HIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág.

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María Ángeles Ramos Miguélez
hace 6 años
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1 HIPÉRBOLA. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l diferenci de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos. L hipérol se puede representr por el siguiente esquem. Ls componentes principles de l hipérol se pueden otener de l figur nterior, ls cules son: Focos: Vértices: F = F + cu F1 = F cu V = F + u V1 = F u B = F + u B1 = F u Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 1

2 Centro: ( ) ( ) 1 1 F = F1 + F = V1 + V L rect que ps por los focos se denomin eje focl. L rect que ps por el centro de l hipérol perpendiculr l eje focl se llm eje norml. El segmento de l rect que v de V 1 V se llm eje trnsverso. El segmento de l rect cuyo punto medio es el centro de l hipérol y tiene longitud, se llm eje conjugdo. El segmento de l rect que v desde un punto de l hipérol otro punto de l hipérol y que ps por uno de los focos, perpendiculr l eje focl se llm ldo recto. Se un punto P que pertenezc l hipérol, entonces cumple con: P = F + x` u + u y de l definición de l hipérol: P F1 P F = con < < c Donde l constnte es, por convenienci, como se verá más delnte. Como y se conoce F 1, F y P se sustituyen en l definición nterior: ( ) ( ) P F = F + x` u + u F cu = x` u + u + cu 1 1 ( ' ) P F = x + c u + u ( ) ( ) P F = F + x` u + u F + cu = x` u + u cu ( ' ) P F = x c u + u Oteniendo ls mgnitudes, siendo que l mgnitud de u u es igul uno, ( ) P F1 = + c + ( ) P F = c + Sustituyendo en l definición de l hipérol: P F1 P F = Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág.

3 ( ) ( ) x ' + c + c + = Quitndo el rdicl de mos términos, elevndo l cudrdo y después de simplificr l expresión: ( ) ( ) ( ) + c + = + c + ( c ) + = ( c ) ( ) Dividiendo mos miemros entre c : + = 1 c ( ) como < < c, c < y definiendo Por lo que l ecución de l hipérol está dd por: P = F + x` u + u donde c =, ( > ) por lo que: Que es conocid como l ecución vectoril de l hipérol. Los prámetros son x` y prámetro. y`, y l ecución, se puede entender como l vrición del Pr otener l ecución crtesin de l hipérol lo que se puede hcer es: de l ecución P = F + x` u + u ordenrl como, P F = x` u + u Pr otener x `, se multiplic por el vector u ( ) = ( ` + ' ) P F iu x u y u i u ( P F ) i u = ( x ` u i u + y ' u i u ) ( P F ) i u = x ` ( u i u ) + y '( u i u ) como ( u u) = i por ser ortogonles, y ( u i u) = u = 1, entonces, Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 3

4 ( ) Y pr otener P F u = x i ` y`, se multiplic por el vector ( ) i = ( ` + ' ) P F u x u y u iu ( P F ) u ( x ` u u y ' u u i = i + i ) u ( P F ) u x ` ( u u ) y '( u u i = i + i ) como ( u iu ) = por ser ortogonles, y ( i ) ( ) Sustituyendo en P F u = y i ` u u = u = 1, entonces,, se otiene l ecución crtesin de l hipérol (( ) i ) ( ) ( i ) P F u P F u Otr mner de otener uns ecuciones prmétrics es, que se oserv que se puede utilizr un identidd en l ecución vectoril de l hipérol, es decir: Por lo que, es decir, sec θ tn θ = 1 ' ' ' ' x y x y = θ θ = = sec tn 1 = θ = sec sec = θ = tn tn θ θ Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 4

5 oteniéndose ls siguientes dos relciones: = secθ = tnθ y sustituyendo en P = F + x` u + u, se otiene otr ecución vectoril de l hipérol, π π π 3π P = F + x` u + u = ( h, k) + sec θ( u1, u) + tn θ( u, u1) / θ ; ; Uns ecuciones prmétrics, x`= h+ secθu tnθu 1 y`= k + secθu + tnθu 1 3 ; π ; π π ; π θ A prtir de los vectores se pueden determinr los elementos de l hipérol como: Centro: F ( h k) =, Focos: (, ) (, ) F = F + cu = h k + c u u 1 (, ) (, ) F = F cu = h k c u u 1 1 Vértices: (, ) (, ) V = F + u = h k + u u 1 (, ) (, ) V = F u = h k u u 1 1 = + = (, ) + (, ) B F u h k u u 1 = = (, ) (, ) B F u h k u u 1 1 Relciondos por: + = c El segmento VV 1 de longitud se llm EJE TRANSVERSO. El segmento de longitud CONJUGADO., con punto medio en el centro de l práol se llm EJE Los ejes no se llmn myor o meno, y que puede ocurrir que >, = o <. Longitud del eje trnsverso: Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 5

