Ecuaciones de Segundo Grado II

Save this PDF as:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Ecuaciones de Segundo Grado II"

Transcripción

1 Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe tener Sum = S S b Producto = P c P > 0 Ríces reles diferentes = 0 Ríces igules < 0 Ríces complejs y conjugds > 0 Ríces reles Diferenci x x donde x Sx + P = 0 x x x = x x = m + ni x = m ni m; n R demás: i

2 Observciones Ríces Simétrics u Opuests Ríces Recíprocs o Inverss Ecuciones Cudrátics Equivlentes si si si ls ecuciones Un ríz es: x = m, l otr es: x = -m Un ríz es: x = m, l otr es: x m x + bx + c = 0 ; 0 mx + nx + p = 0 ; m 0 se cumple se cumple tienen x + x = 0 x x = Ls misms ríces o soluciones se cumple b c m n p Ejercicios Resueltos. Ejemplo: En l ecución x + 6x + 5 = 0 Clculemos el DISCRIMINANTE: = b 4c = (6) 4()(5) = 6, es decir > 0 b Por l fórmul Generl: x 6 6 x () De donde: x ; x 5 es decir C.S. = {-; -5} ríces reles y diferentes!.. Ejemplo: En l ecución x 4x + 49 = 0 Clculmos el DISCRIMINANTE: = b 4c = (-4) 4()(49) = = 0, entonces ls ríces son reles e igules. Comprobemos: L ecución dd tmbién se escribe sí: (x - 7) = 0 ó (x - 7)(x - 7) = 0

3 Igulndo cd fctor CERO: x 7 = 0 x = 7 x 7 = 0 x = 7 entonces: C.S. = {7; 7} 3. Ejemplo: En l ecución x 6x + 5 = 0 Los coeficientes son: = ; b = -6; c = 5 El DISCRIMINANTE es: = b 4c = (-6) 4()(5) = -, es decir < 0 Lo que signific que ls ríces no son reles, sino COMPLEJAS Y CONJUGADAS. 4. Ejemplo: Indicr l sum y producto de ríces de: x + 5x + 3 = 0 Solución: Identificmos: = ; b = 5; c = 3 b Entonces: S sum de ríces 5 S 5 c P producto de ríces 3 P 3 5. Ejemplo: Formr l ecución de segundo grdo si se tienen ls ríces x = ; x = -3. Solución: Sbemos: S = x + x = 3 = - P = x x = ()(-3) = -6 entonces de l ecución: x Sx + P = 0 x (-)x + (-6) = 0 x + x 6 = 0 Ecución de º Grdo 6. Ejemplo: Hllr ls ríces de l ecución e indicr que tipo de ríces tiene: x 00 = 0 Solución: Fctorizndo (x + 0) (x - 0) = 0 x = -0 x = 0 Son simétricos EJERCICIOS DE APLICACIÓN. Indicr l sum y producto de ríces de cd un de ls ecuciones: ) x + x + = 0 b) x + x + = 0 c) 5x + x + 3 = 0 d) 7x + x = 0 e) 3x x + 5 = 0 f) x + 8x + 9 = 0. Indicr de que nturlez son ls ríces de ls ecuciones siguientes: ) x + x + = 0 b) x + = 0 c) x + 5x + = 0 d) x = 0 e) x x + = 0

4 f) 5x + 3x + = 0 8. Si l ecución: (b + 5)x + 3bx + b = 0 present ríces igules. Hllr: b ) 0 b) - c) 4 d) 8 e) 6 g) 7x + 4x = 0 h) x + 3x 3 = 0 3. Si: x y x son ls ríces de l ecución: x + 5x + = 0 Indicr el vlor de: E = (x + x ) x x ) 0 b) c) 3 d) 4 e) 5 4. Hllr m, si l sum de ríces de l ecución es 0. (m - )x (m + 5)x + 8 = 0 ) 5 b) 5/9 c) 9/5 d) /4 e) N.A. 5. Dd l ecución: 9x + 5x + = 0 con ríces x y x ; clculr k. Si: 3(x x ) k-4 = ) 9/ b) 7/ c) 5/ d) 4 e) 9 6. En l ecución 3x + x + 6 = 0, pr qué vlor de ls ríces serán igules? (Ríz doble) ) ± b) ± c) ±3 d) ±4 e) N.A. 7. Si un de ls ríces de l ecución: x + ( + 3)x + + = 0 es (-6), entonces l otr ríz es: ) - b) - c) -3 d) -4 e) N.A. 9. Si l ecución: x + 3x + 6k = 0 no tiene solución rel, entonces se cumple: ) k b) k c) k d) k 4 e) N.A. 0. Indique los vlores de k si en l ecución: x (k + )x + k + = 0 su discriminnte es igul l sum de sus ríces. ) ; b) - ; / c) ; - d) -/ ; e) - ; -. Formr ls ecuciones de º grdo prtir de ls ríces x y x. ) x = 3 ; x = b) x = 5 ; x = - c) x = -3 ; x = -4 d) x = - ; x = e) x 3 ; x 3 f) x 3 ; x 3. Sen ls ecuciones equivlentes:

