π 1 π 3 Emilio Martínez Ros π 2

Transcripción

1 π π π π π π π π π π π π π π π Emilio Mrtínez Ros

2 Emilio Mrtínez Ros ISBN: X Depósito legl: AL--999

3 Álger linel Mtrices. Concepto de mtriz y tipos de mtrices. Definición de mtriz. Tipos de mtrices. Operciones con mtrices. Sum y diferenci de mtrices. Producto de un número rel por un mtriz. Producto de mtrices. Rngo de un mtriz - Cálculo del rngo medinte el método de Guss. Cálculo de l mtriz invers por el método de Guss Determinntes... Definición de determinnte. Determinntes de segundo orden. Determinntes de tercer orden. Determinntes de orden superior tres - Adjunto de un elemento - Definición y cálculo de un determinnte de culquier orden prtir de los djuntos de un fil o column. Propieddes de los determinntes. Aplicciones de los determinntes. Rngo de mtrices. Mtriz invers - Mtriz djunt de un mtriz - Cálculo de l mtriz invers medinte determinntes Sistems de ecuciones lineles. 7. Definiciones y tipos de sistems lineles. Definición de sistem de ecuciones lineles - Notción mtricil. Tipos de sistems. Propieddes de los sistems. Discusión de un sistem. Teorem de Rouché-Fröenius. Discusión de l comptiilidd. de discusión de sistems - trdicionles - Sistems homogéneos - Discusión de un sistem en función de los vlores de un prámetro. Resolución de un sistem. Método de Guss. Método de l mtriz invers. Regl de Crmer. Prolems en cuy resolución interviene un sistem

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5 Mtrices Álger linel. Concepto de mtriz y tipos de mtrices. Definición de mtriz Se llm mtriz rel de orden o dimensión m n, un cudro de números reles ordendos en m fils y n columns: m m m Culquier elemento de l mtriz se represent por ij siendo i el índice indictivo de su fil y j el indictivo de su column, de modo que, por ejemplo,, represent el elemento que está en l segund fil y en l tercer column. Ls mtrices ls representremos con letrs myúsculs, A, B, C,, o de l form, ( ij ) i,,,m, o, ms simplificdmente, ( ij ). j,,,n Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr en ms son igules, es decir, ( ij ) i,,,m y ( ij ) i,,,m son igules si ij ij pr todo i,,,m y pr todo j,,,n.. A n n n mn j,,,n j,,,n es un mtriz de.. B es un mtriz de. 9. Tipos de mtrices Mtrices fil: Son tods quells que tienen un sol fil.. A(- ) es de orden.. B(- 7) es de orden. Mtrices column: Son tods quells que tienen un sol column.. A es de orden.. B es de orden

6 Álger linel Mtrices nuls: Son quells en ls que todos sus elementos son. Se representn por y tmién se llmn mtrices cero. es l mtriz nul de orden y l de orden. Mtriz trspuest de otr: Dd un mtriz A, se llm trspuest de A, y se represent por t A, l mtriz que se otiene cmindo fils por columns. L trspuest de l mtriz A es t A. Es evidente que si A es de orden m n, entonces t A es de orden n m. Mtrices cudrds: Son tods quells que tienen el mismo número de fils que de columns; en cso contrrio, se llmn rectngulres. Un mtriz cudrd n n se dice que es de orden n.. A es de orden. B es de orden. En un mtriz cudrd de orden n, ( ij ), se llm digonl principl l conjunto formdo por todos los elementos de l form ii y digonl secundri l conjunto formdo por todos los elementos de l form ij con ijn. Mtriz digonl es un mtriz cudrd en l que todos los elementos que no están en l digonl principl son nulos. A es digonl de orden y B de orden. Digonl principl Digonl secundri

7 Álger linel Mtriz esclr es un mtriz digonl en l que todos los elementos de su digonl principl son igules. A es esclr de orden y B de orden. Mtriz unidd es un mtriz esclr en l que todos los elementos de su digonl principl son l unidd. Se represent por I. I es l mtriz unidd de orden e I l de orden. Mtriz tringulr superior (inferior) es un mtriz cudrd en l que todos los elementos por dejo (por encim) de l digonl principl son nulos. A es tringulr superior y B tringulr inferior. Mtriz simétric es tod mtriz cudrd ( ij ) tl que ij ji. A 6 6 es un mtriz simétric de orden. Mtriz ntisimétric es tod mtriz cudrd ( ij ) tl que ij - ji. Como consecuenci de ello, l digonl principl de un mtriz ntisimétric está formd por ceros. A es un mtriz ntisimétric de orden. Ls mtrices ntisimétrics tmién se llmn hemisimétrics.

8 Álger linel. Operciones con mtrices. Sum y diferenci de mtrices Dds dos mtrices A y B del mismo orden, m n, se define l sum de ms como otr mtriz, del mismo orden, que se otiene sumndo los elementos que ocupn el mismo lugr: n n n n A B n n m m m mn m m m mn que revidmente se epres, ( ij )( ij )( ij ij ) Como los elementos de ls mtrices son números reles, se demuestrn fácilmente ls siguientes propieddes de l sum de mtrices:. Asocitiv: A(BC)(AB)C.. Conmuttiv: ABBA.. Elemento neutro: L mtriz nul,, es el elemento neutro, y que, AA.. Mtriz opuest: L mtriz A, otenid cmindo de signo los elementos de A, se llm mtriz opuest de A, y que, A(-A). Dds dos mtrices A y B del mismo orden, definimos sí l diferenci de ms: A-BA(-B), es decir, si A( ij ) y B( ij ), entonces, A-B( ij - ij ) m. Producto de un número rel por un mtriz Ddo un número rel k y un mtriz A de orden m n, se define el producto de k por A como otr mtriz del mismo orden cuyos elementos se otienen multiplicndo k por cd uno de los elementos de A: k A k m m m o, revidmente, k( ij )(k ij ). n n n mn k k k k m k k k k m k k k k m m m k k k k m 6 n n n mn m 6 m n n n mn n n n mn 9 9

9 . Álger linel Al ser los elementos de ls mtrices números reles, se demuestrn fácilmente ls siguientes propieddes:. Distriutiv del producto respecto l sum de mtrices: k (AB)k Ak B.. Distriutiv del producto respecto l sum de números: (kh) Ak Ah A.. Asocitiv mit: k (h A)(k h) A. Elemento neutro: es el elemento neutro, y que, AA.. Producto de mtrices Dds dos mtrices A( ij ) y B( ij ) de órdenes m n y n p respectivmente, se define el producto de A por B como otr mtriz C(c ij ) de orden m p, cuyos elementos se otienen de l siguiente form: Pr otener el elemento c ij (el que ocup l fil i y l column j), se tom l fil i de l mtriz A, que tiene n elementos, y l column j de l mtriz B, que tmién tiene n elementos, y se multiplic el primero por el primero, el segundo por el segundo,, el enésimo por el enésimo, y se sumn los resultdos. Así, c ij ( i i i in ) j j j nj i j i j i j in nj n n k p k n n p C A B n k p k n k m m m k mn n n n np n mk k n o, ms revidmente, (c ij )( ik kj ) k. ( ) 7 ( ) ( ) ( ) 7 k k k k n k k k n k k k n k k k n. mk k k n k k k n k k k n k k k n mk k k n kp kp n kp k kp k n k k n k k mk k 6 9

