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1 1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión D = b 4c se llm discriminnte de l ecución. Si D > 0 l ecución tiene soluciones, porque l ríz cudrd nos d un nº positivo Si D = 0 l ecución tiene 1 solución (doble), porque l ríz cudrd nos d cero Si D < 0 l ecución no tiene solución, porque no existe l ríz cudrd de un número negtivo Ecuciones de º grdo incomplets sin término de x Son del tipo x + c = 0. Pr resolverls despejmos x y luego hllmos l ríz cudrd. Si nos d l ríz cudrd de un número negtivo, entonces l ecución no tiene solución. x + c = 0 x c x c Ejemplo: 5 9x = 0 x 5 x Ecuciones de º grdo incomplets sin término independiente Son del tipo x + bx = 0, con b 0. Pr resolverls, scmos fctor común x, igulmos cero cd fctor y despejmos x. x 0 x + bx = 0 x(x + b) = 0 b x b 0 x Ejemplo: x 5x x 0 = 0 x( 5x)=0 5x 0 x 5 Ecuciones reducibles Si hy operciones, debemos relizrls y luego resolver l ecución Si l ecución tiene denomindores podemos reducir ls frcciones común denomindor y luego eliminr los denomindores igules en los dos miembros. De est form obtenemos un ecución equivlente sin denomindores. Ejercicio 1 Resuelve ls siguientes ecuciones: ) (x 1) (x + 4) = 81 b) (x + 1) (x + 1)(x ) = 7x + x + + (x ) c) x 5(x-1) x+5 - = Ecuciones fctorizds Son ecuciones de l form P(x). Q(x).. = 0. Pr resolver este tipo de ecuciones, se igul 0 cd fctor y después se resuelven ls ecuciones que resulten. x Ejemplo: ( x)(x _ x 0 1) = 0 x 1 0 x - Págin 1 -

2 Ecuciones de grdo superior Son ecuciones del tipo P(x) = 0, siendo P(x) un polinomio de grdo superior. Pr resolverls, se fctoriz el polinomio pr encontrr ls ríces o soluciones de l mism. Ejemplo: Pr resolver l ecución x 4 + x 9x 9x = 0 descomponemos el polinomio Obtenemos l ecución fctorizd: x(x + 1)(x 9) = 0 Compruéblo! Obtenemos un ecución fctorizd que resolviéndol obtenemos: x 0 x 1 0 x 1 x 9 0 x Por tnto, ls soluciones de l ecución son: x, x 1, x, x Ecuciones bicudrds Son ecuciones del tipo x 4 + bx + c = 0 Pr resolverls se hce el cmbio: t x 4 t x Sustituyendo nos qued l ecución de º grdo t + bt + c = 0. Resolvemos l ecución y obtenemos el vlor de t ; después clculmos x hllndo l ríz cudrd Ejercicio Resuelve: ) 9x 4 + 5x 4 = 0 b) 6x x 5 Cálculo de un ecución polinómic conocids sus soluciones Si ls soluciones de un ecución polinómic de grdo n son x1, x,, xn, entonces l ecución se puede escribir de l form (x x1)(x x)... (x xn) = 0, siendo culquier número distinto de 0. Ejemplo: Un ecución de grdo cuys soluciones son x =, x = 1 y x = 1 es: (x )(x + 1)(x 1) = 0 x x x + = 0.- ECUACIONES RACIONALES Y ECUACIONES CON RADICALES Ecuciones rcionles Son ecuciones que llevn l incógnit x en el denomindor. Pr resolverls, se reduce común denomindor y se eliminn los denomindores en los dos miembros. De est form se lleg un ecución polinómic o rcionl. En este tipo de ecuciones es necesrio comprobr que los vlores obtenidos de l incógnit cumplen l ecución inicil, pues puede precer lgun solución extrñ que nule lgún denomindor. Ejercicio Resuelve: ) x 4 x 5x x 5 0 b) 1+ x x - - x x+ x+5 x = x - x -6 Ecuciones con rdicles Son ecuciones que llevn l incógnit x dentro de un ríz. Pr resolverls, se despej el término que llev l ríz y después se elevn los dos miembros de l ecución l índice del rdicl. De est form se lleg un ecución polinómic o rcionl. En este tipo de ecuciones es necesrio comprobr que los vlores obtenidos de l incógnit cumplen l ecución inicil, pues puede precer lgun solución extrñ que hg que no se cumpl l ecución inicil. Ejercicio 4 Resuelve: ) x 5 x 1 b) x 4 x 5 x c) x 4 - Págin -

3 .- SISTEMAS DE ECUACIONES Concepto de sistem de ecuciones Un sistem de ecuciones es un conjunto de dos o más ecuciones. x 5y 4 Ejemplos: x xy x y 9 x y 5 Resolver un sistem es verigur el vlor de ls incógnits pr que se cumpln tods ls ecuciones l vez. A veces, decimos simplemente sistem cundo nos referimos un sistem de ecuciones Tipos de sistems Sistems lineles: Están formdos por o más ecuciones lineles. Un ecución linel con dos incógnits es quell que se puede escribir de l form x + by = c. Por ejemplo, x + y = 6 es un ecución linel con dos incógnits. Un sistem de ecuciones lineles es un conjunto de dos o más ecuciones lineles. x 5y 4 Por ejemplo: x y 9 es un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits Sistems no lineles: Son quellos en los que hy lgun ecución que no es linel Por ejemplo, el sistem x xy es NO linel porque l primer ecución no es linel. x y 5 Método de sustitución Consiste en despejr un incógnit en un ecución y sustituirl en l otr ecución. De est form se lleg un ecución con un incógnit. Método de igulción Consiste en despejr l mism incógnit en tods ls ecuciones e igulr ls expresiones obtenids. De est form se lleg un ecución con un incógnit. Método de reducción Consiste en buscr otro sistem equivlente, o se con ls misms soluciones, en el que los coeficientes de un de ls incógnits sen números opuestos. Esto se consigue multiplicndo ls ecuciones por números decudos. Después se sumn ls ecuciones, llegándose sí un ecución con un incógnit. Ejercicio 5 Resuelve: ) x y 1 6 5x 4(y 1) b) x xy x y 5 Método gráfico pr resolver sistems de ecuciones Consiste en representr gráficmente cd ecución. c) xy 6 x y 1 Si ls gráfics se cortn, el punto o puntos de corte de ls gráfics obtenids corresponderán l solución o soluciones del sistem de ecuciones. Si ls gráfics no se cortn, entonces el sistem no tiene solución. - Págin -

