Universidad Nacional de La Plata

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad Nacional de La Plata"

Transcripción

1 Universidd Ncionl de L Plt Fcultd de Ciencis Nturles Museo Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Contenidos de l Unidd Temátic nº Rect Cónics. Rect: Ecución vectoril demás forms de l ecución de l rect. Ángulo entre rects. Condiciones de prlelismo de perpendiculridd. Intersección de rects en el plno. Cónics: Geometrí nlític de l circunferenci, l práol, l elipse l hipérol. Ing. Crlos Alfredo López Profesor Titulr

2 Cátedr de Mtemátic Elementos de Mtemátic Asigntur: Mtemátic Unidd Temátic nº Ing. Crlos Alfredo López LA RECTA. ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA. P (, ) P(,) r r ( j ( j O ( i r r( i A Un rect qued determind si se conocen ls coordends (, ) de un punto P (, ) que le pertenece ( P r ) l dirección determind por un vector. Si P(, ) es un punto de l rect r (P r) podemos escriir los siguientes vectores referidos l sistem coordendo crtesino ortogonl. ( ( OP i j ( ( OP i j r ( ( i j Como el vector P P es prlelo l vector r podemos epresrlo de l siguiente mner: r ( ( PP λ λ( i j ) siendo λ un esclr, denomindo PARAMETRO. Por lo tnto, teniendo en cuent l figur nterior otenemos LA ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA. OP OP λ r ( ) ( )

3 reemplzndo vlores, teniendo en cuent ls epresiones (), result: ( ( ( ( i j ) ( i j ) λ ( i j ) ( ( eliminndo préntesis grupndo se otiene: ( ( ( ( ( ( i j i j λi λ j ( ( ( ( i j ( λ ) i ( λ ) j de donde resultn ls siguientes igulddes: ( ( ) λ λ que se denominn ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA. Despejndo el vlor del prámetro en ls epresiones nteriores se otiene: ( ) λ que se denomin ECUACION CARTESIANA SIMETRICA DE LA RECTA Ejemplo: Hllr l ecución vectoril, ecuciones prmétrics crtesin simétric de l rect, que ps por el punto P (,-) es prlel l vector r ( ( i j L ecución vectoril de l rect será: reemplzndo vlores result: ( ( i j ( ( i j OP OP λ r ( ( ( i j ) λ( i j ) ( ( ( ( ( λ) i ( λ) j oteniéndose, de l iguldd nterior, ls ecuciones prmétrics de l rect:

4 λ λ despejndo el vlor del prámetro se otiene l ecución crtesin simétric de l rect uscd: λ FORMA IMPLÍCITA O ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Consideremos l ecución crtesin simétric de l rect dd por l epresión () λ ( ) operndo, result: ( ) ( ) psndo todos los términos l primer miemro se otiene: si llmmos: 0 A B C ( 5) otenemos l epresión: A B C 0 (6) que se denomin: form implícit o ecución generl de l rect. Podemos oservr que se trt de un ecución de dos vriles e que se encuentrn elevds l potenci uno.

5 Anlicemos l form implícit: ) Ecución de un rect prlel l eje de ls ordends. Si en l epresión (6) hcemos result: A A C 0 0 B 0 de l cul se otiene: C A ( 7) Podemos interpretr est últim ecución como (, ) S / C A cu representción gráfic en el plno es l siguiente C A Como se puede ver, hemos otenido el conjunto de puntos del plno, tles que culquier se el vlor de l ordend, l scis es igul un constnte ( -C/A). Este conjunto de puntos result linedo prlelmente l eje de ls ordends O, de donde se deduce que l epresión (7) es l ECUACION DE UNA RECTA PARALELA AL EJE DE LAS ORDENADAS. ( -C/A ; es un función?..) ) Form eplícit de l Ecución de l rect. Si en l ecución A B C 0 es B 0 result

6 si llmmos: otenemos: B A C A B C B A B m C B m n (8) n que se llm FORMA EXPLÍCITA DE LA ECUACION DE LA RECTA Su representción gráfic es: r ϕ ( j n ( i r Si en l epresión (8) hcemos 0 result: n donde n se llm ordend en el origen. Si n 0, l rect ps por el origen O(0,0) del sistem crtesino ortogonl XY. En este cso, teniendo en cuent ls epresiones (8) (5) result pr m m A B Si denominmos con φ l ángulo que el eje de ls sciss form con l rect r tomndo como sentido positivo el sentido trigonométrico o ntihorrio result:

7 tg φ m donde m se denomin PENDIENTE DE LA RECTA. Cundo l rect es prlel l eje de sciss, considermos que tg φ 0. Deemos reclcr que l inclinción de un rect es un ángulo ( φ ) l pendiente de l mism es l tngente trigonométric de dicho ángulo ( m tg φ ). L inclinción de un rect vrí entre 0º 80º; pero deemos tener presente que si l rect es prlel l eje result φ ½ π 90º, l tg ½ π NO EXISTE ; en consecuenci, en este cso prticulr, no eiste vlor pr l pendiente. Ejemplo: Dd l ecución de l rect 0 hllr su ecución eplícit, su pendiente, su inclinción su ordend en el origen. Representr gráficmente. r 0 despejndo el vlor de l vrile se otiene l ecución eplícit de l rect: siendo: m tgφ φ rc tg 60º n ordend en el origen A (0,). φ 60º - - -

8 ) Ecución de l rect prlel l eje de ls sciss. Si en l ecución eplícit hcemos m 0 result: n o se, que culquier se el vlor signdo l vrile, es siempre igul un constnte n ; es l llmd FUNCION CONSTANTE su gráfic es un rect prlel l eje. n O CONDICION DE PARALELISMO ENTRE RECTAS. r r φ φ Dds dos rects prlels r r de ecuciones eplícits m n m n por ser prlels, tienen igul inclinción, es decir: φ φ

9 de donde result: tgφ tgφ m m que nos d l condición de prlelismo entre dos rects. Ejercicio: Dds ls rects: demostrr que son prlels. r 0 r 8 CONDICION DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS. r φ r φ φ eplícits son: Sen r r dos rects perpendiculres, cus ecuciones r m n r m n Sen φ φ ls inclinciones de dichs rects; de cuerdo l figur result: π φ φ φ φ

10 por lo tnto siendo: m m π sen φ π tgφ tg φ π cos φ π π senφ cos cosφ sen π π cosφ cos senφ sen teniendo en cuent que sen π cos π 0 l epresión nterior se reduce : cosφ m cot gφ senφ tgφ m que es l condición de perpendiculridd uscd. Ejemplo: Dds ls rects: 5 r r 5 verificr si son perpendiculres. Siendo m 5 m 5 5 result: m m 5 de donde se deduce que: m m

11 en consecuenci ls rects r r son perpendiculres. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. r φ φ r φ Trtremos de encontrr un epresión que nos permit clculr el ángulo que formn dos rects l cortrse en un punto. Sen r r dos rects que se cortn en el punto A cus pendientes sen respectivmente m m. rects r r es: de l cul result: De cuerdo l figur, result que el ángulo que formn ls φ φ φ tgφ tg ( φ φ ) tgφ tgφ tgφ tgφ siendo tgφ m tgφ m m m tgφ m m En relidd, dos rects se cortn según dos ángulos que son suplementrios. En ests condiciones, l tngente de φ puede ser positiv o negtiv, según se trte de un ángulo del primer o del segundo cudrnte, que como hemos dicho es suplementrio del nterior.

