INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

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1 EJERCICIOS RECOLECTADOS EN LA RED. (MATEMÁTICA I ADMINISTRACIÓN) INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS DESIGUALDADES INECUACIONES INTERVALOS EN LA RECTA REAL Ddos dos números culesquier y b, tles que < b de l rect rel, se define intervlo de extremos y b l conjunto de los números reles comprendidos entre y b. - El segmento b se llm intervlo. b + CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS Abierto en mbos extremos En form de conjunto: (, b) = { x IR / < x < b} Representción Gráfic: - b + Cerrdo en mbos extremos En form de conjunto: [, b] = { x IR / x b} Representción Gráfic: - b + Semibierto por l derech: En form de conjunto: [, b) = { x IR / x < b}

2 Representción Gráfic: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA - Semibierto por l izquierd: En form de conjunto: (, b] = { x IR / < x b} Representción Gráfic: b + - b Abierto por l derech que se extiende hci l izquierd: En form de conjunto: (,) = { x IR / x < } + Representción Gráfic: - Cerrdo por l derech que se extiende hci l izquierd: En form de conjunto: (, ] = { x IR / x } + Representción Gráfic: - + Abierto por l izquierd que se extiende hci l derech: En form de conjunto: (,) = { x IR / x > } Representción Gráfic: - +

3 Cerrdo por l izquierd que se extiende hci l derech: En form de conjunto: [,) = { x IR / x } Representción Gráfic: - + DESIGUALDAD Es un expresión que indic que un cntidd es myor o menor que otr, y sus signos son: < Se lee menor que. Se lee menor o igul que. > Se lee myor que. Se lee myor o igul que. Un cntidd es myor que otr cntidd b cundo l diferenci b es positiv. Así, 4 es myor que porque l diferenci 4 ( ) = 4 + = 6 es positiv; 1 es myor que porque 1 ( ) = 1 + = es un cntidd positiv. Un cntidd es menor que otr cntidd b cundo l diferenci b es negtiv: sí, 1 es menor que 1 porque l diferenci 1 1 = es negtiv: 4 es menor que porque l diferenci 4 ( ) = 4 + = 1 negtiv. Según lo nterior, cero es myor que culquier cntidd negtiv, por lo tnto 0 es myor que 1 porque 0 ( 1) = = 1, cntidd positiv. El primer miembro de un desiguldd es l expresión que está l izquierd y el segundo miembro está l derech del signo de desiguldd. En + b > c d el primer miembro es + b y el segundo c d. Los términos de un desiguldd son ls cntiddes seprds de otrs por el signo + ó, o por l cntidd que está sol en un miembro. En l desiguldd nterior los términos son, b, c y d.

4 Dos desigulddes son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cundo sus primeros miembros son myores o menores que los segundos. De este modo, > b y c > d son desigulddes del mismo sentido. Dos desigulddes son de signo contrrio o no subsisten en el mismo sentido cundo sus primeros miembros no son myores o menores que los segundos. Así, 5 > y 1 < son desigulddes de sentido contrrio. Podemos seprr ls desigulddes en dos tipos: Desigulddes Numérics: Son desigulddes que ordenn elementos del conjunto de los números reles. Sen y b R podemos entonces decir que ls desigulddes numérics pueden tomr ls siguientes forms: < b Se lee menor que b b Se lee menor o igul que b > b Se lee myor que b b Se lee myor o igul que b Ejemplos: 5 < Se lee 5 menor que 4 Se lee menor o igul que 4 7 > 6 Se lee 7 myor que Se lee 5 myor o igul que 1 Desigulddes Polinómics: Son desigulddes que contienen números y expresiones con un o más vribles. Ls desigulddes polinómics pueden ser dividids como se muestr continución: Desigulddes Absoluts: Son desigulddes que se cumplen pr todos los vlores de ls vribles. Ejemplos: 1) ) x 0 4 x + 1> 0

