3 Sistemas de ecuaciones lineales

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1 Solucionrio Sistems de ecuciones lineles CTIVIDDES INICILES.I. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones. ) c) 6 ), λ, λλ R, c) Sistem incomptible,.ii. En cd cso, escribe un sistem de ecuciones cu solución se l señld. ), λ λ ) λ c), λ c) 6, λ R EJERCICIOS PROPUESTOS.. Escribe en form mtricil los sistems (indic tmbién l epresión de ls mtrices mplids). ) c) ) ; * ; * c) ; * ; *.. Escribe de form desrrolld el sistem: 8 Solucionrio

2 .. Medinte el cálculo de l mtri invers, resuelve los sistems: ) 6 6 ) 8 8 [ dj( ) ] t 6 X B 8 6, t t X B,, 6.. Ddo el sistem de ecuciones lineles:, escribe sistems equivlentes él plicndo 6 9 sucesivmente ls siguientes trnsformciones: i) E E ii) E E iii) E E E iv) E E E v) E E E 6 6 E E E EE E 6 9 E E E E E EE.. Pr cd uno de los siguientes sistems de ecuciones lineles, escribe l mtri de los coeficientes e indic si son o no esclondos. ) c) ) Sí es esclondo. c) Cmbindo ecuciones, Sí es esclondo. No es esclondo. No es esclondo. Solucionrio 9

3 Solucionrio.6. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones lineles por el método de Guss: ) 6 c) e) g) 8 f) 8 h) ) Solución:,. Solución:, 6 6 c) 9 9 λ Sistem comptible indetermindo. Infinits soluciones: λ λ Sistem comptible determindo. Solución únic,, e) 6 No tiene solución. λ f) λ Infinits soluciones: 8 λ g) Infinits soluciones: λ λ h) No tiene solución. 6 Solucionrio

4 .. Pr cd uno de los siguientes sistems de ecuciones lineles, comprueb si verific ls condiciones pr plicr directmente l regl de Crmer, en cso firmtivo, resuélvelos: ) 8 c) 6 e) g) 8 6 f) h) 6 ) 9 9. Se puede plicr l regl de Crmer: , No se puede plicr directmente l regl de Crmer. c) No se puede plicr l regl de Crmer Se puede plicr l regl de Crmer: 6 8,, e) El sistem no es cudrdo. No se puede plicr l regl de Crmer directmente. f). Se puede plicr l regl de Crmer:, 6 g) El sistem no es cudrdo. No se puede plicr l regl de Crmer directmente. h) 6. Se puede plicr l regl de Crmer: ,, Solucionrio 6

5 Solucionrio.8. nlindo los rngos de ls mtrices del sistem l mtri mplid, estudi l comptibilidd de los siguientes sistems: ) 9 c) 6 8 e) 8 8 f) g) h) 8 i) j) w w w w ) rg() rg(*) n.º de incógnits SCD 9 9 rg() rg(*) < n.º de incógnits SCI 6 6 c) 6 rg() rg(*) Incomptible rg() rg(*) < n.º de incógnits SCI e) 6 6 rg() rg(*) Incomptible f) 6 8 rg() rg(*) n.º de incógnits SCD g) rg() rg(*) < n.º de incógnits SCI 8 h) 8 9 rg() rg(*) Incomptible i) rg() rg(*) n.º de incógnits SCD j) rg() rg(*) < n.º de incógnits SCI 6 Solucionrio

6 .9. plicndo el método de Guss, discute resuelve los siguientes sistems: ) c) 9 ) Sistem comptible determindo. Solución únic:,, Sistem comptible determindo. L solución únic es,,. c) Sistem comptible indetermindo. Ls infinits soluciones son: λ, λ, Por lo tnto el sistem es comptible determindo. L únic solución es,,... plicndo el teorem de Rouché l regl de Crmer, discute resuelve los siguientes sistems. ) c) 6 * ) rg() rg( * ) Sistem comptible determindo Solución únic: 6,, * 6 rg() rg( * ) Sistem comptible indetermindo Si λ, el sistem equivle: λ λ λ λ Soluciones: λ λ λ, λ. * c) rg() rg( * ) Sistem incomptible * * 9 9 rg(), rg( * ) Sistem incomptible Solucionrio 6

7 Solucionrio.. Discute resuelve, según los distintos vlores del prámetro, el siguiente sistem: * ;, CSO I. : * rg() rg( * ) < n.º de incógnits SCI Sus infinits soluciones son: λ, λ CSO II. :, * rg(), rg(* ) SI CSO III.,rg() rg( * ) n.º incógnits SCD. L solución es: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).. ) Clcul el vlor de pr que el siguiente sistem de ecuciones lineles se comptible indetermindo resuélvelo. Eiste lgún vlor rel de pr el cul el sistem nterior se comptible determindo? ) ( *) El sistem será comptible indetermindo cundo el rg( * ) rg () Resolviendo por Guss pr, el sistem es equivlente : ( ) Ls infinits soluciones pueden epresrse de l form: λ, λ, λ Es imposible que el rngo de es siempre...estudi l comptibilidd del siguiente sistem según los diferentes vlores de resuélvelo cundo se posible: 8 Mtrices del sistem: * 6 8 CSO I. Cundo. * Como rg() 8 Como 8 rg( * ) 8 Entonces: rg() rg( * ) < n.º de incógnits Sistem comptible indetermindo Sus infinits soluciones son: λ, λ, λ 6 Solucionrio

