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

2 Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

3 Álgebr. Fctorizción Recuerde que eisten vrios tipos pr fctorizr un epresión lgebric, los que debe conocer son: Fctor común Este es el más importnte de todos los métodos siempre debe pensr en utilizrlo como primer opción. Consiste en buscr en ls epresiones, qué tienen en común tnto en coeficiente numérico como literl escogiendo el menor eponente de cd letr. Finlmente debe dividir l epresión entre el fctor común epresrlo como fctores. Ejemplo: Fctorizr: bc 8 dc 6 bc Anlizndo los coeficientes numéricos observe que pesr que son múltiplos de dos tmbién son múltiplos de, siempre sebe escoger el mor número posible en este cso. En el cso del fctor literl observe que tods ls epresiones tienen c pero no tienen en común b d escogemos el menor eponente, en el cso de escogemos eponente en el cso de c escogemos. Entonces el fctor común es c dividimos l epresión entre el fctor común dndo fctorizdo: c ( bc d bc) Fctorizr: ( ) b( ) Observe que inmeditmente no eiste ningún fctor común por lo que h que hcer un rreglo ntes pr poder fctorizr note que ( ) ( ) son opuestos. Recuerde que opuestos signific l mism epresión multiplicd por un menos uno. Arregld qued: Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

4 ( ) b( ) ( ) b( ) Observe que quedó un menos los signos dentro del préntesis en l epresión que contiene b cmbió demás - es igul -. Ahor observe que se puede fctorizr porque hor si h un fctor común, note que mbos términos tienen un menos el - o se ( ) es el fctor común. Fctorizdo qued: ( )( b) observe que b tienen signos positivos que menos por menos es más. Fctorizción por Agrupmiento Este método ocurre cundo no se puede plicr fctor común pero vrios términos si se puede plicr, dndo finlmente un epresión que se puede plicr l técnic de fctor común. Ejemplos: Fctorizr: b mb m Note que no se puede plicr fctor común. Entonces grupmos términos que se pued plicr fctor común: ( b ) ( mb m ) Entonces pliquemos fctor común cd préntesis: ( b ) mb ( ) observe que hor podemos plicr fctor común l epresión quedndo fctorizd de l form: ( b )( m) Fctorizr: mn ms n s Agrupmos: ( mn ms) ( n s) plicmos fctor común los préntesis: m ( n s) ( n s) hor pr poder fctorizr observe que ls epresiones de los préntesis son opuestos en el segundo términos multiplico por un menos: m( n s) ( n s) finlmente se fctoriz por fctor común: ( n s)( m ) Diferenci de cudrdos perfectos Si se tiene un diferenci de dos monomios cudrdos perfectos, pr fctorizr se sc ríz cudrd cd Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

5 monomio l fctoriz como l sum de ls ríces por l diferenci de ls ríces. Ejemplos: Fctorizr: 8 6 Se etre ls ríces cudrds de los dos monomios, siendo ls ríces: 9. Entonces l fctorizción qued: ( 9 )(9 ) Fctorizr: 9( ) ( ) Compruebe que ls ríces son respectivmente son 7( ) ( ) Entonces l fctorizción qued de l form: [ 7( ) ( )][7( ) ( )] resolvemos ls operciones dentro de los préntesis cudrdos: ( 7 7 )(7 7 ) (8 6)(6 8) Se podrí plicr l técnic de fctor común cd préntesis: ( )( ) ( )( ) A cd préntesis el fctor común es, por eso prece dos por dos. Fctorizción de trinomios de l form b c: Pr fctorizr trinomios eisten vris técnics estudids en secundri como por fórmuls notbles o inspección. Pr est sección se utilizrá el método generl no por ls demás técnics. Si usted el lector domin ests otrs técnics puede utilizrls. Pr fctorizr se clcul primermente un discriminnte que es de l form: b c Por ejemplo el trinomio: en donde, b- c- entonces ( ) 0 Ahor l form fctorizd es de l form: ( b )( b ) Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 5