6 Longitud del eje conjugdo: Longitud del ldo recto: LR.. = Excentricidd: Ls síntots se otienen por: c + e = = como c >, entonces e > 1 (Pr el cso de l hipérol) L ecución de ls rects síntots es: L = P + t { ', ', 1, / } L = x y = + t m t Pr l primer síntot: ( ) ( ) ( ) L rzón del punto (,) es porque ps por el origen de X ' Y'. = L pendiente de l rect síntot es: m 1, ó (, ) {( ', ') (, ) / } L = x y = t t x ' = t = t ; t Sustituyendo en: P = F + x` u + u Eliminndo ( ) ( ) P = F + t u + t u t t / x = h+ tu tu 1 y = k + tu + tu 1 se otiene l crtesin. { ', ', 1, / } L = x y = + t m t Pr l segund síntot: ( ) ( ) ( ) L rzón del punto (,) es porque ps por el origen de X ' Y'. L pendiente de l rect síntot es: m = 1, ó (, ) {( ', ') (, ) / } L = x y = t t x ' = t = t ;t Sustituyendo en: P = F + x` u + u Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 6

7 ( ) ( ) P = F + t u + t u t / Eliminndo t x = h+ tu + tu 1 y = k + tu tu 1 se otiene l crtesin. CASOS PARTICULARES 1) Si u = ( 1, ), entonces los focos están sore un rect prlel l eje x. Sustituyendo u u en ls ecuciones de l hipérol: (, ) (, ) `( 1, ) '( ) P = x y = h k + x + y,1 donde x = h+ x` x`= x h y = k + y`= y k sustituyendo: ( x h) ( y k) = ) Si u = (,1), entonces los focos están sore un rect prlel l eje y. Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 7

8 Sustituyendo u u en ls ecuciones de l hipérol: (, ) (, ) `(,1 ) '( 1, ) P = x y = h k + x + y donde x = h y` y`= h x y = k + x `= y k sustituyendo: ( y k) ( h x) ( y k) ( x h) = = Ejemplo: Determinr l ecución vectoril, crtesin y uns prmétrics de l hipérol que tiene uno de sus F = ) y el centro en ( ) focos en 1 ( 3, F =,1 y l excentricidd vle. Diuje. Solución: Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 8

9 Revisndo l excentricidd, e > 1, l cul es, y es de cuerdo l hipérol. Y como el vector u es prlelo l vector que v del centro l foco 1. (u es unitrio) Por lo que, 1 u = FF 1 FF 1 ( ) ( ) ( ) FF 1 = F1 F = 3,,1 = 3, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) FF 1 = F1 F = 3,,1 = 3, 1 = = 1 u ( ) ( ) FF = FF1 = 3, 1 = 3, 1 = 1, 1 1 y un vector ortogonl u, 1 3 u = 1, y l longitud de culquier de los focos l centro es c, ( ) ( ) ( ) ( ) c = FF1 = F1 F = 3,,1 = 3, 1 = = 1 l excentricidd es: e = c = es decir, c 1 = = y con l relción c = ( 1 ) = c = = = = = = Resumiendo, 1 3 =, =, c = 1 L ecución vectoril vectoril de l hipérol es de cuerdo como, Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 9

10 P = F + x` u + u donde P = F + x` u + u = (,1 ) +, +, donde y pr otener l ecución crtesin, otenemos x` y Pr otener x `, se multiplic por el vector u ( ) = ( ` + ' ) P F iu x u y u i u ( P F ) i u = ( x ` u i u + y ' u i u ) ( P F ) i u = x ` ( u i u ) + y '( u i u ) como ( u u) = ( ) P F u = x i por ser ortogonles, y ( u i u) i ` ( ) ( ) ( ) y`, por medio de, 3 1 x` = P F iu = x, y,1 i 1, 1 = 1 1 = u = 1, entonces, 5 15 Y pr otener x` = ( x, y 1) i 1, 1 = ( x) 1 + ( y 1) 1 = x`= 1x 1y y`, se multiplic por el vector ( ) i = ( ` + ' ) P F u x u y u iu ( P F ) u ( x ` u u y ' u u i = i + i ) u ( P F ) u x ` ( u u ) y '( u u i = i + i ) como ( u iu ) = por ser ortogonles, y ( i ) ( ) P F u = y i ` ( ) ( ) ( ) u u = u = 1, entonces, 1 3 y` = P F iu = x, y,1 i 1, 1 = 1 1 Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 1

11 y` = ( x, y 1) i 1, 1 = ( x) 1 + ( y 1) = y`= 1x+ 1y Sustituyendo en Desrrollndo, se otiene l ecución crtesin de l hipérol (( ) i ) ( ) ( i ) P F u P F u = x 1y+ 1 1x+ 1y = x xy y + x+ y = Multiplicndo por 75, mos ldos de l ecución pr no lterr l ecución, 6x 4xy 6y + 4x+ 1y 81 = L cul es l ecución crtesin de l hipérol del ejemplo. Pr otener l vectoril y ls prmétrics en términos de un solo prámetro, Si = secθ = 1 secθ = tnθ = 3 tnθ ; π 3 ; π π ; π θ y sustituyendo en P = F + x` u + u, se otiene l ecución vectoril de l hipérol, π π π 3π P = F + x` u + u = ( h, k) + sec θ( u1, u) + tn θ( u, u1) / θ ; ; P = (,1 ) +, +, 1 1 = 1 1 Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 11

12 P = (,1) + sec θ, tn, θ que es l ecución vectoril de l hipérol 3 / π ; π π ; π θ Uns ecuciones prmétrics, 3 1 x`= secθ tnθ 1 3 y`= 1 secθ + 3 1tnθ 3 ; π ; π π ; π θ Y un diujo es: Cónics, Hipérol Ing. Dvid G.C. Pág. 1

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