8 CSO II. Cundo, rg() rg( * ) n.º incógnits El sistem es comptible determindo. Su solución por l regl de Crmer: 8 8, 8,.. Clcul el vlor de pr que el siguiente sistem teng un únic solución hll, pr este vlor, dich solución: El sistem es comptible determindo si rg() rg( * ) 8 Pr, rg() rg( * ) n.º incógnits, que L únic solución, en este cso, es: 6,, 6.. Discute resuelve, en los csos en que se posible, los siguientes sistems homogéneos. ) c) e) 6 f) ) SCD. Únic solución:,, SCI. Si λ, el sistem es equivlente : λ λ Sus soluciones: λ, λ, c) El sistem es equivlente { Comptible indetermindo. Sus infinits soluciones de deben escribir con l ud de dos prámetros: λ μ, λ, μ Comptible indetermindo. Sus infinits soluciones son, λ, λ. e) El sistem es equivlente { Comptible indetermindo. Sus infinits soluciones se deben escribir con l ud de dos prámetros: λ μ, λ, μ f) rg() El sistem es comptible determindo. Su únic solución es l trivil:,. Solucionrio 6

9 Solucionrio.6.Hll ls ecuciones de ls rects que psn por los puntos: ) (, ) B(, ) (, ) B(, ) c) (, ) B(, ) Ls ecuciones de ls rects son de l form m b. ) m b m b 6 m 6 Ecución de l rect: b 6 m b m b m b Ecución de l rect: c) m b m m b 6 Ecución de l rect: 8 b 6..Clcul ls ecuciones de los ldos del triángulo de vértices: (, ) B(, ) C(, ) El ldo que ps por B: m b m b 8 8 m b 8 Ecución de l rect: 8 Y O B X El ldo que ps por C: m b m b C 6 m b Ecución de l rect: El ldo que ps por B C: 66 Solucionrio

10 .8. Estudi l posición reltiv de ls siguientes prejs de rects represéntls. ) r: s:9 r: s: c) r: s: 6 r Y Se plnte el sistem formdo por ls ecuciones de ls rects se estudi su comptibilidd. O X ) 9 9 rg() rg( * ) Incomptible. Ls rects son prlels. r Y s s rg() rg( * ) n.º de incógnits Comptible determindo con solución únic:. Ls rects son secntes se cortn en el punto P(, ). O X c) 6 6 rg() rg( * ) < n.º de incógnits Comptible indetermindo Ls rects son coincidentes. r s Y O X.9. Se considern tres brrs de metl compuests de l siguiente form: Primer brr: g de oro, g de plt g de cobre. Segund brr: g de oro, g de plt 9 g de cobre. Tercer brr: g de oro, de plt g de cobre. Qué cntidd deberá tomrse de cd un de ls brrs pr obtener otr que conteng g de oro, 6 g de plt 9 g de cobre? L composición de cd brr es: es oro, es plt es cobre, en l primer; es oro, es plt 9 es cobre, en l segund es oro, es plt es cobre, en l tercer. Si tommos grmos de l primer brr, de l segund de l tercer, el sistem de ecuciones lineles resolver es: , 6, Deberán tomr 6 grmos de cd brr. Solucionrio 6

11 Solucionrio.. En un determindo periodo de tiempo l poblción de un determind loclidd h vrido. Se conocen los siguientes dtos: L poblción l comieno del periodo er de hbitntes l finl de. Ncieron persons más de ls que fllecieron. L diferenci entre ls persons que inmigrron ls que emigrron fue de. Entre ncimientos e inmigrntes sumron. Es suficiente l informción pr verigur el número de ncimientos, defunciones, inmigrntes emigrntes correspondientes ese período? L ecución fundmentl de l poblción es: Pf Pi N D I E Con est ecución los dtos, se puede escribir el sistem: N D I E N D I E N D N D I E I E N I N I Sistem Comptible indetermindo. No se puede determinr con ectitud el vlor de ls vribles. EJERCICIOS orm mtricil de un sistem.. Escribe en form mtricil los siguientes sistems. ) 9 c) ) 9 c) 68 Solucionrio

