TEORÍA DE CÁLCULO II PARA GRADOS DE INGENIERÍA Elaborada por Domingo Pestana y José Manuel Rodríguez 4. INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE

Transcripción

1 TEORÍA E CÁLCULO II PARA GRAOS E INGENIERÍA Elbord por omingo Pestn y José Mnuel Rodríguez 4.1. INTEGRALES E LÍNEA 4. INTEGRALES E LÍNEA Y E SUPERFICIE Hbitulmente suele identificrse un tryectori : [, b] R n con su curv imgen ([, b]) R n, que es l ide intuitiv que se tiene de un curv. efinición. Un curv : [, b] R n se dice regulr si es diferencible y (t) = (x 1 (t),..., x n(t)) 0 pr todo t [, b]. En este cso se define l rect tngente r en el punto (t 0 ), con t 0 [, b], (en form prmétric) como r(λ) = (t 0 ) + λ (t 0 ). efinición. Un curv : [, b] R n se dice simple si es inyectiv en [, b], es decir, si (t 0 ) (t 1 ) siempre que t 0 t 1. Se dice que es cerrd si () = (b). Se dice que es cerrd simple si es cerrd y es inyectiv en [, b) (obsérvese que no puede ser inyectiv en [, b] y que () = (b)). efinición. Un función f : [, b] R n es continu trozos si existen t 0 = < t 1 < < t M 1 < t M = b, tles que f es continu en cd (t i, t i+1 ) y existen los límites lterles de f(t) en cd t i, unque no tienen por qué coincidir. Obsérvese que en t 0 = sólo se pide que exist el límite por l derech y en t M = b que exist el límite por l izquierd. Un curv : [, b] R n es de clse C 1 trozos si es continu trozos en [, b]. efinición. Se Ω un bierto de R n. ecimos que un función definid en Ω es un cmpo esclr si tom vlores reles, y que es un cmpo vectoril si tom vlores en R n. Obsérvese que el dominio y l imgen de un cmpo vectoril tienen l mism dimensión. efinición. (Integrl de un cmpo esclr sobre un curv). Si : [, b] R n es C 1 trozos y f : ([, b]) R es continu trozos, se define l integrl de f lo lrgo de, tmbién llmd l integrl de líne o de tryectori, como b b f = f((t)) (t) dt = f(x 1 (t),..., x n (t)) (x 1 (t))2 + + (x n(t)) 2 dt. L integrl de líne del cmpo esclr f tmbién suele denotrse por f ds ó f(x 1,..., x n ) ds. En prticulr, se define l longitud de como l integrl de l función 1 lo lrgo de, es decir, b l() = 1 = (t) dt, y el vlor promedio de f lo lrgo de como 1 f = 1 l() l() b f((t)) (t) dt. efinición. (Integrl de un cmpo vectoril sobre un curv). Si : [, b] R n es C 1 trozos y F : ([, b]) R n es continu trozos, se define l integrl de F lo lrgo de, tmbién llmd l integrl de líne o de tryectori, como b b F = F ((t)) (t) dt = F (x 1 (t),..., x n (t)) (t) dt.