12 Podemos convenir en considerr únicmente los vlores positivos trnsformmos l epresión nterior en: tgφ m m m m Ejemplo: Hllr el ángulo que formn l cortrse ls rects r de ecución 8 0 r de ecución 0 Deemos hllr ls pendientes m m de ls rects r r respectivmente, pr lo cul deemos escriir sus ecuciones en form eplícit. r r 0 siendo: m m reemplzndo vlores en l epresión tgφ m m m m ( / ) / ( / ) 7 / 7 tgφ, 75 φ rc tg, 75 60º 5' ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO. Nos proponemos encontrr l ecución de l rect que ps por el punto P (, ) tiene pendiente m. rect: Pr logrrlo podemos utilizr l epresión eplícit de l m n () Teniendo en cuent que l rect dee psr por el punto P (, ), ls coordends de este punto, deen stisfcer l ecución de l rect, es decir, se cumple que:

13 m n ( ) si restmos miemro miemro ls epresiones () () eliminmos n, oteniendo: que es l ecución uscd. Ejemplo: m n m n m ( ) ( c) Hllr l ecución de l rect que ps por el punto P (, ) es prlel l isectriz del primer cudrnte. Como l rect dee psr por el punto P (, ) su epresión será: ( ) m pero, como est rect dee ser prlel l isectriz del primer cudrnte, su pendiente m que: m tgφ tg5º Por lo tnto, l ecución uscd será: ( ) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. En este tipo de prolems tenemos como dtos ls coordends de dos puntos P (, ) P (, ) tenemos que hllr l ecución de l rect que ps por mos puntos. Si l rect ps por el punto P (, ) dee verificr l ecución: m ( ) ( ) Si dich rect ps tmién por el punto P (, ) ls coordends de dicho punto, deen stisfcer l ecución de l rect, es decir m ( ) ( )

14 de l cul se otiene el vlor de l pendiente m, cundo conocemos dos puntos que le pertenecen, es decir: m ( c) Si reemplzmos el vlor ddo por l epresión (c) pr m en l epresión () se otiene: ( ) psndo - l primer miemro otenemos l ecución de l rect que ps por dos puntos ( P (, ) P (, ) ) Ejemplo: Hllr l ecución de l rect que ps por los puntos P (, ) P ( -,-). Siendo: reemplzndo vlores en l epresión nterior se otiene: ( ) 7 ( ) que es l ecución uscd.

15 FORMA SEGMENTARIA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. Q ( 0, q ) P ( p, 0 ) O Se l rect r, que no ps por el origen O (0,0) del sistem coordendo crtesino ortogonl, e intercept los ejes en los puntos P(p,0) Q(0,q). Pr hllr l ecución de l rect, podemos utilizr l ecución de l rect que ps por dos puntos: siendo, en este cso prticulr: p 0 0 q con lo que result: q p p efectundo operciones se otiene: q p p psndo p l primer miemro de l ecución result:

16 I p q que se denomin ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA RECTA. Ejemplo: Dd l ecución de l rect en l form implícit 8 0 psr l form segmentri. Psndo el término independiente l segundo miemro de l ecución, se otiene: 8 dividiendo mos miemros por -8, nos qued: / 8 comprndo con l epresión I result: p 8 / q 8 En ests condiciones, los puntos de intersección con los ejes coordendos e son respectivmente: P(-8/, 0) Q( 0, 8) DISTANCIA ENTRE PUNTO Y RECTA. Un form sencill de otener l distnci entre un punto un rect es l siguiente: ) por el punto Po hcemos psr un rect perpendiculr l rect dto del prolem. ) hllmos ls coordends del punto de intersección entre ms rects c) clculmos l distnci entre el punto el punto de intersección de ms rects. ACTIVIDAD: clculr siguiente este procedimiento l distnci entre l rect - 0 el punto de coordends (,5)

17 INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS. Se el prolem de resolver l intersección entre ls rects que conformn, desde el punto de vist lgerico el SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS (), (): A B C 0 ( ) A B C 0 ( ) Geométricmente equivle determinr el punto de intersección de ls dos rects cus ecuciones nlítics están dds por ls epresiones () (). Ejemplo: Resolver grfic nlíticmente el sistem r 0 ( ) r 0 ( ) r r P ( -/, 5/ ) - - / Pr resolver este sistem nlíticmente procedemos de l siguiente mner: despejmos de l epresión () oteniendo 5 reemplzmos su vlor en l epresión () oteniendo ( ) 0 0 / De est mner, hemos hlldo el vlor de que reemplzdo en l epresión (5) nos permite hllr el vlor de :. 0 ( ) ( 6)

18 ( /) 5 / Por lo tnto, el punto de intersección de ls dos rects, o se, LA SOLUCIÓN ANALÍTICA DEL SISTEMA PROPUESTO es el punto: 5 P, Siendo este punto, el ÚNICO PUNTO DEL PLANO que pertenece ms rects, lo cul implic que dicho punto es LA ÚNICA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DADO. Pr verificr que el resultdo otenido es correcto, podemos reemplzr ls coordends del punto en ls ecuciones dds () (), comprondo si otenemos un iguldd numéric. En efecto, reemplzndo vlores en l epresión () se otiene: Pr l segund ecución () result: dds. Luego, ls coordends del punto 5 P, stisfcen ls ecuciones

19 Se hor el sistem: ( ) ( ) r r En este cso, oservemos que l ecución (8) se h otenido multiplicndo todos los términos de l ecución (7) por el esclr, resultndo pr ms ecuciones, l mism representción gráfic, es decir l mism rect. Como se puede ver, ls soluciones del sistem son los infinitos puntos de l rect. Pr resolver nlíticmente el sistem ddo procedemos de l siguiente mner: despejmos de l epresión (7) el vlor de l vrile oteniendo: ( ) 9 reemplzndo este vlor en l epresión (8) ( ) ( ) ( ) culquier punto de l rect es solución del sistem ddo. Por lo tnto eisten infinits soluciones. Se por último el sistem: ( ) ( ) r r cu representción gráfic es l siguiente: - -