12 Solucionrio.. Pr cd uno de los siguientes sistems, escribe l mtri de los coeficientes l mtri mplid: ) c) ) * c) * * *.. Escribe de form desrrolld los siguientes sistems. ) c) ) c) Soluciones de un sistem.. Ddo el sistem de ecuciones lineles: escribe sistems equivlentes él plicndo sucesivmente ls siguientes trnsformciones. i) E E E ii) E E E iii) E E E E E E E E E E E E.. Ddo el sistem: c b clcul el vlor de, b c pr que l tern (,, ) se solución del mismo. ( ) ( ),, b b c c 69

13 Solucionrio Método de Guss.6. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones lineles por el método de Guss. ) ) 6 8 SCD. Solución:, SCD. Solución:,.. (TIC) Resuelve los siguientes sistems de ecuciones lineles por el método de Guss. ) c) e) 6 g) f) h) ) 6 Sistem comptible determindo. Solución:,, Sistem comptible determindo. Solución:,, c) 8 8 Sistem incomptible 8 SCI. Soluciones: 6λ, λ, λ e) 6 6 Sistem incomptible f) Sistem comptible indetermindo. Soluciones: λ, λ, λ g) 6 6 Sistem incomptible. 9 h) SCI. λ, λ, λ Solucionrio

14 .8. plicndo el método de Guss, estudi resuelve los siguientes sistems de dos ecuciones lineles con tres incógnits. ) ) 6 8 Sistem comptible indetermindo 6 Soluciones: λ, λ, λ Sistem incomptible.9. (TIC) plicndo el método de Guss, estudi resuelve los siguientes sistems de cutro ecuciones lineles con dos incógnits. ) 9 ) 9 Sistem comptible determindo. Solución:, Sistem incomptible.. (TIC) plicndo el método de Guss, estudi resuelve el siguiente sistem de cutro ecuciones lineles con cutro incógnits. ) w 8 w w w w w w w ) Sistem comptible determindo. Solución:,,, w Sistem comptible indetermindo. λ λ λ Soluciones:,,, w λ Solucionrio

15 Solucionrio Regl de Crmer.. Resuelve los siguientes sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits utilindo l regl de Crmer. ) c) 6 ) c) Resuelve los siguientes sistems de tres ecuciones lineles con tres incógnits utilindo el método de Crmer. ) c) 6 ), 8,,, c),, Como, el sistem no es comptible determindo no se puede resolver por Crmer. 6 Solucionrio

16 .. (TIC)Ddo el sistem de cutro ecuciones con cutro incógnits: w w w ) Comprueb que verific ls condiciones pr plicr l regl de Crmer. Clcul su solución. ),,, w Teorem de Rouché.. Discute con l ud del teorem de Rouché resuelve medinte l regl de Crmer los sistems: ) 6 c) ) ( ) * rg() rg( * ) n.º incógnits SCD 8 6 Solución: ( * ) 6 rg() rg( * ) < n.º incógnits SCI. Soluciones: λ, λ c) ( * ) ( ) rg() rg( * ) Sistem incomptible * rg() rg( * ) SCD. El sistem es equivlente. Solución:, Solucionrio

17 Solucionrio.. Discute con l ud del teorem de Rouché resuelve medinte l regl de Crmer los sistems: ) c) e) f) 6 ) ( ) *, rg() rg(*) SCD. Solución: 9 6, ( ) * Sistem Incomptible. 8 rg() ; 96 rg(*) c) ( ) * Sistem comptible indetermindo. El sistem es equivlente : Solución: 6λ, λ, λ ( ) Solución: * rg() rg(*) 9 8 rg() rg(*) SCD, λ λ, e) ( ) * rg(*) Sistem incomptible rg() ; f) ( ) Solución: 6 * 6 rg() rg(*) SCD 6 8, 6 6, 6 6 Solucionrio

18 .6. Discute con l ud del teorem de Rouché resuelve medinte l regl de Crmer los sistems: 8 6 ) c) ) * ( * ) rg () rg( * ) SCD El sistem es equivlente : Solución: ( * ), 6 6, rg() rg( * ) rg() rg(*) < n.º incógnits SCI El sistem es equivlente : c) ( * ) Sistem incomptible ( * ) λ Solución:, λ, λ 9 * 9 rg() rg( * ) rg() rg( * ) Sistem incomptible 8.. Estudi resuelve, en su cso, el sistem: w w * Un menor de orden etrído de l mtri de coeficientes: rg() rg( * ) < n.º incógnits. Por tnto, el sistem es comptible indetermindo. Solución: Si λ λ w λ, λ,, w w Solucionrio

