GEOMETRÍA ANALÍTICA LA ELIPSE. 1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen. 4. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen

Transcripción

1 LA ELIPSE CONTENIDO. Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Ldo recto 3. Ecentricidd de l elipse 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen 4. Ejercicios 5. Ecución de l elipse horizontl con centro fuer del origen 6. Ecución de l elipse verticl con centro fuer del origen 7. Form generl de ls ecuciones de ls elipses horizontl verticl fuer del origen 8. Posición generl de l elipse su ecución 9. Ejercicios Un elipse es l curv que se otiene interceptndo un cono circulr recto un plno: Si el plno está inclindo no es prlelo un de sus genertrices cort un sol rm del cono, como se ve en l Figur. L genertriz de un superficie cónic es un rect fij en uno de sus puntos con uno de sus etremos descriiendo un circunferenci pln. DEFINICIÓN. Por definición l elipse es el lugr geométrico de todos los puntos de un plno, prticipntes de l propiedd reltiv: que l sum de sus distncis dos puntos fijos llmdos focos es constnte. Los dos puntos son conocidos como focos de l elipse, mientrs que l constnte será representd por, como se ve en l Figur. 6

2 . Ecución de l elipse horizontl con centro en el origen. Oservndo l Figur se tiene: L condición de movimiento del punto M(, ), dd por l definición es: M F M F Constnte... () Aplicndo l fórmul pr determinr l distnci entre dos puntos, se tiene: MF ( c ) MF ( c ) De modo que l sustituir en () qued: ( c ) ( c ) Despejndo l segundo rdicl: ( c ) ( c ) Elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd desrrollndo, tendremos: c c Reduciendo: 4 4 ( c ) c c 4 ( c) 4 4c Dividiendo entre 4, se tiene: ( c) c 6

3 Elevndo l cudrdo mos miemros de l iguldd reduciendo: c c c 4 c 4 c c Fctorizndo: ( c ) ( c )...() Con el fin de trnsformr más todví est ecución, recordemos que en todo triángulo cd ldo es menor que l sum de los otros dos, lo que plicdo l triángulo F MF de nuestr Figur, produce que: M F MF > F F Sustituendo: > c Por tnto: > c Dividiendo entre elevndo l cudrdo: > c > c Rerreglndo: c > 0 L últim desiguldd nos dice, que l diferenci c, es constnte positiv, de tl mner que podemos representrl por, puesto que l letr represent comúnmente un constnte el eponente grntiz que es positiv, o se: c Por lo tnto, l ecución () de l elipse se trnsform en:...(i) Cu ecución tmién puede epresrse en l siguiente form llmd simétric o norml, l cul se otiene dividiendo mos miemros entre : 63

4 Simplificndo:...(I').. Análisis de l ecución: Previmente despejremos ls dos vriles, de (I): Pr l vrile tenemos Por tnto: ( ) ( ) ±...(3) De l mism form: Pr l vrile se tiene: Por tnto: ( ) ( ) ±...(4) Ahor procederemos efectur el nálisis: Primero L ecución (3) permite ver que l elipse es simétric con relción l eje de ls sciss, porque pr cd vlor de, se otienen dos vlores de igules con signos contrrios. Análogmente, l ecución (4) demuestr que tmién h simetrí con relción l eje de ls ordends. Consecuentemente con esto el origen es centro de simetrí. Segundo Si en l ecución (4) hcemos 0, result: ±, de modo que los puntos de intersección de l curv con el eje de ls sciss son: A (,0) A (,0) Si en l ecución (3) hcemos 0, result: ±, de tl mner que ls intersecciones con el eje de ls ordends son: 64

