Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma (, y) gráfica determina una recta.
|
|
- Luis Miguel Molina Escobar
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Un ecución linel con dos incógnits x y y es un expresión de l form,, c R y y son diferentes de cero. x + y c, donde Tod ecución linel con dos incógnits tiene un número ilimitdo de soluciones de l form (, y) gráfic determin un rect. Ejemplos. ) L ecución linel + y 0, (, ) y ( ) ) L ecución linel, (, ) y ( ) x y su x tiene entre sus ilimitds soluciones los vlores: (, ), ( ) 0,, x tiene entre sus ilimitds soluciones los vlores: (, 0), (,9), Un sistem de ecuciones es un conjunto de ecuciones que poseen incógnits. Pr indicr que vris ecuciones formn un sistem, se rc el conjunto de tods ells con un llve. Un sistem de dos ecuciones lineles con incógnits x y y, tmién llmdo ecuciones simultánes de dos por dos es de l form: x + x + y y donde,,, son coeficientes reles y, son términos independientes. En cd un de ls ecuciones, por lo menos uno de los coeficientes de ls incógnits es diferente de cero. Los sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits que surgen del plntemiento de un prolem, generlmente no tienen l form estándr, sin emrgo, dee otenerse. Resolver un sistem de este tipo es encontrr los pres de números x y y que stisfcen ms ecuciones, si existen. Gráficmente, un solución del sistem es un punto común ms rects P x, y. ( ) En un sistem de dos ecuciones lineles: Si ls dos rects que se cruzn en un punto, éste represent l solución del sistem. En este cso el sistem es comptile determindo. Si ls dos rects coinciden en todos sus puntos, tiene infinits soluciones. En este cso el sistem es comptile indetermindo. Si ls dos rects son prlels, no tienen ningún punto común. En este cso el sistem es incomptile y no tiene solución.
2 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Existen cinco métodos pr resolver sistems de ecuciones: Igulción Sum y rest (eliminción) Sustitución Determinntes Gráfico MÉTODO DE IGUALACIÓN El método de igulción consiste en relizr los siguientes psos: Se despej l mism incógnit en ls dos ecuciones. Se iguln ls expresiones despejds y se otiene un ecución linel pr l otr incógnit. Se resuelve l ecución linel. Se sustituye este vlor en culquier de ls dos expresiones despejds fin de otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Aplicndo el método de igulción, resolver los siguientes sistems de ecuciones: x 0 ) x + y 0 + y + y De l primer ecución se despej x : x de l segund ecución tmién se despej x : x se iguln ests dos últims ecuciones: + y y resolviendo pr y: ( + y) ( y) + y 0y y + 0y y y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + x ( ) ( ) 0 Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) ( )
3 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 9x ) x + y + y + y De l primer ecución se despej x : x 9 de l segund ecución tmién se despej x : x + y se iguln ests dos últims ecuciones: resolviendo pr y: ( + y) ( ) + y 7 y + y 7 y y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + ( ) 0 x 0 9( 0) ( ) 0 + Por lo tnto: x 0 y y. Comproción: ( ) ( ) x + y x 9 ) y + x + y 7 0 L primer ecución, se multiplic por 9 : x + y 9 x 9 9x x y x 9 l segund ecución, se multiplic por 70 : y + x + 70 y 70 70y 0y 0 7x + 7x + 0y 7 0 x el sistem se convierte su form estándr: 7x + 0y x de l primer ecución se despej y: y + 7x de l segund ecución tmién se despej y: y 0 x + 7x se iguln ests dos últims ecuciones: 0 resolviendo pr x : 0 x + 7x 0 00x 7 x 00 x + x ( ) ( )