20 r r Como puede precirse, ls dos rects r r son prlels (tienen l mism pendiente distint ordend l origen) en consecuenci NO EXISTE NINGÚN PUNTO DEL PLANO QUE SATISFAGA AL SISTEMA DADO. MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS DEL PLANO. Hremos referenci cutro métodos nlíticos pr l resolución de l intersección entre dos rects del plno ( desrrolldos en l unidd SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES). MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Se por ejemplo el sistem: - - ( ) ( ) 7 L resolución del sistem puede efecturse indistintmente por o por.despejmos l vrile en l ecución (), psndo - l segundo miemro dividiendo por el coeficiente de otenemos: ( ) Si hor sustituimos este vlor de en l epresión () result: 7 que es un ecución de primer grdo con un sol incógnit cu resolución nos d:

21 ( ) Sustituendo este vlor de en l epresión () nos permite clculr el vlor de l otr incógnit. 6 ( 5) Reemplzndo los vlores de e en ls epresiones () () permiten l verificción del ejemplo: L plicción del método de sustitución puede resumirse en l siguiente regl: ) Se despej un incógnit en un de ls ecuciones del sistem ddo. ) Se sustitue en l otr ecución l mism incógnit por l epresión hlld, oteniéndose un ecución linel con un incógnit. c) Se resuelve l ecución, determinándose el vlor de l incógnit. d) Se reemplz este vlor hlldo, en l epresión de l incógnit despejd en el pso ) pr otener el vlor de dich incógnit. e) Se verific si el pr de vlores hlldos stisfce el sistem ddo. Actividd: Resolver plicndo el método de sustitución el siguiente sistem:

22 MÉTODO DE IGUALACIÓN. Se nuevmente el sistem: 7 Se despej en ms ecuciones: ( 6) ( 7) 7 7 ( 8) ( 9) Como los primeros miemros de ls ecuciones (8) (9) son igules, los segundos tmién lo serán, oteniéndose: 7 resolviendo est iguldd result: 7 ( ) ( ) 8 8 ( 0) Despejndo en ls ecuciones (6) (7) se otiene: 7 7 ( ) ( ) Nuevmente, como los primeros miemros de ls ecuciones () () son igules, los segundos tmién lo serán, resultndo: 7 resolviendo: 7 ( ) 8 8

23 vlores que concuerdn con los hlldos nteriormente; relizándose l verificción como en el método de sustitución. L plicción del MÉTODO DE IGUALACIÓN puede resumirse en l siguiente regl: ) Se despej l mism incógnit en ms ecuciones del sistem. ) Se iguln los segundos miemros de ls igulddes otenids pr otener un ecución linel con un sol incógnit. c) Se resuelve l ecución nterior pr determinr el vlor de su incógnit. d) Se procede de l mism mner con respecto l otr incógnit. e) Se verific en ls ecuciones del sistem ddo si los vlores hlldos ls stisfcen. MÉTODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS. Se nuevmente el sistem: ( ) 7 ( ) Multiplicndo l ecución () por l ecución () por se otiene el sistem equivlente: 8 5 ( ) ( 6) Siendo los coeficientes de igules se puede restr l ecución (6) de l (5) oteniéndose un ecución de primer grdo con un sol incógnit. 8 ( 7) Si multiplicmos l ecución () por l () por se otiene el sistem equivlente: 8 ( ) ( 9) 8 Siendo los coeficientes de opuestos, se pueden sumr ms ecuciones resultndo: ( 0) Los vlores de e hlldos por este método coinciden con los hlldos nteriormente por plicción de los métodos de sustitución e igulción, por lo tnto, no es necesrio efectur l verificción.

24 Por lo tnto, l plicción del METODO DE REDUCCIÓN POR SUMAS Y RESTAS se puede resumir en l siguiente regl: ) Se iguln, en vlor soluto, los coeficientes de un mism incógnit, multiplicndo cd ecución por el vlor soluto del coeficiente de dich incógnit perteneciente l otr ecución. ) Si los coeficientes de l incógnit elegid tienen DISTINTO o IGUAL SIGNO, se SUMAN o RESTAN ls ecuciones equivlentes otenids, respectivmente, pr eliminr dich incógnit. c) Se resuelve l ecución otenid pr determinr el vlor de su incógnit. d) Se procede nlogmente con respecto l incógnit elimind. e) Se verific si los vlores de ls incógnits hlldos stisfcen l sistem. Actividd: Aplicndo el método de reducción por sums rests el de igulción; resolver el siguiente sistem: 0 MÉTODO POR DETERMINANTES. (Regl de Crmer) Se el sistem: ( ) 7 ( ) Volviendo plicr el método de reducción por sums rests: ) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA X. Pr hllr deemos eliminr. Pr ello multiplicmos l epresión () por l epresión () por oteniendo el sistem equivlente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) Si efectumos l sum de ls epresiones () () eliminmos l incógnit, oteniendo: ( ) 7 7 ( 5) de l cul result, l efectur operciones:

25 8 Teniendo en cuent l definición de determinnte, el segundo miemro de l epresión (5) puede escriirse: ( ) ) CÁLCULO DE LA INCÓGNITA. Pr hllr l incógnit deemos eliminr. Pr ello multiplicmos l epresión () por l epresión () por oteniendo el sistem equivlente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si efectumos l rest de ls epresiones (7) (8), eliminmos l incógnit, oteniendo: ( ) ( ) 7 scndo fctor común en el primer miemro despejndo su vlor result: ( ) ( ) ( ) L epresión (9) ( ) ( ) 7 puede epresrse, multiplicndo numerdor denomindor por (-) de l siguiente mner: ( ) L plicción del método de determinntes se puede resumir en l siguiente regl práctic: Ddo un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits igulmente ordends, el vlor de cd incógnit es el de un frcción que tiene por

26 denomindor el determinnte formdo por los coeficientes de ls incógnits por numerdor, el determinnte que se otiene reemplzndo en el nterior, los coeficientes de l incógnit cuo vlor se quiere hllr por los términos independientes respectivos que figurn en los segundos miemros de ls ecuciones dds. Ejercicio: Aplicndo el método de determinntes (Regl de Crmer), resolver el sistem: 5 0 Aplicndo l regl nterior result: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

27 SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. LAS CÓNICAS. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersecndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno. L superficie cónic se otiene hciendo rotr un rect denomind genertriz lrededor de un punto fijo llmdo vértice mnteniendo otro punto constntemente sore un circunferenci llmd directriz situd en un plno perpendiculr l eje condiciond que su centro esté sore el eje. Los diferentes tipos de cónic se genern cortndo l superficie cónic jo distintos ángulos. Se presentn tres csos según que el ángulo de corte se menor, igul o mor que el ángulo de ertur de l superficie cónic. Definimos como tl l ángulo (α) entre el eje de l superficie cónic un culquier de sus genertrices. eje α V G enertriz

28 Si se cort un superficie cónic con un plno jo un ángulo mor que el de ertur, el plno cort un sol de ls rms de l superficie cónic se otiene un curv cerrd denomind elipse. Se presentn dos csos prticulres: ) cundo el plno de corte es perpendiculr l eje de l superficie cónic l intersección degener en un circunferenci, eje V Circunferenci - Elipse ) si se trsld el plno de corte prlelmente sí mismo hst que conteng el vértice, l elipse o l circunferenci, según se el cso, degener en un punto: el vértice de l superficie cónic. Si el plno de corte tiene con respecto l eje un ángulo menor que el de ertur, cortrá ls dos rms de l superficie cónic, oteniéndose un curv que recie el nomre de hipérol. Como cso prticulr, cundo el plno se mueve prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l hipérol degener en un pr de rects (oservr el corte de l superficie cónic con el plno del diujo).