5 x + x + 5 = 0.. (I) 3x + x + b = 0.. (II) Indicr:. b ) 45/3 b) 30 c) 35 d) /3 e) 5/3 3. Clculr /b, si ls ecuciones: x (8b - 3)x + 8 = 0 x + (b + 5)x + 6 = 0 son equivlentes (tienen ls misms ríces). se igul l producto de ls misms. (k < 0) ) -3 b) - c) 0 d) - e) N.A. 5. Hllr el vlor de k en l ecución: (k - )x 5x + 3k 7 = 0 pr que un de ls ríces de l ecución se l invers multiplictiv de l otr. ) b) c) 3 d) 4 e) 6 ) b) 6 9 d) e) 3 c) 9 4. Hllr el vlor de k que hce l sum de ls ríces de l ecución: x + kx + x k + 4 = 0. Hllr el vlor de de modo que ls ríces de l ecución: x ( 3)x 0 se difieren en 5. 4 ) 5/3 b) 7/3 c) 0/3 d) 5/6 e) 0/3. Indicr l sum de ls ríces que verificn l ecución: x 6x 9 4 x 6x 6 c) x Mx + = 0 4. Sen S y P l sum y el producto de ríces de l ecución de incógnit x : (k - )(x x) = -(k + ) Si: S < P; son números consecutivos. Hllr k en función de. ) b) c) 3 d) 3 e) ) b) 6 c) 5 d) 8 e) 3 3. Formr l ecución de segundo grdo, si tiene por ríces: M M 5. Los límites hci los que tienden ls ríces de l ecución: ( - )x (7 - )x + 6 = 0 cundo crece indefinidmente. ) y 6 b) y 3 c) y 3 d) y 6 e) N.A. ) x Mx + = 0 d) x Mx + = 0 b) x 4Mx + = 0 e) x Mx + = 0

6 n n 3 6. Siendo: ; el conjunto solución n n de l ecución cudrátic en x : x + bx + 4c = 0 ( 0) b 4c Clculr el vlor de: L ( b c) 7. Sbiendo que x x son ls ríces de l ecución: x 5x + = 0 x x Reducir: N 4 4 x x x x TAREA DOMICILIARIA Nº 5. Indicr l sum y producto de ríces de cd un de ls ecuciones: ) x + 3x + = 0 d) x + 5x + = 0 b) x + 5x + = 0 e) x + 7x + 6 = 0 c) 3x + 4x + = 0. Indicr de que nturlez son ls ríces de ls ecuciones siguientes: ) x x + = 0 e) 5x + x + = 0 b) x + x + = 0 f) x 5 = 0 c) x + 5x + = 0 g) x + 3x = 0 d) x 7x + = 0 h) 3x 7x + = 0 3. Siendo x y x son ls ríces de l ecución: x + 4x + = 0 x Indicr el vlor de: x A 3xx ) 4/3 b) -4/3 c) /3 d) -/3 e) -3/4 4. Se x y x ríces de l ecución: x + x + = 0 ( x Indicr: x ) xx 3x x ) 4 b) - c) 3 d) e) 5. Hllr k, si l sum de ríces de l ecución es 0. ) 3 d) 9 (k - 3)x (k + 4)x + 30 = 0 67 b) 9 9 e) 9 c) 6. Indicr el vlor de m si el producto de ríces es igul l sum de ls misms en l ecución: (m + 4)x mx + 3m + = 0 ) / b) -/3 c) /3 d) /3 e) -/ 7. Hllr m, si l ecución present ríz doble. x (m + )x + 5 = 0 ) b) c) 3 d) 9 e) 0 8. Hllr m, si l sum de ríces de l ecución es 8. (m + )x (7m + 6)x + 4m + 5 = 0 ) - b) - c) -6 d) -0 e) - 9. Hllr m, si el producto de ríces es 6. (m + )x (m + 5)x + 0m + 4 = 0 ) - b) - c) -3 d) -4 e) Hllr m, si l ecución tiene por ríz l unidd, m > 0. 4x 4x + m m = 0 ) b) c) 3 d) 4 e) 6. Dds ls ecuciones: mx + 5x + 0 = 0..(I) x + nx + = 0..(II) Equivlentes (tienen ls misms ríces) Indicr el vlor de: E = m + n ) 0 b) -0 c) - d) e) 3. Indicr el vlor de p si un de ls ríces es l invers multiplictiv de l otr. (p + )x 3x + p + = 0 ) - b) c) d) 3 e) 4 3. Hllr si l ecución present ríces simétrics: x + ( )x + + b = 0 Siendo: b > 5

