BLOQUE II: ÁLGEBRA =... son números reales, el primer índice indica la fila y el segundo la columna en la que se encuentra el elemento.

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1 BLOQUE II: ÁLGEBR Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto - DEFINICIONES: Un mtriz viene dd por 2 = m 2 22 m m3 n 2n mn donde son números reles, el primer índice indic l fil y el segundo l column en l que se encuentr el elemento = i =,, m y j =, n ( Dimensión de un mtriz: número de fils y de columns, se represent por m x n Mtrices igules: Dos mtrices son igules si tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr en mbs mtrices, son igules Mtriz fil: mtriz que tiene un sol fil Mtriz column: mtriz que tiene un sol column Mtriz cudrd: mtriz que tiene el mismo número de fils que de columns En un mtriz cudrd, se llm digonl principl l conjunto formdo por todos los elementos de l form ii Mtriz trspuest: t, mtriz que se obtiene cmbindo fils por columns Mtriz simétric: Un mtriz cudrd es simétric si coincide con su trspuest Mtriz ntisimétric- Un mtriz cudrd es ntisimétric si coincide con l opuest de su trspuest Ls mtrices ntisimétrics tmbién se llmn hemisimétrics Mtriz nul: Es quell en l que todos sus elementos son 0 Se represent por O Mtriz digonl: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos que no estén en l digonl principl son 0 Mtriz esclr: Es un mtriz digonl en l que todos los elementos de l digonl principl son igules Mtriz identidd: Es un mtriz esclr en l que todos los elementos de l digonl principl son igules

2 Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto Mtriz tringulr superior (inferior: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos situdos por debjo (por encim de l digonl principl son 0 2- OPERCIONES CON MTRICES 2- Sum de mtrices Dds dos mtrices de l mism dimensión = y B = b, su sum + B es otr mtriz de l mism dimensión que ls nteriores y cuyos elementos son de l form: + B = + b ( ( ( 22- Producto de un número rel por un mtriz El producto de un número rel k por un mtriz = es otr mtriz de l mism dimensión que y cuyos elementos se obtienen multiplicndo k por todos los elementos de k = k ( ( 23- Producto de mtrices Pr poder multiplicr dos mtrices es necesrio que el número de columns de l primer mtriz se igul l número de fils de l segund mtriz El producto de l mtriz = por l mtriz B = b es otr mtriz ( de dimensión mxq, P mxq= ( p cuyos elementos p se obtienen multiplicndo esclrmente l fil i de l segund En generl, B B t t t ( B = B 3- RNGO DE UN MTRIZ nxq ( de l primer mtriz por l column j Se llm rngo de un mtriz, l número de fils (columns que son linelmente independientes Se represent por r ( Pr obtener el rngo de un mtriz, se pueden efectur ls siguientes trnsformciones, sin que el rngo vríe: Eliminr ls fils o columns nuls Eliminr ls fils o columns proporcionles otrs Eliminr ls fils o columns dependientes de otrs Multiplicr un fil o column por un número distinto de cero

3 Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto Sumr o restr un fil o column otr 3- Cálculo del rngo de un mtriz por el método de Guss El método de Guss consiste en llegr, prtir de l mtriz dd, un mtriz esclond utilizndo ls propieddes nteriores El número de fils o columns no nuls que teng l mtriz esclond es el rngo de l mtriz 4- DETERMINNTES 4- Determinntes de orden 2 2 Dd un mtriz cudrd de orden 2, = se define el determinnte de como = = Determinnte de orden Dd un mtriz de orden 3, = el determinnte de es: = Propieddes de los determinntes ' ' det( F + F = det( F + det( F 2 det( kf = k det( F 3 Si y B son mtrices cudrds de l mism dimensión, se cumple que: B = B 4 det( F = det( F2, F 5 det( F, O = 0 6 det( F, F = 0 7 det( F, kf = 0 8 det( F, F +bf2 = 0