5 B ( 0, ) B ( 0, ) Tercero Curto L ecución (3) permite ver que solmente puede vrir desde hst porque fuer de estos vlores los de resultn imginrios. Del mismo modo, l ecución (4) justific que únicmente pued vrir desde hst. En síntesis, l elipse nd más eiste dentro del rectángulo que prece en nuestr Figur 3. L curv es cerrd, lo que se deduce no solmente como consecuenci de l simetrí totl eistente, sino porque demás, semos que eiste sin interrupción dentro del rectángulo ntes citdo tmién porque tiene que psr por los puntos A, B, A B. En conclusión l elipse tiene proimdmente l form que se muestr en l Figur 3. Se dice que ést es un elipse horizontl, con centro en el origen, cuos elementos principles son los siguientes: Vértices: A A Distnci Focl: F F c Eje mor o eje focl: A A Focos: F F Eje menor: B B Centro: C Ldo Recto: Q Q En l Figur 3 se ve que c son los ctetos de un triángulo rectángulo cu hipotenus es ; por lo que: c, según el teorem de Pitágors. Est es un fórmul que se us en l resolución de prolems, pr encontrr l ecución de l elipse.. Ldo recto. El llmdo Ancho Focl o Ltus Rectum de l elipse es l mgnitud del segmento de rect Q' Q perpendiculr l eje mor que ps por los focos, si los etremos de dicho segmento son puntos de l curv, ver Figur 3, se deduce simultnendo l ecución c, con l ecución (3) de l curv: ± ± c ± ± 65

6 Vlor que corresponde l mitd del ldo recto. Entonces l fórmul pr l longitud del ldo recto es dos veces este vlor: Es decir que: L.R. Ancho focl 3. Ecentricidd de l elipse. Este es un concepto del cul depende l mor o menor deformción que pued eperimentr un circunferenci pr producir un elipse. L ecentricidd que se represent con l letr e, se define como el cociente de l semidistnci focl c entre el semieje mor. Entonces podemos epresrl como: Ecentrici dd e c Precismente veremos que l ecentricidd dee ser culquier número mor que cero pero menor que uno. Es decir: > e > 0. En efecto, si e0 forzosmente c0 de l fórmul c se deduce que, en cuo cso l curv es un circunferenci, l que puede ser considerd como un cso prticulr de elipse con ecentricidd nul. Ahor, si e es evidente que c de l propi fórmul c result: 0, en cuo cso l deformción h sido totl, de tl mner que l curv se h convertido en líne rect. En consecuenci: > e > 0 Ejemplo. Determinr l longitud del eje mor del eje menor, ls coordends de los focos de los vértices hcer l gráfic de l elipse dd por l ecución: SOLUCIÓN Dividiendo mos miemros de l ecución entre 44 simplificndo:

7 Como >, entonces: 6 9; por lo que: 4 3. L elipse intercept los ejes de coordends en: A (4,0), A (4,0), B (0,3) B (0,3). Además: Eje mor 8 Eje menor 6 Se se que: c, por lo que c Por tnto: c ± 7. Finlmente, ls coordends de los focos son: F ( 7, 0 ) F ( 7, 0 ) L Figur 4 muestr gráficmente los resultdos otenidos. 4. Ecución de l elipse verticl con centro en el origen. Primer método Si el centro de l elipse coincide con el origen del sistem de ejes de coordends los focos están en el eje, con coordends F (0,c) F (0,c), como se muestr en l Figur 5: Siendo M un punto culquier plicndo l definición de l elipse tenemos: L definición de l elipse 67

8 nos dice que: MF MF () Donde: MF MF ( c ) ( c ) Sustituendo en (): ( c) ( c) Despejndo el primer rdicl: ( c ) ( c ) Elevndo l cudrdo mos miemros de l ecución, desrrollndo simplificndo: 4 ( c ) c c ( c ) ( c ) ( ( c ) ) c 4 c ( c ) c c Elevndo l cudrdo, desrrollndo simplificdo nuevmente: [ ( c ) ] ( c c ) ( c 4 ( c ) c c c ) 4 c c Como se vio c. Sustituendo dividiendo entre : Simplificndo:...(II) Que es l ecución común de l elipse verticl con centro en el origen. 68

9 Hciendo 0 en l ecución, determinmos que l curv intercept l eje en los puntos: A (0,) A (0,) Hciendo 0, l curv intercept l eje de ls en los puntos B (,0) B (,0). L longitud del ldo recto sigue siendo: L. R. e c L ecentricidd tmién es: Segundo método. Pr que otengmos l ecución correspondiente, considerremos primero que pr el cso conocido, l ecución, de cuerdo con l Figur 6, puede epresrse de l siguiente mner: Q M R M En donde h que tomr en cuent que QM RM, son ls distncis desde un punto M culquier de l curv hst sus ejes de simetrí, en tnto son los semiejes prlelos ess distncis. Por lo tnto, plicndo dichos conceptos pr el cso de l elipse verticl con centro en el origen, tenemos, según l Figur 7: (Q M) (R M) Según l Figur 7, tenemos que: Q M ; R M Sustituendo nos qued: (II) Que es l mism ecución de l elipse verticl con centro en el origen vist. 69