7 ) b) 3 c) 4 d) - e) 4. Se l ecución: 5x x + 3 = 0 Donde: x y x son sus ríces Clculr: M = ( + x ) ( + x ) ) b) c) 3 d) 4 e) 5 5. Formr ls ecuciones de º Grdo prtir de ls ríces dds x y x. ) x = - x = - b) x = 3 x = 4 c) x = 5 x = 3 d) x = x = 3 e) x = 3 x = 3 f) x = 6 x = -

Ecuaciones de segundo Grado

Ecuaciones de segundo Grado Ecuciones de segundo Grdo Frcso y éxito El frcso tiene mil excuss, el éxito no requiere explicción. Cd vez que no logrmos lgo siempre tenemos un mgnífic disculp; el mediocre busc instintivmente un justificción

Más detalles

open green road Guía Matemática ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl

open green road Guía Matemática ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgarejo .cl Guí Mtemátic ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO profesor: Nicolás Melgrejo.cl 1. Ecución de segundo grdo Es un iguldd donde l vrible incógnit está l cudrdo, l cul puede tener soluciones diferentes, 1 solución

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES

DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES REPASO Y APOYO OBJETIVO DISTINGUIR E IDENTIFICAR ECUACIONES E IDENTIDADES IDENTIDADES Y ECUACIONES Un iguldd lgebric está formd por dos expresiones lgebrics seprds por el signo igul (=). Un identidd es

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Raíces de una ecuación cuadrática

Raíces de una ecuación cuadrática 8 Ríces de un ecución cudrátic Introducción Se bord en est sección l deducción de l fórmul pr hllr ls ríces de un ecución cudrátic. Se nlizn ls crcterístics de ls soluciones, según l form del discriminnte

Más detalles

2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3

2º BACHILLERATO A TEMA 2. DETERMINANTES. 1.Calcula los determinantes de estas matrices: 2. Determina el valor de x 3 2 3 º BACHILLERATO A TEMA. DETERMINANTES..Clcul los determinntes de ests mtrices:. Determin el vlor de x 4 x 3 3 = b x 5 = 3. Clcul los siguientes determinntes: A = ( 3 5 5 4 B = ( 3 4 b 3 9 3 c 4 3 d 3 3

Más detalles

TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es:

TEMA 3: ECUACIONES ECUACIONES DE 2º GRADO Las ecuaciones de 2º grado son de la forma ax 2 +bx+c=0 y su solución es: TEMA : ECUACIONES ECUACIONES DE º GRADO Ls ecuciones de º grdo son de l form +b+c=0 y su solución es: b b 4c Cundo b=o o c=0 son incomplets y se resuelven de l siguiente form. Cso b=0, por ejemplo: 6 7=0

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Funciones Algebraicas

Funciones Algebraicas 1 1r Unidd s 1. Dominio de Polinomiles y Rcionles Cundo los pensmientos brumn nuestr mente es momento de tomr un pus, respirr, y reformulr ides. Unos minutos pr desconectrse resultn de provecho pr volver

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

SELECTIVIDAD DETERMINANTES

SELECTIVIDAD DETERMINANTES SELECTIVIDAD DETERMINANTES Junio 8: Dds ls mtrices A = 5, B = y M = b, clcúlese y b pr que se verifiquen MA =, M + B =, donde se está usndo l notción hbitul (con brrs verticles) pr denotr l determinnte

Más detalles

es una matriz de orden 2 x 3.

es una matriz de orden 2 x 3. TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones

Límite y Continuidad de Funciones CAPÍTULO 6 Límite Continuidd de Funciones 6.1. Límite de un función L noción de ite es l bse del cálculo. Decir que f) = L signific que es posible hcer que los vlores de f) sen tn cercnos l número L como