6 Observe que este método es pr fctorizr no debe confundirse con el método generl pr resolver ecuciones cudrátics. Ejemplos: Fctorizr: 5 50 Clculmos el discriminnte, note que b5 c50 entonces L fctorizción es: ( 5 5)( 5 5) ( 5 5)( 5 5) ( 0)( 0) Utilizndo fctor común: ( 0)( 5) por último los coeficientes se pierden quedndo: ( 0)( 5) Fctorizr: Se clcul el discriminnte: ( ) 0 entonces fctorizndo qued: ( 0)( 0) ( )( ) Y fctorizndo por fctor común: ( )( ) se pierde los coeficientes quedndo finlmente: ( )( ) ( ) Métodos combindos: Debe estr conciente que en lguns ocsiones l fctorizr un epresión, quedn fctores que se pueden volver fctorizr. Entonces se debe seguir utilizndo otrs técnics pr relizr l fctorizción l máimo. Este tipo de ejercicios normlmente prece el enuncido como fctorice l máimo l epresión o teng cuiddo cundo le piden verigur uno de los fctores de fctorizr l máimo o completmente. Ejemplos: Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 6

7 Fctorizr l máimo: bz bz b Fctorizmos con fctor común: b( z z ) Observe que en el préntesis es de grdo es equivlente escribir: b[( z ) ( z ) ] quedndo en el préntesis un trinomio de l form b c pr que no se confund podemos utilizr que se z reemplzmos en l epresión quedndo: b( ) clculmos el discriminnte: ( ) 0 entonces l fctorizción qued: b( 0)( 0) b( )( ) recuerde que scmos fctor común eliminmos coeficientes en nuestro cso es fctor común en mbos préntesis, nos qued fctorizdo: b( )( ) pero recuerde que z reemplzmos: b( z )( z ) note que en cd préntesis qued diferenci de cudrdos perfectos, entonces finlmente l epresión qued fctorizdo como: b( z )( z )( z )( z ) igul l epresión: b( z ) ( z ) Fctorizr l máimo: b b Utilizndo fctor común: ( b b ) en el préntesis plicmos grupmiento entonces qued fctorizdo como: ( )( b) note que en el primer préntesis qued h diferenci de cudrdos perfectos entonces finlmente qued: ( )( )( b) Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 7

8 Ejercicios: Fctorice l máimo: ) b n nb ) hj hk j k ) ( ) bz( ) b( ) ) m ( ) ( ) 5) 6) 6 7) 69 8) 6 9) mnz mnz mn 0) z z s s ) 50bc 7bc b ) br 8b ) bz bz b ) 5) b b 56( ) ( ) Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 8

9 . Simplificción de Epresiones Algebrics El consejo más grnde pr logrr con éito este tipo de ejercicios es fctorizr tods ls epresiones lgebrics luego cncelr términos igules (recuerde que se cncel un numerdor con un denomindor). Ejemplos: ) b) ( )( ) 5 0 5( ) 5 b c cb ( c)( b) c z zb z( b) z c) ( )( ) ( )( ) d) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) e) f) 6 8 ( )( ) ( ) b b b( ) b ( ) ( ) Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 9

10 Operciones de frcciones rcionles lgebrics Multiplicción Se fctoriz se simplific. L multiplicción es como prolongr l líne frccionri se multiplicn fctores; se plic el método nterior. Ejemplos ) Es como prolongr l líne frccionri: z z z b) 9 ( ) ( ) ( )( )( ) División Eisten vrios métodos pr l división, sugiero que se escrib l primer frcción intct se multiplic por el recíproco de l segund frcción. Después se resuelve con el método de multiplicción. Not: recuerde que recíproco es cmbir el numerdor con el denomindor. Si se tiene b el recíproco es b Ejemplos: ) ( ) ( ) b) 6 6 ( )( ) ( )( ) 8 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 0

11 Sums rests El método es ectmente igul como se sumn restn frcciones numérics. Recuerde que si son heterogénes se sc el mínimo común denomindor. Ejemplos: 5 8 ) note que el común ( ) ( ) denomindor es: ( ) hor se divide el común denomindor entre cd denomindor lo que d se multiplic por el numerdor: 5( ) 8( ) se resuelve ls operciones ( ) 5( ) 8 8 ntes distribuendo: ( ) ( ) ( ) Note que si fctoriz el numerdor, ningún término no se cncel con el denomindor, entonces qued hst hí. b) 6 Entonces fctorizmos los denomindores: ( )( ) ( )( ) ( )( ) Note que el común denomindor es ( )( )( ) Dividiendo el común denomindor con cd denominr lo que d se multiplic con el numerdor qued: Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

