- sen(x) cos(x) cos(x) sen(x)

Transcripción

1 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ÁLGEBRA) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Dí: CURSO 5-6 Opción A.- ) [ punto] Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A+B) =A +AB+B? Justific l respuest. b) [,5 puntos] Clcul, según los vlores de, el rngo de l mtriz M = ) [,5 puntos] El determinnte 8 5 vle cero pr =. Comprueb est firmción sin desrrollrlo e indicndo ls propieddes de los determinntes que pliques. b) [ punto] Determin todos los vlores de "" pr los que ls tres columns del determinnte nterior representn vectores linelmente dependientes. Justific l respuest..- Consider el sistem de ecuciones: x -y- z =, x +y-z = -, x - z =. ) [,5 puntos] Existe un solución del mismo en l que y =? b) [,5 puntos] Resuelve el sistem homogéneo socido l sistem ddo..- Un tiend vende un clse de clcetines pts. el pr. Al llegr ls rebjs, durnte el primer mes reliz un % de descuento sobre el precio inicil y en el segundo mes un % tmbién sobre el precio inicil. Sbiendo que vende un totl de 6 pres de clcetines por 5976 y que en ls rebjs h vendido l mitd de dicho totl, cuántos pres de clcetines se les h plicdo el descuento del %? Opción B cos(x) sen(x).- Ddo x, consider l mtriz A = - sen(x) cos(x) ) [ punto] Clcul A A t, donde A t denot l mtriz trspuest de A. b) [,5 puntos] Prueb que A tiene invers y hálll. b c.- Consider l mtriz A = b c donde, b y c son no nulos. c ) [ punto] Determin el número de columns de A que son linelmente independientes. b) [,5 puntos] Clcul el rngo de A y rzon si dich mtriz tiene invers..- Consider el sistem de ecuciones α - x - α y = 5, - 6 z ) [ punto] Pr qué vlores de no tiene invers l mtriz de coeficientes del sistem nterior? b) [,5 puntos] Discute sus soluciones según los vlores de..- [,5 puntos] En un supermercdo se ofrecen dos lotes formdos por distints cntiddes de los mismos productos. - El primer lote está compuesto por un botell de cervez, tres bolss de cchuetes y siete vsos y su precio es de,5. - El segundo lote está compuesto por un botell de cervez, cutro bolss de cchuetes y diez vsos y su precio es de 5,5. Con estos dtos podrís verigur cuánto deberí vler un lote formdo por un botell de cervez, un bols de cchuetes y un vso? Justific l respuest.

2 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A.- ) [ punto] Si A y B son dos mtrices cudrds y del mismo orden, es ciert en generl l relción (A+B) =A +AB+B? Justific l respuest. b) [,5 puntos] Clcul, según los vlores de, el rngo de l mtriz M = ) Si A y B son dos mtrices cudrds del mismo orden se verific: (A+B) = A +AB +BA+ B como en generl el producto de mtrices no verific l propiedd conmuttiv, normlmente AB BA, luego l iguldd (A+B) = A +AB + B en generl no es ciert. b) Entendemos por rngo de un mtriz el número de fils o columns que son linelmente independientes. En nuestro cso observmos que l ª column es el doble de l ª y l ª column es el triple de l mism, por lo tnto pr el cálculo del rngo podemos prescindir de l ª y ª columns, quedndo: rg(m) = rg = rg 8 Observmos que: - Si = 8 - Si 8 8 = y = rg(m) =. rg(m) =..- ) [,5 puntos] El determinnte vle cero pr =. Comprueb est firmción sin desrrollrlo e indicndo ls propieddes de los determinntes que pliques. b) [ punto] Determin todos los vlores de "" pr los que ls tres columns del determinnte nterior representn vectores linelmente dependientes. Justific l respuest. ) Si sustituimos por el determinnte qued como Como l ª column es combinción linel de l ª y ª (sum de mbs) el determinnte es nulo. b) Ls tres columns del determinnte nterior representn vectores linelmente dependientes si el vlor del mismo es cero. Hllemos el vlor del determinnte A = =. =. - =. = (- +5-8) Obliguemos que se nulo: (- +5-8) = -6(-)(-) =