29 eje V Hipérol Si por último, el plno de corte es prlelo l genertriz, cortrá un sol de ls rms de l superficie cónic se otendrá como curv interesección un práol. En este cso, cundo el plno de corte se desplz prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l práol degener en un rect coincidente con un culquier de ls genertrices de l superficie cónic. eje m V Práol Los nomres elipse, hipérol práol de deen l geómetr Apolonio, de l escuel de Alejndrí, que hci el ño 5 AC., escriió un trtdo sore l secciones cónics en ocho liros, siete de los cules hn llegdo nosotros.

30 ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO LUGAR GEOMÉTRICO CIRCUNFERENCIA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Ddo un punto C ( α; β ) que llmmos centro un vlor r > 0 que designmos con el nomre de rdio podemos definir: Ecución crtesin de l circunferenci Consideremos un circunferenci de centro C (, ) rdio r, referid un sistem de coordends crtesins ortogonles se P (, ) un punto de l circunferenci. Centro C ( α,β ) ; Rdio r ; P (, ) ε C ( C, r) Y r P β C M α X

31 Considerndo l fórmul de distnci entre dos puntos, clculmos el vlor del rdio: ( ) ( β ) r C P [( α ) ( β ) ] r α Ecución cnónic de l circunferenci Desrrollndo los cudrdos ordenndo: de centro ( α, β ) rdio r. hciendo: α β α β r 0 otenemos: D E F 0 que es l ecución Generl de l circunferenci De l igulddes dds en ( ) otenemos: D E Coordends del centro: α ; β rdio: r ( α β F ) Anlicemos el vlor del rdio: Si: α β F > 0 α β F 0 L α β F < 0 Circunferenci de rdio rel circunferenci se reduce un punto Circunferenci de rdio imginrio L ecución generl de l circunferenci es un cso prticulr de l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, cu form es: A B C D E F 0

32 Comprndo est ecución con l ecución generl de l circunferenci, oservmos que en ést últim los coeficientes de e son igules demás flt el término en. Result entonces que un ecución tendrá como lugr geométrico un circunferenci si responde l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, con los coeficientes A C igules, con el término B (llmdo término rectngulr) fltnte que verifique: α β F f 0 Ejemplos: determinr:.- Dd l ecución: ; ) Ls coordends del centro. ) El vlor del rdio. c) L ecución crtesin. d) Efectur l representción gráfic. C D α E β 6 α 8 β ( α ; β ) C( ;) r r ( α β r ) r ( 6)

33 Ecución crtesin: ( ) ( ) Representción: r C Siendo que el centro de un circunferenci es ( ;5) escriir su ecución generl: Ecución cnónic: C su rdio r, ( α ) ( β ) ( ) ( 5) Posiciones prticulres. r Ecución generl L ecución: ( α ) ( β ) r de l circunferenci se simplific pr posiciones prticulres.. Si el centro está en el origen de coordends: ( 0;0) r C r - ( 0, 0 )

34 Si el centro está sore el eje de ls sciss, β 0: ( α ; 0) ( α ) r C C ( α;0). Si el centro está sore el eje de ls ordends, α 0 : ( 0; β ) ( β ) r C INTERSECCIONES. Intersección de un circunferenci un rect. Si dos línes coplnres tienen un punto en común, ls coordends de este punto deen stisfcer simultánemente ls ecuciones de ms línes. En consecuenci el prolem de hllr ls coordends de los puntos de intersección de dos línes se resuelve, encontrndo l solución del sistem determindo por sus ecuciones.

35 Escriimos el sistem formdo por ms ecuciones, luego sustituimos en l ecución de l circunferenci el vlor de un de ls vriles que despejmos en l ecución de l rect, oteniendo un ecución de º grdo en un sol vrile que resolvemos. L solución de est ecución d dos vlores. Pueden presentrse los siguientes csos: ) : R R rect secnte l circunferenci; puntos de intersección. ) : R rect tngente l circunferenci; punto de intersección. c) C C rect eterior l circunferenci; no h puntos de intersección. (C conjunto de los números complejos) r I r r I I ) I I:rect secnte ) I I: rect tngente c) rect eterior Ejemplo: Determinr los puntos de intersección de l circunferenci 5 0 l rect En l rect 0 sustituimos en l ecución de l circunferenci por.

36 ( ) pr: ( ) ( ) ;0 0 ; P P Coordends del centro rdio de l circunferenci: ( ) r r E D β β α α - ( ) ;0 C ( ) ;0 P

37 Intersección de dos circunferencis. Dds ls ecuciones de dos circunferencis: A A A A D E F D E F 0 0 ( ) ( ) ls coordends de los puntos de intersección son los vlores de e que stisfcen el sistem formdo por ms ecuciones. Si los coeficientes de los términos cudráticos no son igules en ms ecuciones, los igulmos multiplicndo ( ) por A ( ) por A : A A A A A A A A A D A E A F A D A E A F 0 0 ( ) ( ) restndo miemro miemro otenemos: ( A D A D ) ( A E A E ) ( A F A F ) 0 que es un ecución linel, cuo lugr geométrico ps por los puntos de intersección de ls circunferencis, recie el nomre de eje rdicl, como puede demostrrse fácilmente result perpendiculr l rect que une los centros. reltivs: Dos circunferencis pueden tener ls siguientes posiciones r P C r C P r r C C P Eje rdicl C r P Eje rdicl Eje rdicl r C Secntes: P P Tngentes: P P Eteriores

38 Ejemplo: Determinr los puntos de l intersección de : ( ) ( ) restndo ls ecuciones: 0 0 Reemplzmos en ( ) el vlor de ; ( ) ( ) Puntos de intersección : ( ) ( ) ; ; ; P P Representción: Determinmos ls coordends del centro el vlor del rdio de ls circunferencis ( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ; 6 r F r C E D β α β β α α ( ) ( ) ( ) ; 8 r F r C E D β α β β α α --0 P C C P

39 PARÁBOLA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco de un rect fij que recie el nomre de directriz. Q P D O F H d m P L definición precedente permite construir l práol por puntos cundo se conoce el foco F l directriz d. Trzndo por F un rect perpendiculr l directriz determinmos el punto D. El punto medio de FD es punto de l curv, llmémoslo O, que DO O F. Pr encontrr otros puntos, considermos un punto culquier H sore l rect que contiene DF se trz por H l rect m / / d, hciendo centro en F con rdio DH se cort l rect m en los puntos P P que pertenecen l práol; QP P F. Si queremos determinr otros puntos repetimos el procedimiento.