10 Álger linel Como se deduce de l definición, el producto de dos mtrices no siempre es otr mtriz, y que pr poder multiplicrls es imprescindile que el número de columns de l primer se igul l número de fils de l segund. Tmién prtir de l definición, se demuestrn ls siguientes propieddes del producto de mtrices:. Asocitiv: A m n (B n p C p q )(A m n B n p ) C p q. Distriutiv del producto respecto l sum: A m n (B n p C n p ) A m n B n p A m n C n p. A m n I n A m n e I m A m n A m n. No es conmuttivo: A B B A (este último producto no eiste). En el conjunto de tods ls mtrices cudrds de orden n, que se represent por M n, sí eiste siempre el producto de mtrices (es en él un operción intern) y se cumplen, demás de ls propieddes nteriores, ls siguientes:. Elemento neutro: Es l mtriz unidd I n, y que, A I n I n A, A M n. Mtriz invers: Se dice que l mtriz A es inversile, si eiste otr mtriz A - tl que A A - A - AI n. L mtriz A - se llm mtriz invers de A. A - es l invers de A Pero A - no siempre eiste: y z no tiene solución A no tiene invers 6 z t 6z No es conmuttivo:. Rngo de un mtriz En un mtriz A, se dice que su fil F es cominción linel o depende linelmente de otrs fils, F, F,,F p, si eisten k, k,,k p números reles tles que k F k F k p F p F. En un mtriz A, se dice que su column C es cominción linel o depende linelmente de otrs columns, C, C,,C p, si eisten k, k,,k p números reles tles que k C k C k p C p C.. En A. En A L segund fil es cominción linel de l primer: F F. L tercer column es cominción linel de ls dos primers: C C C l tercer fil depende linelmente de ls dos primers: F F F 6

11 Álger linel 7 Un conjunto de fils (o columns) de un mtriz es linelmente dependiente si l menos un de ells depende linelmente de ls restntes. En cso contrrio, se dice que son linelmente independientes. Se demuestr que en un mtriz A el máimo número de fils linelmente independientes es igul l máimo número de columns linelmente independientes. Este número, común fils y columns, se llm rngo de A, y se escrie rg(a). En l mtriz A el rngo es, y que l ª fil depende de l ª (F F y por tnto F F F ), mientrs que l ª y l ª son independientes. En un mtriz se pueden relizr ls siguientes trnsformciones sin que vríe el rngo:. Intercmir dos fils o columns.. Multiplicr un fil o column por un número distinto de cero.. Sumr un fil o column otr.. Suprimir ls fils o columns nuls.. Suprimir ls fils o columns dependientes de otrs. Cálculo del rngo de un mtriz medinte el método de Guss Vemos en qué consiste este método medinte lgunos ejemplos:. A Elegimos un elemento no nulo, que llmremos pivote, ser posile o y en un column (o fil) que teng el myor número posile de ceros. Se hce, si es necesrio, un cmio de columns (o fils) de modo que el pivote quede colocdo en l posición,. A continución se nuln los restntes elementos de l column (o fil) sumándole l fil (o column) del pivote, multiplicd por un número conveniente. Repetimos el proceso, utilizndo un pivote en l posición,, con tods ls fils (o columns) ecepto l primer. F -F F - F F F F - F

12 Álger linel 8 Repetimos, si es necesrio, el proceso utilizndo pivotes en ls posiciones,,,,, hst conseguir que todos los elementos por dejo (o por encim) de ests posiciones sen ceros. A continución, einmos ls fils (o columns) formds totlmente por ceros, oteniendo por fin un mtriz cuyo rngo es evidente. Puesto que tods ls trnsformciones relizds producen mtrices con el mismo rngo que el de l mtriz inicil, este será el de l últim mtriz otenid. B Por tnto, rg(a)rg(b) A B 97 8 Por tnto, rg(a)rg(b). 7 7 A B 7 Por tnto, rg(a)rg(b) Einmos F y F F F F - F F F C -C F - F F -7 F Einmos F F - F F F F F F -7 F F F F F F 6 F

13 Álger linel 9. Cálculo de l mtriz invers por el método de Guss Se A n ( ij ) l mtriz cudrd l que pretendemos clculr, si eiste, su mtriz invers. Pr ello seguiremos el siguiente proceso: Prtimos de l mtriz compuest por A e I n, un continución de l otr, unque seprds por un line divisori nn n n n n Medinte el método de Guss, hciendo operciones solo con ls fils y sin intercmirls, l trnsformmos, si es posile, en l siguiente: nn n n n n. Entonces, A - nn n n n n Esto no es posile, si en el proceso prece en l prte de l mtriz A lgun fil nul. En este cso, l mtriz no tiene invers.. A L mtriz invers de A es A -. A 7 L mtriz invers de A es A - 7. A 6 6 Como un fil de l prte correspondiente A es nul, A no tiene mtriz invers. Como se deduce de todo lo nterior, un mtriz cudrd es inversile cundo su rngo coincide con su orden. F - F F -F F -F F -F F - F F - F F - F

14 Álger linel Determinntes. Definición de determinnte. Determinntes de segundo orden Dd l mtriz cudrd de segundo orden A de A l número rel det(a) A -., se llm determinnte El determinnte de un mtriz de orden es por tnto igul l producto de los elementos de l digonl principl menos el producto de los elementos de l digonl secundri Determinntes de tercer orden Dd l mtriz cudrd de orden, A A l número rel det(a) A -. -, se llm determinnte de Es fácil recordr el desrrollo del determinnte de tercer orden medinte l conocid como regl de Srrus: Los productos con signo más () están formdos por los elementos de l digonl principl, y los de ls dos digonles prlels, con su correspondiente vértice opuesto. Los productos con signo menos (-) están formdos por los elementos de l digonl secundri, y los de ls dos digonles prlels, con su correspondiente vértice opuesto

15 Álger linel. Determinntes de orden superior tres Definiremos los determinntes de orden cutro prtir de los de orden, los de orden prtir de los de orden cutro, y sí sucesivmente. Se trt pues, de un definición por recurrenci, que tiene l ventj de dr un definición sencill de determinnte de orden superior tres y un regl pr clculrlo. Adjunto de un elemento Siendo A( ij ) un mtriz cudrd de orden n, se llm djunto del elemento ij, y se design por A ij, l determinnte de l sumtriz otenid suprimiendo en A l fil i y l column j precedido del signo o según que l sum ij de los índices se pr o impr respectivmente. Vemos lgunos djuntos de A : A , A , A 6 7 -, A Definición y cálculo de un determinnte de culquier orden El determinnte de un mtriz cudrd es igul l sum de los elementos de un fil o column multiplicdos por sus djuntos correspondientes. Siendo A l mtriz del ejemplo nterior, A A A A A (-7) 97- (-) 96 Est definición rej en un unidd el orden del determinnte que se quiere clculr. Cundo lleguemos determinntes de orden podremos seguir con ell o utilizr l regl de Srrus. Puesto que el vlor del determinnte es independiente de l fil o column elegid pr su desrrollo, pr evitr el cálculo de muchos djuntos, conviene elegir l fil o l column con el myor número de ceros. A ( 8)