3 con soluciones =, = y =..- Consider el sistem de ecuciones: x -y- z =, x +y-z = -, x - z =. ) [,5 puntos] Existe un solución del mismo en l que y =? b) [,5 puntos] Resuelve el sistem homogéneo socido l sistem ddo. ) Clculmos l comptibilidd del sistem. L mtriz socid y su determinnte vlen: - - A = - A = -++- = - - Como el menor, rg(a) =. L mtriz mplid es A' = = +-8+ =, rg(a') = rg(a) = < -. Orlmos el menor no nulo y obtenemos el determinnte: y el sistem es comptible indetermindo, es decir tendrá infinits soluciones. Eliminmos un ecución, por - ejemplo l segund, y que el menor, y el sistem será equivlente : x - y - z = x - z = Si tommos z =, y resolvemos l ecución qued: x - y = + λ λ (+) -y = + + -y = + -y = - y = - + x =+ λ Luego ls soluciones serán: x =+ λ λ y = - +, con. z = λ Vemos que existe un solución en l que y = Si y = =, x =, z = Luego l solución será: (,, ) b) El sistem homogéneo socido será: x - y - z = x + y - z = x - z = Como A = y rg(a) = por el prtdo nterior, el sistem tendrá soluciones distints de l trivil y será equivlente l: x - y - z = x - z =

4 Si tommos z =, y resolvemos l ecución qued: x - y = λ x = λ λ -y = -y = - y = Luego ls soluciones serán: x = λ λ y =, con z = λ Es decir, S = λ, λ, λ / λ.- Un tiend vende un clse de clcetines pts. el pr. Al llegr ls rebjs, durnte el primer mes reliz un % de descuento sobre el precio inicil y en el segundo mes un % tmbién sobre el precio inicil. Sbiendo que vende un totl de 6 pres de clcetines por 5976 y que en ls rebjs h vendido l mitd de dicho totl, cuántos pres de clcetines se les h plicdo el descuento del %? Si el precio inicil er de, con el % de descuento el precio es 8, y con el % de descuento el precio es 7,. Sbiendo que vende un totl de 6 pres y que en ls rebjs h vendido l mitd de dicho totl - h vendido pres sin rebjr por: x = 6. - h vendido pres rebjdos por: = 76. Llmndo x l número de pres vendidos con un % de descuento (8, ) y -x l número de pres vendidos con un % de descuento (7, ), obtenemos l ecución: 8,x +7,.(-x) = 76,x+6 = 76,x = 6 con solución: 6 x = = 8, -x =, Es decir, se hn vendido: 8 pres con % descuento pres con % descuento. Opción B.- Ddo x, consider l mtriz cos(x) sen(x) A = - sen(x) cos(x) ) [ punto] Clcul A A t, donde A t denot l mtriz trspuest de A. b) [,5 puntos] Prueb que A tiene invers y hálll. ) Como l mtriz trspuest es cosx - senx A t = senx cosx el producto pedido es

5 cosx A.A t = - senx senx cosx cosx senx - senx cosx = cos x + sen x - senx cosx+ cosxsenx - cosxsenx + senx cosx = cos x + sen x b) Pr que teng invers h de ocurrir que el determinnte de l mtriz h de ser distinto de cero: cosx senx = cos x +sen x = - senx cosx según el prtdo nterior A.A t = I, vemos que ocurre con el producto A t.a: cos(x) - sen(x) cos(x) - sen(x) A t.a =. = sen(x) cos(x) sen(x) cos(x) cos x + sen x cosxsenx senx cosx = senx cosx cosxsenx cos x + sen x luego deducimos que l trspuest de A coincide con su invers..- Consider l mtriz b c A = b c c donde, b y c son no nulos. ) [ punto] Determin el número de columns de A que son linelmente independientes. b) [,5 puntos] Clcul el rngo de A y rzon si dich mtriz tiene invers. ) Tenemos l mtriz b c b c c pr clculr el número de columns que son independientes clculmos el rngo de A, y que mbos vlores coinciden. Como el determinnte, sumndo l ª fil l ª, es: b c b c A = b c = c = por tener l ª y ª fils igules. El rngo de l mtriz es. Además hy un menor de orden no nulo puesto que: b = -b b y que tnto como b son no nulos según el enuncido del problem. Luego rg(a) = y hy dos columns linelmente independientes. b) En el prtdo nterior hemos clculdo el rngo de A, que er y como A = sbemos que no tiene invers. c c.- Consider el sistem de ecuciones α - x - α y = 5, - 6 z ) [ punto] Pr qué vlores de no tiene invers l mtriz de coeficientes del sistem nterior? b) [,5 puntos] Discute sus soluciones según los vlores de. 5