4 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x x sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + 7( ) + 0 y ( ) Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) ( ) MÉTODO DE SUMA Y RESTA (ELIMINACIÓN) El método de sum y rest, tmién llmdo de eliminción consiste en efectur el procedimiento siguiente: Se multiplic cd ecución por constntes de modo que los coeficientes de l vrile eliminr resulten igules en vlor soluto pero con signos opuestos. Se sumn ms ecuciones pr otener un nuev ecución en términos solmente de l otr vrile. Se resuelve l ecución linel. Se despej l otr vrile de culquier de ls ecuciones del sistem. Se sustituye el vlor otenido en l expresión despejd pr otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Resolver los siguientes sistems de ecuciones por el método de eliminción: ) x x + y Se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x x + y x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x y + x + ( ) 7 ( ) ( 7) + Por lo tnto: x y y 7. Comproción: + 7 ( ) ( )
5 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos ) x + y 0 x + 7y Se multiplic l segund ecución por y se sum l primer: x + y 0 0x x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: 0 + x 0 + x 0 + ( ) 0 + y Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) + ( ) + 0 ( ) + 7( ) 0 + x y 9 ) x + y 9 x + 7y 7 Se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x + y 9 9y y 9 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: 9 + 9y 9 + 9( ) x ( ) ( ) Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) ( ) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en efectur los siguientes psos: Despejr un de ls incógnits de un de ls ecuciones. Sustituir l expresión despejd en l otr ecución. Se resuelve l ecución linel, generlmente frccionri. Se sustituye este vlor en l expresión despej fin de otener el vlor de l otr. Se reliz l comproción. Ejemplos. Medinte el método de sustitución, resolver los siguientes sistems de ecuciones: ) 9x + 7y 7 x + y
6 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 7 7y De l primer ecución se despej x : x 9 7 7y se sustituye en l segund ecución: + y 9 7 7y multiplicndo por 9 : 9 + y 9( ) ( 7 7 ) y y + y 0 + y 0 + 0y 0 0 y 0 7 7y 7 7( ) 7 sustituyendo en l ecución despejd: x ( ) + 7( ) + 7 Por lo tnto: x y y. Comproción: ( ) ( ) x + y 9 ) 7x y 9 De l primer ecución se despej x : x 9 se sustituye en l segund ecución: 7 y 9 multiplicndo por 7 y 79 + y y + y + y y sustituyendo en l ecución despejd: x ( ) Por lo tnto: x y y. Comproción: 7( ) : ( ) ( )( ) ( ) ) 0x + y x + y De l primer ecución se despej x : 7 x 0
7 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 7 se sustituye en l segund ecución: + y simplificndo: ( 7 ) + y 7 + y + y y + y 7 y y ( ) + 0 sustituyendo en l ecución despejd: x Por lo tnto: x y y. Comproción: 0 ( ) + ( ) 0 ( ) + ( ) MÉTODO DE DETERMINANTES Ddo un rreglo de números de l form:, su determinnte: denotdo por, es el resultdo de l operción: y represent el producto de números que conformn su digonl principl (l que se dirige hci jo) menos el producto de números que conformn su digonl secundri (l que se dirige hci rri). Ejemplos. Clculr los siguientes determinntes: ) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) + 7 ) ( )( ) ( )( 7) ) ( 0) ( )( 0) Ddo un sistem de l form: x + x + y y El determinnte del Sistem es el determinnte del rreglo formdo por los coeficientes de ls incógnits. 7