16 Álger linel. Propieddes de los determinntes Ests propieddes se verificn pr los determinntes de culquier orden, pero su estudio lo hcemos sore los de tercero, en los que son fácilmente comproles.. Si todos los elementos de un fil o column de un mtriz cudrd se descomponen en dos sumndos, entonces su determinnte es igul l sum de dos determinntes que tienen en es fil o column el primero y segundo sumndos respectivmente, y en ls demás los mismos elementos que el determinnte inicil. p n m h g f c p n m h g f c p n m h g f c c. Si se multiplicn los elementos de un fil o column de un mtriz cudrd por un número, el determinnte qued multiplicdo por dicho número. p n m h g f c k p n m h g f kc k k Est propiedd nos v permitir scr fuer del determinnte los fctores comunes de todos los elementos de un fil o column.. Si A y B son dos mtrices cudrds, entonces, det(a B)det(A) det(b). B A B A. Si A es un mtriz cudrd, entonces, det(a)det( t A). p h c n g m f p n m h g f c. Si cmimos entre sí dos fils o dos columns de un mtriz cudrd, su determinnte cmi de signo, pero conserv el vlor soluto. p n m h g f c p n m c h g f 6. Si un mtriz cudrd tiene un fil o column con todos los elementos nulos, su determinnte es cero. h g f c

17 Álger linel 7. Si un mtriz cudrd tiene dos fils o dos columns igules, su determinnte es cero. p n m c c 8. Si un fil o column de un mtriz cudrd depende linelmente de otrs fils o columns, su determinnte es cero. p n m c c yh c yg yf h g f c 9. Si A es un mtriz cudrd de orden n, entonces, det(a) Ls fils y ls columns de A son independientes rg(a)n.. rg. rg y. Si un fil o column de un mtriz cudrd se le sum otr prlel, su determinnte no vrí. c p n m h g f c p n m h g f c. Si un fil o column de un mtriz cudrd se le sum otr prlel multiplicd por un número, su determinnte no vrí. c p n m h g f c p n m h g f c en los que se utilizn propieddes de los determinntes F F F F F F. A F F F F

18 Álger linel F F. F F 9 F F A A. F 6F A 6 En los tres últimos ejemplos puedes oservr un procedimiento pr clculr determinntes (sore todo de orden superior tres), consistente en utilizr ls propieddes de estos pr convertir todos los elementos, menos uno, de un fil o column en ceros, y sí el determinnte que result es igul l producto de este elemento por su djunto.. Aplicciones de los determinntes. Rngo de mtrices El siguiente método pr clculr el rngo de un mtriz, se s en l propiedd de los determinntes que firm que: Si A es un mtriz cudrd de orden n, entonces, det(a) Ls fils y ls columns de A son independientes rg(a)n. y const de los siguientes psos:. Se oserv si, simple vist, eisten fils o columns nuls o que sen cominción linel de otrs y se einn. Si ests no se detectn hor, pero sí en los psos siguientes, igulmente se procede en ese momento einrls.. Se elige un elemento de l mtriz distinto de cero (si todos los elementos fuesen cero, l mtriz serí nul y su rngo cero), con lo que y podemos firmr que el rngo es, l menos, uno, l eistir l menos un fil no nul. A continución, clculmos cd uno de los determinntes de orden dos formdos ñdiendo este elemento no nulo un fil (distint de l suy) y un column (distint de l suy) de l mtriz. Si todos estos determinntes son nulos el rngo de l mtriz es uno, pero si lguno de ellos es no nulo, el rngo es l menos dos y seguimos con otro pso.. Si h ocurrido esto último, clculmos cd uno de los determinntes formdos ñdiendo l determinnte no nulo otenido en el pso nterior, un fil (distint de ls suys) y un column (distint de l suys) de l mtriz. Si todos estos determinntes son nulos el rngo de l mtriz es dos, pero si lguno de ellos es no nulo, el rngo es l menos tres y seguimos con otro pso. Repetimos este proceso ls veces que se necesrio pr otener el rngo.

19 Álger linel rg(a). Con F y C, - rg(a). Con F y C, 7 6 y con F y C, rg(a).. rg(a). Con F y C, - rg(a). Con F y C, y con F y C, A efectos de clculr el rngo, podemos suprimir l tercer fil, es decir, rgarg. Con F y C en est últim mtriz, - rg(a) C C rg(a)rg 8 7 y, en lo que sigue, trjmos con est mtriz. rg(a). Con F y C, 7 7 rg(a). Con F y C, 7 - rg(a). Con F y C, rg(a).

20 Álger linel 6. Mtriz invers Mtriz djunt de un mtriz Dd un mtriz cudrd A, se llm mtriz djunt de A, y se represent por dj(a), l mtriz que se otiene l sustituir cd elemento ij por su djunto A ij. A 7 A, A, A A, A, A 6 A, A, A 6 7 A A A A A A A A A dj(a) Teorem. L mtriz A es inversile det(a).. Si A es un mtriz inversile, entonces, A - A tdj(a). Aunque l demostrción de este teorem no present grndes dificultdes, l omitimos y nos centrmos en su plicción.. Clcul, si eiste, l mtriz invers de l mtriz A del ejemplo nterior: A - A tiene mtriz invers. 6 7 dj(a) A 7 t A. Clcul, si eiste, l mtriz invers de l mtriz A : A A tiene mtriz invers. A, A -, A -, A dj(a) t A dj(a) A

21 Álger linel Sistems de ecuciones lineles. Definiciones y tipos de sistems lineles. Definición de sistem de ecuciones lineles Un sistem de m ecuciones lineles con n incognits se puede escriir del siguiente modo: n n n n n n. m m m mn n m donde: ij son números reles conocidos, llmdos coeficientes del sistem.,,,, m son números reles conocidos, llmdos términos independientes.,,,, n son ls incógnits del sistem, que representn números reles desconocidos, que pueden eistir o no. Un solución del sistem es un conjunto ordendo de números reles s, s, s,, s n, tles que, l sustituir ls incógnits por s, por s, por s,, n por s n, se verificn ls m igulddes del sistem. (A) y-zt6 -yz-t- yzt Los coeficientes y los términos independientes del sistem son: , y, z, t son ls incógnits del sistem., y, z, t es un de ls soluciones del sistem. Notción mtricil Llmmos mtriz del sistem (A) l mtriz M de orden m n formd por los coeficientes del mismo, y mtriz mplid l mtriz M* de orden m (n) otenid ñdiendo M l column formd por los términos independientes: n n n n M n M* n m m m mn m m m mn m 7