6 ) Pr que l mtriz A de los coeficientes del sistem no teng invers, su determinnte h de ser cero: α - A = - α - 6 = +-5 Igulndo cero, tendremos: +-5 = = = = = y = -5 luego l mtriz A no tendrá invers pr {,-5} b) Si {,-5} El rngo de A es, y por lo tnto el rngo de l mtriz mplid tmbién será, que es el número de incógnits, y por el Teorem de Rouché el sistem tendrá solución únic, es decir represent tres plnos que se cortn en un punto. Si = -5 el sistem será: -5 - x - -5 y = 5-6 z el rngo de A es, y que Como =- y por lo tnto el rngo de l mtriz mplid será, y el sistem será incomptible, es decir no tendrá solución, y como los plnos no son prlelos, representn tres crs de un prism tringulr. Si = el sistem será: - x - y = 5-6 z el rngo de A es, y que - =7. Como - 5 = y por lo tnto el rngo de l mtriz mplid será, y el sistem será comptible indetermindo, es decir tendrá infinits soluciones..- [,5 puntos] En un supermercdo se ofrecen dos lotes formdos por distints cntiddes de los mismos productos. - El primer lote está compuesto por un botell de cervez, tres bolss de cchuetes y siete vsos y su precio es de,5. - El segundo lote está compuesto por un botell de cervez, cutro bolss de cchuetes y diez vsos y su precio es de 5,5. Con estos dtos podrís verigur cuánto deberí vler un lote formdo por un botell de cervez, un bols de cchuetes y un vso? Justific l respuest. Sen x = precio de un botell de cervez y = precio de un bols de cchuetes z = precio de un vso Los precios de los distintos lotes son: - x+y+ 7z =,5 pr el primer lote - x+y+z = 5,5 pr el segundo lote - x+ y+ z = P pr el tercer lote 6

7 Queremos encontrr el precio del tercer lote conocidos los nteriores, es decir encontrr dos números y b tles que: (x+y+7z) + b(x+y+z) = x+ y+ z (+b)x+(+b)y+(7+b)z = x+y+z Iguldd que se cumple si son igules los coeficientes: + b = + b = 7+b = Su solución se encuentr sustituyendo = -b en l segund ecución: (-b)+ b = +b = b = - = - = -(-) = Y comprobndo que se cumple pr dichos vlores l tercer ecución: 7.+(-) = Luego el precio del tercer lote será: (x+y+7z) + b(x+y+z) =.,5+(-).5,5 =,75. 7

8 EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO () Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Dí: CURSO 5-6 Opción A.- [,5 puntos] Consider ls mtrices A = y B = - Determin, si existe, l mtriz X que verific A X + B = A Se sbe que el determinnte de l mtiz A = es -. Clcul, indicndo ls propieddes que utilices, los siguientes determinntes: ) [ punto] det(-a) y det(a - ). 5 b) [,5 puntos] y.- Consider el siguiente sistem de ecuciones lineles, x + y - z = x + y + z = 5 ) [,5 puntos] Clcul α de mner que l ñdir un tercer ecución de l form αx + y 7z = el sistem resultnte teng ls misms soluciones que el originl. b) [ punto] Clcul ls soluciones del sistem ddo tles que l sum de los vlores de ls incógnits se..- Por l compr de cinco cudernos, dos rotuldores y tres bolígrfos se hn pgdo euros. Si se comprn dos cudernos, un rotuldor y seis bolígrfos, el coste es de euros. Se pide: ) [,5 puntos] Expresr en función del precio de un bolígrfo, lo que costrí un cuderno y lo que costrí un rotuldor. b) [,5 puntos] Clculr lo que deberímos pgr si dquirimos ocho cudernos y tres rotuldores

