1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) u v. u = v (u, u ) = (v, v )

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1 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un vector es un segmento con un origen y un extremo. Componentes e un vector Culquier vector v tiene os componentes (v, v Ejemplos: Y Y v = (4,3 4 3 v = (3, X X Móulo e un vector Do un vector v = (v, v, el móulo el vector se represent por v y, plicno el teorem e Pitágors, poemos eucir que v = v v El móulo e un vector nos inic lo que mie icho vector, es ecir, l istnci el origen l extremo Ejemplo: Si v = (3,-4 v = 3 (-4 = 5 = 5. El vector mie 5 unies Y 3 Vectores equipolentes Dos vectores son equipolentes o igules cuno tienen l mism irección, el mismo móulo y el mismo sentio. Si u = (u, u y v = (v, v u = v (u, u = (v, v u v = u v = Los vectores ibujos son equipolentes, pues tienen el mismo móulo, irección y sentio 5 4 v = (3,-4 v = 5 unies X Los vectores que mien se llmn unitrios Vector nulo Es el vector 0= (0, 0. El vector nulo tiene móulo 0 y el origen coincie con el extremo. Vector opuesto Do un vector u = (u, u, su vector opuesto es -u = (- u, - u Ejemplo: El opuesto e (3,-5 es (-3,5 Interpretción geométric el opuesto Por tnto, el vector nulo está formo por un solo punto - -

2 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 Operciones con vectores Sum e vectores Rest e vectores Dos os vectores u = (u, u, v = (v, v uv = (u v, u v Ejemplo: (,7 (3,4 = (3, 74 = (5, Dos os vectores u = (u, u, v = (v, v u-v = (u - v, u - v Ejemplo: (3,8 - (7, = (3-7, 8 - = (-4,6 Cálculo gráfico e l sum e vectores Fíjte que se puee hcer e os forms Cálculo gráfico e l rest e vectores Métoo el prlelogrmo Proucto e un esclr por un vector Si k R y v = (v, v k.v = (k. v, k. v Ejemplos: 3.(,5 = (6,5 -.(,-7 = (-,4 k.v Interpretción geométric: // v con el mismo sentio que v (si k > 0 y con sentio contrrio (si k < 0 Vectores prlelos Si u = (u, u, v = (v, v son vectores no nulos u // v u = k v, con k R u k v = u k v u u =. = v v Es ecir, u // v cuno sus componentes son proporcionles - -

3 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 Bse e vectores en el plno Un bse e vectores en el plno es un conjunto formo u v por os vectores no nulos y no prlelos. B = {, } w, se puee expresr en Culquier vector el plno, función e los vectores e l bse e l form: w = x u y v. En este cso, w = (x,y en l bse B (x,y son ls componentes el vector Si los vectores u y l bse B es ortogonl. v w en l bse B. son perpeniculres, se ice que Si emás son unitrios l bse B se llm bse ortonorml. Los vectores i = (,0, j = (0, son vectores perpeniculres y unitrios, luego B = { i, j} es un bse ortonorml el plno. Est es l bse cnónic el plno. Culquier vector se puee expresr en función e los vectores i, j e l form: A = (A x, A y = A x.(,0 A y.(0, Ejemplos: u = (3, 7 = 3. i 7. j, v = (0, -5 = 0. i (-5. j A = A x. i A y. j = -5 j Culquier punto el plno A(x,y llev socio el vector Vector e posición e un punto = OA, llmo vector e posición el punto A. Observ que = OA = (x,y.es ecir, ls componentes el vector e posición coincien con ls coorens el punto A Fórmul pr el vector AB Vector etermino por os puntos Demostrción Dos os puntos A(,, B(b, b, entonces AB = (b -, b - AB = OB- OA AB = OB OA = (b, b (, = (b -, b - Observ que l istnci entre los puntos A y B es igul l móulo el vector AB Ejemplo: Si A(3,4, B(-,7, entonces AB = (--3, 7-4 = (-4,3; (A,B = AB = (-4 3 = 5 = 5 Ejercicios el libro: Pág 83 :, y 6 Pág. 89: Pág.09: 5-3 -

4 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0.- ECUACIONES DE LA RECTA. Se r un rect en el plno, A(, un punto e l rect conocio y = (, culquier vector no nulo prlelo l rect. El vector se llm vector irector e l rect. L rect que ps por el punto A y tiene vector e irección representr por: r (A, se suele Poemos obtener ls siguientes ecuciones e l rect: Tipos e ecuciones Ecución vectoril: (x,y = (, λ(, x = λ y Ecuciones prmétrics: = λ Demostrción Si P(x,y es un punto (vrible e l rect, entonces AP // p = Luego λ AP = λ p - = λ (x,y = (, λ(, Igulno componentes en l ecución nterior se obtiene: x y = λ = λ Ecución continu: x y = Despejno λ e igulno obtenemos: x - = y - Ecución implícit o generl: x by c = 0 Un vector irector e l rect es Ecución cnónic o segmentri: = (-b, x y p q = p, q corresponen los puntos e corte e l rect con los ejes X e Y, respectivmente Ecución punto-peniente: y = m(x m = es l peniente e l rect Un vector irector es = (,m Quitno enominores nos que: (x = (y x y = 0 Le llmmos =, b = -, c = ; x by c = 0 Si, b, c son no nulos, l ecución nterior x by poemos trnsformrl: x by = -c c c = x y c c b = Llmmos p = -c/, q = -c/b, nos que: x y p q = Si en l ecución continu e l rect 0, poemos espejr y = (x ; llmmos m = Nos que l ecución y = m(x = (, // (, = (,m Ecución explícit: y = mx n m = es l peniente e l rect Un vector irector es = (,m Si en l ecución nterior efectumos el préntesis y espejmos l y: y = mx m Llmmos n = -m ; y = mx n = (, // (, = (,m