5 ) ( x y) + > 0 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Desigulddes Condicionles o Inecuciones: Son desigulddes que no se cumplen pr todos los vlores reles de ls vribles. Ejemplos: 1) x > ) x+ 5 ) x y> 4 PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1) Si los dos miembros de un desiguldd se les sum o rest un mism cntidd, el signo de l desiguldd no vrí. Dd l desiguldd > b, se puede escribir: + c > b + c y c > b c En un desiguldd un término culquier puede psr de un miembro l otro cmbiándole el signo. En l desiguldd > b + c se puede psr c l primer miembro con signo negtivo quedndo c > b, porque equivle restr c los dos miembros. En l desiguldd b > c, se puede psr b con signo positivo l segundo miembro y quedndo > b + c, porque equivle sumr b los dos miembros. ) Si los dos miembros de un desiguldd se multiplicn o dividen por un mism cntidd positiv, el signo de l desiguldd no vrí. Dd l desiguldd > b y siendo c un cntidd positiv, puede escribirse: b c > bc y c > c Es posible suprimir denomindores en un desiguldd sin que vríe el signo de l desiguldd, porque ello equivle multiplicr todos los términos de l desiguldd, o se sus dos miembros, por el m. c. m. de los denomindores. ) Si los dos miembros de un desiguldd se multiplicn o dividen por un mism cntidd negtiv, el signo de l desiguldd vrí. Si en l desiguldd > b se multiplic mbos miembros por c, se tiene: c < bc

6 1 Si se divide por c, o se multiplicndo por, se tiene: c c < Al cmbir el signo todos los términos, es decir, los dos miembros de un desiguldd, el signo de ést vrí porque equivle multiplicr los dos miembros de l desiguldd por 1. Si en l desiguldd b > c cmbimos el signo todos los términos, se tiene: b < c 4) Si cmbi el orden de los miembros, l desiguldd cmbi de signo. Si > b es evidente que b < 5) Si se invierten los dos miembros, l desiguldd cmbi de signo. Siendo > b se tiene que 1 < 1 b 6) Cundo los miembros de un desiguldd son positivos y se elevn un mism potenci positiv, el signo de l desiguldd no cmbi. 5 > y elevndo l cudrdo: 5 > o se 5 > 9 7) Si los dos miembros o sólo uno es negtivo y se elev un potenci impr positiv, el signo de l desiguldd no cmbi. Siendo > 5 y elevndo l cubo ( ) > ( 5) o se 7 > 15 Siendo > y elevndo l cubo > ( ) o se 8 > 8 8) Si los dos miembros son negtivos y se elevn un mism potenci pr positiv, el signo de l desiguldd cmbi. Siendo > 5 y elevndo l cudrdo ( ) = 9 y ( 5) = 5 y qued 9 < 5. 9) Cundo un miembro es positivo y otro negtivo, y mbos se elevn un mism potenci pr positiv, el signo de l desiguldd puede cmbir. Siendo > 5 y elevndo l cudrdo = 9 y ( 5) = 5 y qued 9 < 5 (cmbi el signo) Siendo 8 > y elevndo l cudrdo 8 = 64 y ( ) = 4 y qued 64 > 4 (no cmbi el signo) 10) Cundo los dos miembros de un desiguldd son positivos y se les extre un mism ríz positiv, el signo de l desiguldd no cmbi. b c

7 > b y n es positivo, se tiene: n > n b 11) Si dos o más desigulddes del mismo signo se sumn o multiplicn miembro por miembro, result un desiguldd del mismo signo. Si > b y c > d, se tiene: c > b > d + c > b+ d c > b d c > b > d 1) Cundo dos desigulddes del mismo signo se restn o dividen miembro por miembro, el resultdo no necesrimente será un desiguldd del mismo signo, pues, puede ser un iguldd. En 10 > 8 y 5 >, restndo miembro por miembro: signo) 10 > 8 5 > 10 5 < 8 5 < 6 (cmbi de Al dividir miembro por miembro ls desigulddes 10 > 8 y 5 > 4 tenemos 10 > 8 5 > < 8 4 = (Result un iguldd) INECUACIONES Un inecución es un desiguldd en l que hy un o más cntiddes desconocids (incógnits) y que sólo se verific (o demuestr) pr determindos vlores de ls incógnits. Ls inecuciones tmbién se conocen como desigulddes de condición. L desiguldd x - > x + 5 es un inecución porque tiene l incógnit x y sólo se verific pr culquier vlor de x myor que 8. Pr x = 8 se convertirí en un iguldd y pr x < 8 en un desiguldd de signo contrrio.