19 Solucionrio Sistems con un prámetro.8. (PU) Estudi los siguientes sistems según los vlores del prámetro resuélvelos en los csos en que se posible. ) ( ) 6 c) ( ) 6 e) ( ) ( ) f) 9 rg() rg(*) n.º incógnits Sistem comptible determindo pr culquier vlor de. ) ( * ) Solución:, , ( ) * CSO I. ( * ) Soluciones: λ, λ CSO II. ( ) rg() rg(*) < n.º incógnits SCI * rg() rg(*) Sistem incomptible CSO III. rg() rg(*) n.º incógnits SCD Solución: c) ( * ) CSO I. ( * ) 9 rg() rg(*) < n.º incógnits SCI Soluciones: λ, λ CSO II. rg() rg(*) n.º incógnits Sistem comptible determindo Solución: ( ) , * ; rg () pr culquier vlor de., CSO I. ( * ) CSO II. ( * ) rg() rg(*) < n.º incógnits SCI. Soluciones: λ, λ. rg() rg(*) < n.º incógnits SCI. Soluciones: λ, λ CSO III. rg() rg(*) Sistem incomptible 6 Solucionrio

20 e) ( * ) CSO I. ( * ) rg() rg(*) Sistem comptible indetermindo. Soluciones: λ, λ CSO II. ( * ) rg() rg(*) Sistem incomptible CSO III. rg() rg(*) n.º incógnits Sistem comptible determindo. Solución:, f) ( ) * ; CSO I. ( ) CSO II. ( ) * rg () rg (*) < n.º incógnits SCI. Soluciones: λ, λ * rg () rg (*) Sistem incomptible CSO III. rg () rg (*) n.º incógnits SCD Solución:,.9. (PU) Estudi los siguientes sistems según los vlores del prámetro resuélvelos en los csos en que se posible. ) 6 ( ) ( ) ) ( ) c) 9 6 e) f) *, rg() 6 * rg() rg( * ) SCI 6 Soluciones: λ, λ, λ CSO II. 6 rg() rg( * ) Sistem incomptible CSO I. 6 ( ) 8 6 ( * ) 6 CSO I. ( * ) 6 rg() rg( * ) SCI λ λ 6 Soluciones:,, λ CSO II. rg() rg( * ) SCD Solución:,, 6 6 g) h) Solucionrio

21 Solucionrio Solucionrio c) ( ) * 9 6 rg(). Un menor de orden de l mtri mplid: 8 9 CSO I. 8 rg() rg (*) SCI. Soluciones: 6λ, λ, λ CSO II. 8 rg() rg(*) Sistem incomptible ( ) *, CSO I. ( ) * rg() rg(*) SCI. Soluciones:, λ, λ CSO II. ( ) * rg() rg(*) Sistem incomptible CSO III. rg() rg(*) Sistem comptible determindo Solución:,, e) ( ) * ( )( ) ó CSO I. ( ) * rg() rg(*) Sistem incomptible CSO II. Todos los términos de ls mtrices de coeficientes mplid son rg() rg(*) Sistem comptible indetermindo. Soluciones: μ λ λ μ CSO III. rg() rg(*) Sistem comptible determindo. Solución:,, f) ( ) * ) ( CSO I. rg() rg(*) SCI. Soluciones:,, λμ λ μ CSO II. rg () rg(*) Sistem Comptible determindo. Solución:,, g) ( ) *, CSO I. ( ) * rg() rg(*) SCI. Soluciones: λ,, λ CSO II. ( ) * rg() rg(*) Sistem incomptible CSO III. rg() rg(*) Sistem comptible determindo Solución:,, 8

22 Solucionrio h) ( ) * 6 CSO I. ( ) * rg() rg(*) SCI. Soluciones: λ, λ, λ. CSO II. rg() rg(*) Sistem comptible determindo Solución: 6, 6, 6.. (PU) Estudi los siguientes sistems homogéneos según los vlores del prámetro resuélvelos en los csos en que se posible. ) 6 c) ) 6, CSO I. rg() rg(*) SCI. Soluciones: 9λ, 6λ, λ CSO II. rg() rg(*) SCI Soluciones:, λ, λ CSO III., rg() rg(*) SCD. Solución trivil: 6 8 CSO I. 8 rg() rg(*) SCI. Soluciones: λ, λ, 9λ CSO II. 8 rg() rg(*) SCD. Solución trivil: c) 6 8 CSO I. 8 rg() rg(*) SCI. Soluciones: λ, λ, 9λ CSO II. 8 rg() rg(*) SCD. Solución trivil: rg() rg(*) SCI Soluciones: -λ, λ, λ Si el sistem es de dos ecuciones con dos incógnits, en este cso, es comptible determindo su solución es l trivil:,, 9

