open green road Guía Matemática ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl

Transcripción

1 Guí Mtemátic ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgrejo.cl

2 1. Ecución de segundo grdo Es un iguldd donde l vrible incógnit está l cudrdo, l cul puede tener soluciones diferentes, 1 solución o ningun solución Complet En su mner más complet l podemos escribir sí 0 = x + bx + c donde, b, c son constntes que pertenecen R con 0. Ls soluciones o ríces de un ecucion de segundo grdo se pueden hllr medinte ls expresiones: x 1 = b + b 4c Estos dos resultdos se resumen sí: x = b ± b 4c x = b b 4c Est expresión se conoce como solución generl de l ecución cudrátic. A l cntidd subrdicl b 4c se llm discriminnte y se design con l letr. El discriminnte determin el número de soluciones que tiene un ecución cudrátic. Si > 0 l ecución cudrátic tiene dos soluciones reles diferentes. Esto se debe que el término de l solución generl existe. Si = 0 l ecución cudrátic tiene dos soluciones reles igules. Esto se debe que el término de l solución generl se cncel. Si < 0 l ecución cudrátic no tiene solución rel. Esto se debe que el término de l solución generl no es un número rel. Ejemplo 1. Hllr ls soluciones de x 4x + = 0 Solución: Considerndo un ecución del tipo x + bx + c = 0, los coeficientes son = 1, b = 4 y c =. Ahor plicmos l solución generl de l ecución de segundo grdo. x = b ± b 4c Ls soluciones son x 1 = + y x =. = ( 4) ± ( 4) = 4 ± 16 8 = 4 ± = ±

3 . Qué vlores stisfcen l iguldd 4x + 8 = 1x? Solución: Si queremos usr l solución generl debemos reescribir l iguldd un del tipo Despejmos todo igulndo cero: 0 = x + bx + c 4x + 8 = 1x 0 = 4x + 1x 8 0 = 4(x + 3x ) 0 = x + 3x En el último pso simplificmos l ecución dividiento todos los términos por 4. Ahor los coeficientes son = 1, b = 3 y c =, por lo tnto ls soluciones son: Ls soluciones son x 1 = 17 3 x = b ± b 4c = 3 ± ( ) 1 = 3 ± = 3 ± 17 y x = Resolución medinte fctorizción Ls ecuciones cudrátics pueden resolverse medinte l fctorizción de sus términos plicndo lgún producto notble. Pr entender el fundmento de este método estudiemos los siguientes ejemplos: Ejemplo Resuelve cd un de ls siguientes ecuciones cudrátics usndo l fctorizción. 1. x + x + 1 = 0 Solución: Notemos que x + x + 1 corresponde l cudrdo de binomio de x + 1, por lo tnto: x + x + 1 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1)(x + 1) = 0 Tenemos un término, x + 1, que multiplicdo por sí mismo es igul cero, entonces no qued otr que ese término se igul cero. x + 1 = 0 Despejndo l incógnit obtenemos que x = 1. 3

4 . x 5x + 6 = 0 Solución: Nuestro objetivo es buscr un fctorizción pr x 5x + 6. Notr que lo podemos fctorizr de l form (x + )(x + b) preguntándonos, qué números multiplicdos dn 6 y sumdos 5? L respuest es y 3, por lo tnto l fctorizción será (x )(x 3): x 5x + 6 = 0 (x )(x 3) = 0 Tenemos los términos x y x 3 que multiplicdos dn cero, y l únic mner en que puede ocurrir eso es que l menos uno de ellos se igul cero. (x )(x 3) = 0 x = 0 ó x 3 = 0 Si x = 0 enrtonces x =, pero si x 3 = 0 entonces x = 3. Con esto hemos encontrdo ls dos soluciones pr l ecución de segundo grdo nterior. L notción como conjunto solución es: S = {, 3} 1.. Incomplet mixt Se le denomin un ecución cudrátic del tipo x + bx = 0 L solución de est ecución l podemos obtener con l expresión pr l solución generl de l ecución complet, pero reemplzndo c = 0. Otr mner de resolverl es fctorizndo por x. x + bx = 0 x(x + b) = 0 Como l multiplicción de x con x + b es igul cero, entonces l menos uno de esos dos es igul cero. L solución trivil de ecución incomplet mixt es x = 0, l otr solución viene de suponer que x + b = 0. x + b = 0 x = b x = b Ls soluciones de un ecución cudrátic incomplet mixt son x 1 = 0 y x = b Incomplet pur Es l ecución cudrátic del tipo x + c = 0 4