8 Pr resolver un inecución deben encontrrse los vlores de ls incógnits que stisfgn l inecución. L resolución de inecuciones se fundment en ls propieddes de ls desigulddes ntes expuests y en ls consecuencis que de ls misms se derivn. Ejemplos 1) Resolver x > x + 5 INECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO Psndo x l primer miembro y l segundo se tiene: x x > 5 + Reduciendo: x > 8 S= ( 8, ) = { x R / x > 8} ( 8 x 5x ) Hllr el límite de x en 7 > 6 Suprimiendo denomindores (ver propiedd ) se tiene: 4 x > 10x 6 Trsponiendo términos: x 10x > 6 4 1x > 78 Cmbindo el signo los dos miembros, lo cul hce cmbir el signo de l desiguldd, origin: 1x < Dividiendo por 1: x < o se, x < 6. 1 S= (,6) = { x R/x<6}

9 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ) 6 ) Encontrr el límite de x en (x + ) (x 1) < (x 1) + x Efectundo ls operciones indicds: x + x < x x x Suprimiendo x en mbos miembros y trnsponiendo: x + x x < 1 + S= (,4) = { x R/x<4} x < 4 ) 4 4) Dd l siguiente inecución x + 5 > 0. Hlle el conjunto solución y grfíquelo. x + 5 > 0 Sumndo 5 mbos miembros de l inecución se obtiene:x > 0 5 x > 5 Multiplicndo por 1 mbos miembros de l ecución pr obtener: 1 1 x > 5 5 x > 5 5 S=, = x R/x > ( -5/

10 5) Dd l siguiente inecución x + 5 > 5x. Hlle el conjunto solución y grfíquelo. x + 5 > 5x Sumndo y 5x mbos miembros de l inecución se obtiene: x+ 5 5x+ > 5x 5x+ x + 7 > 0 Sumndo 7 mbos miembros de l inecución se obtiene: x > 7 x > 7 Multiplicndo por 1 1 x > 7 1 mbos miembros de l inecución se obtiene: 7 x < Note que se multiplicó por un número negtivo y se invirtió el sentido de l inecución. 7 7 El conjunto solución es entonces; S=, = x R/x< ) 7/ 6) Dd l siguiente inecución 5. Hlle el conjunto solución y grfíquelo. x 4 Se tiene que tener un expresión linel en l inecución, por tnto se debe multiplicr mbos miembros por l vrible x. Pero como se desconoce el signo de est vrible se deben considerr dos csos. Cso 1: Cundo x > 0 Cso : Cundo x < 0 El cso x = 0 no se consider porque no se puede dividir por cero. Cso I: Al multiplicr por x > 0 el sentido de l inecución no se lter, obteniéndose:

11 5x 4 Multiplicmos por 4 5 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA mbos miembros de l inecución se obtiene: 1 x 5 Pr el Cso 1 se obtiene un solución prcil que llmremos S 1, l cul debe incluir todos los números reles que cumpln con: x > 0 y 1 x 5 Si S A es el conjunto solución de x > 0 y S B el conjunto solución de 1 x entonces l 5 solución prcil S 1 será: S1 = SA SB. S = ( 0, ) = { x R / x > 0} A 1 1 S B =, = x R/x 5 5 S1 = SA SB= ( ) 0, 1, 5 = 1, 5 ( 0 [ 1/5 Cso : Al multiplicr por x < 0 el sentido de l inecución se invierte obteniéndose: 5x 4 Multiplicmos por 4 5 mbos miembros de l inecución se obtiene: 1 x 5 Pr el Cso se obtiene un solución prcil S, l cul debe incluir todos los números reles que cumpln con: x < 0 y 1 x 5