23 Solucionrio Solucionrio.. (PU) Clcul el vlor de m pr que el siguiente sistem de ecuciones lineles se comptible indetermindo escribe ls infinits soluciones pr este vlor hlldo. (plic el método de Guss.) m ( ) m m m * Pr que el sistem se comptible indetermindo, l últim ecución se de l form, por tnto, el vlor de m debe ser m. Pr este vlor, ls infinits soluciones se pueden epresr medinte ls ecuciones: λ,, λ... (PU) Discute resuelve según los vlores del prámetro k el sistem: k k ( ) k k * rg() 8 k k * k, k 8 CSO I. k rg() rg( * ) Sistem comptible determindo. Considerndo ls dos últims ecuciones del sistem, l solución es, CSO II. k 8 rg() rg( * ) Sistem comptible determindo. Considerndo ls dos últims ecuciones del sistem, l solución es, 8 CSO III. k k 8 rg() rg( * ) Sistem incomptible Sistems homogéneos.. (TIC)Estudi resuelve los siguientes sistems homogéneos. ) c) e) g) 8 6 f) h) w w ) 6 rg() Sistem comptible determindo. Solución trivil:,, 6 rg() SCI. Soluciones: λ, λ, λ c) rg() Sistem comptible indetermindo. Soluciones: λ,, λ El sistem es equivlente { rg() SCI. Soluciones: λ μ, λ, μ e) rg() Sistem comptible determindo. Solución trivil:,,. f) El sistem es equivlente { rg() Sistem comptible indetermindo Soluciones: λ μ, λ, μ 8

24 g) 8 rg() Sistem Comptible determindo. Solución trivil:,, h) rg() Sistem Comptible indetermindo. λμ Soluciones: λ, w μ λμ λ, μ, λ, w μ Interpretción geométric de sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits.. Clcul ls ecuciones de ls rects que limitn el recinto sombredo de l figur. Y B C O D X Los vértices son los puntos: O(, ) (, ) B(, ) C(, ) D(, ). Ls ecuciones de ls rects son de l form m b. Rect O: Rect B: b m 9 m b Rect BC: m b m b Rect CD: Rect DO: m, b.. Represent los sistems propuestos, prtir de sus gráfics, clcul ls soluciones, si es posible. ) 6 ) Y O X L solución es el punto de corte:,. Y O X Como ls rects son coincidentes, ls soluciones son todos los puntos de ls misms: λ, λ Solucionrio 8

25 Solucionrio Solucionrio.6. Estudi ls posiciones reltivs de los siguientes pres de rects. ) 8 : s : r c) : s : r : s : r : s : r Represent gráficmente cd prtdo. Se plnte el sistem formdo por ls ecuciones de ls rects se estudi su comptibilidd. ) 8 8 rg() rg( * ) n.º de incógnits SCD. Solución únic:, Ls rects son secntes se cortn en el punto P(, ). rg() rg( * ) Sistem incomptible Ls rects son prlels. c) rg() rg( * ) < n.º de incógnits SCI Infinits soluciones: los puntos de l rect. Ls rects son coincidentes. rg() rg( * ) n.º de incógnits comptible determindo con solución únic: 6, Ls rects son secntes se cortn en el punto P 6,... Clcul los vlores de k pr que ls rects r s de ecuciones: r: k k ) ( s: ) ( ) ( k k ) Sen prlels. Sen secntes. ) El sistem ) ( ) ( ) ( k k k k debe ser incomptible. Pr ello, rg() rg(*) ( ) k k k k * ) )( ( k k k k k k, k CSO I. k ( ) * rg() rg(*). Ls rects son prlels. CSO I. k ( ) * rg() rg (*). Ls rects son prlels. Son secntes cundo el sistem es comptible determindo k, k, que en ese cso rg() rg (*). 8 O X r s Y O X r s Y O X s r Y O X s r Y

26 Problems.8.(PU) En un clse de segundo de Bchillerto, por cd tres lumnos que estudin Tecnologís de l informción, die estudin Comunicción udiovisul, por cd dos lumnos que estudin Tecnologís de l informción, tres estudin rncés. Clcul el número de lumnos que cursn cd un de ls mteris mencionds sbiendo que en l clse h lumnos que cd uno de ellos sólo está mtriculdo en un de ls signturs. : lumnos Tecnologí de l informción : lumnos Comunicción udiovisul : lumnos rncés 9,, 6 Por tnto, 6 lumnos estudin Tecnologí de l informción, Comunicción udiovisul 9 rncés..9. (PU)En un tiend de rop se liquidn los pntlones que hn queddo sin vender en l tempord. Los h de tres tipos: Sin defecto, todos l mismo precio de euros. Con defecto no precible, con un rebj del % sobre el precio de los nteriores. Con defecto precible, con un rebj del 6% sobre el precio de los que no tienen defecto. H pntlones pr vender. El precio totl de todos ellos es de 8 euros, los que tienen defecto suponen el % de los que no lo tienen. Cuántos pntlones h de cd clse? : pntlones sin defecto : con defecto no precible : con defecto precible ,, H sin defecto, con defecto no precible con defecto precible. Solucionrio 8

