SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Transcripción

1 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ls ecuciones 0 de primer grdo en dos vribles pueden tener un o más ríces comunes pr encontrrls, conformmos lo que se denomin un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS, que se simboliz: 0 El conjunto de pres (, ) que stisfcen simultánemente ls dos ecuciones se denomin conjunto solución del sistem. Cundo el conjunto solución es vcío el SISTEMA es INCOMPATIBLE. Si eiste únic solución (un solo pr ordendo) el sistem se dice COMPATIBLE DETERMINADO si, el conjunto solución está conformdo por más de un pr ordendo, el sistem se denomin COMPATIBLE INDETERMINADO. Generlizndo, entonces, un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits puede doptr el siguiente specto: A B C 0 A B C 0 () () Ls ecuciones () (), pueden epresrse en form conjuntist: S {(, ) / A B C 0} S {(, ) / A B C 0} En ests condiciones, resolver el sistem de ecuciones consiste en hllr S S, intersección de los conjuntos solución de ls ecuciones () (); SOLUCION GRAFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Como sbemos desde l escuel medi, un ecución linel en dos vribles representd en el espcio de dos dimensiones (el plno) tiene como lugr geométrico un rect. Ejemplo : Se el sistem de ecuciones lineles con dos incógnits 0 () ()

2 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA de () 0 de () cu representción crtesin es: f() 6 f() 5 I I I I I S { (, ) / 0 } S { (, ) / } S S {(,)} el conjunto solución del sistem S S tiene un único pr ordendo (ls rects se cortn en un punto) por lo tnto el sistem result ser COMPATIBLE DETERMINADO. Ejemplo : Se el sistem: () () Si representmos gráficmente ls rects que corresponden ls ecuciones () (). I I I I I

3 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA observmos que los lugres geométricos coinciden, rzón por l cul el conjunto solución del sistem posee infinitos pres ordendos: los que corresponden todos los puntos de cd un de ls rects; el sistem se dice, COMPATIBLE INDETERMINADO. Ejemplo : Se el sistem: 0 ( ) ( ) Representds gráficmente ls dos ecuciones: I I I I I resultn rects prlels: no eiste intersección, lo cul signific que el conjunto solución del sistem es vcío; por est rzón el sistem se dice INCOMPATIBLE. RESOLUCION ANALITICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Pr l resolución nlític de un sistem de ecuciones lineles pueden utilizrse distintos métodos, lgunos de ellos desrrolldos en l escuel medi: sustitución, igulción, sums rests, determinntes, rzón por l cul de cd uno de ellos dremos sólo un ejemplo. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

4 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA Se el sistem: 0 ( ) ( ) ) se despej un de ls incógnits en culquier de ls ecuciones del sistem (de l ecución () despejmos ). ) SUSTITUIMOS l epresión hlld en l otr ecución (en nuestro cso en l ecución ( )). 0 ) Resolvemos l ecución de primer grdo con un incógnit, obteniendo: ) Hllmos el vlor numérico de l epresión obtenid en ) pr el vlor hlldo en ).. L solución es el pr ordendo: (, ) (,) MÉTODO DE IGUALACIÓN. Pr el mismo ejemplo procedemos de l siguiente mner: b ) Se despej l mism incógnit en mbs ecuciones (despejmos ) de () () de () () b ) Igulmos los segundos miembros de () ()

5 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 5 obteniendo: b ) Hllmos el vlor numérico de en () o en () indistintmente pr el vlor de obtenido en b ). METODO DE REDUCCION POR SUMAS Y RESTAS. Volvmos l sistem: 0 ( ) ( ) El método que describiremos consiste conceptulmente en trnsformr el sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits en un sistem equivlente (que teng el mismo conjunto solución) en el cul un de ls ecuciones teng dos incógnits l otr sólo un. En nuestro cso si queremos eliminr l incógnit restmos () de () restndo m..m. 0 ( ) result un sistem equivlente (con el mismo conjunto solución) conformdo por un culquier de ls ecuciones () ó () l ecución (). 0 ( ) ( ) L ecución () es este vlor se reemplz en () pr obtener:

6 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 6 Si queremos hor eliminr, debemos multiplicr l ecución () por el coeficiente de l incógnit correspondiente l ecución (); multiplicr l ecución () por el coeficiente de l incógnit correspondiente l ecución () luego restr: multiplicmos () por :. 0 multiplicmos () por :.. () obteniendo: restndo m..m. reemplzndo este vlor en culquier de ls ecuciones () ó () se lleg : METODO DE RESOLUCION POR DETERMINANTES. Vemos como se resuelve un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits utilizndo determinntes; pr ello dremos l sistem de ecuciones el siguiente specto: b b () ( ) en el cul los coeficientes de ls incógnits poseen dos subíndices, el primero nos indic l ecución en l que está ubicdo el coeficiente el segundo que incógnit pertenece; sí el coeficiente está en l segund ecución pertenece l primer incógnit o se. Recordemos el método de reducción por sums rests: si queremos, por ejemplo, eliminr l incógnit entre ls ecuciones () () multiplicmos l ecución () por, l ecución () por, restndo luego miembro miembro: multiplicndo () por : multiplicndo () por : restndo m.. m. : b ( ) b ( ) ( ) b b ( 5 )

7 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 7 o se: b b ( 6 ) que de cuerdo l definición de determinntes puede escribirse (verificr): b b ( 7 ) Con similr rzonmiento, multiplicndo () por () por luego restndo (8) de (9), obtenemos: b ( 8 ) b ( 9 ) ( ) b b ( 0 ) o se: b b ( ) que podemos escribir: b b ( ) Observndo ls epresiones (7) () podemos decir que cd un de ls incógnits puede obtenerse efectundo el cociente de dos determinntes: el determinnte del denomindor está formdo por los coeficientes de ls incógnits, el del numerdor por el mismo determinnte en el que se h reemplzdo l column correspondiente los coeficientes de l incógnit que se quiere clculr por los términos independientes.

8 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 8 Ejemplo: Se nuevmente el sistem: ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) L solución es: SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS En un sistem de tres ecuciones con tres incógnits, l gráfic de cd un de ells corresponde un plno, los cules podrán intersecrse en un punto, obteniendo un únic solución pr el sistem; podrán intersecrse lo lrgo de un rect obteniendo infinits solución pr el sistem, o podrán no intersecrse o ser dos ellos prlelos, no obteniendo solución pr el sistem, RESOLUCION UTILIZANDO DETERMINANTES. Pr resolver un sistem de tres ecuciones lineles con tres incógnits:

9 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 9 b b b utilizmos el mismo concepto desrrolldo pr un sistem de dos ecuciones: puede demostrrse que ls incógnits se obtienen de: b b b b b b b b b Ejemplo: Se el sistem: El determinnte conformdo por los coeficientes de ls incógnits es: ( clculdo)

10 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 0 entonces: () () (6) ( 6 8) (6) 5 (6) (89) (8 6) () (89) 5 ( ) L solución es: METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA. Los métodos descriptos precedentemente resultn de sencill plicción e interpretción cundo el sistem que se trt de resolver es comptible determindo; no sucede lo mismo cundo el sistem es indetermindo o es incomptible. Como regl generl puede utilizrse con ventj sobre ellos el llmdo método de eliminción Gussin o método de eliminción de Guss; cuo fundmento disposición práctic se bs en l demostrción efectud pr justificr el método de resolución por sums rests. En efecto, retornndo ls ecuciones: b () b () operndo con ells hbímos llegdo l ecución (0) ( ) b b (0)

11 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA El sistem ( ) b b b () (0) es equivlente l (), () que, como puede verificrse, tiene el mismo conjunto solución. Hemos trnsformdo medinte est operción nuestro sistem originl (), () constituido por dos ecuciones con dos incógnits en un nuevo sistem que le es equivlente en el cul l segund ecución (0) posee un sol incógnit, por lo que, obtenid l mism, puede recurrirse l ecución () pr clculr l restnte. Como en relidd, l opertori se efectú sobre los coeficientes, puede relizrse un disposición práctic pr el cálculo: ) b () ) b () ) b () ) b b (0) Se escriben los coeficientes de ls ecuciones () () incluso los términos independientes que se ubicn l derech de un rect divisori verticl; se trz un rect horizontl debjo de ell se escriben los coeficientes del sistem modificdo: l fil ) debe leerse: b () l fil ) ( ) b b (0) Ejemplo : Se el sistem: 0

12 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA Escribimos: 0 () () 0 () 0 (0) Desrrollo de (0): el cero que está debjo del coeficiente de l ecución () corresponde que en l ecución (0) no eiste término en l incógnit ; debjo del coeficiente de l incógnit de () escribimos el trnsformdo del coeficiente de de l () (.. ) [ () () ] debjo del término independiente de () el trnsformdo del término independiente de ):. b b. [ () 0. ] Prácticmente el cálculo es sí: el trnsformdo del coeficiente de () se obtiene resolviendo el: el trnsformdo del término independiente de () 0