10 4. Ejercicios. Determinr l longitud del eje mor del eje menor, ls coordends de los focos hcer l gráfic de l curv definid por l ecución: SOLUCIÓN Dividiendo mos miemros de l ecución entre 00 simplificndo, se tiene: Por lo que: Que corresponde un elipse verticl. Por lo tnto como >, se tiene que 5 4. Resultndo que: 5. De cuerdo esto, l elipse intercept los ejes de coordends en los puntos: A (0,5), A (0,5), B (,0) B (,0). Eje mor 0 Eje menor 4 Por otr prte si c, entonces c. Sustituendo los vlores: c 5 4 Etrendo ríz cudrd mos miemros: c. En consecuenci ls coordends de los focos son: F ( 0, ) F ( 0, ) L Figur 8 muestr gráficmente los resultdos otenidos.. Encontrr l ecución de l elipse que tiene su centro en el origen, con un vértice A (0,5) un foco F (0,3) SOLUCIÓN Según dtos del enuncido, l form de l ecución es l dd por l fórmul (II) Semos 60

11 que 5 que c 3, por lo que deemos clculr el vlor de. Como c, entonces Sustituendo en l ecución de l curv: 6 5 Que es l ecución uscd. 5. Ecución de l elipse horizontl con centro fuer del origen. Primer método Su ecución puede determinrse por el método usdo en los csos nteriores, pero como es demsido lorioso, nos vldremos de ls ecuciones de trnslción prlel de ejes, con el propósito de simplificr este procedimiento. L elipse con centro C(h, k) con su eje mor prlelo l eje de ls, como se ve en l Figur 9. Hemos construido un nuevo sistem de coordends '', cuo origen coincide con C(h, k) sus ejes son prlelos los ejes originles. Con referenci l nuevo sistem de coordends, l ecución de l elipse es: Como h ; k nos representn ls ecuciones de trnslción prlel de los ejes, ls plicremos. Entonces h k, efectundo l sustitución, tenemos: ( h ) ( k )...(III) Que es l ecución de l elipse horizontl con centro fuer del origen de coordends. Ls coordends de los vértices, focos etremos del eje menor (B B ), se determinn prtir del centro de l elipse, un vez conocidos los vlores de, c. L longitud del ldo recto sigue siendo L.R. c l ecentricidd e. 6

12 Segundo método. Nos poremos en l Figur 0: Tomndo en considerción el significdo de los segmentos QM RM epresdos considerdos nteriormente se tiene, tmién pr este cso que: ( QM) (RM) Nd más que de cuerdo l figur nterior: QM NM NQ h RM SM SR k Sustituendo en l epresión nterior, otendremos l mism ecución que hemos otenido por el primer método: Es decir: ( h) ( k )...(III) Ejemplo: Determinr l ecución de l elipse que tiene por vértices A (0,6), A (0,6) el ldo recto es 0. SOLUCIÓN Como el centro es el punto medio del segmento centro son: C(0, 6) Y que 0. A A, result que ls coordends del El eje mor es horizontl, por lo que l form de l ecución est dd por l fórmul (III). Flt por conocer, l cul se determin prtir del L. R., es decir: L.R. 0 Sustituendo el vlor de despejndo : 0 0 6

13 00 50 Finlmente, sustituendo en l fórmul (III), se otiene: ( 0 ) 00 ( 6 ) 50 Que es l ecución pedid. 6. Ecución de l elipse verticl con centro fuer del origen. Primer método. L elipse verticl con centro fuer del origen tiene su eje mor prlelo l eje, como se represent en l Figur. Usndo el método nterior tenemos: Con referenci l nuevo sistem de coordends: Pero hemos visto que: h. k. Por tnto Por tnto : : h k Sustituendo, se tiene l ecución de l elipse verticl con centro fuer del origen: ( h ) Segundo método. ( k )... (IV) Considerndo l Figur por nlogí l ecución es: Tomndo en considerción; el significdo de los segmentos QM RM (QM) (RM) () 63