12 Si S C es el conjunto solución de x < 0 y S D l conjunto solución de 1 5 solución prcil S será: S = SC SD. S = (,0) = { x R/x < 0} C 1 1 S D =, = x R/x 5 5 x entonces l S SC SD = = (,0) 1, 5 =( ),0 ) 0 ] 1/5 Teniendo y ls soluciones prciles pr los Csos 1 y, entonces podemos obtener l solución generl que será denotd por S G y que vendrá dd por l unión de S 1 y S, es decir: 1 SG = S1 S = (,0 ), 5 7) Dd l siguiente inecución grfíquelo. x x 1 1 x. Hlle el conjunto solución y 4 Se encuentr el m.c.m. (,, 4) = 1 y se multiplic por 1 mbos miembros de l inecución pr obtener: ( ) ( ) 4 x 6 x 1 1x 4x 8 1x + 6 1x Sumndo 8 y 4x x x mbos miembros de l inecución se obtiene: Sumndo 6 mbos miembros de l inecución se obtiene: 4x 5

13 Multiplicmos por 1 4 mbos miembros de l inecución se obtiene: 5 x S=, = x R/ x 4 4 5/4 INECUACIONES CUADRÁTICAS Procedimiento pr resolver inecuciones cudrátics de form nlític: Primer Pso: Fctorizr el polinomio. Segundo Pso: Considerr los csos necesrios pr que se cumpl l inecución. Tercer Pso: Relice l intersección o unión de los conjuntos solución de cuerdo l cso selecciondo. Curto Pso: dr l solución en form de intervlos y grficrl. Ejemplos 1) Dd l siguiente inecución grfíquelo. x + 5x+ 6> 0. Hlle el conjunto solución y Primer pso: Fctorizr el polinomio ddo: x 5x 6 ( x )( x ) inecución de l form:( x )( x ) + + > = + +, quedndo un Segundo pso: Los csos que se deben considerr son los siguientes: Cso I: Cundo mbos binomios son positivos es decir: ( x + ) > 0 y ( ) x + > 0 Cso II: Cundo mbos binomios son negtivos, es decir: ( x + ) < 0 y ( ) x + < 0

14 Solución Cso I: Se A INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA S el conjunto solución de l inecución ( ) l inecución ( ) 0 Solución pr S A x + > 0 x > A x + > 0 y S B l conjunto solución de x + >, l solución del Cso I viene dd por: SI = SA SB (, ) { / } S = = x R x> Solución pr S B x + > 0 x > B (, ) { / } S = = x R x> L solución prs I es entonces: I A B ( ) ( ) ( ) S = S S =,, =, I ( ) { } S =, = x R/x > ( ( Solución Cso II: Si llmmos C x+ < 0 y S D l conjunto solución de l inecución( x+ ) < 0, l solución del Cso II viene dd por: SII = SC SD Solución pr x+ < 0 x < c S l conjunto solución de l inecución ( ) S C : ( ) { } S =, = x R/x < Solución pr S D :

15 x+ < 0 x< d ( ) { } S =, = x R/x< L solución prs II es entonces: II c d INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( ) ( ) ( ) S = S S =,, =, II ( ) { } S =, = x R/x< ) Solución Generl - ) - L solución generl será l unión de S I y S II, es decir: G I II ( ) ( ) S = S S =,, El método que cb de estudirse, pr resolver inecuciones cudrátics se llm método nlítico. Existe un método lterntivo, el método gráfico, que tmbién se conoce como el método del Cementerio o método de ls cruces. El procedimiento pr resolver inecuciones cudrátics utilizndo este método consiste igulmente en fctorizr el polinomio cudrático, encontrr ls ríces reles y ubicrls sobre l rect rel, dndo origen de est mner intervlos en l rect. Luego, pr cd intervlo, se v evlundo cd binomio pr determinr el signo de éste, es decir, se le signrá l vrible, un vlor rbitrrio que pertenezc cd intervlo pr conseguir el signo de cd binomio. Por último, se seleccionn los intervlos pr los cules se cumple l desiguldd. Ejemplos: 1) Dd l siguiente inecución Se fctoriz el polinomio, x 5x 6 ( x )( x ) form: ( x )( x ) + + > 0 Ls ríces que nuln ( x )( x ) x + 5x+ 6> 0, hlle el conjunto solución y grfique. + + = + +, quedndo l inecución de l + + son x = y x =. Se ubicn sobre l rect rel (ver cudro 1). Se le signn vlores rbitrrios x en cd intervlo, y se determinn los signos.