5 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 Punto meio e un segmento Fórmul pr el punto meio A(,, B(b,b M(, b b Observ que B es el simétrico e A respecto e M AB = AM Demostrción b - = ( m - = m - m = b - = b m = b Luego M( b, b Ejercicios el libro: Pág. 90: 4 b Pág 93 :, Pág. 06: 7b y 4 Pág. 09: POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS. Sen r y s os rects el plno: r (A ; r, s(b ; s Rects secntes Se cumple: r # s mr ms 3 Si r : x by c = 0 s : x b y c = 0 b b En este cso, el sistem formo por ls ecuciones e ls rects es comptible etermino (tiene solución únic. El punto e corte e ls rects se clcul resolvieno el sistem Rects prlels Se cumple: r // # s AB Si r : x by c = 0 s : x b y c = 0 b c = b c En este cso, el sistem formo por ls ecuciones e ls rects es incomptible (no tiene solución Se cumple: Rects coincientes r // s // AB Si r : x by c = 0 s : x b y c = 0 b c = = b c En este cso, el sistem formo por ls ecuciones e ls rects es comptible inetermino (tiene infinits soluciones Ejercicios el libro: Pág 99 : Pág. 07: 6, 7 y 8-5 -

6 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 4.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Definición: Dos os vectores u, v, se efine su proucto esclr e l siguiente form: u. v = u. v. cos u,v, one u,v el ángulo que v e u v Propiees más importntes el proucto esclr: u. v = v. u (Propie conmuttiv ( u. (b v = (b (u.v, one, b R 3 u.(v w = u.v u.w (Propie istributiv 4 Si u = (u, u, v = (v, v, u. v = u. v u. v 5 u = u. u = u u Ejercicios el libro: Pág 76 :, y 3 Pág. 78: 4 b 5.- ÁNGULOS EN EL PLANO Ángulo entre os vectores: α = rccos ( u. v u. v u. v ( α es el ángulo cuyo coseno es. u. v Si N es un número, pr clculr rccos N con l clculor pulsmos SHIT cos N Ángulo entre os rects: Es el menor e los ángulos que formn sus vectores irectores. Se clcul con l fórmul: r. s r,s = rccos (. r. s ( Si r // s ó r y s son coincientes, entonces el ángulo es 0º Si se conocen ls penientes e ls rects r y s, m r y m s, el ángulo que formn r y s tmbién se puee clculr por l fórmul: ( m r,s = rctg ( r ms m.m r s Ejercicios el libro: Pág 08 : 30, 3 y 3 Pág. 09:

7 º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 6.- PERPENDICULARIDAD DE VECTORES Y RECTAS Vectores perpeniculres: Dos os vectores u, v no nulos: u v u. v = 0 Observ que un vector perpeniculr u = (u, u es u = (- u, u, pues u. u = - u u u u = 0 Rects perpeniculres: Ds os rects el plno, r y s: Ecución norml e l rect r s. r = 0 m. m = - s r s Demostrción A(, un punto e l rect n = (,b vector norml e l rect. Ecución norml e r: (x b(y = 0 Observ que si nos n l rect r en form implícit r: x by c = 0, entonces = (-b, es un vector irector e l rect y, por tnto, n = (,b es un vector norml e l rect. Si P(x,y es un punto (vrible e l rect, entonces: n AP, luego n. (, b. (x, y = 0 (x b(y = 0 AP = 0 Simétrico e un punto respecto e un rect Pr clculr el punto simétrico P : º Hllmos l ecución e l rect s (s es l rect perpeniculr r que ps por el punto P º Clculmos el punto e corte, M, e ls rects r y s (resolvieno el sistem con ls ecuciones e r y s El punto simétrico e P respecto e r es el punto P que cumple PM = MP (M es el punto meio e PP 3º Usno que M es el punto meio e P y P, poemos hllr P Ejercicios el libro: Pág 93 : 3 Pág. 97: 3 y 4 Pág. 07: 9 y 0 Pág. 09: 48 Pág. 0: 7 y DISTANCIAS EN EL PLANO Distnci e un punto un rect Fórmul pr l istnci e un punto un rect (P, r = (P, Q = PQ x0 by0 c Si P(x, y, r: x by c = 0 (P, r = 0 0 b Distnci entre os rects - Si r y s son secntes o coincientes, entonces l istnci es 0 - Si son prlels, se tom un punto e un e ls rects y se clcul su istnci l otr rect Observción: Si P r, entonces (P,r = 0 Ejercicios el libro: Pág 08 : 35, 37, 38, 39, 4, 43 y 44 Pág. 09: 55 y 57

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