14 tiene: Donde oservndo l figur se QM MN NQ h RM MS SR k Sustituendo en (), otenemos l mism fórmul por este método. ( h ) ( k ) (IV) Como lo demostrremos enseguid en culquier de ests dos últims ecuciones puede epresrse en l siguiente form generl: A C D E F 0... (V) Que se reconoce como representtiv de un elipse con sus ejes de simetrí prlelos los ejes de coordends porque los coeficientes de son desigules del mismo signo. 7. Form generl de ls ecuciones de ls elipses horizontl verticl con centro fuer del origen. Pr otener l form generl de l ecución de l elipse, desrrollmos, ls ecuciones conocids en su form común. En el cso de l elipse horizontl tenemos que su ecución es: ( h ) ( k) Hciendo ls operciones tenemos: ( h ) ( k ) Multiplicndo por : ( h) ( k) Desrrollndo: ( h h ( k k ) 64

15 Quitndo préntesis: h h k k Ordenndo: h k h k 0 Comprndo con l ecución generl de ls cónics: A B C D E F 0 Vemos que: B 0 D h A E k C F h k Según esto l ecución generl de l elipse horizontl es: A C D E F 0... (V) Por otr prte pr l form generl de l ecución de l elipse verticl procedemos de l mism mner. Desrrollmos l ecución: ( h ) ( k ) Hciendo ls operciones correspondientes: ( h ) ( k ) Multiplicndo por : ( h) ( k) Desrrollndo los inomios: ( h h ) ( k k ) Quitndo préntesis: h h k k 65

16 Ordenndo: h k h k 0 Comprndo con l ecución generl de ls cónics, tenemos que: A B C D E F 0 A D h B 0 E k C F h k Por lo que l ecución generl de l elipse verticl nos qued: A C D E F 0... (V) 8. Posición generl de l elipse su ecución. Por lo estlecido de cuerdo l Figur 3 tenemos: (Q M) (R M) Nd más que en este cso, si plicmos l fórmul de l distnci de un punto un rect dd, se tiene que: m QM m m ; RM m Sustituendo en l epresión nterior nos qued que l ecución es: ( m m ) ( m m )... (VI) Tmién est ecución, como consecuenci de ls trnsformciones del cso, puede epresrse en l siguiente form generl. A B C D E F 0 66

17 9. Ejercicios. Los focos de un elipse son los puntos F (,0) F (,0); l longitud de su eje menor es. Otener su ecución. SOLUCIÓN Según el enuncido l ecución es de l form: De cuerdo con los dtos, se tiene: Eje menor B B. Por tnto: Además, de cuerdo con ls coordends de los focos: c De l epresión c, se deduce que: c. Por tnto : ± Así que l ecución de l elipse es: En donde sus vértices son: A (, 0 ) ; A (, 0 ) l ecentricidd: e c L Figur 4 muestr gráficmente los resultdos otenidos.. Determinr ls longitudes de los ejes, ls coordends de los focos l ecentricidd de. l elipse, cu ecución es: SOLUCIÓN Dividiendo l ecución entre 45 simplificdo, se tiene:

18 De l ecución se oserv que: Por tnto: 3 5. Los ejes mor menor están ddos por: Eje mor 6 Eje menor 0 Despejndo c de c : c ± ± 69 5 ± Ls coordends de los focos son: F (,0) F (,0). Finlmente: Ecentrici dd e c 3 3. Demostrr que l ecución represent un elipse determinr todos sus elementos. SOLUCIÓN Es suficiente oservr que los coeficientes de son desigules del mismo signo que no h término rectngulr, pr segurr que l ecución sí represent un elipse, con ejes de simetrí prlelos los de coordends. Pr mor seguridd nos convendrá ver si se puede llevr est ecución l form tipo correspondiente, lo que demás nos servirá pr determinr los elementos de l curv. Completndo trinomios cudrdos perfectos en en l ecución dd: 9 ( 4 4 Simplificndo: 9 ( ) 9 ( ) 4 ( 4) 4 ( 3 ) 36 4 ( 3 ) 36 Dividiendo entre 36 qued: ( ) 4 ( 3 ) ) De l ecución encontrmos que 9 4. Por tnto, 3. Ls coordends del centro son C(,3). Los ejes mor menor están ddos por: Eje mor 6 Eje menor 4 68

