Anexo 3: Demostraciones

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Anexo 3: Demostraciones"

Transcripción

1 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific que (f, P ) U(f, P ). b) Pr tods P 1, P 2 P[, b] con P 1 P 2, se verific que (f, P 1 ) (f, P 2 ) y U(f, P 2 ) U(f, P 1 ). c) Pr culesquier P, Q P[, b], se verific que (f, P ) U(f, Q). Demostrción: ) Como m i M i, pr todo i, se tiene (f, P ) = n m i x i n M i x i = U(f, P ). b) Probremos sólo l desiguldd pr ls sums superiores (l demostrción es nálog pr ls sums inferiores). Supongmos primero que P 2 tiene exctmente un punto más que P 1, es decir, P 1 = = x 0, x 1,..., x j 1, x j,..., x n = b} y P 2 =x 0, x 1,..., x j 1, c, x j,..., x n }. Si M = supf(x) : x [x j 1, c]} y M = supf(x) : x [c, x j ]}, se tiene que U(f, P 2 ) = j 1 M i x i + M (c x j 1 ) + M (x j c) + n i=j+1 M i x i. M j =M m M m j =m x j 1 c x j Fig Añdir un punto l prtición. Como M j = supf(x) : x [x j 1, x j ]}, es M M j y M M j y por tnto j 1 U(f, P 2 ) M i x i + M j (c x j 1 ) + M j (x j c) + M i x i + M j x i + j 1 = i=j+1 i=j+1 M i x i = U(f, P 1 ). M i x i Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

2 171 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 Supongmos hor que P 2 tiene exctmente k puntos más que P 1. Construimos k prticiones del intervlo [, b] de form que cd un de ells conteng un punto más que l nterior, P 1 Q 1 Q 2 Q k 1 P 2. Entonces, U(f, P 2 ) U(f, Q k 1 ) U(f, Q 2 ) U(f, Q 1 ) U(f, P 1 ). c) Si considermos P = P Q, P es un prtición de [, b] y se verific que P P y Q P. Usndo ls propieddes b), ) y b) en ls desigulddes siguientes, se tiene (f, P ) (f, P ) U(f, P ) U(f, Q). Demostrción de: Propieddes 268 de l págin 143 Propieddes Sen f, g: [, b] IR integrbles en [, b], λ IR y < c < b. Entonces 1.- f + g es integrble en [, b] y (f + g) = 2.- λf es integrble en [, b] y λf = λ f f integrble en [, b] si, y sólo si, f es integrble en [, c] y [c, b]. En ese cso, Demostrción: f = c f + c f. f. g. 1.- Como f y g son integrbles en [, b], existen P 1 y P 2 prticiones de [, b], tles que U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε 2 y U(g, P 2) (g, P 2 ) < ε 2 ; luego tomndo P ε = P 1 P 2, l ser ms fin que P 1 y P 2, se verific que U(f, P ε ) (f, P ε ) = (M i m i) x i < ε 2 U(g, P ε ) (g, P ε ) = (M i m i ) x i < ε 2. Se P ε = x 0 < x 1 < < x n }, y sen m i y M i el inferior y superior de f + g en [x i 1, x i ]. Entonces, como m i f(x) M i y m i g(x) M i, se tiene que m i + m i f(x) + g(x) M i + M i, luego que m i + m i m i M i M i + M i. En consecuenci, ( ) U(f + g, P ε ) (f + g, P ε ) = (M i m i ) x i (M i + M i ) (m i + m i ) x i = (M i m i) x i + (M i m i ) x i < ε 2 + ε 2 = ε. ( ) 2.- Bst con tener en cuent que U(λf, P ) (λf, P ) = λ U(f, P ) (f, P ) y usr que f es integrble. 3.- Se ε > 0. Si f integrble en [, b] existe P ε P[, b] tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Añdiendo, si no está, el punto c P ε obtenemos l prtición de [, b] P = = x 0, x 1,..., x i 1, c, x i,..., x n = b} más fin que P ε, luego se verific que U(f, P ) (f, P ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Tomndo P 1 =, x 1,..., x i 1, c}, prtición de [, c] y P 2 = c, x i,..., b}, prtición de [c, b], se verific que y, por tnto, uego (f, P ) = (f, P 1 ) + (f, P 2 ) y U(f, P ) = U(f, P 1 ) + U(f, P 2 ) U(f, P ) (f, P ) = (U(f, P 1 ) (f, P 1 )) + (U(f, P 2 ) (f, P 2 )) < ε. U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε y U(f, P 2 ) (f, P 2 ) < ε. Recíprocmente, si f es integrble en [, c] y en [c, b], existen P 1 P[, c] y P 2 P[c, b] tles que Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