8 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos El determinnte de l incógnit x es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de l incógnit x por l column de los términos independientes. El determinnte de l incógnit y es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de l incógnit y por l column de los términos independientes. L Regl de Crmer estlece que ddo un sistem de ecuciones lineles cuyos términos independientes no son cero, el vlor de cd incógnit se otiene dividiendo el determinnte de l incógnit por el determinnte del sistem. Esto es: x x y y En este método solo interesn los coeficientes numéricos incluyendo su signo y, en mos csos, el denomindor es el mismo. Ejemplos. Por medio de determinntes, resolver los siguientes sistems de ecuciones: ) x x + y x y ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Por lo tnto: x y y 0 ) x + y x Comproción: ( ) ( 0) + 0 ( ) + ( 0) 0
9 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x y ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Por lo tnto: x y ) x + y 7 x + y x y 7 Por lo tnto: ) y. Comproción: 7 ( ) 7( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( 7) 0 + ( )( ) ( )( ) 9 + x y x 0x x 0 y. Comproción: ( ) ( ) + ( )( ) 0( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
10 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos 0 y 0 ( ) 0( ) 70 0 ( )( ) 0( ) Al no existir división por cero, el sistem es incomptile. MÉTODO GRÁFICO Como y se mencionó, cd ecución linel de un sistem represent un rect. Esto implic que l representción de un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits consiste en un pr de rects y recuérdese que: Si se cortn, el sistem es comptile determindo y ls coordends del punto de corte son l solución del sistem. Si ls rects son coincidentes (son l mism rect), el sistem es comptile indetermindo y sus soluciones son todos los puntos de l rect. Si ls rects son prlels, el sistem es incomptile. Pr fines de grficción conviene despejr de ms ecuciones l vrile y. Se puede elorr un tl de vlores o se uicn los puntos en que cruzn los ejes coordendos pr cd rect, se trzn y se nliz su comportmiento. Ejemplos. Resolver los siguientes sistems de ecuciones plicndo el método gráfico: ) x+ y x Solución Pr l primer ecución: 0 y 0 x 0 x 0., 0 Si x 0 y y. Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) Pr l segund ecución: y 0 x x 0., 0 Si x 0 y. Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) - x + y x grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (, ) ( ) + ( ) + 0 comproción: ( ) ( ) - y x 0
11 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos ) x + y 9 x + y Solución Pr l primer ecución: 9 Si x 0 y 9 y 0. 9 Si y 0 x 9 x , 0 l rect ps por los puntos (, ) y ( ) Pr l segund ecución: x 0 y y. y 0 x x 0., 0 Si Si l rect ps por los puntos (, ) y ( ) y - - x + y grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (,. ) ( ) + (. ) + 9 comproción: ( ) + (. ) + x + y 9 x ) x + y x 0y 0 Solución Pr l primer ecución: y 0 x x, 0 Si x 0 y y Si l rect ps por los puntos ( 0, ) y ( ) Pr l segund ecución: y 0 x 0 x, 0 Si x 0 0y 0 y Si l rect ps por los puntos ( 0 ), y ( ) - - x 0y 0 - y x - - x + y grficndo se otiene que l solución es el punto de intersección ( x, y), es decir (, 0) ( ) + 0 ( ) + 0 comproción: ( ) 0( 0) 0 0 0
12 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos PROBLEMAS CON SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Muchos prolems técnicos y científicos requieren l resolución de sistems de ecuciones lineles. Se trt de un tem fundmentl pr tods ls disciplins que utilizn ls mtemátics de un mner u otr. En muchos prolems existe dependenci entre ls diferentes mgnitudes o vriles que intervienen, y menudo, se expres en form de ecución linel. Dentro del proceso de resolución de prolems con sistems de ecuciones lineles, se pueden definir cinco etps: Leer el prolem Definir ls incógnits principles de form precis Trducción mtemátic del prolem pr plnterlo Resolución Interpretción de ls soluciones pr contrstr l decución de ls soluciones otenids. Ejemplos. ) En un grnj, se