9 Opción B m.- Consider ls mtrices, A = y B = m ) [,75 puntos] Pr qué vlores de m se verific que A = A + I? (I denot l mtriz identidd). b) [,75 puntos] Pr m =, clcul A - y l mtriz X que stisfce A X - B = A B. x.- Sbiendo que el determinnte de l mtriz A = desrrollrlos: ) [,5 puntos] det(a). b) [,5 puntos] det(a - ). c) [,75 puntos] d) [,75 puntos] x - y z x y z y z es, clcul los siguientes determinntes sin.- Consider el siguiente sistem de ecuciones lineles, x + (m + )y + z= - mx + y + z =m ( - m)x + y + z = - m- ) [,75 puntos] Discute el sistem según los vlores del prámetro m. b) [,75 puntos] Resuélvelo pr m =. Pr dicho vlor de m, clcul, si es posible, un solución en l que z=..- [,5 puntos] Disponemos de tres lingotes de distints leciones de tres metles A, B y C. El primer lingote contiene g del metl A, g del B y 6 del C. El segundo contiene g de A, g de B y 5 g de C. El tercero contiene g de A, g de B y g de C. Queremos elborr prtir de estos lingotes uno nuevo que conteng 5 g de A, 5 g de B y 5 g de C. Cuántos grmos hy que coger de cd uno de los tres lingotes? 9

10 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Opción A.- [,5 puntos] Consider ls mtrices A = y B = - Determin, si existe, l mtriz X que verific A X + B = A t L mtriz tiene invers A - = Adj(A ) si su determinnte es no nulo. Como A A = = (++)-(++) =- L mtriz tiene invers. Obtenemos l mtriz trspuest: A t = L mtriz de los djuntos de l trspuest será: - Adj(A t ) = - - Luego l invers de A es: A - = - Despejmos en l ecución mtricil: A X = A -B Multiplicmos por l izquierd por l izquierd: A - A X = A - A - A - B X = A-A - B Sustituyendo por ls mtrices, obtenemos l mtriz X: - X = = = Se sbe que el determinnte de l mtiz A = es -. Clcul, indicndo ls propieddes que utilices, los siguientes determinntes: ) [ punto] det(-a) y det(a - ). 5 b) [,5 puntos] y 5 5.

11 ) Como k A = k n. A tenemos que: -A = (-). A = -8.(-) = Como el producto de un mtriz por su invers es l identidd A - A = I y el determinnte de un producto es el producto de determinntes A.B = A. B tenemos que: I = A - A = A - A A - - = = = A - b) Utilizndo ls propieddes: Si un fil (column) de un determinnte est multiplicd por un número, dicho número sle fuer multiplicndo todo el determinnte Si intercmbimos entre si dos fils (columns) de un determinnte el determinnte cmbi de signo. Obtenemos: = 7.. = -. = -- = - Utilizndo ls propieddes: Si un fil (column) un determinnte es sum de dos sumndos, dicho determinnte se puede descomponer en sum de dos determinntes colocndo en dich fil (column) el primer y segundo sumndo respectivmente. Si un fil (column) de un determinnte est multiplicd por un número, dicho número sle fuer multiplicndo todo el determinnte Si un determinnte tiene dos fils proporcionles, dicho determinnte vle. El determinnte de un mtriz es igul l determinnte de su mtriz trspuest. Obtenemos: = = =5.(-)= -5.- Consider el siguiente sistem de ecuciones lineles, x + y - z = x + y + z = 5 ) [,5 puntos] Clcul α de mner que l ñdir un tercer ecución de l form αx + y 7z = el sistem resultnte teng ls misms soluciones que el originl. b) [ punto] Clcul ls soluciones del sistem ddo tles que l sum de los vlores de ls incógnits se. ) Como el sistem tiene dos ecuciones, como mucho el rngo h de ser dos. Al ser el menor tiene de rngo, y l tener tres incógnits es un sistem comptible indetermindo, es decir con infinits soluciones. Si le ñdimos l ecución αx + y - 7z = l sistem, pr que teng ls misms soluciones que el originl l mtriz de ls coeficientes A del nuevo sistem x + y - z= x + y + z = 5 αx + y - 7z= h de tener rngo, por lo tnto el determinnte socido l mtriz de coeficientes del sistem h de ser nulo:

12 α = (-+-6)-(-9+-8) = Por lo tnto pr que mbos sistems tengn ls misms soluciones =. b) Si l sum de los vlores de ls incógnits es, tenemos l ecución x+y+z =. Qued el sistem: x + y - z= x + y + z = 5 x + y z = Aplicndo el Teorem de Rouché-Frobenius obtenemos que es un sistem comptible y determindo con solución únic, y que l mtriz de coeficientes tiene determinnte no nulo. - = (+-6)-(-9++) = Lo resolveremos plicndo l regl de Crmer - - x = 5 - = 5, y = 5 - Se obtiene l solución (x, y, z) = 5 -,, -,. = -, z = =.- Por l compr de cinco cudernos, dos rotuldores y tres bolígrfos se hn pgdo euros. Si se comprn dos cudernos, un rotuldor y seis bolígrfos, el coste es de euros. Se pide: ) [,5 puntos] Expresr en función del precio de un bolígrfo, lo que costrí un cuderno y lo que costrí un rotuldor. b) [,5 puntos] Clculr lo que deberímos pgr si dquirimos ocho cudernos y tres rotuldores. Se x el precio de un cuderno Se y el precio de un rotuldor Se z el precio de un bolígrfo ) El enuncido se trduce en el sistem: 5x + y + z = x + y + 6 z = 5 Es un sistem comptible indetermindo y que tiene tres incógnits y como el menor = se cumple que rg(a) =. Lo prmetrizmos en función de z (precio del bolígrfo como indic el enuncido). 5x + y = - z x + y = - 6 z Si l primer ecución le restmos l segund multiplicd por qued: x = 9z-6 Expresión que sustituid en l ª ecución d: 8z-+y = -6z y = -6z-8z+ = 6-z Es decir que: Un cuderno cuest 9 veces lo que un bolígrfo menos 6 euros. Un rotuldor cuest 6 euros menos veces lo que un bolígrfo.

13 b) Pr clculr lo que deberímos pgr si dquirimos ocho cudernos y tres rotuldores, sustituimos lo que vlen en función del precio de un bolígrfo: 8x+y = 8(9z-6)+(6-z) = 7z z = Opción B m.- Consider ls mtrices, A = y B = m ) [,75 puntos] Pr qué vlores de m se verific que A = A + I? (I denot l mtriz identidd). b) [,75 puntos] Pr m =, clcul A - y l mtriz X que stisfce A X - B = A B. Clculmos: m A = A.A = m. m = (m ) m (m ) m A + I =. + m m = m Sustituyendo en l iguldd mtricil obtenemos: (m ) (m ) m = m Igulmos elemento elemento, obteniendo el sistem: m +m+ = +m m =, de donde m = ±. =. Cierto =. Cierto m - m + = - m m =, de donde m = ±. Por tnto l iguldd es ciert si m = ±. b) Pr m =, A =. L mtriz tiene invers A - = Adj(A t ) si su determinnte es no nulo. Como A A = = - = - L mtriz tiene invers. Obtenemos l mtriz trspuest: A t = L mtriz de los djuntos de l trspuest será: - Adj(A t ) = - Luego l invers de A es: A - = - De A X - B = A B, tenemos: A X = B + A B. Como existe l mtriz invers multiplicmos por l izquierd l expresión por A -. A - A X = A - (B + A B) X = A - B + A - A B X = A - B+B Sustituyendo ls mtrices:

14 X =. - + = = - x.- Sbiendo que el determinnte de l mtiz A = desrrollrlos:: ) [,5 puntos] det(a). b) [,5 puntos] det(a-). c) [,75 puntos] d) [,75 puntos] x y - - ) Como k A = k n. A tenemos que: A =. A = 7. =5 z x y z 6.. y z es, clcul los siguientes determinntes sin b) Como el producto de un mtriz por su invers es l identidd A - A = I y el determinnte de un producto es el producto de determinntes A.B = A. B tenemos que: I = A - A = A - A A - = = A c) Utilizndo ls propieddes: Si un fil (column) de un determinnte est multiplicd por un número, dicho número sle fuer multiplicndo todo el determinnte. Si intercmbimos entre si dos fils (columns) de un determinnte el determinnte cmbi de signo. Obtenemos: x y z x y z =. x y z = 6.(-). = -6. = - d) Utilizndo ls propieddes: Si un fil (column) un determinnte es sum de dos sumndos, dicho determinnte se puede descomponer en sum de dos determinntes colocndo en dich fil (column) el primer y segundo sumndo respectivmente. Si un fil (column) de un determinnte est multiplicd por un número, dicho número sle fuer multiplicndo todo el determinnte. Si un determinnte tiene dos fils proporcionles, dicho determinnte vle. Si intercmbimos entre si dos fils (columns) de un determinnte el determinnte cmbi de signo. Obtenemos: x y z x y z 6 = = - - x y z = - - x - y z =- x y z + = (-).(-) =.- Consider el siguiente sistem de ecuciones lineles,

