3 E.M. ALGEBRA. Curso: ECUACION DE LA ElIPSE. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Eje Temático: SECCIONES CONICAS

Transcripción

1 Colegio SSCC Concepción - Depto. de Mtemátics Eje Temático: SECCIONES CONICAS Unidd de Aprendizje: Ecución de l Elipse Cpciddes/Destrez/Hbiliddes: Resolver/Construir/ Decidir/Anlizr/ Identificr/ Verificr Curso: 3 E.M. ALGEBRA Vlores/ Actitudes: Respeto/Persevernci, rigor, flexibilidd y originlidd l resolver problems mtemáticos. Aprendizjes esperdos: trnsformn expresiones lgebrics rcionles, opern con ells y resuelven ecuciones que ls involucrn, plicndo recursos como fctorizción, simplificción y rcionlizción. Guí N 6 Recursos TICs: Relizción y revisión de ejercicios por medio de proyector Evlución de proceso: Corrección de tres, interrogciones orles, trbjo en clses, test. Tiempo: 3 bloques. Unidd: ECUACION DE LA ElIPSE Nombre: CURSO: 1

2 L Elipse DEFINICIÓN. Elipse es el lugr geométrico de los puntos cuy sum de distnci dos puntos fijos es constnte. Los puntos fijos se llmn focos. Sen los dos puntos fijos F(c, 0) y F (-c, 0) y l sum constnte, ( > c). Consideremos un punto genérico P(x, y) que pertenezc l lugr. Por definición, F P + PF = Es decir, O bien, (x c) (y 0) (x c) (y 0), ( x c) (y 0) (x c) (y 0) Elevndo l cudrdo y reduciendo términos semejntes, cx (x c) (y 0) Elevndo l cudrdo y simplificndo, ( c )x y ( c ) Dividiendo por ( c ) se obtiene l ecución 1 c Como > c, c es positivo. Hciendo ecución de l elipse en l form x y 1 O bien, b b x y b c b, result l Como est ecución solo contiene potencis pres de x e y, l curv es simétric con respecto los ejes de coordends x e y, y con respecto l origen. El punto O es el centro de l elipse y los ejes se denominn eje myor y eje menor. Si los focos fuern los puntos de coordends (0, c) y (0, -c), el eje myor estrí sobre el eje y, con lo que l ecución result de l form 1. b

3 Finlmente, un medid interesnte es l llmd excentricidd, denotd por l letr e. Excéntrico en este cso signific fuer del centro. Se refiere qué tn lejos del centro de l elipse se encuentrn los focos en proporción l tmño de dich elipse. Pr comprender mejor este concepto bst drse cuent que en un elipse mientrs más se lejen los focos del centro, l form de dich elipse es más lrgd conforme los focos se cercn l centro, es decir, conforme el vlor de c se hce más pequeño, l elipse se proxim un circunferenci; y finlmente, cundo los focos coinciden con el centro, o se que, l elipse se convierte en un circunferenci. c b L excentricidd e,o bien c e. Como l elipse tiene dos focos, tmbién tendrá dos directrices. Ls ecuciones de ls directrices D y D son, respectivmente, x 0 e y x 0 e Si los focos estuviern sobre el eje y, ls ecuciones de ls directrices serín y 0 e y y 0 e Se denomin ltus rectum de l elipse l cuerd perpendiculr l eje b myor por uno de los focos. Su longitud es. Los puntos en los cules l elipse cort l eje myor se llmn vértices. Si el centro de l elipse es el punto (h, k) y el eje myor tiene l dirección del eje x, l ecución de l elipse es de l form (x h) (y k) b 1 (x h) (y k) O bien, 1 si el eje myor fuer prlelo l eje y. En culquier b cso, l form generl de l ecución de l elipse es Ax By Dx Ey F 0 Siempre que A y B sen del mismo signo. 3

4 Problems: 1. Dd l elipse 9x 16y 576, hllr el semieje myor, el semieje menor, l excentricidd, ls coordends de los focos, ls ecuciones de ls directrices y l longitud del ltus rectum.. Hllr l ecución de l elipse de centro el origen, foco en el punto (0, 3)y semieje myor igul 5. R: Hllr l ecución de l elipse de centro el origen, eje myor sobre el eje que pse por los puntos (4, 3) y (6, ). R: Hllr l ecución del lugr geométrico de los puntos cuy distnci l punto (4, 0) es igul l mitd de l correspondiente l rect x R: 3x 4y Se consider un segmento AB de 1 uniddes de longitud y un punto P(x, y) situdo sobre él 8 uniddes de A. Hllr el lugr geométrico de P cundo el segmento se desplce de form que los puntos A y B se poyen constntemente sobre los ejes de coordends y y x respectivmente. 6. Hllr l ecución del lugr geométrico de los puntos P(x, y) cuy sum de distncis los puntos fijos (4, ) y (-, ) se igul 8. R: 7x 16y 14x 64y Dd l elipse de ecución 4x 9y 48x 7y 144 0, hllr su centro, semiejes, vértices y focos. 8. Un rco tiene form de semielipse con un luz de 150 metros siendo su máxim ltur de 45 metros. Hllr l longitud de dos soportes verticles situdos cd uno igul distnci del extremo del rco. R: y 30 metros. 4