16 Cudro 1. Ríces ubicds en l rect rel. Se preci en el cudro nterior que l desiguldd se cumple pr quellos intervlos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser l inecución > 0, por lo tnto l solución viene dd por: G (, ) (, ) S = ) Dd l siguiente inecución ( x ) ( x ) grfique <, hlle el conjunto solución y Se desrrolln los productos notbles, se multiplicn por 6 mbos miembros de l inecución y se reducen términos semejntes, obteniendo: x x 15< 0 Fctorizndo el polinomio resultnte, se tiene: x x 15 ( x 5)( x ) un inecución de l form: ( x )( x ) Ls ríces de ( x 5)( x ) 5 + < 0 = +, resultndo + son x = 5 y x =, ls cules se ubicn sobre l rect rel. Se le signn vlores rbitrrios x en cd intervlo, y se determinn los signos de l desiguldd.

17 Se preci en el cudro nterior que l desiguldd se cumple pr quellos intervlos donde el producto de los dos binomios es negtivo por lo tnto l solución viene dd por: G (,5 ) { / 5} S = = x R < x< Gráficmente: ) - ) 5 INECUACIONES RACIONALES Son inecuciones rcionles, quells en ls que tnto el numerdor como el denomindor son inecuciones polinómics cudrátics o polinómics de grdo myor. Estos tipos de problems pueden ser resueltos usndo el método nlítico o el método gráfico. Ejemplo: x + x 10 1) Dd l siguiente inecución < 0 x + x Fctorizndo los polinomios ddos: ( )( ) + 10= + 5, x x x x ( )( ) + = + 1 x x x x hlle el conjunto solución y grfique. Ls ríces que nuln el numerdor son x = 5 y x =, y ls que nuln el denomindor son x = y x = 1, ls cules se ubicn sobre l rect rel. Se le signn vlores rbitrrios x en cd intervlo, y se determinn los signos de l desiguldd.

18 Se INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA observ en el cudro nterior que l desiguldd se cumple pr quellos intervlos donde el cociente es negtivo, debido que l inecución originl < 0 (es negtiv) por lo tnto l solución viene dd por: G ( ) ( ) S = 5, 1, Gráficmente: ( -5 ) ( ) - 1 Ejemplos Vrios: 1)x 5 < x 6 x x< 6+ 5 ( x< 1)( 1) x > 1 )5x 1 > x 4 5x x > x > 8 x > 4 )x 6> 1 8x x+ 8x > x > 7 x > 4)x 14< 7x x 7x < + 14 ( 4x < 1)( 1) x > x+ 1 x+ 5 5) > x 1 x + x+ 1 x+ 5 (x+ 1)(x+ ) (x 1)( x+ 5) > 0 > 0 x 1 x+ (x 1)(x+ ) x + x+ x x+ x+ x > 0 > 0( 1) < 0 (x 1)(x+ ) (x 1)(x + ) (x 1)(x+ ) sol.(, ) (, ) 7 6