22 Álger linel Si designmos por X l mtriz column formd por ls incógnits, y por B l mtriz column de los términos independientes, el sistem se escrie en form mtricil sí: n n M X n B m m m mn n m y-zt6 -yz-t- yzt M,. Tipos de sistems M * 6 y z t 6, y X, z t 6 B Según su número de soluciones, los sistems pueden clsificrse de l siguiente form: Incomptiles: Son quellos que no tienen solución. y y Comptiles: Son quellos que tienen l menos un solución. Si est es únic, se llmn comptiles determindos, y, si tienen más de un solución, en relidd infinits soluciones, se llmn comptiles indetermindos.. y -y Es comptile determindo pues su únic solución es, y.. y y Es comptile indetermindo pues tiene infinits soluciones del tipo,, y- con R. Por otr prte, se llmn sistems homogéneos quellos cuyos términos independientes son todos nulos. -y y 8

23 Álger linel. Propieddes de los sistems Dos sistems de ecuciones con ls misms incógnits se dice que son equivlentes si tienen ls misms soluciones. Ls siguientes propieddes, de fácil demostrción, nos vn permitir otener, prtir de un sistem ddo, otro equivlente:. Si se cmi el orden de ls ecuciones de un sistem, result un sistem equivlente l ddo.. Si se multiplicn los dos miemros de un ecución de un sistem por un número rel distinto de cero, result otro sistem equivlente l ddo.. Si, un ecución de un sistem se le sum otr ecución del mismo, result un sistem equivlente l ddo.. Si en un sistem un ecución depende linelmente de otrs (se otiene hciendo operciones con ls otrs), puede suprimirse, y el sistem resultnte es equivlente l ddo.. y E 69y 6y7 6y7. y E E y 6y7 79y. y 6y7 79y E E E y 6y7. Discusión de un sistem Teorem de Rouché-Fröenius n n n n S: n n es comptile rg(m)rg(m*) m m m mn n m Demostrción: S es comptile Eiste l menos un solución de S, s, s,, s n s s s n s n n s s s n s n n s s s n s n s s s s n n m s m s m s mn s n m m m m mn m L últim column de M* es cominción linel de ls restntes rg(m)rg(m*). 9

24 Álger linel Discusión de l comptiilidd Si el sistem nterior S es comptile, pueden suceder dos csos: rg(m)n (número de incognits): El sistem es determindo. rg(m)<n: El sistem es indetermindo. Medinte este resultdo y el teorem de Rouché-Fröenius, podemos discutir un sistem, es decir, verigur si tiene o no soluciones, y si ls tiene, cunts son.. -yz -6y6z 6 6 M* y 6 6 M rg(m) pues F F. rg(m*) pues F y F son independientes. rg(m) rg(m*) El sistem es incomptile.. -yz -y-z- -y-z M* y M rg(m) rg(m*)rg(m)número de incógnits El sistem es comptile determindo.. yz yz yz M* y M rg(m) y que F F F, y F y F son independientes. rg(m*) y que F F F. rg(m)rg(m*)<nº de incógnits El sistem es comptile indetermindo.. Sistems homogéneos Todo sistem homogéneo es siempre comptile puesto que rg(m)rg(m*), y tiene siempre l solución en que tods ls incógnits son cero, llmd solución trivil. Est solución es únic si rg(m)nº de incógnits, pero si rg(m)<nº de incógnits, el sistem tiene infinits soluciones.

25 Álger linel Vemos lgunos ejemplos de discusión de sistems homogéneos:. -yz y-z y-z M rg(m)nº de incógnits L únic solución es, y, z.. -yz y-zt -yzt --yz-t M rg(m)<nº de incógnits El sistem es c. indetermindo. Como es fácil deducir prtir de todo lo nterior, un sistem homógéneo, con el mismo número de ecuciones que de incógnits, tiene otrs soluciones demás de l trivil si y solo si M.. Discusión de un sistem en función de los vlores de un prámetro En el cso de que lguno de los coeficientes o términos independientes de un sistem se un letr, llmd tmién prámetro, discutiremos el sistem según los distintos vlores que puede tomr dicho prámetro.. y-z y-z -y-z- M* y M,

26 Álger linel Según los vlores de, se tienen los siguientes csos: y -: M rg(m)rg(m*) El sistem es comptile determindo. -: M* y M M y rg(m). 9 rg(m*). rg(m) rg(m*) El sistem es incomptile. : M* y M M y rg(m). rg(m*). rg(m) rg(m*)<nº de incógnits El sistem es c. indetermindo.. -yz -y-z y-z Al ser el sistem homogéneo, es tmién comptile. M Según los vlores de, se tienen los siguientes csos: -8: rg(m) L únic solución es, y, z. -8: rg(m)<nº de incognits El sistem tiene infinits soluciones.

27 Álger linel. Resolución de un sistem Un vez hech l discusión en un sistem, procederemos, si este es comptile, su resolución, pr lo cul podremos utilizr culquier de los tres procedimientos que continución se detlln.. Método de Guss Se utiliz pr discutir y resolver culquier sistem, y consiste en convertir dicho sistem en otro equivlente tringulr (cd ecución tiene ls misms incógnits de l ecución nterior menos un), medinte ls propieddes de los sistems.. y-zt y-zt y-zt y-zt EE E yzt- -yz-t- E -yz-t- -yz-t- y-zt- EE -y-z-t E zt-6 E zt-6 E 7E yz-t6 EE yz-t6 7z-t -96t9 Despejndo y sustituyendo de jo rri, otenemos: t-, z, y, -.. -y- -y- E -y- E y y y y E 6y EE y8 El sistem es incomptile pues ls dos últims ecuciones no se pueden verificr l mismo tiempo.. y-zt6 -yz-t- E -yz-t- -yz-t- E -yz-t- y-zt6 y-z7t y-z7t E yzt E yzt EE y-zt E z-t E El sistem es comptile indetermindo y uscmos sus soluciones de l siguiente form: E : z-t z-t tz- Sustituyendo lo nterior en E : y-z7t y-z7(z-) y 9 z 9 Sustituyendo lo nterior en E : -yz-t- 9 z- 9 z-z- 6 z Ls soluciones son z 9, y 9 z 9, z, tz-, con z R. Result muy cómodo hcer todo lo nterior sore l mtriz mplid, M*, en vez de sore el sistem, y sí no tener que escriir en cd pso ls incógnits. Medinte el método de Guss, trnsformmos M* en otr mtriz esclond (elementos nulos dejo de los ii ), siempre teniendo en cuent que no podemos cmir de posición l column de los términos independientes, y que l únic trnsformción que podemos hcer con ls restntes columns es cmirls de lugr, unque sin perder de vist qué incógnit pertenece cd un de ells.

