Anexo 3: Demostraciones

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1 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific que (f, P ) U(f, P ). b) Pr tods P 1, P 2 P[, b] con P 1 P 2, se verific que (f, P 1 ) (f, P 2 ) y U(f, P 2 ) U(f, P 1 ). c) Pr culesquier P, Q P[, b], se verific que (f, P ) U(f, Q). Demostrción: ) Como m i M i, pr todo i, se tiene (f, P ) = n m i x i n M i x i = U(f, P ). b) Probremos sólo l desiguldd pr ls sums superiores (l demostrción es nálog pr ls sums inferiores). Supongmos primero que P 2 tiene exctmente un punto más que P 1, es decir, P 1 = = x 0, x 1,..., x j 1, x j,..., x n = b} y P 2 =x 0, x 1,..., x j 1, c, x j,..., x n }. Si M = supf(x) : x [x j 1, c]} y M = supf(x) : x [c, x j ]}, se tiene que U(f, P 2 ) = j 1 M i x i + M (c x j 1 ) + M (x j c) + n i=j+1 M i x i. M j =M m M m j =m x j 1 c x j Fig Añdir un punto l prtición. Como M j = supf(x) : x [x j 1, x j ]}, es M M j y M M j y por tnto j 1 U(f, P 2 ) M i x i + M j (c x j 1 ) + M j (x j c) + M i x i + M j x i + j 1 = i=j+1 i=j+1 M i x i = U(f, P 1 ). M i x i Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

2 171 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 Supongmos hor que P 2 tiene exctmente k puntos más que P 1. Construimos k prticiones del intervlo [, b] de form que cd un de ells conteng un punto más que l nterior, P 1 Q 1 Q 2 Q k 1 P 2. Entonces, U(f, P 2 ) U(f, Q k 1 ) U(f, Q 2 ) U(f, Q 1 ) U(f, P 1 ). c) Si considermos P = P Q, P es un prtición de [, b] y se verific que P P y Q P. Usndo ls propieddes b), ) y b) en ls desigulddes siguientes, se tiene (f, P ) (f, P ) U(f, P ) U(f, Q). Demostrción de: Propieddes 268 de l págin 143 Propieddes Sen f, g: [, b] IR integrbles en [, b], λ IR y < c < b. Entonces 1.- f + g es integrble en [, b] y (f + g) = 2.- λf es integrble en [, b] y λf = λ f f integrble en [, b] si, y sólo si, f es integrble en [, c] y [c, b]. En ese cso, Demostrción: f = c f + c f. f. g. 1.- Como f y g son integrbles en [, b], existen P 1 y P 2 prticiones de [, b], tles que U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε 2 y U(g, P 2) (g, P 2 ) < ε 2 ; luego tomndo P ε = P 1 P 2, l ser ms fin que P 1 y P 2, se verific que U(f, P ε ) (f, P ε ) = (M i m i) x i < ε 2 U(g, P ε ) (g, P ε ) = (M i m i ) x i < ε 2. Se P ε = x 0 < x 1 < < x n }, y sen m i y M i el inferior y superior de f + g en [x i 1, x i ]. Entonces, como m i f(x) M i y m i g(x) M i, se tiene que m i + m i f(x) + g(x) M i + M i, luego que m i + m i m i M i M i + M i. En consecuenci, ( ) U(f + g, P ε ) (f + g, P ε ) = (M i m i ) x i (M i + M i ) (m i + m i ) x i = (M i m i) x i + (M i m i ) x i < ε 2 + ε 2 = ε. ( ) 2.- Bst con tener en cuent que U(λf, P ) (λf, P ) = λ U(f, P ) (f, P ) y usr que f es integrble. 3.- Se ε > 0. Si f integrble en [, b] existe P ε P[, b] tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Añdiendo, si no está, el punto c P ε obtenemos l prtición de [, b] P = = x 0, x 1,..., x i 1, c, x i,..., x n = b} más fin que P ε, luego se verific que U(f, P ) (f, P ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Tomndo P 1 =, x 1,..., x i 1, c}, prtición de [, c] y P 2 = c, x i,..., b}, prtición de [c, b], se verific que y, por tnto, uego (f, P ) = (f, P 1 ) + (f, P 2 ) y U(f, P ) = U(f, P 1 ) + U(f, P 2 ) U(f, P ) (f, P ) = (U(f, P 1 ) (f, P 1 )) + (U(f, P 2 ) (f, P 2 )) < ε. U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε y U(f, P 2 ) (f, P 2 ) < ε. Recíprocmente, si f es integrble en [, c] y en [c, b], existen P 1 P[, c] y P 2 P[c, b] tles que Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