13 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA se obtiene resolviendo el: 0 El sistem equivlente resultnte: de donde: 0 () (0) 0 Como vemos eiste únic solución el sistem es COMPATIBLE DETERMINADO (geométricmente ls gráfics son rects que se cortn en el punto) (, ) (, ) Ejemplo : Se el sistem: el sistem equivlente es:

14 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 0. 0 L ecución 0. 0 se stisfce pr culquier número rzón por l cul el sistem tiene infinits soluciones se denomin COMPATIBLE INDETERMINADO. Cd un ls posibles soluciones se obtiene fijndo un vlor rbitrrio pr obteniendo luego de l otr ecución. (Geométricmente ls gráfics coinciden). Ejemplo : Se el sistem: Siendo el sistem equivlente: L segund ecución de este sistem no tiene solución, que no eiste número que multiplicdo por cero de como resultdo seis; el sistem es INCOMPATIBLE (en este cso ls rects son prlels). Como hemos visto en los ejemplos nteriores el método de eliminción Gussin no solo permite resolver con rpidez un sistem de ecuciones sino demás fcilit clsificr el tipo de solución de cd cso prticulr. Idéntico rzonmiento se utiliz pr resolver un sistem de tres ecuciones con tres incógnits: Se el sistem : b ()

15 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 5 b () b () En este cso el método de eliminción gussin consiste en tomr culquier de ls ecuciones (por ejemplo l ()) eliminr l incógnit primero con l ecución () luego, independientemente, con l ecución () trnsformndo el sistem originl en uno equivlente conformdo por un ecución con tres incógnits ls otrs con dos incógnits. De este nuevo sistem se tomn ls ecuciones que tienen dos incógnits se lo trnsform siguiendo el procedimiento descripto pr los sistems de orden dos, en otro sistem equivlente, que teng un ecución en con incógnits l otr solo con un. Del resultdo de est últim operción obtendremos un sistem equivlente l originl, pero con l siguiente form: l primer ecución con tres incógnits, l segund con dos l tercer con solo un lo que nos permite obtener, prtiendo de est últim ecución, el conjunto solución. Ejemplo : Se el sistem ( resuelto por determinntes) 5 8 Adoptndo l disposición práctic descript: 5 8 repetimos l º 5 ecución

16 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 6 repetimos l º 5 l º del pso nterior. 0 5 El sistem equivlente es: se obtuvo resolviendo, por ejemplo, pr el elemento 5 que es el trnsformdo de el determinnte: 5 de: 0 80 de: 5. 0 por último de: 5 5 Ejemplo :

17 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA El sistem equivlente es: El sistem dmite infinits soluciones, que se obtienen dndo vlores rbitrrios : por es rzón es COMPATIBLE INDETERMINADO. Ejemplo :

18 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA El sistem equivlente es: El sistem no tiene solución (0. 68) por lo tnto se denomin INCOMPATIBLE. SISTEMAS MIXTOS. Con frecuenci se present el problem de hllr l o ls intersecciones entre un prábol un rect siendo pr ello necesrio construir un sistem de l form: b c con 0 m n que se denomin sistem mito por estr constituido por ecuciones de distinto grdo.

19 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 9 Resolver este sistem signific hllr el o los pres ordendos que stisfgn simultánemente mbs ecuciones, es decir, quellos pres ordendos que corresponden los puntos de intersección de l rect socid l función linel (eventulmente l función constnte) con l prábol socid l función cudrátic. Ello signific que de cuerdo l posición reltiv entre los respectivos lugres geométricos pueden presentrse los siguientes csos: Ejemplo : Se el sistem: () ()

20 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 0 Grficndo: Anlíticmente: igulmos () () (,0 ) I I I I I (, ) operndo: 0 obtenemos un ecución de º grdo de un incógnit cu solución es: b ± b c ± ( ) ± ±

21 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA Con los vlores de hemos hlldo ls bsciss de los puntos de intersección; pr encontrr ls respectivs ordends reemplzmos dichos vlores en l ecución (): 0 Resultndo los pres: (, ) (, ) (, ) (, 0) S { (, ) ; (, 0 ) } Ejemplo : Se el sistem: 6 () () Igulndo mbos miembros: 6 0 ± 6 ± 0, L ordend del único punto de intersección se obtiene de:. 6 0 resultndo que el pr ordendo (, 0) es un ríz doble; llí l rect es tngente l prábol. Grficndo:

22 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA Ejemplo : Se el sistem: () () Igulndo los segundos miembros: 0 no tiene solución: ls curvs no tienen ningún punto común. L representción crtesin es: ± ±

23 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA INECUACIONES. Se denomin inecución tod desiguldd lgebric que se stisfce pr ciertos vlores de sus incógnits. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. Ejemplo : Se el conjunto: A { / N < } L epresión que permite encontrr los elementos del conjunto N que pertenecen l conjunto A es un inecución de primer grdo en un incógnit. El conjunto solución es: S {,, } Gráficmente l solución se represent sobre l rect numéric: I I 0 I I Ejemplo : Se el conjunto: A { / Z < } En este cso l inecución < tiene como conjunto solución : gráficmente S {...,, 0,,, } Ejemplo : I I 0 I I I I I Se hor el conjunto: A { / R < }

24 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA Cundo nuestro conjunto de referenci es el conjunto de los reles, l solución de l inecución es el intervlo de longitud infinit ], [ (, ), que puede representrse I I 0 I I I I o INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS. Si un inecución está epresd en dos vribles, l solución es un conjunto de pres ordendos del plno. Se el conjunto: A { (,) / R R > } Grficndo ; que representmos punted; todos quellos puntos que pertenecen l semiplno ubicdo sobre son tles que: > 0 > I I I I L solución es entonces, el semiplno rdo, con eclusión de l rect dibujd en líne de trzos. Por no tener borde o fronter decimos que se trt de un semiplno bierto. Pr identificr l región del plno que corresponde probmos ls coordends de un punto culquier en l inecución; por simplicidd en los cálculos elegimos el origen de coordends, verificmos si sus coordends (0,0) l stisfcen: De: >, result: 0 > 0 desiguldd que no se stisfce; en consecuenci el semiplno que corresponde l solución no contiene l origen de coordends.

25 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 5 RESOLUCION GRAFICA DE SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS. Ejemplo: Resolver el sistem: > 0 () 9 9 > 0 () de () > < de () 9 > 9 > / A B I I I I C /

26 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 6 El rdo horizontl corresponde <, semiplno limitdo por l rect, cuos puntos no le pertenecen por es rzón se dibujn en líne de trzos. Igulmente, el rdo verticl cubre el semiplno que verific: > / ; con eclusión de l rect / dibujd por dich rzón en líne de trzos. L solución del sistem es l intersección de ls dos regiones descripts; dicho de otr form, es el conjunto formdo por todos los pres ordendos (, ) ubicdos dentro del ángulo ABC " doblemente rdo ". TRABAJO PRÁCTICO ECUACIONES E INECUACIONES. Resolver:.) b).c) d) 8 0.e) ( ) 8 0.f) 00 [6 () (0 )] 8. Resolver:

27 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 7.).b).c).d).e).f) { [ ( ) ]} ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Resolver:.).b) 6.c) ) Qué número debe restrse de 8 pr obtener el triplo de dicho número?.b) Hllr el número que verific: si lo multiplicmos por tres, l producto le summos cinco l sum l dividimos por dos, obtenemos el mismo resultdo que si lo multiplicmos por cinco, l producto le summos cutro l sum l dividimos por tres..c) L tercer prte de un número menos su duplo es igul un quinto del mismo número menos 8. Cuál es el número?.d) Hllr un número tl que si le restmos su mitd, obtenemos el mismo resultdo que si l mitd de l unidd le restmos uno.

28 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 8.e) Hllr dos números nturles impres consecutivos tles que multiplicdos entre sí dn como resultdo Resolver los siguientes sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits, por los siguientes métodos: ) Sustitución, ) Igulción, ) Sums Rests, ) Determinntes, 5) Eliminción Gussin, 6) Gráfico. 5 ) 0 ) b ) c ) d 0 ) e ) f 6. Resolver por Determinntes por eliminción Gussin. 5 9 ) z z z 0 ) z z z b / / / ) z z c 8 5 ) z z z d 0 5 ) z z z e 7. Resolver nlític gráficmente. 7.)

29 TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA 9 7.b) c) ( ) 8. Resolver ls siguientes inecuciones. Grficr. 8.) > / N 8.b) < / N 8.c) / N 8.d) < / N 8.e) > ; /, R 8.f) ; /, R 9. Resolver los siguientes sistems de inecuciones. 9.) > 0 5 < 0 9.b) 9.c) > < < >