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A

Junio 2010 (Prueba General) JUNIO 2010 OPCIÓN A Junio 00 (Prueb Generl) JUNIO 00 OPCIÓN A.- ) Dds ls funciones f () = ln () y g() =, hllr el áre del recinto plno limitdo por ls rects =, = y ls gráfics de f () y g (). b) Dr un ejemplo de función continu

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

Fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas Frcciones lgerics L histori del número irrcionl "" = 3.459653589793... Los ntiguos le dn un vlor de 3 con lo que errn en un 5 %; Arquímedes le dio el vlor, los chinos en el 7 siglo I le signron el vlor

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ... Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función

EJERCICI0S PARA ENTRENARSE. Hacemos una tabla de valores y después representamos la función Unidd 3 Funciones Cudrátics EJERCICI0S PARA ENTRENARSE 4 Represent en los mismos ejes ls siguientes funciones: )) y y -. )) y 0,5 y - 0,5. c)) y 6 y - 6. Hcemos un tl de vlores y después representmos l

Más detalles

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015 Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd

Más detalles

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas Fich 4. Funciones lineles y cudrátics ) Deinición de unción linel Sen A y B dos conjuntos no vcíos y un unción deinid de A hci B ( : A B ), entonces se le llm un unción linel si su criterio es de l orm

Más detalles

Unidad 5-. Trigonometría II 1

Unidad 5-. Trigonometría II 1 Unidd - Trigonometrí II ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS Sbiendo que sen - / y tg b /7, y que 70 < < 0 y 80 < b < 70, clcul: sen ( b bb cos ( b cc tg ( b Hllmos el resto de rzones trigonométrics

Más detalles

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l

Más detalles

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola

HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola Mtemátic 014 HIPÉRBOLA Definición: Se llm hipérol l conjunto de puntos del plno que cumplen con l condición de que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. pf p f ' = constnte

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

FICHA 1 3/2008. Propiedades Adición (+) Multiplicación (. ) Conmutativa A1 a + b = b + a M1 a.b =b.a

FICHA 1 3/2008. Propiedades Adición (+) Multiplicación (. ) Conmutativa A1 a + b = b + a M1 a.b =b.a FICHA 1 3/2008 Existe un conjunto de números llmdos reles en el que están definids 2 operciones: Adición (+) y multiplicción (.). Est estructur se indic sí: (R, +,. ) (Axiom de Cuerpo) Sen, b y c reles

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1.

BLOQUE II Análisis. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. sea continua en x = 1. Pág. de 7 x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = x + k si x > se continu en x =. b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =, h de ser fx = f. x 8

Más detalles

ACTIVIDADES. 001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensión sea 3 2. a 32 = a 21 = a 11 = 1 a 22 = a 12 = a 31 = 2

ACTIVIDADES. 001 Escribe una matriz que cumpla las siguientes condiciones. Su dimensión sea 3 2. a 32 = a 21 = a 11 = 1 a 22 = a 12 = a 31 = 2 Solucionrio ACTIVIDADES Escribe un mtriz que cumpl ls siguientes condiciones. Su dimensión se. L mtriz es:. Se venden listones con dos cliddes y de dos longitudes. los listones grndes de bj clidd cuestn,75

Más detalles

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre ) Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Hoja 2: Matrices Profesor: Miguel Ángel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Hoj : Mtrices Operciones: Ejercicio : Encontrr ls mtrices X e Y tles que: 3 X + Y 4 5 X 3Y 7 Ejercicio : 3 5 Dds ls mtrices

Más detalles

BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1

BLOQUE II ANÁLISIS. Página 234. a) Halla el valor de k para que la función f(x) = continua en x = 1. x 2 + k si x > 1 II BLOQUE II ANÁLISIS Págin 3 3x si x Ì Hll el vlor de k pr que l función fx = continu en x =. x + k si x > se b Represent l función pr ese vlor de k. c Es derivble en x =? Pr que f se continu en x =,

Más detalles

NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales

NÚMEROS REALES 1. RECTA NUMÉRICA REAL. Indicadores 2. RELACIÓN DE ORDEN. Contenido. Números Reales Indicdores NÚMEROS REALES Identific ls propieddes de los números reles, determinndo el vlor de verdd de proposiciones. Clcul el vlor de epresiones lgebrics usndo ls propieddes del vlor bsoluto. Evlú y