40 Ecución: Hllremos l ecución pr l práol con vértice en el origen de coordends foco en el eje positivo. Llmndo p l distnci de l directriz l foco ;0 p F l ecución de l directriz será: p De cuerdo l definición: FP QP p FP p P F resultndo: p p elevndo l cudrdo: p p O p d ;0 p F Y P (, ) X

41 desrrollndo simplificndo otenemos: p p p p p ecución cnónic de l práol con vértice en el horizontl. origen eje focl p: recie el nomre de prámetro es l distnci del foco l directriz. ± p Form eplícit de l ecución. Pr cd vlor de mor que cero se otienen dos vlores igules contrrios de, por est rzón l curv result simétric con respecto l eje que se denomin eje de l curv. Dicho de otr form: en l ecución cnónic de l práol se oserv que l vrile está elevd l cudrdo no prece l potenci uno. Ello signific que pr dos vlores opuestos de se otiene el mismo vlor de, lo que en términos geométricos se trduce diciendo que l curv es simétric con respecto l eje. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl, que psndo por el foco une dos puntos de l curv. Ldo recto MM p como: Ldo recto MM p p p p p d M Ldo recto F M

42 Posiciones: d d p Ecución: p p Ecución ² Ejemplo: ² Ejemplo: ² - p p Foco: ;0 Foco: ; 0 Directriz: p p Directriz: d - d Ecución: p Ecución: p Ejemplo: ² Ejemplo: ² - Foco: 0; p p Foco: 0;

43 p p Directriz: Directriz: Ecución de l práol referid un sistem de ejes prlelos. De l ecución : p p si ; : p L ecución de l práol de vértice V ( α;β ) eje prlelo l eje es : V (α,β) Con respecto l sistem ; l ecución de l práol será: como; α β sustituendo en ( ) : β ( α ) α α β si: α α β c c

44 Si el eje de l práol es prlelo l eje el vértice es ( α; β ) ecución es : V su Y respecto l sistem ; : α ( β ) β β α si: β β α c c Ejemplo: Encontrr l ecución de l práol cuo foco está en ( ; ) su directriz es 5. De cuerdo l esquem vemos que el vértice V tiene por coordends ( ; ).

45 Su ecución es de l form: ( β ) p( α ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 F V X5 - -

46 ELIPSE. Es el conjunto de puntos del plno tles que l sum de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Siendo F F focos de l elipse P un punto genérico perteneciente l elipse Elementos: PF PF Eje mor: A A ;(si suponemos que l line punted F PF es un hilo inetensile, cundo el punto P tom l posición de A result sencillo verificr por l iguldd de los segmentos A F A F que l longitud de dicho hilo es A A A 0 ) Semieje mor: A O O A ; Eje menor: B B ; Semieje menor: B O O B ; Vértices: A ( 0) ; A ( ;0) ; B ( 0; ) ; B ( 0; ); Eje focl: F F ; c; Semieje focl: F O O F c; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c B l elipse stisfce l condición: F B BF como F B B F c c.

47 Ecución: P ( ; ) l elipse PF PF ( ) plicndo el Teorem de Pitágors en PRF PRF respectivmente: ( c) PF ( c) P F reemplzndo en ( ) : ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces cudrds elevndo mos miemros l cudrdo: ( ( c) ) ( ( c) ) ( c) c c c grupndo, simplificndo elevndo l cudrdo: grupndo vriles: ( c) ( c) ( c) c c c c c c c ( c ) ( c ) como: c dividiendo por otenemos:

48 Ecución cnónic de l elipse de centro en el origen de coordends eje focl. L ecución puede ser escrit como : 0 que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Form eplícit de l ecución de l elipse. De l ecución despejmos ± ; donde oservmos que tendremos vlores reles de si 0: Si 0 De donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr. Si de l ecución despejmos : ± Pr vlores reles de : 0 de donde rects que limitn l elipse.

49 Entonces es rel solo pr - L F F L - Del estudio de l figur precedente deducimos: : L elipse es simétric respecto l origen los ejes coordendos por estr ls vriles de su ecución cnónic elevds l cudrdo no precer l potenci uno. : L elipse es interior l rectángulo limitdo por ls rects : ± ± Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl que une dos puntos de l elipse. L F F L Lr L F Lr L L ; como L L L F F L LF ; considerndo l ecución eplícit de l elipse reemplzndo por c : c Lr Ecentricidd. Es el cociente c c e ; como c < e <

50 Si c 0 e 0 los focos coinciden l curv es un circunferenci. Posiciones. Dd un elipse medinte su ecución cnónic, el eje mor (eje focl) corresponde l eje coordendo de l vrile que tiene mor denomindor. I. eje mor sore el eje : Ejemplo: 6 9 A ( ;0) F B ( 0;) F -,6,6 A ( ;0) B ( 0; ) II. eje mor sore el eje : B ( 0;) Ejemplo: 9, F A ( ;0) A ( ;0) -, F B ( 0; )

51 Construcción de l elipse: Aplicndo l definición. Ddos F ; F construiremos por puntos l elipse. Mrcmos sore un rect F F su punto medio O ; equidistntes O los puntos A A tles que AO O A. Los puntos A A son puntos de l elipse que: A F A F A F A F Pr hllr otros puntosque pertenezcn l elipse mrcmos un punto culquier H interior l segmento F F. El segmento A A qued dividido en dos prtes : A H HA. Hciendo centro en F con rdio HA trzmos un circunferenci; hciendo centro en F con rdio A H trzmos otr circunferenci. Los puntos de intersección P P son puntos de l elipse que sus rdios vectores sumn A H HA P A F O H A F P Al vrir l posición del punto H, en el segmento F F podemos otener otros puntos de l elipse. I. Relción de finidd. e c ± ± L ecución de l elipse es: ( ) L ecución de l circunferenci es: ( )

52 e ordend de l elipse. c ordend de l circunferenci. Comprndo ( ) ( ): e c Est es l relción de finidd, en l que se s un método de construcción de l elipse. Construcción: Trzmos dos circunferencis concéntrics de centro O rdios respectivmente. Luego un semirect de origen O que cort ls circunferencis en los puntos P P respectivmente, trzndo por P un prlel l eje por P un prlel l eje ; el punto P de intersección pertenece l elipse. Como OQ P OQ P Pero Q P O P Q P OP Q P QP QP c OP OP e O P P S P (, ) Q Q Luego: e c e c Trzndo otrs semirects de origen O, encontrmos otros puntos de l elipse.