tienen cien nimles entre puercos y gllins. Si en totl sumn 0 pts, cuántos nimles tengo de cd clse? x es el número de puercos y es el número de gllins como cd puerco tiene cutro pts y cd gllin dos, el sistem está ddo por: x + y 00 x + y 00 x + y 0 x + y 0 resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x 00 x + y y 0 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x Por lo tnto, hy 0 puercos y 0 gllins Comproción: ( 0) + 0 ( ) ) Un cuerd mide doce metros y se cort en dos prtes de tl mner que un es dos metros más grnde que l otr. Cules son ls nuevs medids de ls cuerds? x es l longitud del pedzo más grnde y es l longitud del pedzo más pequeño x + y x y + ordenndo:
13 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x + y x resolviendo por eliminción, se sum l primer ecución l segund: x + y x x x 7 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: y x y 7 Por lo tnto, los pedzos miden 7 y metros. 7 + Comproción: 7 ) Seis Kg. de piñones y cinco Kg. de nueces costron, 70 pesos y cinco Kg. de piñones y cutro de nueces costron, 0 pesos. Hllr el precio de un kilogrmo de piñones y uno de nueces. x es el precio en pesos de un Kg. de piñones y es el precio en pesos de un Kg. de nueces x + y 70, x + y 0, resolviendo por determinntes: 70, 0, x 70, 0, y 70, ( ) 0, ( ) ( ) ( ) (, ) ( 70, ) ( ) ( ) 0 900, 00, 0 0 0, 0, Por lo tnto, un Kg. de piñones vle 0 pesos y uno de nueces vle 70 pesos , , Comproción: ( ) ( ) ( ) + ( 70) 00, + 0 0, 0 ) Pol tiene 7 ños más que su hij Andre. Dentro de ños, l edd de Pol dolrá l de Andre. Cuántos ños tiene cd un? x es l edd de Pol y es l edd de Andre x y + 7 x + ( y + )
14 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos simplificndo: x 7 x + y + x 7 x resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund: x + y 7 x y 9 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x 7 + y Por lo tnto, Pol tiene ños y Andre tiene 9 ños. 7 Comproción: ( ) ) L diferenci de dos números es, y l curt prte de su sum es. Hllr los números. x es el número myor y es el número menor x ( ) x + y simplificndo: x x + y ( ) x x + y resolviendo por eliminción, se sum l primer ecución l segund: x x + y x x de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x y + x + 9 Por lo tnto, los números son y 9. Comproción: + 9 ) Si los dos términos de un frcción se ñde, el vlor de l frcción es, y si los dos términos se rest, el vlor de l frcción es. Hllr l frcción.
15 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x es el numerdor y es el denomindor x es l frcción uscd. y x + y + x y simplificndo: ( x + ) ( y + ) ( x ) ( y ) x + y + x y resolviendo por igulción, de l primer ecución se despej x : + y de l segund ecución tmién se despej x : x se iguln ests dos últims ecuciones: + y + y resolviendo pr y: ( + y ) ( + y) x x + y x 9 + y + y y + 9 y sustituyendo en l primer ecución despejd, se otiene el vlor de l otr incógnit: + 0 x Por lo tnto, l frcción es Comproción: + + 7) El precio del oleto pr un concierto es de pesos pr púlico en generl, y 0 pesos pr estudintes. L tquill recudó 77, 77 pesos por l vent de 0 oletos. Cuántos oletos de cd tipo se vendieron? x es el número de oletos vendidos púlico en generl y es el número de oletos vendidos estudintes x + y 0 x + 0y 7777, resolviendo por eliminción, se multiplic l primer ecución por y se sum l segund:
16 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x 0, 0 x + 0y 7777, 7y 7, 7, y 7 de l primer ecución se despej l otr incógnit y se sustituye el vlor otenido: x Por lo tnto, se vendieron 7 oletos púlico en generl y estudintes Comproción: ( ) + 0( ) 0, + 90, 7777, 7 ) Un llve A trd en llenr un depósito el dole de tiempo que otr llve B. Aierts simultánemente, llenn el depósito en dos hors. Cuánto trd cd un por seprdo? x son ls hors que trd l llve A en llenr el depósito, sí que en un hor llen x del depósito y son ls hors que trd l llve B en llenr el depósito, sí que en un hor llen y del depósito Ls dos llves trdn dos hors en llenr el depósito, sí que en un hor llenn del depósito + x y x y sustituyendo l segund ecución en l primer se tiene: + y y multiplicndo por y : y + y + y y y y sustituyendo en l segund ecución: x ( ) Por lo tnto, l llve A llen el depósito en hors y l llve B lo hce en hors Comproción: ( ) 9) Un ote que nveg por un río recorre kilómetros en hor y medi fvor de l corriente y kilómetros en dos hors contr l corriente. Hllr l velocidd del ote en gu trnquil y l velocidd del río. x es l velocidd en Km. por hor del ote en gu trnquil y es l velocidd en Km. por hor del río x + y es l velocidd del ote fvor de l corriente x y es l velocidd del ote contr l corriente
17 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos distnci distn ci velocidd tiempo tiempo velocidd. x + y x. x +. y. x +. y simplificndo: x x resolviendo por determinntes:. x.. y ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) ( ) ( ) (. ) 0 0 Km Km Por lo tnto, l velocidd del ote en gu trnquil es de y l velocidd del río es de. hr hr Comproción:. ( ) + ( ) + ( ) ( ). MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES Y TRES INCÓGNITAS Un sistem de tres ecuciones lineles con incógnits x, y y z, tmién llmdo ecuciones simultánes de tres por tres es de l form: x + x + x + y + y + y + z z z donde,, son coeficientes reles y,, son términos independientes. Resolver un sistem de este tipo es encontrr l tern de números x, y y z que stisfcen ls tres ecuciones, si existen. Aquí se expondrán dos métodos pr resolver sistems de ecuciones: Reducción (método de eliminción de Guss) Determinntes (Regl de Crmer) 7
18 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS El método reducción pr l resolución de sistems lineles es un generlizción del método de eliminción expuesto en el sutem VIII.. y es plicle sistems lineles de culquier tmño. En esenci consiste en hcer, l sistem de ecuciones lineles, determinds trnsformciones elementles fin de otener un sistem esclondo (un sistem es esclondo cundo cd ecución tiene un incógnit menos que l nterior), más fácil de resolver. L ide del método es muy simple: ir reduciendo en cd pso el prolem un prolem que tiene un ecución menos y un incógnit menos. Este método es mejor conocido como método de eliminción de Guss. El procedimiento es el siguiente:. Tomndo como se el signo de un de ls incógnits de un ecución, se procur que en ls otrs dos ecuciones es incógnit teng l mism mgnitud y signo contrrio, pr que l sumrls miemro miemro se elimine dich incógnit, dndo lugr que en tods ls ecuciones desprezc, excepto en un.. Se procur que otr de ls incógnits teng el mismo coeficiente en culquier de ls dos ecuciones reducids pr que, l sumrls miemro miemro, se elimine dich incógnit, dndo lugr un ecución con sólo l tercer incógnit, mism que se despej.. Con un vlor conocido, se sustituye en l ecución reducid pr otener el vlor de otr incógnit trvés de un despeje.. Con los vlores de dos incógnits se sustituye en l ecución que no fue reducid, y medinte un despeje se otiene el vlor fltnte. Ejemplo. Resolver los siguientes sistems plicndo el método de eliminción de Guss. x + y z ) x + y z x z L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x + y z + z 9 7y z l segund ecución se multiplic por 7 y se sum l tercer: x + y z + z 9 z de l tercer ecución se despej z : z El nomre es un reconocimiento l mtemático Crl Friedrich Guss (777-) quien desrrolló el método.