27 Solucionrio.. Escribe l epresión de un polinomio de tercer grdo P() de form que: P() P() P( ) P( ) 6 P ( ) b c d d b c b c d b b b c b c d b c b c 8 b c d 6 d El polinomio es: P ( ).. (PU) En un ppelerí entrn tres clientes: el primero compr cutro lpiceros seis goms de borrr pg,6 euros; el segundo compr cinco lpiceros tres bolígrfos pg, euros, el tercero pg, euros por cinco goms de borrr dos bolígrfos. ) verigu el precio de cd uno de los productos. Cuánto deberá pgr otro cliente por cinco lpiceros, cinco goms de borrr die bolígrfos? ) precio de cd lpicero precio de cd gom de borrr precio de cd bolígrfo 6 6,,,, 8, 8, 8, 8, 6, 9,, 6 9,,,, 8,,, Cd lpicero cuest, ; cd gom de borrr,, cd bolígrfo,,. El nuevo cliente deberá pgr,,,,... (PU) Un fábric de perfumes dispone de 6 L de un producto de L de otro producto B. Meclndo los productos B se obtienen diferentes perfumes. Este ño se quieren preprr dos clses de perfume: el de l primer clse llevrá tres prtes de un de B, será vendido euros el L, el de l segund clse llevrá los productos B l % será vendido 6 euros el L. ) Cuántos litros de cd clse de perfume se podrán preprr? Qué ingresos totles se obtendrán por l vent de l totlidd de los productos fbricdos? ) : número de litros que se preprrá de l primer clse. : número de litros que se preprrá de l segund Se preprrán L del perfume de l primer clse 6 del de l segund. El ingreso totl que se obtendrá: I Solucionrio

28 .. (PU) En un tiend de reglos se dquiere un libro un pulser. L sum de los precios que mrcn los dos productos es de euros, pero el dependiente inform l cliente de que los libros están rebjdos el 6%, ls pulsers, el %, por lo que en relidd debe pgr, euros. ) Qué precio mrcbn el libro l pulser? Qué precio se h pgdo finlmente por cd uno de estos dos productos? ) : precio inicil del libro :precio de l pulser, 9, 88,, 9, 88,, Por tnto, el libro mrcb l pulser,., 9, 88,,, 6, 9 inlmente, se h pgdo 9, por el libro por l pulser... Hll un número de tres cifrs sbiendo que su sum es, que l cifr de ls uniddes es igul l semisum de ls cifrs de ls centens de ls decens, que, por último, el número que result l invertir ls cifrs del buscdo es 98 uniddes más pequeño que este. Llmndo ls centens, ls decens, ls uniddes. 6,, 98 El número buscdo es el 6... (PU) Determin l medid de cutro pess de un bln si se sbe que pesds en grupos de tres dn como resultdos respectivos 9,, g. Si,, son ls medids de ls pess g, g, g, g Solucionrio 8

29 Solucionrio.6. Tres rroos diferentes surten de gu un depósito de gu destind l consumo humno. El primero el segundo juntos trdn 6 hors en llenrlo; el primero el tercero juntos, hors, el segundo el tercero, 9 hors. ) Clcul el tiempo que trdrá en llenr el estnque cd uno de los rroos por seprdo. Clcul el tiempo que trdrán los tres rroos juntos en llenr el estnque. ) Si el primero trd hors, el segundo hors el tercero hors, en un sol hor cd uno de ellos llenrí, del estnque respectivmente. b 6 6 b c c b c Por tnto, b, c hors,, hors, hors Los rroos trdrán: 8 hors 8 minutos,.. (PU) Ddo el sistem : ) ñde un tercer ecución pr que se incomptible. ñde un tercer ecución pr que se comptible determindo. c) ñde un tercer ecución pr que se comptible indetermindo. ) Se escribe un ecución cuo primer miembro se, por ejemplo, l sum de los de ls dos ecuciones dds que el término independiente se diferente de l sum de los términos independientes de ls ecuciones dds: Se escribe un ecución linelmente independiente de ls dos dds: c) Se escribe un ecución que se, por ejemplo, sum de ls dos dds: 6 86 Solucionrio

30 Solucionrio.8. ) Escribe rondmente un sistem comptible indetermindo que teng cutro ecuciones tres incógnits. Escribe rondmente un sistem linel homogéneo con tres ecuciones tres incógnits de form que (,, ) se un solución. ) Un form de conseguirlo es escribir dos ecuciones independientes, l siguiente igul l sum de ls dos primers l últim igul l diferenci de ls dos primers. Se escriben dos ecuciones independientes cu solución se (,, ) otr que se l sum de ls dos primers:.9. Escribe de form rond: ) Un sistem linel de tres ecuciones dos incógnits con infinits soluciones. Un sistem de dos ecuciones tres incógnits un únic solución. c) Un sistem linel homogéneo con dos ecuciones tres incógnits cu únic solución se (,, ). Un sistem linel homogéneo con tres ecuciones tres incógnits, dos de cus soluciones sen (,, ) (,, ). ). Ls ecuciones segund tercer son proporcionles l primer. No es posible que el rngo de no puede ser pr que coincid con el número de incógnits. c) No es posible que deberí ser comptible determindo pr ello, el rngo de deberí ser, en este cso es imposible. λ μ μ μ λ El sistem puede ser :.6.(PU) L sum de ls eddes ctules de tres hermnos es 6 ños. Hce dos ños, l edd del medino er ños más que un tercio de l sum de ls eddes de los otros dos, dentro de cutro ños, el menor tendrá 9 ños más que l quint prte de l sum de los otros dos. Hll ls eddes ctules de cd uno de los hermnos. Si ls eddes ctules son,, : ,, 6 Ls eddes ctules de los tres hermnos son, 6 ños. 8