53 L justificción de que los puntos sí hlldos pertenecen un elipse es reltivmente sencill: Los segmentos OP OP de l figur precedente son respectivmente los rdios de ls dos circunferencis trzds tomndo como diámentros de ls misms. Si llmmos α l ángulo que el sentido positivo del eje form con dichos rdios, quedn formdos los triángulos rectángulos OP Q OP Q pr los cules vlen ls siguientes relciones: OQ OP QP cosα senα OP elevndo l cudrdo ls epresiones nteriores sumndo miemro miemro: cos α ; sen α cos α sen α es l ecución de un elipse.

54 Ecución de l elipse referid un sistem de ejes prlelos. Los ejes e son ejes prlelos los eje ;. P es un punto de l elipse que tiene coordends ( ; ) respecto l sistem de origen O (α, β ) coordends (, ) respecto l sistem de origen O. β O P O α L ecución de l elipse es: O ( ; ). cundo se refiere l sistem Como ( α) ( β ) α β ecución de l elipse de centro en (α;β) eje focl prlelo l eje. ecución result: Si el eje focl es prlelo l eje l corrrespondiente ( β ) ( α )

55 HIPÉRBOLA. Es el conjunto de puntos del plno tles que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Si F F son los focos de l hipérol, pr todo punto P perteneciente l hipérol se verific: PF PF Elementos: Eje focl o trnsverso: A A ; Eje conjugdo, idel o imginrio: B B ; Vértices: A ( 0) ; A ( ;0) ; B ( 0; ) ; B ( 0; ) Distnci focl: F F ; c ; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c F F c c > c > PF PF

56 c ( c ) Ecución. Como P (, ) l hipérol PF PF ( c) PF ( c) P F reemplzndo: ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces del primer miemro elevndo luego mos miemros l cudrdo: ( c) ( c) desrrollndo los cudrdos grupndo: Simplificndo elevndo l cudrdo: ( c ) ( c) c c c c grupndo vriles: c c ( c ) ( c ) En B OA ; c B c A O

57 dividiendo por otenemos: que es l ecución cnónic de l hipérol de eje focl centro en el origen de coordends. L ecución puede ser escrit como : 0 ; que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Si de l ecución despejmos : ± l últim epresión nos permite oservr que l curv es simétric respecto l eje. Con respecto podemos decir que tom vlores reles pr vrindo de menos más infinito, con ecepción de intervlo <, en el qlue tom vlores imginrios; vrí: < < resultndo un curv etern l fj limitd por ls rects: Despejndo : ± se verific que l curv es simétric respecto l eje :

58 Si: 0 ± Entonces l curv cort l eje en los puntos : A ( ) ( ) determinn A A ;0 ; que es l longitud del eje focl. A ;0 vértices El rectángulo HIJK de centro O ldos perpendiculres los ejes, se denomin: rectángulo fundmentl de l hipérol. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje coordendo, que psndo por el foco, une dos puntos de l hipérol: L L L L ± : en L ( c; ) c Ecentricidd: L L Es el cociente c c e, como c > e >.

59 Asíntots de l hipérol. Son ls rects que están sore ls digonles del rectángulo fundmentl: tienen como ecuciones: ; Se muestr que: ( ) 0 RSTV: rectángulo fundmentl. cundo En efecto: ( síntot ) ( hipérol ) d d d ( ) lim ( ) lim 0 si d 0

60 Posiciones. El eje focl de l hipérol, corresponde siempre l vrile de coeficiente positivo, no importndo que < o >. Ejemplo: Dd l ecución 9 6, otener ls coordends de los vértices focos; ecentricidd, longitud del ldo recto, ecución de ls síntots. Solución: 9 6 Ecución cnónic 9 Vértices: A ;0 ; A ;0 ; B 0; ; B 0; ( ) ( ) ( ) ( ); Focos: c,6 F (,6; 0) ; F (,6; 0) Ecentricidd: c, 6 e e 8,

61 Ldo recto: L L L L 9 Ecución de ls síntots: ± Gráfico: Hipérol Equiláter. Cundo un hipérol tiene recie el nomre de hipérol equiláter; el rectángulo fundmentl es un cudrdo ls síntots son perpendiculres entre sí. Si l ecución es: ; es decir: ; con síntots:

62 Ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots. Cundo se trt de l hipérol equiláter, result de utilidd referir l ecución sus síntots, tomds como nuevo sistem de referenci. Pr ello, result imprescindile hcer uso de ls: Fórmuls de rotción: Los dos sistems de referenci tienen origen común O; l rotción de vlor ϕ es rígid, es decir, se conserv el ángulo entre los ejes. Ls coordends del punto P son ( ; )con respecto l sistem rotdo (; ) con respecto l sistem de ejes horizontl verticl. ϕ R Q ϕ O ϕ T S Vlen entonces: OT OS - TS TP TR RP NP OQ PQ OS OQ cos ϕ cos ϕ TS RQ PQ sen ϕ sen ϕ resultndo: cos ϕ - sen ϕ TR QS OQ sen ϕ sen ϕ

63 RP PQ cos ϕ cos ϕ resultndo: sen ϕ cos ϕ Fórmuls de rotción: cosϕ senϕ cosϕ senϕ Teniendo en cuent l ecución de l hipérol equiláter: ( ); ls fórmuls de trnsformción por rotción el ángulo ϕ 5º. cos 5º sen5º cos 5º sen5º

64 o se: o tmién ) ( ) ( reemplzndo en ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) hciendo K K

65 síntots. Ecución de l hipérol equiláter referid sus Reemplzndo e por e l ecución de l hipérol equiláter es k k k Si: k > 0 e ; son de igul signo Si: k < 0 e ; son de igul signo

66 Ecución de l hipérol referid un sistem de ejes prlelos desplzdos (sin rotr). L ecución de l hipérol referid l sistem es : Utilizndo ls fórmuls de trslción de ejes: : α β α result: : ( ) ( ) cuo centro es el punto ( ) β que corresponde l ecución de l hipérol C α;β cuo eje focl es prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje, su ecución es: ( β ) ( α )

67 Ejemplos:. Representr gráficmente l cónic de ecución: ( ) ( ) 9 Coordends del centro: ( α ; β ) ( ; ) Eje focl: F F A 9 ( ; ); A ( 5; ) focos son ( ;0). Hllr l ecución de l hipérol cuos ;. ( ; 6) ; con un etremo del eje conjugdo en ( ) De cuerdo con los dtos: F F β Responde l ecución: ( ) ( ) α

68 El centro es punto medio del segmento que une los focos ( ) ( ) ;, β α 8 8 c c Ecución: ( ) ( ) 8

69

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS

CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.