Más detalles

lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 10. Matrices y determinantes (2) Matemáticas II 2º Bachillerato 2 3 a

lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas 10. Matrices y determinantes (2) Matemáticas II 2º Bachillerato 2 3 a Resuelve ls siguientes ecuciones: 4 5 = 0 0 + 6 = 0 0 + 0 = 0 = 0 Hll el vlor de los siguientes determinntes de orden 4: 0 0 0 0 0 0 4 0 0 5 4 0 0 6 0 5 Clcul el vlor de los siguientes determinntes: 0

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Algebra de Logaritmos. 2do. Medio. (f) log 27 ( 1 81 ) (g) log a. (i) log (j) log 9. (i) (j) log x. (k) log 4 x = 1, 5.

Algebra de Logaritmos. 2do. Medio. (f) log 27 ( 1 81 ) (g) log a. (i) log (j) log 9. (i) (j) log x. (k) log 4 x = 1, 5. do. Medio. 0. 0. 0. Expresr en form rítmic : = 0, 9, = 7 Expresr en form exponencil : 64 = 6 = 9 Clculr los siguientes ritmos : 6 7 ( 8 ) 8 = 4 = 4 8 9 0, (h) 4 0 04. 0. 8 0, 06 7 4 Determinr el vlor de

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a

La Elipse. Distancia Focal : F 1 F 2 = 2 c Eje mayor o focal : AB = 2 a Focos : F 1 y F 2 Eje menor : CD = 2 b. Además se cumple que a L Elipse L elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos es constnte. Estos dos puntos fijos se llmn focos de l elipse. Elementos de l Elipse Vértices : A, B,

Más detalles

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES 4.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Ls funciones que hbitulmente utilizmos son funciones reles de vrible rel. f es un función de R en R si cd número rel Dom, le hce corresponder otro número

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio

Más detalles

BLOQUE II: ÁLGEBRA =... son números reales, el primer índice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra el elemento.

BLOQUE II: ÁLGEBRA =... son números reales, el primer índice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra el elemento. BLOQUE II: ÁLGEBR Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto - DEFINICIONES: Un mtriz viene dd por 2 = m 2 22 m2 3 23 m3 n 2n mn donde son números reles, el primer índice indic l fil y el segundo l column en

Más detalles

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x 1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR log. a a. log. log. log. 1 log ) b 1; b > 0, b 1. Sandovalich, Hugo Alexis 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR log. a a. log. log. log. 1 log ) b 1; b > 0, b 1. Sandovalich, Hugo Alexis 1 CEPREUNF CICLO REGULAR 07-08 Sen 9 CURSO: MATEMÀTICA TEMA: LOGARITMOS-INECUACIONES- VALOR ABSOLUTO-RELACIONES Y FUNCIONES A. Definición: Es un núero, que represent l eponente de l se de un potencición

Más detalles

TEMA 2. DETERMINANTES

TEMA 2. DETERMINANTES TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES TEMA. LOS NÚMEROS REALES. Operciones con números nturles. Los números nturles son los que se utilizn pr contr 0,,,,,, Con los números nturles podemos relizr diferentes operciones, como - Sum + = 8 - Rest

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Funciones cuadráticas

Funciones cuadráticas Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c

Más detalles

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1.

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1. 1) NÚMEROS NATURALES Son números que sirven pr contr. Descomposición polinómic de un número. Ej : 1.34.567 1: Uniddes de millón : Centens de millr 3: Decens de millr 4: Uniddes de millr 5: Centens 6: Decens

Más detalles

IES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer trimestre 4º ESO 16 de octubre de 2012 Números reales. Potencias y radicales NOMBRE:

IES Fernando de Herrera Curso 2012 / 13 Primer trimestre 4º ESO 16 de octubre de 2012 Números reales. Potencias y radicales NOMBRE: IES Fernndo de Herrer Curso 01 / 1 Primer trimestre º ESO 16 de octubre de 01 Números reles. Potencis rdicles NOMBRE: 1) ) Representr en un mism rect rel: 1 9 1/ 0 1 Decir qué números representn b: 0 1

Más detalles

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos

Más detalles

NÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS.