2 donde denot el producto esclr usul. L integrl de líne del cmpo vectoril F tmbién suele denotrse por F ds ó F (x 1,..., x n ) ds ó tmbién F 1 dx F n dx n, si F = (F 1,..., F n ). Conviene destcr que l integrl del cmpo vectoril F lo lrgo de es igul l integrl de un cmpo esclr, el de l componente tngente de F lo lrgo de, es decir, F T = F s, donde s es el vector tngente unitrio s(t) = (t)/ (t) l curv. efinición. Se : [, b] R n un curv simple. ecimos que : [α, β] R n es un reprmetrizción de (o que y son prmetrizciones de l mism curv) si existe un función continu e inyectiv h : [α, β] [, b] tl que = h. ecimos tmbién que y tienen l mism orientción si h es creciente y tienen distint orientción si h es decreciente. Si y son prmetrizciones de l mism curv simple y no cerrd, y tienen l mism orientción si y sólo si comienzn en el mismo punto, es decir, si () = (α) (y por tnto, (b) = (β)). Teorem 1. L integrl de un cmpo esclr lo lrgo de un curv simple es independiente de l prmetrizción, es decir, si, son prmetrizciones C 1 trozos de l mism curv simple en R n y f : R n R es continu, entonces f = f. Teorem 2. Sen, prmetrizciones C 1 trozos de l mism curv simple en R n y F : R n R n continu. Entonces: (1) Si y tienen l mism orientción F ds = F ds. (2) Si y tienen distint orientción F ds = F ds. Teorem 3. Sen : [, b] R n un curv C 1 trozos y f : R n R un función de clse C 1 en un entorno de ([, b]). Entonces f ds = f((b)) f(()). Corolrio 1. Sen : [, b] R n un curv cerrd C 1 trozos y f : R n R un función de clse C 1 en un entorno de ([, b]). Entonces f ds = 0. efinición. Se Ω un bierto de R n. Se dice que el cmpo vectoril F : Ω R n es un form diferencil exct (o un cmpo conservtivo) en Ω si existe un cmpo esclr f : Ω R n que verific f = F en Ω. El cmpo f se denomin potencil de F. efinición. Se Ω un bierto conexo de R n. ecimos que Ω es simplemente conexo si tod curv cerrd contenid en Ω puede deformrse continumente dentro de Ω en un punto. Si Ω es convexo, entonces es simplemente conexo. Si n = 2, Ω es simplemente conexo si y sólo si no tiene gujeros. Si n = 3, un bol l que quitmos un número finito de puntos es un conjunto simplemente conexo. Teorem 4. Sen un bierto simplemente conexo de R n y F un cmpo vectoril de clse C 1 (). Ls siguientes condiciones son equivlentes: (1) F es un cmpo conservtivo en, es decir, existe f de clse C 2 () tl que f = F. (2) Pr tod curv cerrd contenid en se tiene F ds = 0. (3) Pr tod pr de curvs 1, 2 contenids en y con los mismos extremos se tiene F ds = F ds. 1 2 (4) Q/ x = P/ y en, si n = 2 y F = (P, Q). (4 ) F = 0 en, si n = 3.

3 4.2. INTEGRALES E SUPERFICIE efinición. Un superficie prmetrizd o simplemente superficie es un plicción continu : R 3, donde es un bierto de R 2. Est plicción puede escribirse como (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Hbitulmente suele identificrse un superficie con su imgen S = () R 3, que es l ide intuitiv que se tiene de un superficie. efinición. d un superficie, se definen los vectores tngentes coordendos como ( x T u = u, y u, z ) ( x, T v = u v, y v, z ). v Como estos vectores son tngentes ls imágenes medinte de ls curvs v = cte. y u = cte. respectivmente, y ests imágenes son curvs contenids en l superficie, se tiene que T u y T v son vectores tngentes l superficie, y por tnto, T u T v es un vector perpendiculr l superficie. efinición. Se dice que un supericie : R 3 es regulr si es diferencible y T u T v 0 en todo punto de. En este cso se define el plno tngente en el punto (u 0, v 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ), con (u 0, v 0 ), como (T u T v )(u 0, v 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) = 0. Tmbién se define el vector norml unitrio como n = T u T v T u T v. efinición. Se dice que un superficie es orientble si tiene dos crs, es decir, si existe un determinción de vector norml unitrio que se continu en tod l superficie. Si 1 y 2 son dos prmetrizciones de l superficie orientble S, decimos que tienen l mism orientción si sus vectores normles unitrios coinciden, y que tienen distint orientción si el vector norml unitrio 2 es igul l vector norml unitrio 1 multiplicdo por 1. efinición. (Integrl de un cmpo esclr en un superficie) Si : R 3 es un superficie diferencible y f : () R es continu, se define l integrl de f en como f = f ds = f ( (u, v) ) (Tu T v )(u, v) du dv. En prticulr, se define el áre de como l integrl de l función 1 en, es decir, A() = 1 = T u T v. y el vlor promedio de f en como 1 f. A() efinición. (Integrl de un cmpo vectoril en un superficie) Si : R 3 es un superficie diferencible orientble y F : () R 3 es continu, se define l integrl de F en como F = F ds = F ( (u, v) ) (T ) u T v (u, v) du dv. Conviene destcr que l integrl del cmpo vectoril F en es igul l integrl en de l componente norml de F, es decir, F n = F n, donde n es el vector norml unitrio. Por tnto, F ds = F n = F n ds. Teorem 6. L integrl de un cmpo esclr en un superficie diferencible es independiente de l prmetrizción, es decir, si 1, 2 son prmetrizciones de l mism superficie y f : R 3 R es continu, entonces f = 1 f. 2