4 Clsificción de sistems de ecuciones lineles con dos incógnits Los sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits se clsificn según el nº de soluciones: - Sistems comptibles determindos (S.C.D.): son los que tienen un únic solución. En este cso, se obtiene un vlor de x y otro vlor de y. Ls ecuciones corresponden dos rects secntes - Sistems comptibles indetermindos (S.C.I.): son los que tienen infinits soluciones. En este cso, se lleg un identidd del tipo 0 = 0. Ls ecuciones corresponden dos rects coincidentes - Sistems incomptibles (S.I.): son los que no tienen solución. En este cso, se lleg un contrdicción. Por ejemplo, 0 = Ls ecuciones corresponden dos rects prlels Pr clsificr un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits x by c podemos usr ls siguientes regls: x b y c b b c b c Si S.C.D. Si = = S.C.I. Si = S.I. b b c b c Ejercicio 6 Clsific e interpret geométricmente los siguientes sistems. Resuelve por el método gráfico quel que se comptible determindo: x 5y 1 x 6y 9x y 1 ) b) c) 6x 15y 5x 4y 18x 4y 4.- PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS Ejercicio 7 Un rectángulo tiene 00 cm de áre y su digonl mide 5 cm. Cuánto miden sus ldos? Ejercicio 8 En un pstelerí se fbricn dos clses de trts. L primer necesit,4 kg de ms y hors de elborción. L segund necesit 4 kg de ms y hors de elborción. Clcul el número de trts elbords de cd tipo si se hn dedicdo 67 hors de trbjo y 80 kg de ms. Ejercicio 9 Hll ls eddes de dos persons si hce 10 ños l primer tení cutro veces l edd de l segund, y dentro de 0 ños l edd de l primer será el doble de l edd de l segund. ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- ECUACIONES POLINÓMICAS 1 Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo: ) 5x 0x + 4 = 0 b) x x + = 0 c) 6x x = 0 d) 81x 49 = 0 e) 5x + x = 0 f) x = x Resuelve ls siguientes ecuciones reducibles: ) - Págin 4 - x 5 x x + = x b) (x + 1) (x + 1)(x )=7x + x + + (x ) c) (x 5)(x 1) = 9 (x ) d) (x )(x 1) (x + 5) =10 + (x + )(x ) Resuelve l siguiente ecución fctorizd: x(x 7) (x + 9) (x 5) (x + 5) = 0

5 4 Resuelve ls siguientes ecución de grdo superior: ) x x 8x + 1 = 0 b) x 4 + x x = 0 c) x 4 5x 5x + 5x + 4 = 0 d) x x 5x + 6 = 0 e) x 7x + 4 = 0 5 Resuelve ls siguientes ecuciones bicudrds: ) x 4 9x = 0 b) 9x 4 + x = 1.- ECUACIONES RACIONALES Y ECUACIONES CON RADICALES 6x 6 Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: ) 1 b) 9x 8 x x x x 5 c) x 5 x 4 x d) x x x 4 x x e) x x x x x 4 7 Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ) c) 1+ x 5 = x d) x 1 x + = 1 d) 8 Resuelve los siguientes sistems: ) x y 0 c) x y 5 d) x y 5 xy 6 5x.- SISTEMAS DE ECUACIONES x y 1 x (y x) 8x 5(y ) 19y = 4 b) x = x x e) x 5 x 6 b) x 5 y 1 4 8y (x y) y 9 Clsific los siguientes sistems y resuelve por el método gráfico los que sen SCD: x y 0 x y 4 x y 1 x y 6 ) b) c) d) x 5y 0 x 4y 18 6x y 5 1x 8y PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS 10 Pr vllr un solr rectngulr de 750 m de superficie se hn utilizdo 110 m de cerc. Hll ls dimensiones del solr. 11 El áre de un triángulo rectángulo es 10 cm y l hipotenus mide 6 cm. Cuáles son ls longitudes de los ctetos? 1 En un trtdo del álgebr escrito por el célebre mtemático Leonhrd Euler, publicdo en 1770 prece el siguiente problem: En un hosterí se lojn 0 persons entre hombres y mujeres. Cd hombre pg 8 moneds por su hospedje y cd mujer 7, del mismo vlor, scendiendo el totl de l cuent 144 moneds. Se pregunt cuántos hombres y cuánts mujeres son. 1 A un concierto de músic sisten 000 persons. Ls locliddes de siento cuestn 15 y ls demás 6. L recudción fue de Cuánts persons sistieron l concierto sentds y cuánts de pie? 14 Dentro de tres ños, l edd del buelo de Miguel será seis veces l edd que tení Miguel el ño psdo. Ls eddes de mbos hor sumn 68 ños. Qué edd tiene cd uno? 15 Hce 5 ños l edd de mi pdre er el triple de l de mi hermno y dentro de 5 ños sólo será el doble. Cuáles son ls eddes de mi pdre y de mi hermno? - Págin 5 -

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