ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN"

Bernardo Cuenca Macías
hace 7 años
Vistas:

1 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución de un elipse horizontl h k.(1) h k. () 1 Ells se reducen simplemente : ó 1 L mism situción sucede con l elipse verticl, si uicmos su centro en el origen, su ecución se reduce : 1 ó escrit como 1 Ejemplo 1 Encontrr l ecución gráfic de l elipse cuos vértices son V(4,0) V (-4,0), sus focos son los puntos F(,0) F (-,0). Solución: Es conveniente empezr por identificr de qué clse de elipse se trt: horizontl o verticl? De cuerdo l posición de los vértices focos el eje mor es horizontl, por tnto, l elipse es horizontl tiene centro en el origen (punto medio entre los vértices). De los dtos de nuestro ejemplo: = 4; c = ; c ; 4 ; 7 L ecución de l elipse será: Su gráfic se muestr enseguid o Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins

2 Ejemplo Un elipse tiene centro en el origen, uno de sus focos es F(0,) un vértice V(0,). Determinr l ecución, su ecentricidd, ldo recto gráfic. Solución: En este cso se trt de un elipse verticl, =, c=, por lo que Ls coordends del otro foco vértice son F (0, -) V (0, -) L ecución será L ecentricidd es 1 c e o L longitud del ldo recto es Su gráfic es 5 lr.. Ejemplo Dd l ecución de l elipse = 5. Encontrr ls coordends de los vértices, de los focos, l longitud de los ejes mor menor, l ecentricidd, l longitud de los ldos rectos osquejr su gráfic. Solución: Lo primero que deemos hcer es llevr l ecución l form ordinri, es decir igulrl uno. Pr eso l dividimos entre 5: Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins 4 -

3 Simplificndo ls frcciones tenemos: 1, que corresponde un 5 9 elipse horizontl de l form 1. De l que semos sus vértices tienen coordends V(-,0) V (,0), sus focos F-(c,0) F -c,0), longitud del eje mor =, longitud del eje menor =, e c ldo recto =. A continución determinmos el vlor de cd un de ls constntes, c pr est elipse prticulr. = 5; = 5 = 9; = = + c ; Con lo que los vértices son V(-5,0) V (5,0), sus focos F(-4,0) F (4,0), eje mor = 10u, eje menor = 6u, ldo recto = L gráfic puede osquejrse loclizndo en el sistem de coordends crtesins los vértices, focos, los etremos del eje menor. Sore cd foco encontrr los etremos del ldo recto. De est mner tendremos ocho puntos que pueden drnos un ide proimd de l curv, cuidndo de redonder suvemente el trzo, de mner que l curv no teng punts ni quieres ruscos Ejemplo 4 Hgmos el mismo nálisis pr l elipse cu ecución es 4 + =. 4 - Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins

4 Solución: Dividmos l ecución entre 4 Simplificndo ls frcciones tenemos: 1 4 Est ecución corresponde un elipse verticl Semos que pr este tipo de elipse: sus vértices tienen coordends c V(0,) V (0,-), sus focos F(0,c) F (0,-c), eje mor =, eje menor =, e ldo recto =. A continución determinmos el vlor de cd un de ls constntes, c pr est elipse prticulr. = ; = 4 = 4; = 4 1 L gráfic de est elipse se ve sí: Con lo que los vértices son V(0, 4) V (0, - 4), sus focos eje mor = 8u, eje menor = 4u, e= 1 4 ldo recto = u. Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins 4-4

5 1. Uno de sus vértices es el punto (0,6) uno de sus focos está en (0,5).. Uno de sus focos es el punto (4,0) su ecentricidd es e.. Uno de sus vértices es el punto (0,) l longitud de su eje menor es 4 uniddes. 4. Su eje focl está sore el eje Y. Sus ejes mor menor miden 6 5 uniddes respectivmente. Su eje focl está sore el eje X. El eje mor mide 10 uniddes su ldo recto 18 5 Ejercicio Ejercicio 1 Otener l ecución de l elipse con centro en el origen, que cumple ls condiciones dds en cd inciso: Pr cd un de ls siguientes ecuciones de elipses hcer lo que se pide: = = = = 80 ) Llevrl su form ordinri. ) Identificr si se trt de un elipse horizontl o verticl. c) Otener el vlor de ls constntes, c. d) Escriir ls coordends de los vértices de los focos. e) Determinr l longitud de los ejes mor menor. f) Encontrr el vlor de l ecentricidd. g) Clculr l longitud de los ldos rectos, h) Trzr su gráfic. 4-5 Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins

6 Ahor estmos en condiciones de resolver el prolem de l Tierr el Sol En l figur siguiente mostrmos en T 1 l posición más cercn de l Tierr l Sol, l de distnci mínim o perihelio, lcnzd lrededor del 1 de junio, en el solsticio de verno pr el hemisferio Norte. S C T 1 T Con l informción proporciond en el prolem lo que hor semos de l elipse: Longitud del eje mor = = km. Por lo que l distnci del centro culquier de los vértices es = km. 1 c L ecentricidd de l órit es e, de donde 6 es l distnci del centro culquier de los focos. km km. 6 6, recuerd que c L distnci mínim será c = = En T mostrmos l posición más lejd de l Tierr l Sol, l de distnci máim o felio, lcnzd lrededor del de diciemre, en el solsticio de invierno pr el hemisferio Norte. km. L distnci máim será + c = = Ejercicio 1. Oservr l reltivmente pequeñ diferenci entre ls distncis máim mínim de l Tierr l Sol, qué signific eso desde el punto de vist geométrico?. Epresr es diferenci como un porcentje de l distnci medi.. Investigr l informción necesri hcer el mismo cálcu- Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins 4-6

7 lo pedido en el prolem de l Tierr el Sol pr Plutón, en un époc plnet del Sistem Solr más lejdo del Sol, que tiene un órit mu ecéntric. 4-7 Unidd 4 Elipse, Circunferenci sus ecuciones crtesins

Documentos relacionados

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.