12 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin ) )( )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( Resolviendo ls operciones del numerdor: ) )( )( ( ) )( )( ( 8 ) )( )( ( ) ( 8) ( ) ( Ejercicios Reduzc un sol frcción simplifique si es posible ) ) 6 7 ) ) b b b b b 5) 6 6 6) b b b b 7) m m m m

13 . Ecuciones Cudrátics Son ecuciones de términos lgebricos de grdo dos pr resolverls se llev l form: b c 0 se clcul el discriminnte de fórmul: b c los b ± vlores de vienen ddos por: o se por el método generl pr resolver ecuciones. (Recuerde es un ecución no un fctorizción) Puede ocurrir vrios csos: ) Si el > 0 entonces l ecución tiene dos soluciones ) Si el 0 entonces l ecución tiene un solución. ) Si el < 0 entonces l ecución no tiene solución rel. Ejemplos: ) Se multiplic en cruz: 9 los términos de l izquierd se psn l derech: Se clcul el discriminnte: ( 5) ± 6 Entonces ls dos soluciones son: El conjunto solución es S, Recuerde que debe hcerlo de est mner que en l clculdor d los vlores proimdos. Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

14 b) ( ) ()(6) ± El conjunto solución: S {, } c) Elevmos l cudrdo en mbos ldos: ( ) ()( 8) 6 ± 6 El conjunto solución es: S {, } d) 0 ( ) ()() 5Entonces < 0 entonces no tiene solución rel. El conjunto solución es: S Ø o: S { } Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin

15 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 5 Eponencil Pr este tipo de ecuciones es necesrio repsr ls lees de potenci que h prendido desde sétimo ño h utilizdo por siempre. El método pr resolverls consiste en utilizr lees de potenci pr tener bses igules. En lgunos csos se necesit plicr propieddes de logritmos que este tem se tocrá hst l próim sección. Ejemplos: ) 9 7 Fctorizdo ls bses 7 9 ( ) Por lees de potenci: Y se tiene bses igules se cnceln: El conjunto solución es: } { S b) 6 8 Observe que:, L ecución se convirtió en un cudrátic

16 ( ) ( )(6) 5 ± 5 m 5 El conjunto solución de l ecución es: 5 5 S, c) 5 0,00(0 ) ()( ) 6 ± 6 El conjunto solución es: S {, } Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 6

17 Propieddes de Logritmos ) log 0 ) log log b ) b ) log 5) 6) 7) 8) n n log log log log log log log log b b log log log Se utiliz bse 0 o e generlmente 9) log e ln 0) log 0 log Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 7

18 Ejemplos: ) b) c) ( ) log b b log log log log log log log5 log log log log d) log log log log log Ecuciones Logrítmics El método consiste en utilizr propieddes de logritmos lees de potenci pr unir en un solo logritmo de l mism bse pr cncelr el logritmo similr ls ecuciones eponenciles. Al finl se pruebn ls posibles soluciones que los logritmos sólo ceptn números positivos. Ejemplos: ) log 0 Usmos propieddes de logritmos: log log 8 8 log 8 log log 8 Recuerde que los logritmos sólo ceptn números positivos es positivo entonces 8 S 8 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 8

19 b) ln ln( ) ln( 9) 0 ( ) ln ln 9 ln ln 9 ± Ahor se pruebn ls posibles soluciones pero ln sólo cept números positivos entonces se descrt -, mientrs que si sirve pr todos los logritmos. S {} c) log log( ) log( ) log00 log0 log( ( ) ) log0 0 0 ± 60 0m 5 5m Probndo logritmos: S 0 ( 0)( ) 60 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 9

20 Ejercicios: Clcule ls posibles soluciones: ) 6 ) ( )( 6) ( 5)( 8) ) ) ( )( 5) ) 0, 5 6) 5 5 7) 9 8 ( 6) 8) log log 0 9) ln m ln( m ) 0 0) log( ) log( )( ) ) ln ln ) 7 6 Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin 0

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