5 Ls ríces de est ecución ls podemos obtener con l expresión pr l solución generl de l ecución complet, pero reemplzndo b = 0. Otr mner de resolverl es despejr x. x + c = 0 x = c x = c x = ± c Ls soluciones de un ecución cudrátic pur son x 1 = c y x = c. L existenci de soluciones en los números reles depende de que c y tengn signos opuestos, de lo contrrio, el rgumento de l ríz serí negtivo.. Teorem de Crdno - Viète Este teorem pone de mnifiesto l relción que existe entre un ecución y sus ríces o soluciones. Pr un ecución cudrátic del tipo x + bx + c = 0 con soluciones x 1 y x se cumplirá que:.1. Sum de ríces L sum de ls ríces es b, es decir: x 1 + x = b.. Producto de ríces L multiplicción de ls ríces es igul c, es decir: x 1 x = c.3. Construcción de binomio Si conocemos ls soluciones x 1 y x, entonces podemos hllr l ecución cudrátic de l cul son solución escribiéndol como un fctorizción del tipo (x x 1 )(x x ) = 0 Si desrrollmos est fctorizción tendremos que l ecución cudrátic puede escribirse como: x (x 1 + x )x + x 1 x 5

6 Entonces si sbemos cunto sumn y cul es el producto de ls ríces, es muy fácil sber un ecución que cumpl con ess crcterístics. Ejemplo 1. Hllr un ecución cudrátic tl que l sum de sus ríces se 1 y el producto 6. Solución: Estmos pensndo en un ecución cudrátic del tipo x + bx + c = 0, por lo que debemos hllr los coeficientes, b y c. Sbemos por el teorem de Crdno - Viète que l sum de ls ríces de un ecución cudrátic es: Y l multiplicción de ls soluciones: Del enuncido nos dicen que: por lo tnto x 1 + x = b x 1 x = c x 1 + x = 1 b = 1 de lo que podemos desprender que Escrito de otr mner: = b b = Como l multiplicción de ls ríces es 6, podemos decir que: c = 6 entonces c = 6 Si reemplzmos los vlores obtenidos pr, b y c en x + bx + c = 0 se obtiene: x + bx + c = 0 ( x + x + (6) = 0 ) [x + 1 ] x + 6 = 0 Como 0 podemos simplificr por l ecución: x + 1 x + 6 = 0 Así encontrmos l función cudrátic más simple que cumple con lo pedido, pero exiten infinits funciones cudrátics en donde ls ríces sumn 1 y su producto es 6, todo depende del vlor de que quermos dr en x + x + 6 = 0. 6

7 . Qué ecución cudrátic tiene por sum de sus ríces 10 y el producto es 4? Solución: El último resultdo del teorem de Crdno - Viète dice que pr ls soluciones x 1 y x se cumplirá que: x (x 1 + x )x + x 1 x = 0 Conocemos l sum (x 1 + x = 10 ) y l multiplicción de ls ríces (x 1 x = 4), entonces un ecución cudrátic que cumple con el enuncido es: x + 10x 4 = 0 Pero no es l únic, y que podemos mplificr los términos de l ecución y ls soluciones serán ls misms. Por ejemplo, si mplificmos por 1 se obtiene: x 10x + 4 = 0 Est ecución tmbién cumple con que sus soluciones sumds dn 10 y l multiplicción es Si se sbe que un de ls soluciones de x = 9x+50 k es x 1 = 3, Cuál es el vlor de l constnte k pr que ésto se cierto? Solución: Primero ordenmos l ecución: x + 9x + k 50 = 0 Del teorem de Crdno - Viète sbemos que l ecución cudrátic donde x 1 y x son soluciones es: x (x 1 + x )x + x 1 x Si plicmos esto l ecución del problem obtenemos que: y demás (x 1 + x ) = 9 x 1 x = k 50 En el enuncido nos dicen que un solución es x 1 = 3. Reemplzmos esto en l primer iguldd: (x 1 + x ) = 9 (3 + x ) = x = 9 x = 1 Sbiendo que x 1 = 3 y x = 1 resolvemos l segund iguldd pr depsejr k: Finlmente encontrmos que k = 14. x 1 x = k 50 3 ( 1) + 50 = k = k 14 = k 7

8 Ejercicios 1 1. Sbiendo que pr l ecución x + bx + c = 0 ls soluciones están dds por x = b ± b 4c, muestre que: ) x 1 + x = b b) x 1 x = c. Utilice l fctorizción con productos notbles pr hllr l solución de cd ecución cudrátic. ) x x + 1 = 0 b) x + 7x + 6 = 0 c) x + 14x + 0 = 0 d) x + 4x = 4 e) x = 7x + 10 f ) x = 5x + 36 g) 9 6x = x h) x = 8x i) x + 1x = 3 3. Hllr un ecución cudrátic del tipo x + bx + c = 0 que cumpl ls siguientes crcterístics: ) Sus ríces son 5 y 4 b) Ls ríces sumn 1 y su producto es 1 4. Cuál es el producto de ls ríces de l ecución x + 3x 5? 5. Cuánts soluciones reles diferentes tiene l ecución x + x + 30? Bibliogrfí [1 ] Apuntes de Álgebr I, Tomo I, Segund edición 1993, Fcultd de Ciencis, USACH Antonio Orelln Lobos. [ ] Apuntes Álgebr, Edición 003, Fcultd de Ciencis, USACH Ricrdo Sntnder Bez. 8