31 Solucionrio.6. (PU) En un poblción se hn presentdo dos prtidos políticos B, ls elecciones municiples se hn contbilido 66 votos. Si 6 votntes del prtido hubiesen votdo B, mbos prtidos hbrín emptdo votos. L sum de votos no válidos en blnco supone el % de los que hn votdo o B. Hll el número de votos obtenidos por cd prtido. : número de votos l prtido : número de votos l prtido B : número de votos en blnco , El prtido h obtenido 8 votos el B,..6.(PU) L producción de biciclets de montñ precis ls siguientes cciones: montje de ls pies, juste de los cmbios control de clidd. Un empres produce tres tipos de biciclets: pr niños, pr jóvenes pr dultos mores de ños. L siguiente tbl muestr ls hors necesris pr llevr cbo cd un de ls cciones en cd un de ls clses de biciclet mencionds: Niño Joven dulto Montje juste Control Por otr prte, se cuent con l siguiente disponibilidd totl de hors de trbjo: Montje: juste: Control: 8 Comprueb si eiste lgun posibilidd de fbricción que consum tods ls hors disponibles. : biciclets de niño : de joven : de dulto 8 8, bricndo biciclets de niño, 9 de joven de dulto mor de ños, se consumen ectmente ls hors disponibles. 88 Solucionrio

32 Profundición.6. Estudi los siguientes sistems según los vlores del prámetro resuélvelos en los csos en que se posible. ) 6 6 c) ) ( * ) 6 6 * 6 6 ( 6) CSO I. 6 rg( * ) rg() Sistem incomptible CSO II. 6 rg() rg( * ) Sistem comptible determindo. Solución:,,. Sus dos menores orldos de orden tres son:, 8 que son nulos sólo si. CSO I. rg() Sistem comptible determindo. Solución trivil:,, CSO II. rg() Sistem comptible indetermindo. Soluciones: λ, λ, λ c) ( * ) * ( ) CSO I. rg( * ) rg() Sistem incomptible CSO II. Como 9 rg() rg( * ) Sistem comptible indetermindo λ Soluciones:,, λ ( * ) * 9 CSO I. rg( * ) rg() Sistem incomptible CSO II. rg () rg( * ) Sistem comptible determindo. Solución:,, Solucionrio 89

33 Solucionrio.6. Resuelve el siguiente sistem de ecuciones. Hciendo ( ) Solución:, B C, se obtiene el sistem: B C B C * rg() rg( * ) Sistem comptible determindo, 6 B, C, 6,.6. Clcul los vlores de b pr que los sistems de ecuciones lineles 9 6 b sen comptibles equivlentes. b 6 Se form un nuevo sistem con ls ecuciones de los dos sistems que no tienen prámetros: 6 6 Sistem comptible determindo. Solución:,, Est es l solución de los dos sistems. Por tnto, tods ls ecuciones deben verificrl: ( ) 9 ( ) b, b b ( ) 9 Solucionrio

34 .66. Encuentr los vlores de b que hcen que el siguiente sistem se incomptible. b El sistem es incomptible si rg() rg( * ). ( ) * b Por tnto, debe verificrse que rg() b 8b 9b 6 b El sistem es comptible si l sum de los vlores de b es distint de..6.discute el siguiente sistem según los diferentes vlores de los prámetros b. Resuélvelo en los csos en que se comptible indetermindo. b ( ) * b CSO I., b ( ) b b * Soluciones: λ, λ, λ rg() rg ( * ) Sistem comptible indetermindo CSO II., b rg() rg( * ) Sistem incomptible CSO III. rg() rg( * ) Sistem comptible determindo Solución: b b, b b, b b Solucionrio 9