5 9. L Tierr describe un tryectori elíptic lrededor del Sol que se encuentr en uno de los focos. Sbiendo que el semieje myor de l elipse vle 1,485 x 10 8 kilómetros y que l excentricidd proximdmente, 1/6, hllr l máxim y l mínim distncis de l Tierr l Sol. 8 R: L máxim distnci es c 1,509x10 km. 8 L mínim distnci es c 1,461x10 km. 10. Hllr l ecución de l elipse de centro (1, ), uno de los focos (6, ) y que pse por el punto (4, 6). (x 1) (y ) R: Hllr l ecución de l ecución de l elipse de centro (-1, -1), uno de los vértices el punto (5, -1) y excentricidd e. 3 (x 1) (y 1) R: Hllr l ecución de l elipse cuy directriz es l rect x = -1, uno de los focos el punto (4, -3) y excentricidd /3. (x 8) (y 3) R: Hllr el lugr geométrico de los puntos P(x, y) cuyo producto de ls pendientes de ls rects que unen P(x, y) con los puntos fijos (3, -) y (-,1) es igul -6. R: 6x y y 6x Hllr l ecución de l elipse de focos ( 0, 4) y que pse por el punto 1,3. 5 R: Hllr l ecución de l elipse que ps por los puntos (-6, 4), (-8, 1), (, -4) y (8, -3) y cuyos ejes son prlelos los de coordends. 5

6 (x ) (y 1) R: En un elipse, los rdios focles son ls rects que unen los focos con un punto culquier de ell. Hllr ls ecuciones de los rdios focles correspondientes l punto (, 3) de l elipse 3x 4y 48. Problems propuestos. 1. En cd un de ls elipses siguientes hllr ) l longitud del semieje myor, b) l longitud del semieje menor, c) ls coordends de los focos, d) l excentricidd. (1) () (3) 5x 89y Hllr ls ecuciones de ls elipses siguientes de form que stisfgn ls condiciones que se indicn. (1) Focos ( 4,0), vértices ( 5,0) () Focos ( 0, 8), vértices ( 0, 17) (3) Longitud del ltus rectum = 5, vértices ( 10,0) (4) Focos ( 0, 6), semieje menor = 8 5 (5) Focos ( 5,0), excentricidd = 8 6

7 3. Hllr l ecución de l elipse de centro el origen, focos en el eje x, y que pse por los puntos 4 5 ( 3, 3) y 4, 3 4. Hllr l ecución de l elipse de centro el origen, semieje myor de 4 uniddes de longitud sobre el eje y, y l longitud del ltus rectum igul 9/. 5. Hllr el lugr geométrico de los puntos P(x, y) cuy sum de distncis los puntos fijos (3, 1) y (-5, 1) se igul 10. Qué curv represent dicho lugr? 6. Hllr el lugr geométrico de los puntos P(x, y) cuy sum de distncis los puntos fijos (, -3) y (, 7) se igul Hllr el lugr geométrico de los puntos cuy distnci l punto fijo (3, ) se l mitd de l correspondiente l rect x 0. Qué curv represent dicho lugr? 8. Dd l elipse de ecución 9x 16y 36x 96y 36 0, hllr ) ls coordends del centro, b) el semieje myor, c) el semieje menor, d) los focos y e) l longitud del ltus rectum. 9. Hllr l ecución de l elipse de centro (4, -1), uno de los focos en (1, -1) y que pse por el punto (8, 0). 10. Hllr l ecución de l elipse de centro (3, 1), uno de los vértices en (3, -) y excentricidd e= 1/ Hllr l ecución de l elipse uno de cuyos focos es el punto (-1-1), directriz x = 0 y excentricidd e. 1. Un punto P(x, y) se mueve de form que el producto de ls pendientes de ls dos rects que unen P con los dos puntos fijos (-, 1) y (6, 5) es constnte e igul -4. Demostrr que dicho lugr es un elipse y hllr su centro. 13. Un segmento AB, de 18 uniddes de longitud, se mueve de form que A está siempre sobre el eje y y B sobre el eje x. Hllr el lugr geométrico de los puntos P(x, y) sbiendo que P pertenece l segmento AB y está situdo 6 uniddes de B. 14. Un rco de 80 metros de luz tiene form semielíptic. Sbiendo que su ltur es de 30 metros, hllr l ltur del rco situdo 15 metros del centro. 15. L órbit de l Tierr es un elipse en uno de cuyos focos está el Sol. Sbiendo que el semieje myor de l elipse es 148,5 millones de kilómetros y que l excentricidd vle 0,017, hllr l máxim y l mínim distncis de l Tierr l Sol 7

8 16. Hllr l ecución de l elipse de focos ( 8,0) y que ps por el punto (8, 18/5) 17. Hllr el lugr geométrico de los puntos que dividen ls ordends de los puntos de l circunferenci x y Hllr ls ecuciones de los rdios focles correspondientes l punto (1, -1) de l elipse x 5y x 0y Hllr l ecución de l elipse que ps por los puntos (0, 1), (1,-1), (, ), (4, 0) y cuyos ejes son prlelos los de coordends. 8