19 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos se sustituye este vlor en l segund ecución y se despej y: + ( ) y estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x + x Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z ( ) ( ) x x + 0 Comproción: ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) x + y z ) x + y z x + z L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x + y z + z y + z 7 l tercer ecución se multiplic por y se sum l segund: x + y z z y + z 7 de l segund ecución se despej z : z se sustituye este vlor en l tercer ecución y se despej y: y + 7 y 7 estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x + ( ) x + x + Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: x z 0 ) x + y + z 9 x z + ( ) + ( ) + ( ) 0 + ( ) ( ) + ( ) + 9
20 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos L primer ecución se multiplic por y se sum l segund. L primer ecución se multiplic por y se sum l tercer: x z 0 y + z 7 7y z 9 l tercer ecución se divide por 7 : x z 0 y + z 7 z 7 l tercer ecución se multiplic por y se sum l segund: x z 0 z z 7 de l segund ecución se despej z : z se sustituye este vlor en l tercer ecución y se despej y: ( ) y estos vlores, se sustituyen en l primer ecución y se despej x : x ( ) ( ) 0 x x x Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER) Ddo un rreglo de números de l form:, su determinnte: denotdo por, es el resultdo de l operción: + + 0
21 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos Si l determinnte se le gregn los dos primeros renglones y se efectún los productos que indicn ls flechs se tiene que: el determinnte puede otenerse clculndo l diferenci de l sum de productos en l dirección hci jo menos l sum de productos en l dirección hci rri. Es decir, represent el producto de números que conformn su digonl principl (l que se dirige hci jo) y sus dos prlels menos el producto de números que conformn su digonl secundri (l que se dirige hci rri) y sus dos prlels. Ejemplos. Aplicndo l fórmul, clculr los siguientes determinntes: ) 9 ( )( 7) + ( )( ) + ( )( 9) ( )( ) ( 9)( ) 7( )( ) ) 7( )( ) + ( )( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( 7) ( )( )( ) ) 9( )( ) + ( )( )( ) + 9( )( ) ( )( ) ( )( 9) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ddo un sistem de tres ecuciones con tres incógnits de l form: 7 0 0
22 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos x + x + x + y + y + y + z z z El determinnte del Sistem es el determinnte del rreglo formdo por los coeficientes de ls incógnits. El determinnte de culquier incógnit es el que se otiene sustituyendo en el rreglo del sistem l column de los coeficientes de es incógnit por l column de los términos independientes. L Regl de Crmer estlece que ddo un sistem de ecuciones lineles cuyos términos independientes no son cero, el vlor de cd incógnit se otiene dividiendo el determinnte de l incógnit por el determinnte del sistem. Esto es: x x ; y y ; Cundo el determinnte es cero, entonces el sistem es incomptile. z z Ejemplo. Otener l solución de los siguientes sistems plicndo l Regl de Crmer: x z 7 ) x + y + z x + y 7z 7 x 7 ( )( 7) + ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 7)( )( ) x x 7 y 7 7 ( )( 7) + ( )( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( 7) ( 7)( )( ) , ( )( 7) + ( )( ) + 7 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 7)( )( 7) 00, , ,
23 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos y 070, y 7 z ( )( ) + ( )( 7) + ( )( ) ( )( 7) ( )( ) ( )( )( ) , z 0, z Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 7( ) + + x + 7y + z ) x + y + z x + y z 7 x 7 ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7) ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7) x x 0 y 0 y y 0 7 z z z ( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) + ( )( ) + ( )( 7)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( 7)
24 Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos Por lo tnto l solución del sistem es: x, y, z Comproción: ) x z x + y + z x + y z x 0 ( ) + 7 ( ) + ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) ( )( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) x x 0 y 0 y y z z z 0 ( )( )( ) + ( )( ) + ( 0)( )( ) ( 0)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ), , 0 ( )( )( ) + ( 0)( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( 0)( )( ) ( )( )( ) ( )( )( 0) + ( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( 0)( )( ) Por lo tnto l solución del sistem es: x 0, y, z Comproción: 0 0 ( ) + ( ) + ( ) 0 + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
Más detallesDefinición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Igualación y Sustitución
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0
Más detallesResumen de Álgebra. Matemáticas II. ÁLGEBRA
Resumen de Álger. Mtemátics II. ÁLGEBRA.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Guss consiste en convertir l mtriz socid un sistem de ecuciones en otr mtriz equivlente tringulr superior, hciendo
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tem 3: Sistems de ecuciones lineles 1. Introducción Los sistems de ecuciones resuelven problems relciondos con situciones de l vid cotidin, que tiene que ver con ls Ciencis Sociles. Nos centrremos, por
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesPROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a
Sint Gspr College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formndo Persons Íntegrs Deprtmento de Mtemátic RESUMEN PSU MATEMATICA GUÍA NÚMERO 9 ECUACIONES: () Un ecución es un iguldd condiciond en l que plicndo
Más detallesTEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
Más detallesBLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z
Más detallesc Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x
1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión
Más detallesLa Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.