28 Álger linel. y-zu y-zt ztu 6yztu 6 M* F F F F F F F F y u t z F Einmos lugr º C F F rg(m)rg(m*)<nº de incógnits El sistem es comptile indetermindo. Se h trnsformdo en el sistem, -zuy zt-u -tu- y sus soluciones, en función de dos prámetros, u e y, podemos otenerls, igul que en los ejemplos nteriores, por sustitución. Pero no lo hremos sí, medinte el método de Guss, vmos seguir trnsformndo l últim mtriz hst otener otr que conteng en sus tres primers columns l mtriz unidd de orden tres. / / / / F F F F F F F De l últim mtriz, deducimos fácilmente que ls soluciones del sistem son: /-u-y, y, z/-u, t/u, u, con y, u R.. Discute y resuelve, en los csos que se posile, el siguiente sistem: y-z yz -ykz yz F F F F F F F F F F F k 7 7 k k * M z t u y

29 Álger linel 8k k k 7 F ) (k 7F F F F F Según los vlores de k, se producen los siguientes csos: k -: rg(m) rg(m*) El sistem es incomptile. k-: rg(m)rg(m*)nº de incógnits El sistem es c. determindo. 7 8/ /7 8/7 8/7 8/7 / 7/ F F F F F F F F L solución es -/7, y, z-8/7.. Método de l mtriz invers Se MXB l form mtricil de un sistem formdo por n ecuciones y n incógnits. Si l mtriz M es inversile ( M ), entonces, multiplicndo por M - los dos miemros de l iguldd nterior, se otiene: M - M XM - B XM - B. yz6 -yz y-z Su form mtricil es 6 z y. M M es inversile. 6 / / / / / / / / z y y / / / / / / / / M L solución del sistem es, y, z.. -y8z y-z (A) -yz M y (A) es equivlente l sistem z 8z y. z z z 8z z 8z y 7 L solución del sistem es 7 z, y z, z, con z R.

30 Álger linel. Regl de Crmer Se (A) un sistem formdo por n ecuciones y n incógnits, en el cul M (el sistem es comptile determindo). Entonces, n n n n (A) n n M XB (form mtricil). n n n nn n n A M A X M B M A n n M A M A M An M n n n nn M A n A A Ann n M M n An A A Ann M M n n nn Ann A A A M n n n nn n M M.. n n M Por tnto, el vlor de cd incógnit se otiene dividiendo por el determinnte de l mtriz M de los coeficientes, el determinnte de l mtriz que result de sustituir en M l column que corresponde los coeficientes de l incógnit por l que formn los términos independientes. A este resultdo se le conoce con el nomre de Regl de Crmer.. -yz y-z -y El sistem tiene tres ecuciones y tres incógnits y M n n., y 6, z. 9 6

31 Álger linel 7. yzu -y-zu (A) -y-zu M* y M y, rg(m) rg(m*) rg(m)rg(m*)<nº de incógnits El sistem es comptile indetermindo y sus soluciones vienen dds en función de dos prámetros, z y u. (A) es equivlente l sistem u z y u z y, que, resuelto por l regl de Crmer, nos d, R u z, con u, z,, y, u u z u z z u z u z.. Discute y resuelve, en los csos que se posile, el siguiente sistem: y yz (A) ()yz M* y M M -,. Según los vlores de, se producen los siguientes csos: y : rg(m)rg(m*) El sistem es comptile determindo z, y, : y F F, * M rg(m)rg(m*)<nº de incógnits (A) es c. indetermindo de soluciones, y-, z, con R : y * M rg(m) rg(m*) (A) es incomptile

32 Álger linel. Prolems en cuy resolución interviene un sistem Nuestr vid cotidin nos plnte veces prolems cuy solución nos eige resolver un sistem de ecuciones lineles. Aunque cd prolem prticulr tiene su proceso específico, l resolución de todos ellos sigue unos psos, que son:. Lectur y similción del enuncido distinguiendo clrmente los dtos suministrdos de l informción pedid.. Elección de ls incógnits, que vendrán impuests por l pregunt del enuncido.. Plntemiento de ls ecuciones: A veces, l simple lectur del enuncido y su trducción escrit nos d ls ecuciones. En otrs ocsiones, son precisos demás, conocimientos específicos del prolem en prticulr y hrá que serlos o prenderlos, y que sin ellos nos es imposile plnter l ecución.. Resolución del sistem.. Comproción de ls soluciones, que nos servirá pr verigur si nos hemos confundido l resolver el sistem (opcionl). 6. Análisis de ls soluciones: En ocsiones los resultdos, un siendo soluciones mtemátics del sistem, no pueden ser soluciones del prolem, eiste un imposiilidd rel. Hremos por tnto de nlizr si ls soluciones del sistem son válids pr el prolem. Vemos todo ello medinte ejemplos que nos sirvn pr entender el proceso de resolución de estos prolems:. Un químico puede dquirir ácido clorhídrico en frscos con ls siguientes cntiddes y concentrciones (en volumen): Frsco A: c.c. l % Frsco B: c.c. l % Frsco C: c.c. l % Si dese preprr un mezcl de litros l %, cuántos frscos de cd tipo necesit? Denotemos por, y, z los números de frscos de los tipos A, B, C respectivmente, utilizdos pr l mezcl. El volumen totl (en litros) de l mezcl es entonces: y z Por otr prte, el volumen de ácido puro contenido en l mezcl es: y z Los vlores de, y, z uscdos deen hcer que l primer cntidd se igul y l segund l % de, esto es,. Estos vlores deen stisfcer por tnto el sistem: y z yz yz y z y8z6 y6z E E EE 8

33 Álger linel Resolviendo dicho sistem, otenemos: z-, y-6z, z, con z R. De ls infinits soluciones del sistem sólo son dmisiles quells con, y, z nturles. Ls únics soluciones del prolem son por tnto:, y, z y, y, z6. Por l ertur A del mecnismo de tuos de l figur se introducen ols que se deslizn hst slir por B. Semos que por el tuo W hn psdo ols.. Es posile hllr el número de ols que psn ectmente por cd uno de los tuos X, Y y Z?. Suponiendo que podemos controlr el número de ols que psn por el tuo Y, escrie ls epresiones que determinn el número de ols que psn por los tuos X y Z en función de ls que psn por Y. c. Se se un dto nuevo: por Y circuln el triple de ols que por Z, cuánts circuln por X, Y y Z?. Llmemos: número de ols que psn por el tuo X. ynúmero de ols que psn por el tuo Y. znúmero de ols que psn por el tuo Z. Tods ls ols psn o por X o por Z, con lo que: z Además, ls ols que psn por X, o psn por W o psn por Y, de donde: y Los vlores de, y, z uscdos deen stisfcer por tnto el sistem formdo con ms ecuciones, z y que es comptile indetermindo de soluciones, y-, z-, con R. De ls infinits soluciones del sistem sólo son dmisiles como soluciones del prolem quells con, y, z nturles. A pesr de ello, l her más de un solución del prolem, no es posile hllr el número de ols ecto que psn por cd uno de los tuos.. Si resolvemos el sistem utilizndo como prámetro l incógnit y, otenemos y, z-y, epresiones que determinn el número de ols que psn respectivmente por X y Z en función de ls que psn por Y. c. Por Y psn el triple de ols que por Z, es decir, yz. El sistem formdo entonces, z y yz es comptile determindo de solución, y, z. W A Y X Z B 9