19 Definición de vlor bsoluto INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Se x R. Se define el vlor bsoluto de x como: x si x 0 x = x si x < 0 Vemos los siguientes ejemplos Ejemplo = b. = ( ) =. Observe como el vlor bsoluto un cntidd positiv l dej igul y un cntidd negtiv le cmbi el signo. c. Si x> entonces x = x, pues x >0 y sí usmos l primer prte de l definición. Visto de otr mner l expresión que le estmos tomndo vlor bsoluto es de signo positivo y el vlor bsoluto lo dej igul. d. Si x< entonces x = ( x ), pues x <0 y sí usmos l segund formul de l definición. Visto de otr mner l expresión que le estmos tomndo vlor bsoluto es de signo negtivo y el vlor bsoluto le cmbi de signo. Alguns propieddes del vlor bsoluto Sen x, y R. i) xy = x y x x ii) = con y 0 y y iii) x + y x + y Desiguldd tringulr. iv) x y < x + y Desiguldd tringulr. Demostrción: x y = x+ ( y) < x + y = x + y y que y 0 por definición del vlor bsoluto.

20 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Si x es un incógnit en l expresión x, entonces no sbemos si x es positivo o negtivo. Ahor bien, si tenemos l ecución: x =5, deberímos considerr ls dos posibiliddes de signo. Es decir hy dos lterntivs: x =5 o x = 5 L primer es en el cso que x se positivo, l segund en l situción que se negtivo. Resolviendo ls dos ecución, tenemos que x=8 o x= Efectivmente estos vlores de x stisfcen l ecución: x =5. Ejemplo 1. Resolver x 4 = Solución: Hy dos posibiliddes x 4= o x 4=. Ls soluciones de ells son 7 y 1. Efectivmente el lector puede comprobr que si sustituimos estos vlores en l ecución ells stisfcen l iguldd. Ejemplo. Resolver 5 4x = 9 Solución: Sbemos resolver un ecución con vlor bsoluto cundo el vlor bsoluto está solo en el ldo izquierd, sí que lo llevmos est form, dividiendo entre. De est mner l ecución dd es equivlente : 5 4x = Ahor est ecución en vlor bsoluto es equivlente 5 4x= ó 5 4x = 1 L solución de ells son y. Podemos representr el conjunto solución de nuestr ecución 5 4x = 9 trvés de l notción de conjunto como: { 1,}. Recuerde que un vlor bsoluto siempre es myor o igul cero, nunc negtivo. Ejemplo. Resolver x 5 = Solución: Est iguldd es imposible de cumplirse. Por tnto l solución es vcí... b = b represent l distnci entre y b.

21 Desigulddes con vlor bsoluto L expresión x < l podemos interpretr como los x cuy distnci l origen es menor que, estos x son todos los números que están entre y. Así l desiguldd x < es equivlente <x< L expresión x > l podemos interpretr como los x cuy distnci l origen es myor que, estos x son todos los números myores que y los menores que. Así l desiguldd x > es equivlente x< ó x> Se x, R, 0. Se tiene entonces: 1) x sii x x ó x [ ] - ) x sii x x ] [ - Intervlo simétrico respecto cero. Inecuciones de primer grdo con vlor bsoluto Sen x, bc,, R. Ls inecuciones de primer grdo con vlor bsoluto pueden presentr ls siguientes forms:

22 x + b c 1) x + b c y ó c x+ b c x + b c Ejemplos: ) Encuentre el conjunto de soluciones que stisfce: 5x y grfique. 15 5x x x x 5 5 x S = [ 5,1 ] = {[ x R/ 5 ] x 1} -5 1 x b) Encuentre el conjunto de soluciones que stisfce: + < 1 y grfique. x 1 < + < 1 ( ) x < < x < < 1 S = ( 9, ) = { x R/ 9 < x < } 9 < x< x + b c ) x + b c ó ó x + b c x + b c x + b c Ejemplos: ) Encuentre el conjunto de soluciones que stisfce: x + 8 y grfique. x + 8 x 8 x 6 6 x x x + 8 x 8 x x 10 - (, 10 [, ) + x b) Encuentre el conjunto de soluciones que stisfce: + > 1 y grfique. x x + > 1 > 1 x > x ( x, 9] (, ) + < 1 < x < 9