Más detallesSEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este
Más detallesUNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul
Más detallesDETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
Más detallesDeterminantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
Más detallesEcuaciones de 1 er y 2º grado
Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones
Más detallesXI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus
Más detallesMATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores
Más detallesIES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos
Más detallesLA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco
Más detallesEJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA
EJERCICIOS DE LA ASIGNATURA DE ALGEBRA 1 INTRODUCCION Estimdo estudinte, el prendizje de est rm de l mtemátic, requiere que se dominen completmente los siguientes conocimientos y procedimientos prendidos
Más detallesDe preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción
Más detallesColegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd
Más detallesIntegración de funciones racionales
Integrción de funciones rcionles P() Se l integrl d donde P() y Q() son funciones polinómics. Si el grdo P() Q() se Q() divide P() entre Q() medinte el método de l cj y se otiene un cociente () y un resto
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =
Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds
Más detallesLa hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detallesLas medias como promedios ponderados
Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi
Más detallesDETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
Más detalles73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»
73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesSOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
SOUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Representción mtricil de un sistem de ecuciones lineles os determinntes son herrmients mu podeross pr resolver con reltiv fcilidd sistems de ecuciones lineles. Eemplo:
Más detallesDETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.
DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA
ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en
Más detallesAREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA
GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesMódulo 12 La División
Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción
Más detallesLA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE
1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd
Más detallesDadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )
Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri
Más detallesÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR ECUACIONES
. LINEALES. Concepto de iguldd. º. Si l seleccionr dos conjuntos se encuentr que tienen los mismos elementos, estos conjuntos son igules. c c A B Pr presentr l iguldd se utiliz el símolo por lo que A B
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Más detallesUnidad 2. Fracciones y decimales
Mtemátics Múltiplo.º ESO / Resumen Unidd Unidd. Frcciones y decimles FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES EXPRESIÓN, 8, 9 SIGNIFICADO FRACCIONES EQUIVALENTES 0 30 0 0 Prte de un unidd Prte de un cntidd ORDENACIÓN
Más detalles3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x
en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este
Más detallesCálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1
el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detallesÁlgebra Lineal. 1) (Junio-96) Considérese el sistema de ecuaciones lineales (a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, z):
Mtemátics II Álgebr Linel (Junio-96 Considérese el sistem de ecuciones lineles ( b c son dtos; ls incógnits son : b c c b b c Si b c son no nulos el sistem tiene solución únic. Hllr dich solución. (Sol:
Más detallesPara 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z.
letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Contcto: letos@telefonicnet ρ(z) V En el espcio vcío entre dos plcs conductors plns, y, de grn extensión, seprds un distnci, hy un estrto de crg de espesor, con un densidd
Más detallesa 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n... a m1 a m2 a m3... a mn
TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n.......... m m m mn (
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits,,,, n es un conjunto de m igulddes de l form: n n n n m m mn n m ij son los coeficientes i los
Más detallesUTalca - Versión Preliminar
1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen
LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y
Más detallesLas expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones
Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.
Más detallesI.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.
I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA:
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: EDISON MEJÍA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 9
Más detalles3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS
Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr
Más detalles3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
Más detallesCalcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 )
Clse 1: Ecución de l rect Determinr l pendiente del segmento de rect que une dos puntos. Comprender ls distints representciones lgerics de l ecución de l rect. Determinr un ecución pr un rect ddos dos
Más detallesAplicaciones de la derivada (II)
UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detallesResolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls
Más detallesELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS
ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución
Más detallesEn general, si. son números racionales, la suma es un número racional.
... SUMA DE FRACCIONES. Al relizr sums con números rcionles encontrmos csos muy específicos, como son los siguientes: Sum de números rcionles con el mismo denomindor. Pr resolver este tipo de ejercicios
Más detallesRaíces de una ecuación cuadrática
8 Ríces de un ecución cudrátic Introducción Se bord en est sección l deducción de l fórmul pr hllr ls ríces de un ecución cudrátic. Se nlizn ls crcterístics de ls soluciones, según l form del discriminnte
Más detallesCÁLCULO DE ÁREAS. Dados los siguientes paralelogramos (cuadrados o rectángulos), calcula las áreas de cada figura: 1. a.