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35 Geometrí del espcio. Vectores y puntos... Vectores fijos. Vectores lires. Operciones con vectores - Sum de vectores - Producto de un número rel por un vector. Linelidd - Cominción linel de vectores - Vectores linelmente dependientes e independientes. Bses y dimensión.6 Coordends de un vector respecto un se.7 Estudio nlítico de los vectores - Sum de vectores - Producto de un número rel por un vector - Linelidd.8 Epresión nlític de los puntos - Sistems de referenci - Coordends de un vector y un punto respecto de un sistem de referenci - Coordends de un vector prtir de ls coordends de sus puntos origen y etremo. Rects... Determinción linel de un rect. Epresión nlític de un rect - Ecución vectoril - Ecuciones prmétrics - Ecución continu - Ecuciones implícits. Rect determind por dos puntos. Rects típics de uso muy frecuente. Plnos 6. Determinción linel de un plno. Epresión nlític de un plno - Ecución vectoril - Ecuciones prmétrics - Ecucion implícit o generl. Otrs forms de determinr un plno - Plno que ps por tres puntos no linedos Geometrí - Plno determindo por un rect y un punto eterior ell - Plno determindo por dos rects que se cortn. Plnos típicos de uso muy frecuente. Incidenci y prlelismo. Entre plnos - Posiciones reltivs de dos plnos - Posiciones reltivs de tres plnos - Hz de plnos que contienen un rect. Entre rects y plnos. Entre rects. Otrs operciones con vectores9. Producto esclr - Ángulo de dos vectores - Definición de producto esclr - Csos prticulres - Interpretción geométric del producto esclr - Propieddes del producto esclr - Epresión nlític del producto esclr. Producto vectoril - Definición - Interpretción geométric del producto vectoril - Propieddes del producto vectoril - Epresión nlític del producto vectoril. Producto mito - Definición - Interpretción geométric del producto mito - Epresión nlític y propieddes del producto mito 6. Prolems métricos. 6. Perpendiculridd - Vector norml de un plno - Prolems de perpendiculridd 6. Ángulos - Ángulo de dos rects - Ángulo de dos plnos - Ángulo de rect y plno 6. Distncis - Entre dos puntos - Entre un punto y un plno - Entre un punto y un rect - Entre dos rects que se cruzn Geometrí del plno Vectores y puntos Vectores fijos Vectores lires Operciones con vectores - Sum de vectores - Producto de un número rel por un vector Linelidd - Cominción linel de vectores - Vectores linelmente dependientes e independientes Bses y dimensión Coordends de un vector respecto un se Estudio nlítico de los vectores - Sum de vectores - Producto de un número rel por un vector - Linelidd Epresión nlític de los puntos - Sistems de referenci - Coordends de un vector y un punto respecto de un sistem de referenci - Coordends de un vector prtir de ls coordends de sus puntos origen y etremo Rects Determinción linel de un rect Epresión nlític de un rect - Ecución vectoril - Ecuciones prmétrics - Ecución continu - Ecución implícit o generl - Ecución eplícit - Ecución punto-pendiente - Más forms de dr l ecución de l rect? Rect determind por dos puntos Rects típics de uso muy frecuente Incidenci y prlelismo.7 Posiciones reltivs de dos rects Hz de rects que psn por un punto Producto esclr 9 Ángulo de dos vectores Definición de producto esclr Csos prticulres Interpretción geométric del producto esclr Propieddes del producto esclr Epresión nlític del producto esclr Prolems métricos.. Perpendiculridd - Vector norml de un rect - Prolems de perpendiculridd Ángulo de dos rects Distncis - Entre dos puntos - Entre un punto y un rect

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37 Geometrí Geometrí del espcio Los numerosos puntos de contcto entre l geometrí del espcio y l del plno (estudid en cursos nteriores) invitn desrrollr este tem medinte un nálisis prlelo de ms geometrís que nos yude conseguir, un tiempo, un visión prticulr y glol de ms.. Vectores y puntos. Vectores fijos Se E el conjunto de todos los puntos del espcio ordinrio, cuyos elementos se designn por letrs myúsculs, E{A, B, C, }. EN EL PLANO Se P el conjunto de todos los puntos del plno ordinrio, cuyos elementos se designn por letrs myúsculs, P{A, B, C, }. Un vector fijo ABes un segmento orientdo que tiene su origen en el punto A y su etremo en el punto B. Si en un vector fijo coinciden su origen y su etremo, se dice que es un vector fijo nulo. Son vectores fijos nulos AA, BB, CC, Módulo del vector fijo AB es l longitud del segmento AB y se represent por AB. En el cso prticulr de los vectores nulos, su módulo es evidentemente. Dirección del vector fijo no nulo AB es l dirección de l rect que ps por A y B. Dos vectores fijos no nulos tienen l mism dirección si se encuentrn en l mism rect o en rects prlels. Sentido del vector fijo no nulo AB es el del recorrido del segmento cundo nos trsldmos desde A hst B. Solo puede hlrse de igul o distinto sentido dentro de l mism dirección, hiendo en ell dos sentidos. Mismo sentido Distinto sentido Distint dirección En el cso prticulr de los vectores nulos, los conceptos dirección y sentido crecen de lógic. Equipolenci de vectores fijos Dos vectores fijos nulos son equipolentes. Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si tienen el mismo módulo, l mism dirección y el mismo sentido. L equipolenci divide l conjunto de todos los vectores fijos del espcio en clses. Cd clse es un conjunto formdo por un vector fijo del espcio y todos los equipolentes el. EN EL PLANO L equipolenci divide l conjunto de todos los vectores fijos del plno en clses. Cd clse es un conjunto formdo por un vector fijo del plno y todos los equipolentes el.

38 Geometrí. Vectores lires Vector lire es cd un de ls clses en que qued dividido el conjunto de todos los vectores fijos del espcio medinte l relción de equipolenci. Se design con letrs minúsculs, u, v, w,, y se represent gráficmente medinte uno culquier de sus representntes. {Vectores fijos nulos} EN EL PLANO Vector lire es cd un de ls clses en que qued dividido el conjunto de todos los vectores fijos del plno medinte l relción de equipolenci. Se design con letrs minúsculs, u, v, w,, y se represent gráficmente medinte uno culquier de sus representntes. u w w v n u v v u v n u w Al conjunto de todos los vectores lires del plno lo designmos por V. Al conjunto de todos los vectores lires del espcio lo designmos por V. Se llm módulo, dirección y sentido de un vector lire no nulo l módulo, dirección y sentido de uno culquier de sus representntes. El vector lire nulo,, tiene módulo y crece de dirección y sentido. Propiedd fundmentl de los vectores lires Si u es un vector lire y O un punto culquier, eiste un único representnte de u que tiene su origen en el punto O. u O u Como se deduce de est propiedd, un vector lire se puede diujr "liremente" en culquier punto que se desee, con l únic condición de no lterr su módulo, dirección y sentido. En todo lo que sigue, los únicos vectores que utilizremos son los lires, los llmremos simplemente vectores, de modo que, por ejemplo, AB designrá l vector lire cuyo representnte es el vector fijo AB.