23 Observción: Ests propieddes tmbién plicn pr x + b < c y x + b > c Ejemplo 1 Convertir ls siguientes desigulddes en otr proposición equivlente sin vlor bsoluto. ) x 1 > 1 es equivlente x 1 > 1 o x 1 < 1. (Note que x 1 hce ls veces de x) b) 5 x Usmos l form. Observe que un resultdo similr se cumple en el cso de l desiguldd con. 5x es equivlente 5x. c) 4 1 x 1 Pr usr lguns de ls dos forms nteriores, debemos primero dejr el vlor bsoluto completmente despejdo en el ldo izquierdo de l desiguldd. 4 1 x 1 Como el 4 está sumndo, ps restndo l otro ldo 1 x Multiplicmos por mbos ldos de l desiguldd, hy que recordr que l desiguldd cmbi de sentido. 1 x. Est es l form Finlmente: 1 x es equivlente 1 x ó 1 x x 1 ó x 1 x ó x 4 x ó x 4 A trvés de l notción el conjunto solución será S t = (, ] [ 4, + ) Ejercicio : Convertir l siguiente desiguldd en otr expresión equivlente sin vlor bsoluto. x 1 Pr usr lguns de ls dos forms nteriores, debemos primero dejr el vlor bsoluto completmente despejdo en el ldo izquierdo de l desiguldd. x + 1 x

24 x, que es equivlente x + x x 1 7 A trvés de l notción el conjunto solución será S t =, Pr resolver completmente un desiguldd con vlor bsoluto, primero deberemos expresrl de un mner equivlente pero sin vlor bsoluto, ests últims serán ls que resolveremos con ls regls vists nteriormente. Ejemplo. Resolver ) x 1 es equivlente x 1, es decir tiene ls misms soluciones. Est últim es l que resolvemos: + 1 x + 1 Primero restmos 1 cd ldo de l desiguldd. 4 x Dividimos entre cd miembro de l desiguldd. 1 x. Así l solución son todos los números contenidos en el intervlo cerrdo [ 1,] b) 10 x < 4 Primero, se busc escribir est desiguldd con el vlor bsoluto despejdo del ldo izquierdo. En l desiguldd 10 x < 4 primero psmos el 10 restndo l otro ldo x < 6 Dividimos entre mbos ldos x > Est desiguldd es de l form. Por tnto es equivlente x > ó x < Este tipo de desigulddes dobles no pueden ser resuelts de l mner sintetizd como en el cso ). En el ldo izquierdo resolvemos l primer y en el ldo derecho resolvemos l segund desiguldd, mnteniendo el conectivo o x > ó x < Summos cd ldo de l desiguldd x > 5 ó x < 1 Dividimos entre mbos miembros

25 5 1 x > ó x < Así ls soluciones de l desiguldd 10 x < 4 es el conjunto 1 5 (, ) (, ) Representdos por El siguiente ejemplo muestr lguns desigulddes en vlor bsoluto cuy soluciones son triviles: R ó o un punto. Ejemplo 4. Resolver ) x 1 En l primer desiguldd estmos comprndo un vlor bsoluto, el cuál es positivo, con un número negtivo. Obvimente est relción no se cumple pr ningún x. Así l solución es el conjunto. b) 1 x < 4; En este cso primero despejmos el vlor bsoluto en el ldo izquierdo, dndo x >. Pr culquier vlor de x tenemos que x 0, esto es por l propi definición de vlor bsoluto y por tnto myor que. Así l solución de está desiguldd son todos los número reles R. c) x 0 Como el vlor bsoluto siempre d un cntidd myor o igul 0, l únic form que se cumpl est proposición es cundo x = 0 y esto ocurre solo cundo x =. Así que l únic solución de est desiguldd es el punto x = Comentrio: Observe que el ejemplo no es de l form, pues tiene que ser positivo. Por l mism rzón, x > no es de l form 1. DÁMASO ROJAS FEBRERO 008 Not: Ejercicios recolectdos de vrios utores en l red, recopildos por el utor

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