CÁLCULO DE ÁREAS. Ddos los siguientes prlelogrmos (cudrdos o rectángulos), clcul ls áres de cd figur: 1. k m y y A = = A = k m = mk A = 141. p m g s g t. 8p 5p m 7m 5k p. 4,5m 8p 7,m 1 k 5m 1 k Ddos los
Más detallesTeoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva
Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.
Más detallesRESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor :
RESUMEN 01 NÚMEROS Nomre : Curso : Profesor : PÁGINA 1 Números Los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, } se denominn Números Nturles. Los Números Crdinles corresponden l unión del conjunto de los
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
nstituto Dr. Jun Segundo Fernández Áre y urso: Mtemáti 4º ño. Profesor: Griel Bejr TRABAJO PRÁCTICO Nº. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ténis de
Más detallesTALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida
Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función
Más detallesIES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo
Más detallesSigno 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±
CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes
Más detallesel blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES
el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,
Más detallesEL EXPERIMENTO FACTORIAL
DISEÑO DE EXPERIMENTOS NOTAS DE CLASE: SEPTIEMBRE 2 DE 2008 EL EXPERIMENTO FACTORIAL Se utiliz cundo se quiere nlizr el efecto de dos o más fuentes de interés (fctores). Permite nlizr los efectos de ls
Más detallesCURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I
CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero
Más detallesUNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto
Más detalles1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
Más detallesAplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:
Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si
Más detalles71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 81
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 81 págin 8 Si se divide un curt prte de un pstel l mitd se otiene un octv prte del mismo, lo que escrito en simologí mtemátic es Lo nterior es lo mismo que 1 1 4
Más detallesColegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso
Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n
Más detallesTEMA 2. DETERMINANTES
TEMA. DETERMINANTES A cd mtriz cudrd de orden n se le puede signr un número rel que se obtiene operndo de ciert mner con los elementos de l mtriz. A dicho número se le llm determinnte de l mtriz A, y se
Más detallesAX = B. X es la matriz columna de las variables:
ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:
Más detallesTEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD
Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,
Más detallesÁlgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m.
Álgebr 1 de Secundri: I Trimestre I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS R Sen 1 Son epresiones lgebrics T 1 log R',, z 3 z A 1 TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINOS SEMEJANTES ) 3z ; - 3z ; 6z Son términos semejntes b) b;
Más detallesCONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES
Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.
Más detallesUNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS
Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números
Más detallesEl conjunto de los números naturales tiene las siguientes características
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que
Más detallesX = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)
rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ls ecuciones 0 de primer grdo en dos vribles pueden tener un o más ríces comunes pr encontrrls, conformmos lo que se denomin un SISTEMA
Más detallesDeterminantes de una matriz y matrices inversas
Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión
Más detallesTEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1
TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..-
Más detalles2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto
Más detallesUniversidad Nacional de La Plata
Universidd Ncionl de L Plt Fcultd de Ciencis Nturles Museo Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº Rect Cónics. Rect: Ecución vectoril demás forms de
Más detallesMatemáticas I BACHILLERATO GENERAL MODALIDAD NO ESCOLARIZADA A DISTANCIA. Guía Didáctica de la Materia. Clave de Asignatura: 11.
BACHILLERATO GENERAL MODALIDAD NO ESCOLARIZADA A DISTANCIA Guí Didáctic de l Mteri Mtemátics I Clve de Asigntur: 11 Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci Mtemátics MATEMATICAS I Bchillerto Generl
Más detalles17532 = Hemos usado el 10 como base, pero podíamos haber usado cualquiera. Por ejemplo el 9, entonces.
Tem 1.- V de números 1.1.- Números pr contr. Un de ls primers ctividdes intelectules que reliz el ser humno es l de contr: el número de flechs, el número de ovejs, el número de enemigos, etc. En Mtemátics
Más detallesTEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.
TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES
Más detalles