Más detalles

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2

6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2 UNIDAD 6: GEOMETRIA ANALÍTICA 6. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Un sistem de coordends rectngulres divide l plno en cutro cudrntes por medio de dos rects perpendiculres que se cortn en el punto O.

Más detalles

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1

el blog de mate de aida: MATE I. Cónicas pág. 1 el blog de mte de id: MATE I. Cónics pág. 1 SECCIONES CÓNICAS Un superficie cónic se obtiene l girr un rect g (llmd genertriz), lrededor de otr rect e, llmd eje de giro, l que cort en un punto V (vértice).

Más detalles

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio. Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE

LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE 1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd

Más detalles

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág.

HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág. HIPÉRBOLA. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l diferenci de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos.

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

TALLER VERTICAL 4 DE MATEMÁTICA ARRARAS - MARAÑON DI LEO Cónicas y Cuádicas LAS CÓNICAS.

TALLER VERTICAL 4 DE MATEMÁTICA ARRARAS - MARAÑON DI LEO Cónicas y Cuádicas LAS CÓNICAS. Cónics Cuádics SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. LAS CÓNICAS. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersectndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno. L superficie cónic se otiene

Más detalles

TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas

TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo =. r 360º = Rd = 400 G º = R = G 360º 400 G Longitud de l Circunferenci C =. rdio Áre de Anillo o Coron Circulr

Más detalles

y ) = 0; que resulta ser la

y ) = 0; que resulta ser la º BT Mt I CNS CÓNICAS Lugr geométrico.- Es el conjunto de los puntos que verificn un determind propiedd p. Considermos un determindo sistem de referenci crtesino del plno. Diremos que l ecución f(x,)=0

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TEMA 1: CURVAS TEMA 1: CURVAS 1. CÓNICAS * Prábols * Elipses * Hipérbols * Ecución Generl de un cónic. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA 3. COORDENADAS POLARES EN EL PLANO *

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Página 1. JTP Ing. Viviana CAPPELLO Tutores educación de distancia: Ing. Chong Arias Ing. Cappello LAS CÓNICAS.

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Página 1. JTP Ing. Viviana CAPPELLO Tutores educación de distancia: Ing. Chong Arias Ing. Cappello LAS CÓNICAS. TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin LAS CÓNICAS. SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersectndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno.

Más detalles

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS Chí, Octubre de 015 Señores Estudintes grdos Décimos Adjunto encontrrán ls definiciones y los ejercicios que deben relizr de los dos tems pendientes pr l evlución

Más detalles

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas

= α G. TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas. Funciones Trigonométricas TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo = π. r 360º = πrd = 400 G α º = α R = α G 360º π 400 G C = π. rdio Longitud de l Circunferenci Áre de Anillo

Más detalles

SEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

SEPTIEMBRE  ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 6:CÓNICAS 1º BACHILLERATO ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN... 1.1. SUPERFICIE CÓNICA... 1.. CURVAS CÓNICAS... 5. CIRCUNFERENCIA... 6.1. ECUACIÓN COMPLETA DE UNA CIRCUNFERENCIA... 6.1.1.

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno

Más detalles

CÓNICAS. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. centro de la circunferencia.

CÓNICAS. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. centro de la circunferencia. CÓNICAS CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón L circunferenci, l elipse, l hipérol y l práol se conocen como cónics deido que se pueden otener l cortr un superficie cónic de revolución por un plno que no pse por su

Más detalles

vectores Componentes de un vector

vectores Componentes de un vector Vectores Un vector es un segmento orientdo. Está formdo por se representn: - con un flech encim v - en un eje de coordends - el módulo: es l longitud del origen l extremo - l dirección: es l rect que contiene

Más detalles

MATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002

MATEMÁTICAS (II) JUNIO 2002 MTEMÁTICS (II) JUNIO El emen present dos opciones, B. El lumno deberá elegir UN Y SÓLO UN de ells resolver los cutro ejercicios de que const. No se permite el usó de clculdors con cpcidd de representción

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA PÁGINA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Ls ecuciones 0 de primer grdo en dos vribles pueden tener un o más ríces comunes pr encontrrls, conformmos lo que se denomin un SISTEMA

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos

Más detalles

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA. Capítulo SISTEMA DE COORDENADAS. Demostrar que los puntos A = ( 0,1) son los vértices de un cuadrado. PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Cpítulo SISTEMA DE COORDENADAS Demostrr que los puntos A ( 0,) B (,5) ; C ( 7,) D (, ) son los vértices de un cudrdo. Solución AB 9 6 5 5 BC 6 9 5 5 AD 9 6 5 5 CD

Más detalles

Material Docente Nº Vectores

Material Docente Nº Vectores Universidd de Sntigo de Chile Fcultd de Ciencis Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic º Semestre 04 Mteril Docente Asigntur: Clculo II Profesor: H. Crreño G Mteril Docente Nº.0. Vectores Los científicos

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles no vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si

Más detalles

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas

Tema 10: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas Tem : Integrl definid. Aplicciones l cálculo de áres. Introducción Ls integrles nos vn permitir clculr áres de figurs no geométrics. En nuestro cso, nos limitremos clculr el áre jo un curv y el áre encerrd

Más detalles

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza.

Secciones cónicas CONO. Un cono es la superficie que se obtiene girando una recta alrededor de un eje que la cruza. Secciones cónics Un cono es l superficie que se obtiene girndo un rect lrededor de un eje que l cruz. Un sección cónic es l curv que se obtiene intersectndo un cono con un plno. CONO Los griegos comenzron

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA

AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA Alonso Fernández Glián 1. EL TEOREMA DEL SENO AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA 1.1. OTRA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO 1.. MEDIDA DE UN ÁNGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA 1.3. UN COROLARIO DEL TEOREMA

Más detalles

PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a

PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a Sint Gspr College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formndo Persons Íntegrs Deprtmento de Mtemátic RESUMEN PSU MATEMATICA GUÍA NÚMERO 9 ECUACIONES: () Un ecución es un iguldd condiciond en l que plicndo

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd

Más detalles

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución

Más detalles

Funciones trascendentes

Funciones trascendentes Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte

Más detalles

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. Oscar Cardona Villegas Héctor Escobar Cadavid

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. Oscar Cardona Villegas Héctor Escobar Cadavid CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Oscr Crdon Villegs Héctor Escobr Cdvid UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA ESCUELA DE INGENIERÍAS 016 1 MÓDULO 5 LAS LÍNEAS CÓNICAS EN EL PLANO 5.1 GENERALIDADES DE LAS CÓNICAS

Más detalles

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma (, y) gráfica determina una recta.

Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones de la forma (, y) gráfica determina una recta. Fcultd de Contdurí y Administrción. UNAM Sistems de ecuciones Autor: Dr. José Mnuel Becerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Un ecución linel con dos incógnits x

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL

OLCOMA II Eliminatoria 2012 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL OLCOMA II Elimintori 0 Nivel C XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UNA- UNED- UCR- ITCR- MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL FECHA: 7 de gosto, 0 SOLUCIONARIO NIVEL C ( - ) OLCOMA II Elimintori

Más detalles

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 )

Calcular la pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados de una recta. y (x,y) (x 2,y 2) (x 1,y 1 ) Clse 1: Ecución de l rect Determinr l pendiente del segmento de rect que une dos puntos. Comprender ls distints representciones lgerics de l ecución de l rect. Determinr un ecución pr un rect ddos dos

Más detalles

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES

Más detalles

Para 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z.

Para 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z. letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Contcto: letos@telefonicnet ρ(z) V En el espcio vcío entre dos plcs conductors plns, y, de grn extensión, seprds un distnci, hy un estrto de crg de espesor, con un densidd

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,

Más detalles

Trigonometría. Prof. María Peiró

Trigonometría. Prof. María Peiró Trigonometrí Prof. Mrí Peiró Trigonometri Funciones Trigonométrics Ls funciones trigonométrics son rzones o cocientes entre dos ldos de un triángulo rectángulo. Hy seis funciones trigonométrics: Directs

Más detalles

f x dx F(x) b = F(b) F(a) De esta manera se define la Integral definida 14. Propiedades de la integral definida

f x dx F(x) b = F(b) F(a) De esta manera se define la Integral definida 14. Propiedades de la integral definida Sugerencis pr quien imprte el curso Anteriormente se clculron lguns áres emplendo solmente fórmuls de l geometrí pln pr otener áres de triángulos, rectángulos y trpecios; Se utilizó tmién l proimción numéric.

Más detalles

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre ) Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola

Circunferencia Parábola Elipse Hipérbola INTRODUCCIÓN: UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA Prof. Esther Morles (009) 1 Ls figurs

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen LA ELIPSE CONTENIDO. Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Ldo recto 3. Ecentricidd de l elipse 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen 4. Ejercicios

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

3. ÁLGEBRA VECTORIAL

3. ÁLGEBRA VECTORIAL 3. ÁLGEBRA VECTORIAL Ojetivo: El lumno plicrá el álger vectoril en l resolución de prolems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3.2 Cntiddes esclres y cntiddes

Más detalles

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS.

TEMA 0: CONCEPTOS BÁSICOS. TEMA : CONCEPTOS BÁSICOS.. Intervlos:. Intervlos. 2. Propieddes de ls potencis.. Propieddes de los rdicles. Operciones con rdicles. Rcionlizción. 4. Conceptos de un polinomio. Fctorizción de polinomios..

Más detalles

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. LA ELIPSE DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., los focos están representdos por los puntos y f.

Más detalles

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro)

UNIDAD 6.- Integrales Definidas. Aplicaciones (tema 15 del libro) UNIDAD 6.- Integrles Definids. Aplicciones (tem 5 del liro). ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como

Más detalles

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2

Guía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2 Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Igualación y Sustitución

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Igualación y Sustitución INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0

Más detalles

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1

Integral definida. Áreas MATEMÁTICAS II 1 Integrl definid. Áres MATEMÁTICAS II APROXIMACIÓN AL VALOR DEL ÁREA BAJO UNA CURVA L integrl definid está históricmente relciond con el prolem de definir y clculr el áre de figurs plns. En geometrí se

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión pr orientr el prendizje) Cpítulo I Funciones INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos de myor importnci y trscendenci en ls mtemátics es el de función, que constituye un herrmient fundmentl

Más detalles

MATEMÁTICAS I: 1º BACHILLERATO Capítulo 2: Álgebra

MATEMÁTICAS I: 1º BACHILLERATO Capítulo 2: Álgebra MATEMÁTICAS I: º BACHILLERATO Cpítulo : Álger LirosMreVerde.tk www.puntesmreverde.org.es Autores: José Antonio Enco de Lucs y Edurdo Cuchillo Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

Más detalles

( ) INTRODUCCIÓN. SECCIONES CÓNICAS. Se denominan SECCIÓN CÓNICA a la curva intersección de un plano con un cono. CONICAS.

( ) INTRODUCCIÓN. SECCIONES CÓNICAS. Se denominan SECCIÓN CÓNICA a la curva intersección de un plano con un cono. CONICAS. INTRODUCCIÓN. L primer definición de sección cónic (de un cono circulr recto) preció en l civilizción Grieg. Apolonio de Perg (siglo II. C.) efectuó estudios mtemáticos sore ls secciones cónics, de los

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

Módulo 12 La División

Módulo 12 La División Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Apuntes de A. Cabañó Matemáticas II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES puntes de. Cbñó Mtemátics II SISTEMS DE ECUCIONES LINELES 8. Epresión mtricil de un sistem.clsificción de un sistem en términos del número de soluciones. 8. Teorem de RouchéFrobenius. 8. El método de eliminción

Más detalles

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a  El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Este documento es de distriución grtuit y lleg grcis Cienci temátic www.ciencimtemtic.com El myor portl de recursos eductivos tu servicio! www.ciencimtemtic.com ATRICES Definición: Un mtriz A, es un rreglo

Más detalles

. Triángulos: clasificación

. Triángulos: clasificación . Triángulos: clsificción Propieddes básics importntes En todo tringulo se verific: 1.- l sum de los ángulos interiores es 180º 2.- l sum de los ángulos exteriores es 360º 3.-un Angulo exterior es siempre

Más detalles

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)

Portal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000) Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

UNIDAD IV ÁLGEBRA MATRICIAL

UNIDAD IV ÁLGEBRA MATRICIAL Vicerrectordo cdémico Fcultd de iencis dministrtivs Licencitur en dministrción Mención Gerenci y Mercdeo Unidd urriculr: Mtemátic II UNIDD IV ÁLGER MTRIIL Elordo por: Ing. Ronny ltuve, Esp. iudd Ojed,

Más detalles

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. www.colegiosntcruzrioueno.cl Deprtmento de Mtemátic GUIA DE MATEMATICA Unidd: Álger en R Contenidos: - Conceptos lgericos ásicos - Operciones con epresiones lgerics - Vlorción de epresiones lgerics - Notción

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

Definición Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como: Definición Un sistem de m ecuciones con n incógnits es un conjunto de ecuciones como: m ecuciones b b n n n n b m m m mn n m n incógnits términos independientes incógnits Coeficientes del sistem Epresión

Más detalles