3 172 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε 2 y U(f, P 2 ) (f, P 2 ) < ε 2. Tomndo P = P 1 P 2, se tiene que P P[, b] y U(f, P ) (f, P ) = (U(f, P 1 ) (f, P 1 )) + (U(f, P 2 ) (f, P 2 )) < ε 2 + ε 2 = ε, luego f es integrble en [, b]. Si denotmos por I 1 = c f(x) dx, I 2 = f(x) dx e I = c f(x) dx, se tiene que (f, P ) I U(f, P ) (f, P 1 ) I 1 U(f, P 1 ) (f, P 2 ) I 2 U(f, P 2 ) y, por tnto, I (I 1 + I 2 ) U(f, P ) (f, P ) < ε, ε > 0. En consecuenci, I = I 1 + I 2. Demostrción de: Proposición 273 de l págin 144 Proposición Se f: [, b] IR un función cotd. Entonces f es integrble en [, b] y el vlor de su integrl es I si y sólo si pr cd ε > 0 existe P ε P[, b] tl que pr tod P P ε y culquier elección del conjunto E socido P se cumple que S(f, P, E) I < ε. Demostrción: = Si f integrble en [, b] e I = f(x) dx, ddo ε > 0 existe P ε P[, b] tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Por otr prte, pr culesquier P y E socido P, se cumple que y que sumndo mbs de donde En prticulr, si P P ε se tendrá que (f, P ) S(f, P, E) U(f, P ) (f, P ) I U(f, P ) ó mejor U(f, P ) I (f, P ), (U(f, P ) (f, P )) S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ), S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ), P P[, b]. S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. = Supongmos que ddo ε > 0 existe P ε P[, b] tl que pr todo P P ε y culquier elección de E socido P se tiene que S(f, P, E) I < ε 4. Aplicndo el lem 272 l prtición P ε, existirán dos conjuntos E 1 y E 2 socidos l prtición tles que S(f, P ε, E 1 ) (f, P ε ) < ε 4 y U(f, P ε ) S(f, P ε, E 2 ) < ε 4, entonces U(f, P ε ) (f, P ε ) U(f, P ε ) S(f, P ε, E 2 ) + S(f, P ε, E 2 ) I + + I S(f, P ε, E 1 ) + S(f, P ε, E 1 ) (f, P ε ) < ε 4 + ε 4 + ε 4 + ε 4 = ε. uego f es integrble en [, b] y existe el vlor de f(x) dx. Vemos que Existe P ε tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε 2 f(x) dx = I Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

4 173 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y que S(f, P ε, E) I < ε (existen P 1 y P 2 verificndo respectivmente 15.1 y 15.2, luego P ε = P 1 P 2 verific l vez 15.1 y 15.2 ). Como se tiene que luego (f, P ε ) y de 15.2 tenemos que f(x) dx U(f, P ε ) y (f, P ε ) S(f, P ε, E) U(f, P ε ) f(x) dx S(f, P ε, E) U(f, P ε) (f, P ε ) < ε 2 ε 2 < f(x) dx S(f, P ε, E) < ε 2, ε 2 < S(f, P ε, E) I < ε 2, sumndo mbs y, por tnto I = f(x) dx. ε < f(x) dx I < ε Demostrción de: Proposición 276 de l págin 145 Proposición Se f integrble en [, b], entonces f es integrble en [, b] y se verific que f(x) dx f(x) dx. Demostrción: Como f(x) = f(x), si f(x) 0 f(x), si f(x) < 0, si tommos ls funciones definids por f + (x) = f(x), si f(x) 0 0, si f(x) < 0 y f (x) = 0, si f(x) > 0 f(x), si f(x) 0, entonces f = f + + f y será integrble si f + y f son integrbles. Vemos que f + es integrble en [, b]: f es integrble, luego existe P ε tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) = n (M i m i ) x i < ε y, pr es mism prtición, U(f +, P ε ) (f +, P ε ) = n (M i m i ) x i. Ahor bien: si 0 m i entonces 0 f = f + en [x i 1, x i ] y M i m i = M i m i. si M i 0, entonces f 0 = f + en [x i 1, x i ] y M i m i = 0 0 M i m i. si m i < 0 < M i, entonces m i < 0 = m i M i = M i y M i m i M i m i. En consecuenci, U(f +, P ε ) (f +, P ε ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε y f + es integrble. en [, b]. Como es tmbién f = f + f, se tiene que f = f + f es integrble en [, b] por ser sum de integrbles y, por tnto, f es integrble en [, b]. Aplicndo hor el corolrio 275 l desiguldd f f f, se tiene que f f f Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