15 x + (m + )y + z= - mx + y + z =m ( - m)x + y + z = - m- ) [,75 puntos] Discute el sistem según los vlores del prámetro m. b) [,75 puntos] Resuélvelo pr m =. Pr dicho vlor de m, clcul, si es posible, un solución en l que z=. ) L mtriz de los coeficientes del sistem y l mtriz mplid son: m m - A = m A* = m m - m - m - m - Hllmos el determinnte socido l mtriz del sistem: m A = m - m = [-(m+)(-+m)+m]-[(-m)++m(m+)] = -m +5m-. Resolviendo l ecución m -5m+=, obtenemos ls soluciones m = y m =. Si m y m, A, rngo(a) = rngo(a*) = = nº de incógnits. Aplicndo el Teorem de Rouché-Frobenius sbemos que el sistem es comptible y determindo con tiene solución únic. Si m = tenemos l mtriz de los coeficientes del sistem y l mtriz mplid: A = / / / A* = / / / - / - / Como el menor / = - =, tenemos que rg(a) = / Como el menor / - / / = / - / = [(-+-8)-(-+8-9)] =, tenemos que rg(a) = 8 8 Como rg(a) rg(a*), el sistem es incomptible y no tiene solución. Si m = tenemos l mtriz de los coeficientes del sistem y l mtriz mplid: - A = A* = Como el menor = -6 = -5, tenemos que rg(a) = Como el menor 5

16 - - =, y que l fil l ª menos l ª es l ª, tenemos que rg(a*) =. - Como rg(a) = rg(a*) = < nº de incógnits, el sistem es comptible e indetermindo con tiene infinits soluciones. b) Como hemos visto en el prtdo nterior si m =, rg(a) = rg(a*) =, el sistem es comptible e indetermindo y tiene infinits soluciones. Como el rngo es, sólo necesitmos ecuciones y tommos l ª y l ª. x + y + z= - x + y + z = Tommos z como prámetro z = R x + y = - - λ x + y = - λ A l primer fil multiplicd por dos le resto l segund: λ -5y = - y = Sustituyendo dicho vlor en l ª ecución tenemos que: λ x = despejndo obtenemos: 7 λ x = 5 5 L solución generl es: 7 λ λ (x, y, z) =,- -, λ con R Tomndo z =, l solución pedid es: 7. (x, y, z) = -,- -, = (,-,) [,5 puntos] Disponemos de tres lingotes de distints leciones de tres metles A, B y C. El primer lingote contiene g del metl A, g del B y 6 del C. El segundo contiene g de A, g de B y 5 g de C. El tercero contiene g de A, g de B y g de C. Queremos elborr prtir de estos lingotes uno nuevo que conteng 5 g de A, 5 g de B y 5 g de C. Cuántos grmos hy que coger de cd uno de los tres lingotes? Se x el número de lingotes del primer tipo Se y el número de lingotes del segundo tipo Se z el número de lingotes del tercer tipo Se A el número de grmos del primer metl Se B el número de grmos del segundo metl Se C el número de grmos del tercer metl Del enuncido scmos que: 5A+5B+5C = x(a+b+6c)+y(a+b+5c)+z(a+b+c) Que igulndo miembro miembro nos d el sistem: x + y + z =5 x + y + z = 5 6x + 5 y + z = 5 Restndo de l ª ecución l ª y de l ª l ª multiplicd por qued: 6

17 y + z= y - z= 5 Sumndo mbs ecuciones obtenemos que: 5y = 5 y =,5 Sustituyendo en l segund obtenemos: z = y-5 = -5 = 5 z =,5 Sustituyendo en l primer obtenemos: x+5+5 = 5 x = 5 x =,5 Como los lingotes son todos de grmos debemos tomr 5 grs. del primer lingote, 5 grs. del segundo y 5 grs. del tercero. 7