35 Solucionrio RELCION Y CONTEST Elige l únic respuest correct en cd cso:.. Dds ls dos ecuciones siguientes: Qué ecución de ls siguientes debe ñdirse ests dos pr que el sistem se incomptible? ) B) C) D) E) L respuest correct es l B., que se obtiene un sistem de tres ecuciones con tres incógnits tles que el rngo de de l mtri de los coeficientes es el de l mplid, luego el sistem es incomptible... El rngo de l mtri de los coeficientes de ls incógnits en un sistem de ecuciones lineles es. El rngo de l mtri mplid: ) Es seguro que vle. B) Es seguro que vle. C) Puede vler ó. D) Puede vler ó. E) Puede vler. L respuest correct es l D. puede vler ó, que en un sistem de ecuciones lineles, el rngo de l mtri mplid es siempre o igul o un unidd mor que el rngo de l mtri de coeficientes... El sistem de ecuciones lineles ) Tiene como únic solución (,, ). B) Un de sus soluciones es (,, ). C) Sus únics soluciones son (,, ) (,, ). D) Es incomptible. E) Ningun de ls nteriores opciones es ciert. L respuest correct es l B. un de sus soluciones es (,, ), es un SCI porque rg() rg(b) < n.ºincóg 9 Solucionrio

36 .. Los vlores que hcen que el sistem ) no se comptible determindo son: B) C), D) E), L respuest correct es l C.,, porque pr que no se un sistem comptible determindo, el rngo de l mtri de los coeficientes h de ser diferente, es decir, el determinnte de debe ser cero.. El vlor de m que hce que ls rects del plno r: s: m sen prlels es: ) m B) m C) m D) m 9 E) m L respuest correct es l E. m 9, pr que ls rects sen prlels, el sistem debe ser incomptible. Por tnto, los coeficientes de ls incógnits deben ser proporcionles pero los coeficientes independientes no deben gurdr est proporción. Señl en cd cso ls respuests corrects:.6. Ls infinits soluciones del sistem son: ) λ,, λ B) λ,, λ C) λ, λ, λ D) λ,, λ E) El sistem no tiene infinits soluciones Ls respuests corrects son l, λ,, λ, l B, l sustituir estos vlores se verificn ls ecuciones l ve. λ,, λ. Solucionrio 9

37 Solucionrio.. En un sistem de n ecuciones lineles con m incógnits: ) Si n m, entonces el sistem no puede ser incomptible. B) Si n m, entonces el sistem no puede ser comptible determindo. C) Si n m, entonces el sistem es comptible indetermindo. D) Si n, m el sistem es homogéneo, entonces es comptible indetermindo. E) Ningun de ls nteriores opciones es ciert. Ls respuests corrects son l B. Si n m, entonces el sistem no puede ser comptible determindo, que el rngo de l mtri de coeficientes no puede ser l D) si n, m el sistem es homogéneo, entonces es comptible indetermindo que posee l solución trivil,por tnto, no puede ser incomptible. Elige l relción correct entre ls dos firmciones dds:.8. Se consider un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits. ) El rngo de l mtri de los coeficientes de ls incógnits es. El sistem es comptible determindo. ) es equivlente b. B) implic b, pero b no implic. C) b implic, pero no implic b. D) b no se pueden dr l ve. E) Ningun de ls dos firmciones se puede verificr. L respuest correct es l D. b no se pueden dr l ve. Pr que un sistem linel de tres ecuciones con tres incógnits se comptible determindo, debe verificr como únic condición que el rngo de l mtri de los coeficientes se. Señl el dto innecesrio pr contestr:.9. Se quiere resolver el sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits. Pr ello se dn los siguientes dtos: ) Ls dos primers ecuciones son. El sistem tiene un únic solución. c) El determinnte de l mtri de los coeficientes vle. El determinnte cu primer column son los coeficientes independientes cus segund tercer columns son los coeficientes de l segund tercer incógnit, respectivmente, vle. ) Puede eliminrse el dto. B) Puede eliminrse el dto b. C) Puede eliminrse el dto c. D) Puede eliminrse el dto d. E) No puede eliminrse ningún dto. L respuest correct es l B. Puede eliminrse el dto b, que si el determinnte de l mtri de coeficientes es, el rngo de dich mtri vle, por tnto, con seguridd el sistem es comptible determindo. 9 Solucionrio

38 nli si l informción suministrd es suficiente pr contestr l cuestión:.. Se quiere estudir l comptibilidd de un sistem de ecuciones lineles. Se conoce que: ) L mtri de los coeficientes del sistem es un mtri esclond con un número de fils no nuls igul l número de incógnits del sistem. El rngo de l mtri mplid es igul l número de incógnits. ) Tnto l informción como l b son suficientes, por sí sols, pr estblecer que el sistem es comptible determindo B) Pr estblecer que el sistem es comptible determindo, l informción es suficiente por sí sol, pero l b no. C) Pr estblecer que el sistem es comptible determindo, l informción b es suficiente por sí sol, pero l no. D) Son necesris ls dos informciones junts. E) Hcen flt más dtos. L respuest correct es l B. Pr estblecer que el sistem es comptible determindo, l informción es suficiente por sí sol(grcis l método de Guss), pero l b no, que el rngo de l mtri de los coeficientes puede ser igul l número de incógnits disminuido en un unidd. Solucionrio 9

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