3 172 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 U(f, P 1 ) (f, P 1 ) < ε 2 y U(f, P 2 ) (f, P 2 ) < ε 2. Tomndo P = P 1 P 2, se tiene que P P[, b] y U(f, P ) (f, P ) = (U(f, P 1 ) (f, P 1 )) + (U(f, P 2 ) (f, P 2 )) < ε 2 + ε 2 = ε, luego f es integrble en [, b]. Si denotmos por I 1 = c f(x) dx, I 2 = f(x) dx e I = c f(x) dx, se tiene que (f, P ) I U(f, P ) (f, P 1 ) I 1 U(f, P 1 ) (f, P 2 ) I 2 U(f, P 2 ) y, por tnto, I (I 1 + I 2 ) U(f, P ) (f, P ) < ε, ε > 0. En consecuenci, I = I 1 + I 2. Demostrción de: Proposición 273 de l págin 144 Proposición Se f: [, b] IR un función cotd. Entonces f es integrble en [, b] y el vlor de su integrl es I si y sólo si pr cd ε > 0 existe P ε P[, b] tl que pr tod P P ε y culquier elección del conjunto E socido P se cumple que S(f, P, E) I < ε. Demostrción: = Si f integrble en [, b] e I = f(x) dx, ddo ε > 0 existe P ε P[, b] tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. Por otr prte, pr culesquier P y E socido P, se cumple que y que sumndo mbs de donde En prticulr, si P P ε se tendrá que (f, P ) S(f, P, E) U(f, P ) (f, P ) I U(f, P ) ó mejor U(f, P ) I (f, P ), (U(f, P ) (f, P )) S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ), S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ), P P[, b]. S(f, P, E) I U(f, P ) (f, P ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε. = Supongmos que ddo ε > 0 existe P ε P[, b] tl que pr todo P P ε y culquier elección de E socido P se tiene que S(f, P, E) I < ε 4. Aplicndo el lem 272 l prtición P ε, existirán dos conjuntos E 1 y E 2 socidos l prtición tles que S(f, P ε, E 1 ) (f, P ε ) < ε 4 y U(f, P ε ) S(f, P ε, E 2 ) < ε 4, entonces U(f, P ε ) (f, P ε ) U(f, P ε ) S(f, P ε, E 2 ) + S(f, P ε, E 2 ) I + + I S(f, P ε, E 1 ) + S(f, P ε, E 1 ) (f, P ε ) < ε 4 + ε 4 + ε 4 + ε 4 = ε. uego f es integrble en [, b] y existe el vlor de f(x) dx. Vemos que Existe P ε tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε 2 f(x) dx = I Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

4 173 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y que S(f, P ε, E) I < ε (existen P 1 y P 2 verificndo respectivmente 15.1 y 15.2, luego P ε = P 1 P 2 verific l vez 15.1 y 15.2 ). Como se tiene que luego (f, P ε ) y de 15.2 tenemos que f(x) dx U(f, P ε ) y (f, P ε ) S(f, P ε, E) U(f, P ε ) f(x) dx S(f, P ε, E) U(f, P ε) (f, P ε ) < ε 2 ε 2 < f(x) dx S(f, P ε, E) < ε 2, ε 2 < S(f, P ε, E) I < ε 2, sumndo mbs y, por tnto I = f(x) dx. ε < f(x) dx I < ε Demostrción de: Proposición 276 de l págin 145 Proposición Se f integrble en [, b], entonces f es integrble en [, b] y se verific que f(x) dx f(x) dx. Demostrción: Como f(x) = f(x), si f(x) 0 f(x), si f(x) < 0, si tommos ls funciones definids por f + (x) = f(x), si f(x) 0 0, si f(x) < 0 y f (x) = 0, si f(x) > 0 f(x), si f(x) 0, entonces f = f + + f y será integrble si f + y f son integrbles. Vemos que f + es integrble en [, b]: f es integrble, luego existe P ε tl que U(f, P ε ) (f, P ε ) = n (M i m i ) x i < ε y, pr es mism prtición, U(f +, P ε ) (f +, P ε ) = n (M i m i ) x i. Ahor bien: si 0 m i entonces 0 f = f + en [x i 1, x i ] y M i m i = M i m i. si M i 0, entonces f 0 = f + en [x i 1, x i ] y M i m i = 0 0 M i m i. si m i < 0 < M i, entonces m i < 0 = m i M i = M i y M i m i M i m i. En consecuenci, U(f +, P ε ) (f +, P ε ) U(f, P ε ) (f, P ε ) < ε y f + es integrble. en [, b]. Como es tmbién f = f + f, se tiene que f = f + f es integrble en [, b] por ser sum de integrbles y, por tnto, f es integrble en [, b]. Aplicndo hor el corolrio 275 l desiguldd f f f, se tiene que f f f Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

5 174 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y, por tnto, f f. Demostrción de: Proposición 278 de l págin 145 Proposición Si f y g son integrbles en [, b], entonces fg es integrble en [, b]. Demostrción: ( Como puede escribirse fg = 1 4 (f + g) 2 (f g) 2) y ls funciones f + g y f g son integrbles, bst probr que el cudrdo de un función integrble es integrble. Se entonces h integrble en [, b]. Por ser cotd, existe K > 0 tl que h(x) < K, pr todo x [, b], y por ser integrble, existe P ε P[, b] tl que Pr es prtición y l función h 2, se entonces, U(h, P ε ) (h, P ε ) = (M i m i ) x i < ε 2K. U(h 2, P ε ) (h 2, P ε ) = n (M i m i ) x i, si 0 m i M i, se tiene que M i = M i 2 y m i = m2 i, de donde M i m i = M i 2 m2 i = (M i + m i )(M i m i ). si m i M i 0, se tiene que M i = m2 i y m i = M i 2, de donde M i m i = (M i 2 m2 i ) = (M i + m i )(M i m i ) = M i + m i (M i m i ). si m i < 0 < M i, se tiene que M i = máxm2 i, M i 2} y m i = mínm2 i, M i 2 }, de donde (por ls nteriores) M i m i = M i 2 m2 i = M i + m i (M i m i ). uego (M i m i) x i = M i +m i (M i m i ) x i y h 2 es integrble. En consecuenci fg es integrble en [, b]. Integrles impropis Demostrción de: Proposición 304 de l págin 161 2K(M i m i ) x i < 2K ε 2K =ε, Proposición Se f: [, + ) IR integrble en [, t] pr todo t [, + ). Si entonces Demostrción: Supongmos que f(x) = 0 f(x) = > 0. Entonces, pr culquier ε > 0 existe k > 0 tl que si x k se verific que f(x) < ε, es decir, ε < f(x) < + ε. En prticulr, tomndo ε = 2 > 0, si x k se verific que 2 < f(x) < 3 2, luego 0 < 2 < f(x) pr todo x [k, + ). Entonces, t dx f(x) dx k 2 k y como se tiene que k dx = k 2 2 (x]t k = 2 t k = +, f(x) dx = + y l integrl k f(x) dx diverge, luego por l propiedd 1 de 303, Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

6 175 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 Supongmos hor que diverge. uego f(x) = < 0. Entonces Demostrción de: Teorem 307 de l págin 162 f(x) = > 0 y, por tnto, f(x) dx Teorem Se f: [, + ) IR integrble y no negtiv en [, t], t IR. Demostrción: Si f(x) dx es convergente F (t) = f(x) dx converge, entonces f(x) dx está cotd superiormente. f(x) dx = F (t) = IR. Como F (t) es creciente, F (t) y está cotd superiormente. } Recíprocmente, si F (t) está cotd superiormente existe sup F (t) : t [, + ) = α IR. Vemos que α = F (t) y hbremos probdo que f(x) dx es convergente. Se ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t [, + ) tl que α ε < F (t ), luego si t t, como F es creciente, se tiene que α ε < F (t ) F (t). Además, pr todo t, se verific que F (t) α < α + ε. En consecuenci, pr culquier ε > 0 existe t tl que si t t, α ε < F (t) < α+ε, es decir, F (t) α < ε, luego F (t) = α. Demostrción de: Segundo criterio de comprción 309 de l págin 163 Segundo criterio de comprción Sen f, g: [, + ) IR integrbles en [, t], pr todo t y no negtivs. Supongmos que existe =. Entonces: f(x) g(x) ) Si 0 < < + = b) Si = 0, se tiene: f(x) dx g(x) dx. [i] si [ii] si g(x) dx converge = f(x) dx diverge = c) Si = +, se tiene: [i] si [ii] si Demostrción: f(x) dx converge = g(x) dx diverge = f(x) dx converge. g(x) dx diverge. g(x) dx converge. 1.- Si 0 < < +, tommos ε = 2, luego existe K > 0 tl que si x K se tiene que f(x) g(x) < 2. De donde 2 + < f(x) g(x) < 2 + Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

7 176 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3 y, como g(x) 0, se tiene 2 g(x) f(x) 3 2 g(x) pr todo x K. Bst plicr 308, los pres de funciones 2 g f(x) y f(x) 3 2 g(x) y tener en cuent l propiedd 2 de Si = 0, tomndo ε = 1, se tiene que existe K > 0 tl que si x K entonces 0 f(x) < g(x). De nuevo, bst con plicr 308. g(x) 3.- Si = +, entonces f(x) = 0 y recemos en el cso nterior. Demostrción de: Teorem 318 de l págin 166 Teorem Se f: (, b] IR integrble en [t, b], pr todo t (, b], no negtiv y no cotd. Entonces Demostrción: Si + f(x)dx es convergente F (t) = + f(x)dx converge, entonces t f(x)dx está cotd superiormente. t + t fxdx = F (t) = IR. t + Como F (t) es decreciente, F (t) y está cotd superiormente. (Notr, que como F es decreciente, cundo t decrece hci +, F (t) crece hci.) Recíprocmente, si F (t) está cotd superiormente existe supf (t) : t (, b]} = α IR. Vemos que α = F (t) y hbremos probdo que f(x)dx es convergente. t + + Se ε > 0. Entonces, por ser α un extremo superior, existe t (, b] tl que α ε < F (t ), luego si t t, como F es decreciente, se tiene que α ε < F (t ) F (t). Además, pr todo t, se verific que F (t) α < α + ε. En consecuenci, pr culquier ε > 0 existe t tl que si t t, α ε < F (t) < α+ε, es decir, F (t) α < ε, luego F (t) = α. t + Prof: José Antonio Abi Vin I.T.I. en Electricidd

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann Cpítulo 6 L integrl de Riemnn Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cotdo y cerrdo, es decir [, b] con < b R, y l definición que

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

7. Integrales Impropias

7. Integrales Impropias Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

4. Integral de Riemann

4. Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 7: INTEGRAL DE RIEMANN 4. Integrl de Riemnn

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

TRABAJOS DE MATEMATICA

TRABAJOS DE MATEMATICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA FACULTAD DE MATEMÁTICA, ASTRONOMÍA Y FÍSICA SERIE C TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 36/07 Un segundo curso de Cálculo Crin Boyllin, Elid Ferreyr, Mrt Urciuolo, Cynthi Will Editores:

Más detalles

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1

Teoría de la medida e integral de Lebesgue 1 MATMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Teorí de l medid e integrl de Lebesgue 1 1. Introducción Un de ls crcterístics más molests de l teorí de

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

CORTADURAS DE DEDEKIND

CORTADURAS DE DEDEKIND CORTDURS DE DEDEKIND En l evolución de est teorí se distinguen tres etps: l primer prece influid por l ide del número rel como un objeto preexistente: cd número rel produce un cortdur; l cortdur define

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Integración de Funciones de Varias variables

Integración de Funciones de Varias variables Cpítulo 1 Integrción de Funciones de Vris vribles 1. L σ-álgebr de orel 2. L medid de Lebesgue 3. Funciones medibles Un vez estudid l medid de Lebesgue en R n, vmos desrrollr hor l integrción de funciones

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

7. Integral de Riemann

7. Integral de Riemann 7. Integrl de Riemnn Análisis de Vrible Rel 4 5 Resumen Aquí se estudirá el concepto de integrl, que está especilmente relciondo con el geométrico del cálculo de áres, unque tiene tmbién numeross plicciones

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

Teorema de la Función Inversa

Teorema de la Función Inversa Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

N m i (f)(x i x i 1 ), i=1. N M i (f)(x i x i 1 ), i=1. Decimos entonces que f es Riemann-integrable si U(f) = ínf{u(f,p) : P partición de [a,b]}

N m i (f)(x i x i 1 ), i=1. N M i (f)(x i x i 1 ), i=1. Decimos entonces que f es Riemann-integrable si U(f) = ínf{u(f,p) : P partición de [a,b]} Cpítulo 5 Integrción 1. L integrl de Riemnn en R n Empecemos por recordr l integrl de Riemnn de un función cotd f : [,b] R. Un prtición P de [,b] es un subconjunto finito P [,b] tl que,b P. Escribimos

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES Rmón Bruzul Mrisel Domínguez Crcs, Venezuel Julio 25 Rmón

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Integrales de línea. 4.1. Integral de línea de un campo escalar

Integrales de línea. 4.1. Integral de línea de un campo escalar Lección 4 Integrles de líne 4.1. Integrl de líne de un cmpo esclr Definición. Se f : Ω R un cmpo esclr continuo, con Ω R n, y se : [,b] Ω un cmino regulr trozos. L integrl de líne de f lo lrgo de es, por

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA MOMENTOS Y CENTROS DE MASA El objetivo de ests línes es explicr brevemente otr de ls numeross plicciones que posee el Cálculo Integrl. En este cso, considermos un plc pln y delgd con form culquier, y nos

Más detalles

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano

Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una DESIGUALDADES 7 60 < d < 7 70 En el cmpo de los números reles tenemos un propiedd de orden que se costumbr designr con el símbolo (

Más detalles

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI

Cálculo integral. Beatriz Campos Sancho Cristina Chiralt Monleon. Departament de matemàtiques. Codi d assignatura 305. Cálculo integral - UJI Cálculo integrl Betriz Cmpos Sncho Cristin Chirlt Monleon Deprtment de mtemàtiques Codi d ssigntur 35 Betriz Cmpos / Cristin Chirlt - ISBN: 978-84-694-64- Edit: Publiccions de l Universitt Jume I. Servei

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

1. Introducción: longitud de una curva

1. Introducción: longitud de una curva 1. Introducción: longitud de un curv Integrles de L ide pr clculr l longitud de un curv contenid en el plno o en el espcio consiste en dividirl en segmentos pequeños, escogiendo un fmili finit de puntos

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Determinantes de una matriz y matrices inversas

Determinantes de una matriz y matrices inversas Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Integrl Definid y Aplicciones LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES Autores: Pco Mrtínez (jmrtinezos@uoc.edu), Ptrici Molinàs (pmolins@uoc.edu), Ángel A. Jun (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Aplicciones

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Tem 1 Aplicciones de l integrl. 1.1 Áres de superficies plns. 1.1.1 Funciones dds de form explícit. A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 1, prece rzonble l siguiente definición:

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje

Más detalles

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a  El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Este documento es de distribución grtuit y lleg grcis Cienci Mtemátic www.ciencimtemtic.com El myor portl de recursos eductivos tu servicio! MATEMÁTICAS II Universidd Simón Bolívr Deprtmento de Mtemátics

Más detalles

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R

2. Funciones, sucesiones, límites y continuidad en R . Funciones, sucesiones, límites y continuidd en R.. Funciones reles de vrible rel Un función f es un regl que sign cd uno de los números x de un conjunto D R un único número rel f (x). A D dom f se le

Más detalles

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b Cpítulo 5 El teorem de Fubini Hst hor hemos rterizdo ls funiones que son integrbles y hemos estudido ls propieddes básis de l integrl, pero en relidd no sbemos ómo lulr ls integrles inluso de ls funiones

Más detalles

TEMA 3. Integración de funciones reales de variable real.

TEMA 3. Integración de funciones reales de variable real. TEMA 3 Integrción de funciones reles de vrible rel. Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución

Más detalles

Apuntes de cálculo en una variable real. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo en una variable real. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo en un vrible rel Edurdo Liz Mrzán Vigo, Diciembre de 2006 Índice Generl Preinres. Introducción........................................2 L relción de orden en el conjunto de los números

Más detalles

Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto

Estabilidad de los sistemas en tiempo discreto Estbilidd de los sistems en tiempo discreto En tiempo discreto tmbién se puede hblr de estbilidd de estdo y de estbilidd de entrd slid de form similr l empled pr los sistems en tiempo continuo. Podemos

Más detalles

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica.

int(s) o int(s, var) S puede ser una expresión simbólica o el nombre de una expresión simbólica. Práctic 3: Cálculo Integrl con MtLb Curso 2010-2011 1 1 Introducción Un de los pquetes más útiles pr el cálculo con MtLb lo constituye Symbolic Mth Toolbox, que permite relizr cálculo simbólico vnzdo,

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE TESINA DE LICENCIATURA

INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE TESINA DE LICENCIATURA INTEGRALES VECTORIALES DE RIEMANN Y MCSHANE José Rodríguez Ruiz TESINA DE LICENCIATURA Deprtmento de Mtemátics Universidd de Murci Septiembre de 2002 2 D. José Luis Grcí Hernández, director del Deprtmento

Más detalles

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas

5. INTEGRAL DE LÍNEA. 5.1 Introducción. 5.2 Curvas 5. INTEGRAL DE LÍNEA 5.1 Introducción Nos proponemos mplir l noción de integrl, que y conocemos pr el cso de funciones de un vrile rel, cmpos de vris vriles. Cundo se definí l integrl definid pr un función

Más detalles

Funciones integrables en R n

Funciones integrables en R n Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está

Más detalles