4 Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto 9 det( F + F2 = det( F 0 det( F + kf2 = det( F - 2- = t 0 rngo( = n ( = 0 rngo( < n 5- DJUNTO Se llm djunto del elemento y se represent por : i+ j = ( M Donde M es el determinnte que result de eliminr l fil i y l column j de l mtriz El determinnte de un mtriz cudrd es igul l sum de los elementos de un fil (o column multiplicdos por sus djuntos correspondientes Si 2 3 = entonces = MTRIZ INVERS Dd un mtriz cudrd, se llm Mtriz djunt de y se represent por dj ( l mtriz que se obtiene l sustituir todos los elementos por sus djuntos L mtriz invers de es, si existe, = dj( t Por lo tnto, pr que exist l mtriz invers, el determinnte de tiene que ser distinto de cero 7- SISTEMS DE ECUCIONES LINELES -Sistem Comptible: si tienen solución Comptible determindo si l solución es únic Comptible indetermindo si tiene infinits soluciones -Sistem Incomptible: si no tienen solución

5 Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto -Sistem homogéneo: quel sistem cuyos términos independientes son cero Los sistems homogéneos siempre tienen solución, como mínimo tienen 0,0,,0 l solución ( 8- SISTEMS EQUIVLENTES Dos sistems de ecuciones son equivlentes si tienen ls misms soluciones Si dos sistems de ecuciones son equivlentes, entonces, tienen el mismo número de incógnits pero no tienen por qué tener el mismo número de ecuciones 8- Criterios de equivlenci - Si se multiplicn (o dividen los dos miembros de un ecución de un sistem, por un número distinto de 0, obtenemos otro sistem equivlente 2- Si un ecución de un sistem se le sum (o rest otr ecución del mismo, se obtiene otro sistem equivlente 3- Si se sum (o rest un ecución del sistem, otr ecución multiplicd por un número distinto de 0, obtenemos otro sistem equivlente 4- Si en un sistem prece un ecución que se puede expresr en función de otrs, se puede suprimir y obtenemos otro sistem equivlente 9- TEOREM DE ROUCHÉ Un sistem de ecuciones lineles M X = B es comptible r M = rm Donde M * es l mtriz mplid ( ( Consecuencis- r M rm el sistem es Incomptible - Si ( ( 2- Si ( M = r( M r el sistem es Comptible 2- Si el número de incógnits = r ( M, l solución es Únic (Comptible Determindo 22- Si el número de incógnits > ( M Indetermindo r, infinits soluciones (Comptible 0- RESOLUCIÓN DE SISTEMS POR EL MÉTODO DE GUSS El método de Guss consiste en ir trnsformndo el sistem inicil en otros sistems equivlentes (pr ello utilizmos los criterios de equivlenci hst llegr un sistem tringulr

6 Deprtmento de Mtemátics 2º Bchillerto Pr 3 ecuciones con 3 incógnits- x x x PSMOS x y z Si l plicr el método de Guss en lgún pso nos sle un ecución del tipo 0 x + 0y + 0z = d con d 0, el sistem no tiene solución (Incomptible En cso contrrio, si tiene solución (Comptible - Indetermindo : si quedn menos ecuciones que incógnits (sldrán ecuciones del tipo 0 x + 0y + 0z = 0 - Determindo : si el número de ecuciones = número de incógnits - SISTEMS DE CRMER Un sistem de ecuciones lineles es un sistem de Crmer si cumple dos condiciones: - número de ecuciones = número de incógnits (m = n 2- det( M 0 Un sistem de Crmer siempre tiene solución únic (CD Resolución del sistem por el método de Crmer: det = 2 C n ; B l mtriz de términos independientes, l solución viene dd por: Ponemos ( M det( C, C,, x = det( B, C2, C3,, Cn ( C BC C x det( M = det,, 3,, n 2 det( M x n = ( C, C2,, Cn, B det( M det 2- MÉTODO DE L MTRIZ INVERS: Un form de resolver lgunos sistems de ecuciones es utilizndo l mtriz invers Siempre que det( M 0 existe su invers M y por tnto podemos despejr l mtriz de ls incógnits M X = B X = M B

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