39 Geometrí. Operciones con vectores Sum de vectores Sen u y v dos vectores culesquier. Elegido un representnte de v que teng el origen coincidente con el etremo de u, se define el vector sum u v como quel cuyo origen es el de u y cuyo etremo es el de v. v u uv u v De fácil demostrción son ls siguientes propieddes de l sum de vectores:. Asocitiv: (u v ) w u ( v w ). Conmuttiv: u v v u. Elemento neutro: El vector nulo,, es el elemento neutro, y que u u. Vector opuesto: El vector -u, con l mism dirección y módulo que u pero distinto sentido, es el vector opuesto de u, y que, u (-u ) Diferenci de vectores Ddos dos vectores u y v, definimos sí l diferenci de mos: u -v u (- v ) Producto de un número rel por un vector Se α un número rel y u un vector. Se llm producto de α por u l vector α u que tiene: Módulo: α u α u (Si α o u, es entonces, α u ) Dirección: L mism que l de u Sentido: El mismo que u si α es positivo y el contrrio si α es negtivo De fácil demostrción son ls siguientes propieddes del producto de un número rel por un vector:. Distriutiv del producto respecto l sum de vectores: α (u v )α u α v. Distriutiv del producto respecto l sum de números: (αβ) u α u β u. Asocitiv mit: (α β) u α (β u ). Elemento neutro: es el elemento neutro, y que, u u

40 Geometrí. Linelidd Cominción linel de vectores Un vector u es cominción linel o depende linelmente de los vectores u, u,, u n, si eisten α, α,, α n números reles tles que α u α u α n u nu.. u v v es cominción linel de u, y que, v -u. w u v u w es cominción linel de u y v, y que, w u v v. es cominción linel de culquier grupo de vectores: u u u n Consecuencis de l definición. Un vector no nulo depende linelmente de otro si y solo si mos tienen l mism dirección. En este cso, el segundo tmien depende linelmente del primero. u w u depende linelmente de v v w no depende linelmente de u. En V, un vector w no nulo depende linelmente de los vectores no nulos de distint dirección u y v si y solo si w es coplnrio con u y v ("está" en un plno con u y v ). w no depende linelmente de u y v y que no puede estr en un plno con ellos.

41 Geometrí. En V, si u, v y w son tres vectores no coplnrios, entonces culquier otro vector depende linelmente de ellos. EN EL PLANO. En V, si u y v son dos vectores no nulos de distint dirección, culquier otro vector depende linelmente de ellos. -u v w es por tnto cominción linel de u, v y w, y lo mismo ocurre con culquier otro vector de V. w α u β v con α,β R w es por tnto cominción linel de u y v, y lo mismo ocurre con culquier otro vector de V. Vectores linelmente dependientes e independientes Los vectores u, u,, u n se dicen linelmente dependientes si lguno de ellos es cominción linel de los demás. En cso contrrio (ninguno de ellos depende linelmente de los restntes), se dicen linelmente independientes.. u v u y v son dependientes, y que, v -u. Los vectores, u, v y w en el primer ejemplo de est págin son linelmente dependientes, pues, -u v w.. Los vectores u, v y w en el segundo ejemplo de est págin son linelmente dependientes, pues, w αu βv con α,β R.. Los vectores de un grupo en el que se encuentre el vector son dependientes. Consecuencis de l definición. Dos vectores no nulos son linelmente independientes si y solo si tienen distint dirección.. En V, tres vectores no nulos son linelmente independientes si y solo si no son coplnrios.. En V, cutro o más vectores son siempre linelmente dependientes. EN EL PLANO. En V, tres o más vectores son siempre linelmente dependientes.

42 Geometrí. Bses y dimensión Un se es un conjunto de vectores que verificn ls siguientes condiciones: Son linelmente independientes. Culquier otro vector depende linelmente de ellos. Consecuencis de l definición Tods ls ses de V están formds por tres vectores no coplnrios. EN EL PLANO Tods ls ses de V están formds por dos vectores de distint dirección. B{u, v, w } es un se de V B{ u, v } es un se de V Se llm dimensión l número de elementos de ls ses, con lo que l dimensión de V es y l dimensión de V es. Se escrie, dim(v ), dim(v )..6 Coordends de un vector respecto un se Se B{u, v, w } un se de V. Culquier otro vector puede escriirse como cominción linel de los vectores de B, u v w, y, como puede demostrrse fácilmente, de form únic. Los números otenidos en est cominción linel, (,, ), se llmn coordends del vector respecto de l se B, y se escrie, (,, ). B{u, v, w } es se de V. -u v w (-,,) EN EL PLANO Se B{ u, v } un se de V. Culquier otro vector puede escriirse como cominción linel de los vectores de B, u v, y, como puede demostrrse fácilmente, de form únic. Los números otenidos en est cominción linel, (, ), se llmn coordends del vector respecto de l se B, y se escrie (, ). B{ u, v } es se de V. u v (, ) 6

43 Geometrí Nturlmente, si utilizmos otr se distint B, ls coordends respecto ell de un vector culquier, son distints sus coordends respecto B. Es conveniente tmién señlr, l importnci que tiene pr ls coordends, el orden en que se den los vectores de l se..7 Estudio nlítico de los vectores Fijd un se B{u,u,u } de V, semos que cd vector del espcio le corresponde de modo único un tern ordend de números reles (,, ), los que llmmos coordends de respecto B, y reciprocmente, cd tern ordend de números reles (,, ) le corresponde un único vector del espcio u u u. Est plicción iyectiv entre V y R {Terns ordends de números reles} nos permitirá "trducir" tod relción geométric en V en un relción lgeráic en R. Est "trducción" es l se de l geometrí nlític del espcio. Sum de vectores Sen (,, ) y (,, ) vectores de V. ( u u u )( u u u ) ( )u ( )u ( )u (,, ) De l mism form, se demuestr que: - ( -, -, - ) (-,,), (,-,) (-,(-),)(-,,7) - (--,-(-),-)(-,6,-) Producto de un número rel por un vector Sen α R y (,, ) V. α α ( u u u ) (α )u (α )u (α )u (α,α,α ) (-,,) ( (-),, )(-,,9) - (,-8,-6) EN EL PLANO Fijd un se B{ u, u } de V, semos que cd vector del plno le corresponde de modo único un pr ordendo de números reles (, ), los que llmmos coordends de respecto B, y reciprocmente, cd pr ordendo de números reles (, ) le corresponde un único vector del espcio u u. Est plicción iyectiv entre V y R {Pres ordendos de números reles} nos permitirá "trducir" tod relción geométric en V en un relción lgeráic en R. Est "trducción" es l se de l geometrí nlític del plno. Sum de vectores Sen (, ) y (, ) vectores de V. ( u u )( u u ) ( ) u ( ) u (, ) De l mism form, se demuestr que: - ( -, - ) (,), (-,) ((-),)(,7) - (-(-),-)(6,-) Producto de un nº rel por un vector Sen α R y (, ) V. α α ( u u ) (α ) u (α ) u (α,α ) (,) (, )(,9) - (-8,-6) 7