4 Teorem 7. Sen 1, 2 prmetrizciones diferencibles de l mism superficie orientble y F un plicción continu F : R 3 R 3. Entonces: (1) Si 1 y 2 tienen l mism orientción F ds = F ds. 1 2 (2) Si 1 y 2 tienen distint orientción F ds = F ds. 1 2 efinición. Un superficie es diferencible trozos si es un unión finit de superficies diferencibles. Si un superficie S es diferencible trozos se define l integrl de un función en S como l sum de sus integrles en ls superficies que constituyen S TEOREMAS EL CÁLCULO VECTORIAL efinición. Un curv simple cerrd γ está orientd en sentido positivo si se recorre en contr del movimiento de ls gujs del reloj (sentido ntihorrio). Teorem 8. (Primer versión del Teorem de Green) Sen R 2 un bierto cotdo tl que es un curv simple cerrd de clse C 1 trozos y P, Q funciones esclres de clse C 1 en. Entonces ( Q P dx + Q dy = x P ) dx dy, y si está orientd en sentido positivo. Teorem 9. (Segund versión del Teorem de Green) Sen R 2 un bierto conexo cotdo tl que es un unión finit de curvs simples cerrds de clse C 1 trozos y P, Q funciones esclres de clse C 1 en. Entonces ( Q P dx + Q dy = x P ) dx dy, y si está orientd de l siguiente mner: l curv exterior se recorre en contr del movimiento de ls gujs del reloj y ls curvs interiores se recorren en el sentido del movimiento de ls gujs del reloj. Se S R 3 un superficie diferencible trozos y orientble tl que S es un unión finit de curvs simples cerrds C 1 trozos. d un orientción de S y un observdor cminndo lo lrgo de S en el ldo de S en el que l norml punt en el mismo sentido que su cbez, decimos que l orientción de S es comptible con l de S si l superficie está l izquierd del observdor mientrs cmin (es decir, es l orientción correspondiente l regl del sccorchos ). Teorem 10. (Teorem de Stokes) Sen S R 3 un superficie diferencible trozos y orientble tl que S es un unión finit de curvs simples cerrds C 1 trozos, y F un cmpo vectoril de clse C 1 en un entorno de S. Si l orientción de S es comptible con l de S, entonces F ds = rot F ds. S Corolrio 2. Sen S R 3 un superficie cerrd (es decir, l fronter de un región cotd de R 3 sin gujeros ) diferencible trozos y F un cmpo vectoril de clse C 1 en un entorno de S. Entonces S rot F = 0. Corolrio 3. Sen S 1, S 2 R 3 dos superficie diferencibles trozos y orientbles tles que S 1 = S 2 es un unión finit de curvs simples cerrds C 1 trozos, y F un cmpo vectoril de clse C 1 en un entorno de S 1 S 2. Si ls orientciones de S 1 y S 2 inducen l mism orientción en S 1 y en S 2, entonces S 1 rot F = S 2 rot F. S

5 Teorem 11. (Teorem de Guss o de l divergenci) Sen Ω R 3 un bierto cotdo tl que Ω es un unión finit de superficies cerrds y diferencibles trozos, y F un cmpo vectoril de clse C 1 en Ω. Si Ω está orientd con el vector norml exterior, entonces F ds = div F. Ω Ω