19 Despejndo c de l epresión: c : c ± ± 5 ±.3 Distnci focl c 4.46 c.33 Ecentrici dd e Ancho focl.66 3 Vértices : A (, 0 ) A Focos : F (, 0.74 ) F (, 6 ) (, 5.3 ) L Figur 5 muestr gráficmente los resultdos otenidos. 4. Los focos de un elipse son F (,) F (3,4), su eje mor mide 6. Determinr su ecución. SOLUCIÓN Aplicremos l definición de l elipse, en l que se estlece que, pr todo punto de l curv, l sum de ls distncis los focos es igul l eje mor. Por lo tnto, si M(, ) es un punto culquier de l elipse, dee tenerse: M F MF 6...() Donde: MF ( ) ( ) ; M F ( 3 ) ( 4 ) Sustituendo en (): ( ) ( ) ( 3 ) ( 4 ) 6 Despejndo l primer rdicl, se tiene: ( ) ( ) 6 ( 3 ) ( 4 ) Elevndo l cudrdo desrrollndo: ( 3 ) ( 4 ) Reduciendo: ( 3 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 4 )

20 Elevndo l cudrdo simplificndo, se otiene l ecución pedid: es: Pr compror que l curv es un elipse, osérvese que el discriminnte de l ecución B 4 A C < 0 5. L ecución de un elipse ps por el punto P(,), cuos focos son: F (,) F (0,). Encontrr ls ecuciones de ls rects tngentes l elipse que son prlels l rect. SOLUCIÓN Si M(, ) es un punto culquier de l curv, tendremos: M F MF eje mor Aplicndo l fórmul de l distnci entre dos puntos, los dtos del enuncido, en l epresión nterior, se tiene: ( ) ( ) ( ) Pr definir perfectmente est ecución necesitmos clculr el vlor de, lo que se logr hciendo que ls coordends de P verifiquen dich ecución: Así que l ecución es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Elevndo l cudrdo mos miemros de l ecución, desrrollndo simplificndo: 4 4 ( ) 4 4 ( ) 3 Elevndo l cudrdo nuevmente simplificndo, se otiene l ecución de l elipse:

21 Donde el discriminnte de l ecución es: B 4 A C 4 36 < 0 Ls tngentes deen tener un ecución de l form:, que se simultnen con l ecución de l elipse, como si pretendiérmos encontrr los puntos de intersección de l rect l curv. Hciendo simultánes l ecución de l elipse l rect, se tiene: 3 ( ) 3 ( ) 6 0 ( ( 4 4 ) ( ) 0 ) Resolviendo l ecución nterior plicndo l fórmul pr l solución de un ecución de segundo grdo, pr lo cul considermos los coeficientes de l siguiente form: 4 ; (4 4 ) ; c Resolviendo pr : (4 4 ) ± (4 4 ) 8 6 (3 0 7) Pr que de est epresión otengmos un solo vlor de consecuentemente l rect se tngente l curv, necesitmos que el surdicl vlg cero. Igulndo el surdicl cero: (4 4) 6( ) 6[( ) 6(3 6(3 (3 0 7) 0 0 7) 0 0 7)] 0 ( ) (3 0 7) Resolviendo pr, se otiene: ; 3 Entonces, según l ecución, ls ecuciones de ls tngentes son: 3 6. Encontrr el lugr geométrico de los puntos cu distnci l origen es / de su distnci l rect 3 0. Encontrr el centro los semiejes. 6

22 L Figur 6 muestr gráficmente los dtos del prolem. Sore l se de l figur djunt, l condición de movimiento de M(, ) es: M 0 Q M Aplicndo l fórmul de l distnci entre dos puntos: SOLUCIÓN ( 3 ) Elevndo l cudrdo mos miemros: Multiplicndo por 4, simplificndo regrupndo términos, se otiene: 4 3 3( 4 4 3( ) ) 4 4( 0) 9 Finlmente, dividiendo entre, se encuentr l ecución de l elipse: ( ) 4 Donde: ( 0 ) 3 Centro : Semi eje Semi eje C (, 0 ) mor menor 3 6

23 Nomre de rchivo: elipse Directorio: C:\Geometri_nlitic Plntill: C:\WINDOWS\Appliction Dt\Microsoft\Plntills\Norml.dot Título: VI Asunto: Autor: Plo Fuentes Rmos Plrs clve: Comentrios: Fech de creción: 08/03/0 0:6 P.M. Cmio número: 75 Gurddo el: 3/05/0 :54 P.M. Gurddo por: Plo Fuentes Rmos Tiempo de edición:,54 minutos Impreso el: 3/05/0 0:0 P.M. Últim impresión complet Número de págins: Número de plrs: 3,6 (pro.) Número de crcteres: 8,389 (pro.)