Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

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Miguel Ávila Ortega
hace 7 años
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1 TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver figur). z A prtir de l fórmul eplícit z 1 +, obtenemos el vector norml eterior l superficie: n ( z, z ) (, 1 +, ). +, 1 Como el flujo del cmpo corresponde l integrl de superficie, por definición tenemos que: d (,, (1 + ) ) n dd [ (1 + ) ] dd. Teniendo en cuent que es el círculo + 1, resolveremos l integrl medinte un cmbio coordends polres. Así, d du π [ u 3 cos 3 v u u3 sen 3 v + (1 u) ] dv π u u 6. Pr poder plicr el teorem de Guss, l superficie debe ser cerrd. Por lo tnto, considerremos l superficie formd por l unión de llmmos l sólido que limit dich superficie. e este modo, d div dddz, 1

+, 1 Como el flujo del cmpo corresponde l integrl de superficie, por definición tenemos que: d (,, (1 + ) ) n dd [ 3 + 3 + + (1 + ) ] dd.

2 con lo que Ahor bien, div dddz d div dddz d. 1 + dd ( + + z) dz [( + )(1 + ) + (1 + ) ] dd. i hcemos en est últim integrl un cmbio coordends polres, result: I u du π [(u cos v + u sen v)(1 u) + (1 u) ] dv π 6. Por último, teniendo en cuent que el vector n (,, 1) es norml unitrio eterior l superficie, result: d (,, ) (,, 1) dd. En definitiv, d div dddz π d Comprobr l fórmul de Guss pr clculr 3 ddz + 3 ddz + z 3 dd, donde es l superficie eterior de un pirámide formd por los plnos ++z,,, z. olución L superficie dd está compuest por ls cutro crs del tetredro de l figur, (donde 4, que es l cr no contenid en ningún plno coordendo, no se muestr pr mor clridd del dibujo). z H3L HL H1L

Por último, teniendo en cuent que el vector n (,, 1) es norml unitrio eterior l superficie, result: d (,, ) (,, 1) dd. En definitiv, d div dddz π d 6. 16.

3 i plicmos el teorem de Guss, result: F d div F dddz ( z ) dddz. Teniendo en cuent que l proección del sólido sobre el plno XY es el triángulo limitdo por los ejes coordendos l rect + 1, entonces l integrl triple se descompone de l form siguiente: ( z ) dddz d d ( z ) dddz. Al resolver ls sucesivs integrles llegmos l resultdo I 35. Pr resolver l integrl directmente, sin plicr l fórmul de Guss, debemos descomponerl en sum de integrles sobre cd un de ls crs que limitn l pirámide. Así pues: - L superficie 1 se define por l ecución z su vector norml eterior es n 1 (,, 1). Por tnto, F d ( 3, 3, ) (,, 1) d L superficie viene dd por l ecución el vector norml eterior es n ( 1,, ); entonces F d (, 3, z 3 ) ( 1,, ) d. - L superficie 3 viene definid por, con vector norml eterior n 3 (, 1, ), de donde F d ( 3,, z 3 ) (, 1, ) d L superficie 4 se define por l ecución z, cundo (, ) 1, tiene por vector norml eterior n 4 (1, 1, 1). Por definición, F d ( 3, 3, ( ) 3 ) (1, 1, 1) d 4 1 d [ ( ) 3 ] d 35. umndo los vlores correspondientes cd superficie llegmos l mismo resultdo obtenido con l fórmul de Guss. 17. Clculr el flujo del cmpo vectoril 4z i + z j + 3z k trvés de l cr eterior de l superficie : + z ( z 4). ) irectmente. 3

dddz d d (3 + 3 + 3z ) dddz. Al resolver ls sucesivs integrles llegmos l resultdo I 35.

4 b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Prmetrizmos l superficie medinte l fórmul eplícit z +, con (, ), donde {(, ) : + 16}. e este modo, un vector norml eterior viene ddo por Por tnto, F d n ( z, z, 1 ) ( +, +, 1 ). (4 +, +, 3 ( + ) +, ) +, 1 dd ( ) dd. Resolveremos est integrl medinte un cmbio coordends polres, u cos v, u sen v, ( u 4, v π). e este modo, F π dv 4 (4u 3 cos v + u 4 cos v sen v 3u ) du 18π. Pr plicr el teorem de Guss, considermos l superficie cerrd, donde es l tp del cono, es decir, el círculo + 16 contenido en el plno z 4. e este modo, d div 4 dddz dd (4z + z + 3) dz + [ 3 ( + ) + 8 ( + ) ] + dd. Resolvemos est últim integrl medinte un cmbio coordends polres, llegmos l resultdo d 64π. Por otr prte, como se define medinte l fórmul eplícit z 4, su vector norml eterior es n (,, 1), de modo que d (16, 4, 1) (,, 1) dd 1 áre () 19π. En definitiv, d div dddz d 18π, resultdo que coincide con el obtenido de form direct. 4

Resolveremos est integrl medinte un cmbio coordends polres, u cos v, u sen v, ( u 4, v π). e este modo, F π dv 4 (4u 3 cos v + u 4 cos v sen v 3u ) du 18π.

5 18. e F (,, z) (, z, z). Evlur F, donde es el sólido + z 1. olución Por el teorem de l divergenci, F Psndo coordends cilíndrics: l región se escribe como L integrl qued hor: div F dddz u cos v, u sen v, z z, u 1, v π, u z 1. dddz u du π dddz. cos v dv dz. u 5

cilíndrics: l región se escribe como L integrl qued hor: div F

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