44 Geometrí Linelidd L identificción de l dependenci linel de vectores con l dependenci linel de fils o columns de mtrices, nos permite deducir fácilmente ls siguientes propieddes:. n vectores son linelmente independientes si y solo si el rngo de l mtriz formd con ellos (cd vector un fil, o cd vector un column) es n.. (,, ), (,, ) y c (c,c,c ) son dependientes si y solo si c c (-,,), (,,), c (-7,,6) 7 6 c., y c son dependientes.. α β δc α(,, )β(,, )δ(c,c,c ) (α β δ) c c c (-,,), (,,), c (-7,,) - - c (-,-,) 7 (-,,9).8. Epresión nlític de los puntos EN EL PLANO. (, ) y (, ) son dependientes si y solo si (-,), (,). y son independientes. α β α(, )β(, ) (α β) (-,), (,) - (,-) (-9,) Sistems de referenci Se llm sistem de referenci en el espcio E, un conjunto R{O; u,u,u } donde: O es un punto fijo l que llmremos origen del sistem de referenci. {u,u,u } es un se de V. A ls tres rects que psn por O con l dirección de u,u y u respectivmente, se les llm ejes de coordends. EN EL PLANO Se llm sistem de referenci en el plno P, un conjunto R{O; u, u } donde: O es un punto fijo l que llmremos origen del sistem de referenci. {u, u } es un se de V. A ls dos rects que psn por O con l dirección de u y u respectivmente, se les llm ejes de coordends. 8

45 Geometrí EN EL PLANO Coordends de un vector y un punto respecto un sistem de referenci Se R{O; u,u,u } un sistem de referenci en el espcio. Se llmn coordends de un vector respecto R, ls coordends del vector respecto l se {u,u,u }, o se, nd nuevo jo el sol. Se llmn coordends de un punto A respecto R, ls coordends del vector OA respecto l se {u,u,u }. Al vector OA se le llm vector de posición del punto A. EN EL PLANO Se R{O; u, u } un sistem de referenci en el plno. Se llmn coordends de un vector respecto R, ls coordends del vector respecto l se {u, u }, o se, más de lo mismo. Se llmn coordends de un punto A respecto R, ls coordends de OA respecto l se {u, u }. Al vector OA se le llm vector de posición del punto A. A(,,), B(,,), C(-,,), D(,,-) (-,,), (,-,-) A(-,-), B(-,), C(-,), D(,) (,), (-,) 9

46 Geometrí Evidentemente, ls coordends de un vector o un punto respecto un sistem de referenci son únics, pero si cmimos de sistem de referenci, ests cmirán. De los infinitos sistems de referenci que podrímos escoger los más utilizdos y con los que vmos trjr prtir de hor son los ortonormles, cuys crcterístics son: u u u (Son vectores unitrios). Los ejes son perpendiculres dos dos. EN EL PLANO De los infinitos sistems de referenci que podrímos escoger los más utilizdos y con los que vmos trjr prtir de hor son los ortonormles, cuys crcterístics son: u u (Son vectores unitrios). Los ejes son perpendiculres. Coordends de un vector prtir de ls coordends de sus puntos origen y etremo Sen A, B dos puntos culesquier y OA, OB sus respectivos vectores de posición. Entonces, OAABOB, de donde deducimos que, ABOB-OA. Si A(,, ) y B(,, ), entonces, AB OBOA(,, )-(,, )( -, -, - ). A(-,,-), B(-,,6) AB(--(-),-,6-(-))(-,,8). Coordends del punto medio de un segmento A(,, ) M B(,, ) EN EL PLANO Si A(, ) y B(, ), entonces, ABOB-OA(, )-(, )( -, - ). A(,), B(-,-) AB(--,--)(-,-9). Coordends del punto medio de un segmento A(, ) M B(, ) OA AM OA OB OA (OA,, M,, AM AB (OBOA) OB OA. OM OB) Siguiendo los mismos psos que en el espcio, otenemos: M,

47 Geometrí. Hll los puntos P y Q que dividen l segmento de etremos A(,,) y B(,6,) en tres prtes igules. A 8 OQ OA AB(,,) (,,-) (,, 8 ) Por tnto, P (, 8, ) y Q (,, 8 ). OP OA AB(,,) (,,-)(,, ). Rects P. Determinción linel de un rect Q B EN EL PLANO. Hll los puntos P, Q y R que dividen l segmento de etremos A(6,) y B(-,8) en cutro prtes igules. A P Q R B OP OA AB(6,) (-6,)(,) OQ OA AB(6,) (-6,)(-,6) OR OA AB(6,) (-6,)(-6,7) Por tnto, P(,), Q(-,6) y R(-6,7). Se A un punto perteneciente l rect r y u un vector no nulo con l mism dirección que r. Al pr (A, u ) se le llm determinción linel de l rect r. u r A Al vector u se le llm vector director de r (vector con l mism dirección de r). El pr (A, u ) determin un únic rect r, pero est tiene infinits determinciones lineles. A u (A, u ), (B, v ), (A, v ) y (B, u ) son determinciones lineles de l rect r. En delnte, pr epresr que el pr (A, u ) es un determinción linel de l rect r, escriiremos r(a, u ).. Epresión nlític de un rect Ecución vectoril r v B Se r(a, u ) un determinción linel de l rect r, y se X un punto culquier de r. El vector AX tiene l mism dirección que u, con lo que AXtu, con t R. Además, OXOAAX, de donde, OXOAtu, t R, iguldd que se conoce con el nomre de ecución vectoril de l rect r, y se escrie r: OXOAtu, t R. A t se le llm prámetro de l ecución.

48 Geometrí r(a(,-,), u (-,,)) Se X(,y,z) un punto culquier de r. r: OXOAtu, t R. r: (,y,z)(,-,)t(-,,), t R. Algunos de los infinitos puntos de r son: t: (,-,)(-,,)(,,). t-: (,-,)-(-,,)(,-6,). t-: (,-,)-(-,,)(,-,-). Ecuciones prmétrics Se r: (,y,z)(,, )t(u,u,u ), t R. Epresndo est iguldd en función de ls coordends de los vectores que en ell intervienen, tendremos, tu y tu t R, z tu igulddes que se conocen con el nomre de ecuciones prmétrics de r, y se escrie, tu r: y tu t R. z tu. r: (,y,z)(,-,)t(-,,), t R. -t r: y-t t R zt Pertenece el punto P(,-,-) r? -t t-7 --t t-7 P r -t t-7 Y el punto Q(,,)? -t t -t t Q r t t -t. r: y-t z--t A(-,-,-) r. u (,,-) es un vector director de r. EN EL PLANO r(a(,), u (-,)) Se X(,y) un punto culquier de r. r: OXOAtu, t R. r: (,y)(,)t(-,), t R. Algunos de los infinitos puntos de r son: t: (,)(-,)(-,). t-: (,)-(-,)(,-). t-: (,)-(-,)(,-). EN EL PLANO Se r: (,y)(, )t(u,u ), t R. Epresndo est iguldd en función de ls coordends de los vectores que en ell intervienen, tendremos, tu y tu t R, igulddes que se conocen con el nomre de ecuciones prmétrics de r, y se escrie, tu r: y tu t R.. r: (,y)(-,-)t(,), t R. -t r: y-t t R.. Pertenece el punto P(9,9) r? 9-t t P r 9-t t Y el punto Q(,9)? -t t Q r 9-t t r: -t t R. y-t A(-,-) r. u (,) es un vector director de r