NÚMEROS REALES 1º Bachillerato CC. SS. Números Reles NÚMEROS REALES 1º Bchillerto CC. SS. Reles R Irrcionles I Enteros Rcionles Z Q Nturles Nturles N 1,,,... EnterosZ, 1, 0, 1,... Rcionles Q 7,, 6'... 5 N Irrcionles I π,, 7'114... Números Reles

Más detalles

Concepto de funcio n y funciones elementales

Concepto de funcio n y funciones elementales Concepto de uncio n unciones elementles Ls unciones describen enómenos cotidinos, económicos, psicológicos, cientíicos Tles unciones se obtienen eperimentlmente, medinte observción. Después, se idelizn

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO INTEGRAL SESIÓN 5: INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL. COMPETENCIA: resolver y plnter integrles que le yuden clculr el áre de un región cotd por dos o más funciones plicndo el teorem

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

DETERMINANTES. Matemática I Lic. en Geología Lic. en Paleontología

DETERMINANTES. Matemática I Lic. en Geología Lic. en Paleontología Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí DETERMINNTES En un mtriz cudrd hy vrios spectos que el determnte yud esclrecer: Existirá un mtriz B tl que.b = I? Es decir, tendrá mtriz vers? De ls columns

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES C/ Grn Ví, 8 Mdrid, Espñ T: () 9 98. Dds ls mtrices, clculr: ) A B b) A t B t. Dds ls mtrices,, C = D =, relir todos los productos que sen posibles.. Clculr X - X I si X =. Se l mtri M =. Clculr M.. Clculr

Más detalles

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de

Más detalles

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ.

Solución Examen. (1 + a)x + y + z + u = α x + (1 + a)y + z + u = β x + y + (1 + a)z + u = γ x + y + z + (1 + a)u = δ. Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Algebr Linel MA 0, 0/08/3, Profs. J. González, R. Gouet. Solución Exmen. Considere el siguiente sistem de ecuciones lineles,

Más detalles

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m

Más detalles

Colegio San Agustín (Santander) Página 1

Colegio San Agustín (Santander) Página 1 Mtemátics ºBchillerto Aplicds ls Ciencis Sociles er evlución. Determinntes ) Clcul el vlor de los siguientes determinntes: ) b) c) ) = (-)+ +(-) [ + (-) (-)+ ]= -++-[6++] = --6-= - b) = (-) + + -[ (-)+

Más detalles

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS. TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..

Más detalles

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES

LOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES En l epresión n c, puede clculrse un de ests tres cntiddes si se conocen dos de ells resultndo de este odo, tres operciones diferentes: º Potenci º Rdicción º Logrito

Más detalles

PRODUCTOS NOTABLES APELLIDOS Y NOMBRES

PRODUCTOS NOTABLES APELLIDOS Y NOMBRES PRODUCTOS NOTABLES APELLIDOS Y NOMBRES SECCIÓN Qué es un producto notble? L plbr "producto" hce referenci l resultdo de un multiplicción y l plbr "notble" hbl de lgo que se puede notr simple vist; por

Más detalles

Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):

Álgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z): Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol:

Más detalles

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000) Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistems de ecuciones lineles º) L sum de ls tres cifrs de un número es 8, siendo l cifr de ls decens igul l medi de ls otrs dos. Si se cmbi l cifr de ls uniddes por l de ls centens, el número ument en

Más detalles

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una DESIGUALDADES 7 60 < d < 7 70 En el cmpo de los números reles tenemos un propiedd de orden que se costumbr designr con el símbolo (

Más detalles

Funciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto

Funciones de R en R. y = 1. son continuas sobre el conjunto Funciones de R n en R m Teorem de l Función Invers Funciones de R en R Se f(x) un función rel de vrible rel con derivd continu sobre un conjunto bierto A se x 0 un punto de A donde f (x 0 ) 0. Considere

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez

I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez Polinomios Operciones Regl de Ruffini Ríces o ceros Descomposición Frcciones lgebrics Ecuciones rcionles Repso de polinomios Ejercicios Ddos los polinomios P(, Q( R( clculr: P( Q( Q( R( P( Q( R( d P( Q

Más detalles

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS RECOLECTADOS EN LA RED. (MATEMÁTICA I ADMINISTRACIÓN) INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS DESIGUALDADES INECUACIONES INTERVALOS EN LA RECTA REAL Ddos dos números culesquier y b, tles que

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

a Y = X donde a 1 siendo Lg el logaritmo y

a Y = X donde a 1 siendo Lg el logaritmo y Mteri: Mtemátics de 4to ño Tem: Función logrítmic Mrco Teórico L función exponencil de l form f ( ) tiene un función invers, que llmmos función logrítmic y se escribe de l form: Un función > 0 g( ) Lg

Más detalles