5 174 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y, por tnto, f f. Demostrción de: Proposición 278 de l págin 145 Proposición Si f y g son integrbles en [, b], entonces fg es integrble en [, b]. Demostrción: ( Como puede escribirse fg = 1 4 (f + g) 2 (f g) 2) y ls funciones f + g y f g son integrbles, bst probr que el cudrdo de un función integrble es integrble. Se entonces h integrble en [, b]. Por ser cotd, existe K > 0 tl que h(x) < K, pr todo x [, b], y por ser integrble, existe P ε P[, b] tl que Pr es prtición y l función h 2, se entonces, U(h, P ε ) (h, P ε ) = (M i m i ) x i < ε 2K. U(h 2, P ε ) (h 2, P ε ) = n (M i m i ) x i, si 0 m i M i, se tiene que M i = M i 2 y m i = m2 i, de donde M i m i = M i 2 m2 i = (M i + m i )(M i m i ). si m i M i 0, se tiene que M i = m2 i y m i = M i 2, de donde M i m i = (M i 2 m2 i ) = (M i + m i )(M i m i ) = M i + m i (M i m i ). si m i < 0 < M i, se tiene que M i = máxm2 i, M i 2} y m i = mínm2 i, M i 2 }, de donde (por ls nteriores) M i m i = M i 2 m2 i = M i + m i (M i m i ). uego (M i m i) x i = M i +m i (M i m i ) x i y h 2 es integrble. En consecuenci fg es integrble en [, b]. Integrles impropis Demostrción de: Proposición 304 de l págin 161 2K(M i m i ) x i < 2K ε 2K =ε, Proposición Se f: [, + ) IR integrble en [, t] pr todo t [, + ). Si entonces Demostrción: Supongmos que f(x) = 0 f(x) = > 0. Entonces, pr culquier ε > 0 existe k > 0 tl que si x k se verific que f(x) < ε, es decir, ε < f(x) < + ε. En prticulr, tomndo ε = 2 > 0, si x k se verific que 2 < f(x) < 3 2, luego 0 < 2 < f(x) pr todo x [k, + ). Entonces, t dx f(x) dx k 2 k y como se tiene que k dx = k 2 2 (x]t k = 2 t k = +, f(x) dx = + y l integrl k f(x) dx diverge, luego por l propiedd 1 de 303, Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

6 175 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 Supongmos hor que diverge. uego f(x) = < 0. Entonces Demostrción de: Teorem 307 de l págin 162 f(x) = > 0 y, por tnto, f(x) dx Teorem Se f: [, + ) IR integrble y no negtiv en [, t], t IR. Demostrción: Si f(x) dx es convergente F (t) = f(x) dx converge, entonces f(x) dx está cotd superiormente. f(x) dx = F (t) = IR. Como F (t) es creciente, F (t) y está cotd superiormente. } Recíprocmente, si F (t) está cotd superiormente existe sup F (t) : t [, + ) = α IR. Vemos que α = F (t) y hbremos probdo que f(x) dx es convergente. Se ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t [, + ) tl que α ε < F (t ), luego si t t, como F es creciente, se tiene que α ε < F (t ) F (t). Además, pr todo t, se verific que F (t) α < α + ε. En consecuenci, pr culquier ε > 0 existe t tl que si t t, α ε < F (t) < α+ε, es decir, F (t) α < ε, luego F (t) = α. Demostrción de: Segundo criterio de comprción 309 de l págin 163 Segundo criterio de comprción Sen f, g: [, + ) IR integrbles en [, t], pr todo t y no negtivs. Supongmos que existe =. Entonces: f(x) g(x) ) Si 0 < < + = b) Si = 0, se tiene: f(x) dx g(x) dx. [i] si [ii] si g(x) dx converge = f(x) dx diverge = c) Si = +, se tiene: [i] si [ii] si Demostrción: f(x) dx converge = g(x) dx diverge = f(x) dx converge. g(x) dx diverge. g(x) dx converge. 1.- Si 0 < < +, tommos ε = 2, luego existe K > 0 tl que si x K se tiene que f(x) g(x) < 2. De donde 2 + < f(x) g(x) < 2 + Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

7 176 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y, como g(x) 0, se tiene 2 g(x) f(x) 3 2 g(x) pr todo x K. Bst plicr 308, los pres de funciones 2 g f(x) y f(x) 3 2 g(x) y tener en cuent l propiedd 2 de Si = 0, tomndo ε = 1, se tiene que existe K > 0 tl que si x K entonces 0 f(x) < g(x). De nuevo, bst con plicr 308. g(x) 3.- Si = +, entonces f(x) = 0 y recemos en el cso nterior. Demostrción de: Teorem 318 de l págin 166 Teorem Se f: (, b] IR integrble en [t, b], pr todo t (, b], no negtiv y no cotd. Entonces Demostrción: Si + f(x)dx es convergente F (t) = + f(x)dx converge, entonces t f(x)dx está cotd superiormente. t + t fxdx = F (t) = IR. t + Como F (t) es decreciente, F (t) y está cotd superiormente. (Notr, que como F es decreciente, cundo t decrece hci +, F (t) crece hci.) Recíprocmente, si F (t) está cotd superiormente existe supf (t) : t (, b]} = α IR. Vemos que α = F (t) y hbremos probdo que f(x)dx es convergente. t + + Se ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t (, b] tl que α ε < F (t ), luego si t t, como F es decreciente, se tiene que α ε < F (t ) F (t). Además, pr todo t, se verific que F (t) α < α + ε. En consecuenci, pr culquier ε > 0 existe t tl que si t t, α ε < F (t) < α+ε, es decir, F (t) α < ε, luego F (t) = α. t + Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd