El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b

Transcripción

1 Cpítulo 5 El teorem de Fubini Hst hor hemos rterizdo ls funiones que son integrbles y hemos estudido ls propieddes básis de l integrl, pero en relidd no sbemos ómo lulr ls integrles inluso de ls funiones más simples en los reintos menos omplidos. El teorem de Fubini, junto on el teorem del mbio de vrible, que estudiremos más delnte, es un de ls herrmients fundmentles que nos permitirá hllr el vlor de un integrl múltiple (es deir, de un funión de vris vribles), l reduirlo l integrión iterd de uns unts funiones de un sol vrible. Comenzremos por dr l versión del teorem de Fubini en el plno R 2, que luego se extenderá sin difiultd l so generl. Teorem 5.1 Se = [, b] [, d] un retángulo de R 2, y se f : R un funión integrble, tl que ls funiones f x : [, d] definids por f x (y) = f(x, y) son integrbles en [, d], pr todo x [, b]. Entones, l funión x d f(x, y)dy es integrble en [, b], y ( d f x (y)dy ) dx, o, on un notión más práti, ( d f(x, y)dy ) dx. nálogmente, si se supone que f(x, y)dx existe pr d y [, d], se obtiene que d ( f(x, y)dx ) dy. 43

2 44 CPÍTULO 5. EL TEOREM DE FUBINI Observión 5.2 Si f es ontinu entones ls funiones f, f x y f y (on x [, b], y [, d]) son tods integrbles, y entones se obtiene que ( d f(x, y)dy ) dx = d ( f(x, y)dx ) dy. Este resultdo se puede plir reintos (otdos) más generles que retángulos, extendiendo l funión un retángulo que onteng (hiéndol vler ero fuer de, omo es hbitul) y usndo entones el teorem de Fubini. El siguiente orolrio nos muestr un mner de her esto; el resultdo puede utilizrse efiientemente pr desomponer un región omplid en regiones más pequeñs d un de ls ules se pli entones el orolrio. Corolrio 5.3 Sen ϕ, ψ : [, b] R funiones ontinus tles que ϕ(x) ψ(x) pr todo x [, b], y se = {(x, y) R 2 : x b, ϕ(x) y ψ(x)}. Se f : R un funión ontinu (o ontinu slvo en un ntidd finit de puntos). Entones ( ψ(x) f(x, y)dy ) dx. ϕ(x) ntes de dr l demostrión del teorem de Fubini y su orolrio enuniremos el teorem en su form más generl. Teorem 5.4 Sen R n y B R m retángulos, y f : B R un funión integrble tl que ls funiones f x : B R definids por f x (y) = f(x, y) son integrbles sobre B pr todo x. Entones, l funión x f(x, y)dy es integrble en, y B B ( f(x, y)dy ) dx. B nálogmente, si se supone que f(x, y)dx existe pr d y B, entones ( f(x, y)dx ) dy. B B De igul mner que el orolrio 5.3 puede demostrrse, prtir de l versión generl del teorem de Fubini, el siguiente resultdo, muy útil l hor de evlur integrles en R n+1.

3 45 Corolrio 5.5 Se un onjunto on volumen de R n, sen ϕ, ψ : R funiones ontinus tles que ϕ(x) ψ(x) pr todo x, y se D = {(x, y) R n+1 : x, ϕ(x) y ψ(x)}. Se f : D R un funión ontinu (o ontinu slvo en un ntidd finit de puntos). Entones ( ψ(x) f(x, y)dy ) dx. D ϕ(x) Demostrión del teorem 5.1. Se g : [, b] R l funión definid por g(x) = d f(x, y)dy. Tenemos que ver que g es integrble sobre [, b], y que g(x)dx. Sen P [,b] un prtiión ulquier de [, b] en subintervlos S j = [s j 1, s j ], donde = s < s 1 <... < s N = b, y se P [,d] un prtiión de [, d] en subintervlos T j = [t j 1, t j ], donde = t < t 1 <... < t M = d. Se entones P l prtiión de dd por los retángulos R ij = S i T j, on 1 i N, 1 j M. Nótese que ulquier prtiión del retángulo se obtiene de est mner, omo produto de prtiiones de los ldos de. Se tiene que L(f, P ) = i,j m(f, R ij )v(r ij ) = N ( M m(f, R ij )v(t j ) ) v(s j ). demás, pr d x S i y pr d j es m(f, R ij ) m(f x, T j ). Por tnto, sumndo en j ests desigulddes, obtenemos que j=1 i=1 j=1 M M m(f, R ij )v(t j ) m(f x, T j )v(t j ) j=1 d f x (y)dy = g(x). Como ests desigulddes vlen pr ulquier x S i, podemos tomr ínfimos en x y obtener M m(f, R ij )v(t j ) m(g, S i ) j=1

4 46 CPÍTULO 5. EL TEOREM DE FUBINI pr d i, y entones, sumndo en i, L(f, P ) N m(g, S i )v(s i ) L(g, P [,b] ). i=1 De quí, y de un rgumento nálogo pr supremos y sums superiores, deduimos que L(f, P ) L(g, P [,b] ) U(g, P [,b] ) U(f, P ), Como esto vle pr ulquier prtiión P de y, lo que es lo mismo, pr ulesquier prtiiones P [,b] y P [,d] de [, b] y [, d] respetivmente, y f es integrble, se dedue inmeditmente de ests desigulddes que g es integrble sobre [, b], y g(x)dx = ( d f(x, y)dy ) dx. Observión 5.6 Es lro que l mism prueb, sustituyendo intervlos por retángulos y hiendo los pertinentes mbios de notión, sirve pr estbleer l versión generl (teorem 5.4) del teorem de Fubini. L redión de dih prueb se dej omo ejeriio pr el letor. Demostrión del orolrio 5.3. Se S = [, b] [, d] un retángulo errdo que onteng, y extendmos f S poniendo en S \ omo es hbitul. Por el ejeriio 2.26, ls gráfis de ϕ y ψ, es deir los onjuntos G(ϕ) = {(x, ϕ(x)) : x [, b]} y G(ψ) = {(x, ψ(x)) : x [, b]} tienen medid ero. Es lro que el onjunto de ls disontinuiddes de l funión extendid f está ontenido en l unión de ests dos gráfis, y por tnto tiene tmbién medid ero. Luego, por el teorem de Lebesgue, f es integrble en S. Por otro ldo, pr d x [, b], f x es ontinu en [, d], slvo quizás en los puntos ϕ(x) y ψ(x), y por tnto, tods ls f x son integrbles. Entones, podemos plir el teorem de Fubini, lo que nos d, teniendo en uent que d f x es ero en [, ϕ(x)] [ψ(x), d], que S ( d f x (y)dy ) dx = ( ψ(x) f(x, y)dy ) dx. ϕ(x)

5 47 Ejemplos y ejeriios 5.7 Clulr (x + y)xdxdy, donde = [, 1] [, 1]. 5.8 Clulr ls siguientes integrles iterds: () (x4 y + y 2 )dydx (b) 1 e 2x e x log ydydx x () 1 rseny y y os(xy)dxdy 5.9 Expresr ls integrles iterds siguientes omo integrles múltiples sobre un reinto, dibujr el reinto y mbir el orden de intergrión; finlmente, hllr el vlor de ls integrles usndo el orden de integrión que dé lugr los álulos más simples. () 2 y 2 3 (x2 + y)dxdy (b) 2 log x 1 (x 1) 1 + e 2y dydx () 1 x 1 2 x ex+y dydx (d) π 2 os x (e) 1 y sin xdxdy y (x + 2y + 3z)dzdydx x (f) 1 f(y) xydxdy, donde f(y) = mín{1, log 1 y }. (g) 1 (1 x 2 ) 1/2 (1 y 2 ) 1/2 dxydx 5.1 Se = [, 1] [, 1] R definid por { 2y si x R \ Q; f(x, y) = 1 si x Q. () Deidir si f es integrble en. (b) Clulr 1 () Clulr 1 ( 1 ( 1 f(x, y)dy)dx si existe. f(x, y)dx)dy si existe.

6 48 CPÍTULO 5. EL TEOREM DE FUBINI 5.11 Cmbir el orden de integrión en ls siguientes integrles iterds: () (b) 1 y 1 y 2 f(x, y)dxdy b 2 x f(x, y)dydx 2 () 1 1 x x f(x, y, z)dzdydx 1 x 2 2 +y 2 (d) 1 1 x 2 +y 2 f(x, y, z)dzdxdy 5.12 Difereniión bjo el signo de l integrl. Se f : [, b] [, d] R ontinu tl que f es ontinu en [, b] [, d]. Definmos F (y) = Probr que F es derivble y que F (y) = f(x, y)dx. f (x, y)dx. Indiión: Usndo el Teorem Fundmentl del Cálulo, se tiene que F (u) = f(x, u)dx = ( u f (x, y)dy + f(x, ))dx Se f : [, b] [, d] R ontinu on f Definmos () Clulr F x y F F (x, y) = x f(t, y)dt. ontinu en [, b] [, d]. (b) Si G(x) = g(x) f(t, x)dt, lulr G (x) Clulr ls integrles siguientes () D x2 ydxdy, siendo D el triángulo de vérties (, ), (, 1) y (1, ). (b) D ye xy dxdy, siendo D el udrdo de vérties (, ), (, 1), (1, ) y (1, 1). () D xdxdy, siendo D = {(x, y) R2 x π, y sin x 2 }.

7 (d) D 1 x2 2 y2 b 2 dxdy, siendo D el interior de l elipse x2 2 + y2 b 2 = 1. (e) D máx{x, y} dxdy, siendo D = [ 2, 2] [ 1, 1] Probr l siguiente generlizión del orolrio del teorem de Fubini. Sen R n un retángulo errdo, y ϕ, ψ : R m funiones ontinus tles que ϕ j (x) ψ j (x) pr todo x, 1 j m. Se D = {(x, y) R n R m : x, ϕ j (x) y j ψ j (x), 1 j m}. Pr d x definmos B x R n por B x = {y R m : ϕ j (x) y j ψ j (x), 1 j m}. Se f : D R un funión ontinu, y definmos f x : B x R m R por f x (y) = f(x, y), y g : R n R por g(x) = f x. B x Entones g es integrble sobre, y D 5.16 Sen R n y B R m onjuntos on volumen, y f : R, g : B R funiones integrbles. Definmos F (x, y) = f(x) + g(y), y G(x, y) = f(x)g(y). Hllr B F (x, y)dxdy y B G(x, y)dxdy en funión de f, B g, v() y v(b) Hllr el volumen de l región otd por z = x 2 + 3y 2, z = 9 x Hllr el volumen de l región otd por x 2 + 2y 2 = 2, z =, x + y + 2z = Se l región de R 3 otd por los plnos x =, y =, z = 2 y l superfiie z = x 2 + y 2, on x, y. Clulr l integrl xdxdydz. 5.2 Clulr l integrl ye xy dxdydz, donde = [, 1] [, 1] [, 1]. g. 49

8 5 CPÍTULO 5. EL TEOREM DE FUBINI 5.21 Clulr ls siguientes integrles iterds y dibujr ls regiones determinds por los límites de integrión: () 1 ( e x 1 (x + y)dy)dx; (b) 1 ( x 2 x ydy)dx Se D l región otd por los ejes positivos x e y y l ret 3x+4y = 1. Clulr D (x2 + y 2 )dxdy Se D l región dd omo el onjunto de los (x, y) del plno tles que ϕ(x) y ϕ(x) y x b, donde ϕ es un funión ontinu no negtiv en el intervlo [, b]. Se f : D R un funión ontinu en D tl que f(x, y) = f(x, y) pr todo (x, y) D. Probr que f(x, y)dxdy =. D 5.24 Dibujr l región orrespondiente d un de ls sigientes integrles dobles, mbir el orden de integrión y evlur l integrl usndo el orden que se más deudo: () 1 ( 1 x xydy)dx (b) 1 ( 1 2 y (x + y)2 dx)dy () 1 1 ( 1 y (x + y)2 dx)dy 5.25 Clulr W x2 os zdxdydz, donde W es l región otd por los plnos z =, z = π, y =, x = y x + y = Integrr f(x, y, z) = xy + yz + zx sobre l porión del primer otnte x, y, z, ortd por el elipsoide x y2 b 2 + z2 2 = Utilizr integrles triples pr hllr el volumen del sólido T de R 3 limitdo superiormente por el ilindro prbólio z = 4 y 2 e inferiormente por el prboloide elíptio z = x 2 + 3y 2.