INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS REVISIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

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1 5. INTEGALES OBLES SOBE ECTÁNGULOS Csi de l mism mner que el intento pr resolver el problem de áre ondujo l definiión de un integrl definid, hor se bus determinr el volumen de un sólido, en el proeso se lleg l definiión de integrl doble. EVISIÓN E LA INTEGAL EFINIA Primero se reordrán los hehos básios reliondos on integrles definids de un sol vrible. Si f se define pr b, se empiez por dividir el intervlo, b en n subintervlos i, i de igul mplitud b n se eligen puntos de muestr * i en estos subintervlos. Entones se form l sum de iemnn Si se tom el límite de ls sums undo n l pr obtener l integrl definid de f de b: n f * i i b f d lím n l n f * i i En el so espeil donde f, l sum de iemnn se puede interpretr omo l sum de ls áres de los retángulos de proimión en l figur, b f d represent el áre bjo l urv f de b. Î f( i *) i- i n- FIGUA * * * i * n * VOLÚMENES E INTEGALES OBLES e un mner similr se onsider un funión f de dos vribles definids en un retángulo errdo z z=f(, ), b, d, b, d se supone primero que f,. L gráfi de f es un superfiie on euión z f,. Se S el sólido que e rrib de debjo de l gráfi de f, es deir, b FIGUA d S,, z z f,,, Vése l figur. El objetivo es hllr el volumen de S. El primer pso es dividir el retángulo en subretángulos. Esto se he dividiendo el intervlo, b en m subintervlos i, i de igul mplitud b m dividiendo, d en n subintervlos j, j de igul mplitud d n. Al dibujr línes 95

2 95 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES prlels los ejes oordendos por los puntos finles de estos subintervlos omo en l figur, se formn los subretángulos ij i, i j, j, i i, j j d uno on áre A. d ij ( i, j ) Î j j_ (* ij, * ij) ( *, * ) FIGUA ivisión de en subretángulos i_ i Î Si se elige el punto muestrl ij *, ij * en d ij, entones se puede proimr l prte de S que e rrib de d ij medinte un j retngulr (o olumn ) on bse ij ltur f ij *, ij * omo se muestr en l figur 4. (Compre on l figur.) El volumen de est j es l ltur de l j multiplid por el áre de l bse del retángulo: f ij *, ij * A Si se sigue este proedimiento pr los retángulos se sumn los volúmenes de ls js orrespondientes, se obtiene un proimión del volumen totl de S: V m n i j f ij *, ij * A (Vése fig. 5.) Est sum doble signifi que pr d subretángulo se evlú f en el punto elegido se multipli por el áre del subretángulo, luego se sumn los resultdos. z z f( * ij, * ij) d b ij FIGUA 4 FIGUA 5

3 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE ECTÁNGULOS 95 & El signifido del límite doble en l euión 4 es que l sum doble se puede her tn ern omo se desee l número V [pr ulquier eleión de ij *, ij * en ij ] l tomr m n sufiientemente grndes. L intuiión die que l proimión dd en () es mejor undo m n reen, por lo tnto, se esperrí que 4 V lím m, n l m n i j f ij *, ij * A Se us l epresión de l euión 4 pr definir el volumen del sólido S que e debjo de l gráfi de f rrib del retángulo. (Se puede demostrr que est definiión es ongruente on l fórmul pr el volumen de l seión 6..) Los límites del tipo que pree en l euión 4 ourren on freueni, no sólo pr hllr volúmenes, sino tmbién en diverss situiones, omo se verá en l seión 5.5, inluso undo f no es un funión positiv. Así, se he l siguiente definiión. & Observe l similitud entre l definiión 5 l definiión de un integrl simple en l euión. 5 EFINICIÓN L integrl doble de f sobre el retángulo es f, da lím m, n l m n i j f ij *, ij * A si eiste el límite. & Aun undo h definido l integrl doble l dividir en subretángulos de igul tmño, podrí hber empledo subretángulos ij de tmño desigul. Pero entones hubiér tenido que segurr que tods sus dimensiones se proimrn en el proeso de estbleer límites. El signifido preiso del límite en l definiión 5 es que pr todo número h un entero N tl que f, da m n i j f ij *, ij * A pr los enteros m n mores que N pr ulquier eleión de puntos muestrles ij *, ij * en ij. Un funión f se denomin integrble si eiste el límite en l definiión 5. En ursos de álulo vnzdo se demuestr que tods ls funiones ontinus son integrbles. e heho, l integrl doble de f eiste siempre que f no se demsido disontinu. En prtiulr, si f está otd [esto es, h un onstnte M tl que f (, ) M pr tod (, ) en ], f es ontinu hí, eepto en un número finito de urvs suves, entones f es integrble sobre. Se puede elegir que el punto muestrl ij *, ij * se ulquier punto en el subretángulo ij, pero si se elige que se l esquin superior dereh de ij [ sber, i, j, vése figur ], entones l epresión pr l integrl doble se simplifi: 6 f, da lím m, n l m n i j f i, j A Al omprr ls definiiones 4 5, es obvio que un volumen puede epresrse omo un integrl doble: Si f,, entones el volumen V del sólido que e rrib del retángulo debjo de l superfiie z f, es V f, da

4 954 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES L sum de l definiión 5, m n i j f ij *, ij * A se llm sum de iemnn doble se emple omo un proimión del vlor de l integrl doble. [Observe l similitud on l sum de iemnn en () pr un funión de un sol vrible.] Si suede que f es un funión positiv, entones l sum de iemnn doble represent l sum de volúmenes de olumns, omo en l figur 5, es un proimión del volumen bjo l gráfi de f rrib del retángulo. (, ) (, ) (, ) (, ) V EJEMPLO Estime el volumen del sólido que e rrib del udrdo,, debjo del prboloide elíptio z 6. ivid en utro udrdos igules elij el punto muestrl omo l esquin superior dereh de d udrdo ij. Bosqueje el sólido ls js retngulres de proimión. SOLUCIÓN Los udrdos se muestrn en l figur 6. El prboloide es l gráfi de f, 6 el áre de d udrdo es. Al proimr el volumen medinte l sum de iemnn on m n, se tiene FIGUA 6 z 6 z=6- - V i j f i, j A f, A f, A f, A f, A Éste es el volumen de ls js retngulres de proimión mostrds en l figur 7. Se obtienen mejores proimiones pr el volumen del ejemplo si se inrement el número de udrdos. En l figur 8 se muestr ómo ls olumns omienzn verse más omo sólidos reles ls proimiones orrespondientes se vuelven más ets undo se usn 6, udrdos. En l siguiente seión se podrá mostrr que el volumen eto es 48. FIGUA 7 FIGUA 8 Ls proimiones de sum de iemnn l volumen debjo de z = se vuelven más ets undo se inrementn m n. () m=n=4, VÅ4.5 (b) m=n=8, VÅ () m=n=6, VÅ V EJEMPLO Si,,, evlúe l integrl s da

5 958 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES POPIEAES E INTEGALES OBLES Se listn quí tres propieddes de integrles dobles que se pueden probr de l mism mner que en l seión 5.. Se supone que tods ls integrles eisten. Ls propieddes 7 8 se onoen omo linelidd de l integrl. & Ls integrles dobles se omportn de est mner debido que ls sums dobles que ls originn se omportn de es form. 7 8 f, t, da f, da f, da f, da t, da donde es un onstnte Si f, t, pr tod, en, entones 9 f, da t, da 5. EJECICIOS. () Estime el volumen del sólido que e debjo de l superfiie z rrib del retángulo, 6, 4 Use un sum de iemnn on m, n tome el punto muestrl omo l esquin superior dereh de d udrdo. (b) Use l regl del punto medio pr estimr el volumen del sólido del iniso ().. Si,,, use un sum de iemnn on m 4, n pr estimr el vlor de da. Tome ls esquins superiores izquierds de los udrdos omo los puntos muestrles.. () Use un sum de iemmn on m n pr estimr el vlor de sen da, donde,,.tome ls esquins inferiores izquierds omo los puntos muestrles. (b) Use l regl del punto medio pr estimr l integrl del iniso (). 4. () Estime el volumen del sólido que e debjo de l superfiie z rrib del retángulo,, 4. Use un sum de iemnn on m n elij ls esquins inferiores derehs omo los puntos muestrles. (b) Use l regl del punto medio pr estimr el volumen del iniso (). 5. Se d un tbl de vlores pr un funión f, definid en,, 4. () Estime f, da por medio de l regl del punto medio on m n. (b) Estime l integrl doble on m n 4 elij los puntos más lejdos del origen omo los puntos muestrles Un lber de pies por pies se llen on gu. L profundidd se mide intervlos de 5 pies, empezndo en un esquin de l lber, se registrn los vlores en un tbl. Estime el volumen de gu en l lber. 7. Se V el volumen del sólido que e debjo de l gráfi de f, s5 rrib del retángulo ddo por 4, 6. Use ls línes 4 pr dividir

6 SECCIÓN 5. INTEGALES ITEAAS 959 en subretángulos. Sen L U ls sums de iemnn lulds por medio de ls esquins inferiores izquierds ls esquins superiores derehs, respetivmente. Sin lulr los números V, L U, dispónglos en orden reiente eplique su rzonmiento En l figur se muestrn ls urvs de nivel de un funión f en el udrdo [, ] [, ]. Use l regl del punto medio on m n pr estimr f, da Cómo podrí mejorr su estimión? Se muestr un mp de ontornos pr un funión f en el udrdo, 4, 4. () Use l regl del punto medio on m n pr estimr el vlor de f, da. (b) Estime el vlor promedio de f. 4. En el mp de ontornos se muestr l tempertur, en grdos Fhrenheit, ls 4: P.M. del 6 de febrero de 7, en Colordo. (El estdo mide 88 mills de este oeste 76 mills de norte sur.) Use l regl del punto medio on m n 4 pr estimr l tempertur promedio en Colordo es hor. 4 Evlúe l integrl doble identifiándol primero omo el volumen de un sólido.. da,. 5 da,. 4 da,,, 6 4. L integrl s9 da, donde, 4,, represent el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido. 5. Use un luldor progrmble o omputdor (o el omndo sum en un CAS) pr estimr donde,,. Use l regl del punto medio on los siguientes números de udrdos de igul tmño:, 4, 6, 64, epit el ejeriio 5 pr l integrl sen s da. 7. Si f es un funión onstnte, f, k,, b, d, demuestre que k da kb d. 8. Utilie el resultdo del ejeriio 7 pr demostrr que sen p os p da donde, 4 4,., 5,,, s e da 5. INTEGALES ITEAAS euerde que por lo omún es difíil evlur integrles simples diretmente de l definiión de un integrl, pero el teorem fundmentl del álulo provee un método muho más fáil. L evluión de integrles dobles prtir de primeros prinipios es inluso más

7 96 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES difíil, pero en est seión se ve ómo epresr un integrl doble omo un integrl iterd, que se puede evlur entones lulndo dos integrles simples. Supong que f es un funión de dos vribles que es integrble en el retángulo, b, d. Se us l notión d f, d pr indir que se mntiene fij f, se integr on respeto de d. Este proedimiento se llm integrión pril on respeto. (Observe su similitud on l derivión pril.) Ahor d f, d es un número que depende del vlor de, sí que define un funión de : A d f, d Si hor se integr l funión A on respeto de b, se obtiene b A d b d f, d d L integrl del ldo dereho de l euión se llm integrl iterd. Por lo omún, se omiten los orhetes. Así, b d f, d d b d f, d d indi que primero se integr on respeto de d, luego on respeto de b. e mner similr, l integrl iterd d b f, d d d b f, d d signifi que primero se integr on respeto (mnteniendo fij ) de b después se integr l funión resultnte de on respeto de d. Observe que en ls euiones se trbj de dentro hi fuer. EJEMPLO Evlúe ls integrles iterds. () d d (b) d d SOLUCIÓN () Si se onsider onstnte, se obtiene d Así, l funión A en l epliión nterior está dd por A en este ejemplo. Ahor integrrá est funión de de : d d d d d 7

8 SECCIÓN 5. INTEGALES ITEAAS 96 (b) Aquí se integr primero on respeto : d d d d d 9 d 9 7 Observe que en el ejemplo se obtiene l mism respuest si se integr primero on respeto o. En generl, result (vése teorem 4) que ls dos integrles iterds de ls euiones son siempre igules; es deir, no import el orden de integrión. (Esto es similr l teorem de Clirut en l iguldd de ls derivds priles mits.) En el siguiente teorem se d un método prátio pr evlur un integrl doble epresándol omo un integrl iterd (en ulquier orden). & El nombre del teorem 4 es en honor l mtemátio itlino Guido Fubini (879-94), quien demostró un versión mu generl de este teorem en 97. Pero si un siglo ntes, el mtemátio frnés Augustin-Louis Cuh tení onoimiento de l versión pr funiones ontinus. b FIGUA z TEC Visul 5. ilustr el teorem de Fubini mostrndo un nimión de ls figurs. 4 TEOEMA E FUBINI Si f es ontinu en el retángulo, b, d, entones f, da b d f, d d d En términos generles, esto es ierto si se supone que f está otd en, f es disontinu sólo en un número finito de urvs uniformes eisten integrles iterds. L demostrión del teorem de Fubini es mu difíil pr inluirl en este libro, pero l menos se puede dr un indiión intuitiv de por qué se umple pr el so donde f,. euerde que f es positiv, entones se puede interpretr l integrl doble f, da omo el volumen V del sólido S que e rrib de debjo de l superfiie z f,. Pero se tiene otr fórmul que se usó pr el volumen en el pítulo 6, sber, V b A d donde A es el áre de un seión trnsversl de S en el plno que ps por es perpendiulr l eje. e l figur se puede ver que A es el áre bjo l urv C u euión es z f,, donde se mntiene onstnte d. Por lo tnto b f, d d z tiene A d f, d f, da V b A d b d f, d d d Un rgumento similr, on seiones trnsversles perpendiulres l eje omo en l figur, muestr que FIGUA f, da d b f, d d

9 96 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES V EJEMPLO Evlúe l integrl doble, donde, da,. (Compre on el ejemplo de l seión 5..) & Observe l respuest negtiv del ejemplo ; no h nd mlo on eso. L funión f en ese ejemplo no es un funión positiv, sí que su integrl no represent un volumen. e l figur se ve que f es siempre negtiv en, sí que el volumen de l integrl es el negtivo del volumen que e rrib de l gráfi de f bjo de. SOLUCIÓN El teorem de Fubini d da [ d d ] d 7 d 7 SOLUCIÓN Al plir de nuevo el teorem de Fubini, pero est vez integrndo primero on respeto, se obtiene _4 z _8 z=- _.5.5 da d d d FIGUA 6 d ] V EJEMPLO Evlúe sen da, donde,,. SOLUCIÓN Si se integr primero on respeto, se obtiene sen da sen d d [os] os os d sen sen ] SOLUCIÓN Si se invierte el orden de integrión, se obtiene d & Pr un funión f que tom vlores positivos negtivos, f, da es un difereni de volúmenes: V V, donde V es el volumen rrib de bjo de l gráfi de f, V es el volumen debjo de rrib de l gráfi. El heho de que l integrl del ejemplo se signifi que estos dos volúmenes son igules (vése figur 4). sen da Pr evlur l integrl intern se emple l integrión por prtes on u du d sen d d dv sen d v os z _ FIGUA 4, por lo tnto, os sen d os os [sen] sen os d

10 SECCIÓN 5. INTEGALES ITEAAS 96 Si hor se integr el primer término por prtes on u dv os d, se obtiene du d, v sen, os d sen sen d & En el ejemplo, ls soluiones son igulmente direts, pero en el ejemplo, l primer soluión es muho más fáil que l segund. Por lo tnto, undo se evlún integrles dobles, es sbio elegir el orden de integrión que d integrles más simples. Por lo tnto, entones os sen d sen sen d d sen sen sen V EJEMPLO 4 Enuentre el volumen del sólido S otdo por el prboloide elíptio z 6, los plnos los tres plnos oordendos. 6 z 8 SOLUCIÓN Primero se observ que S es el sólido que e debjo de l superfiie z 6 rrib del udrdo,,. (Vése figur 5.) Este sólido se onsideró en el ejemplo de l seión 5., pero hor se está en posiión de evlur l integrl doble por medio del teorem de Fubini. Por lo tnto 4 FIGUA 5 V 6 da [6 ] d 6 d d ( 88 4 ) d [ 88 4 ] 48 En el so espeil donde f, se puede ftorizr omo el produto de un funión de un funión de, l integrl doble de f se puede esribir en un form prtiulrmente simple. Pr ser espeífios, supong que f, th, b, d. Entones el teorem de Fubini d f, da d b th d d d b th d d En l integrl intern es un onstnte, sí que h es un onstnte se puede esribir d b th d d d h b t d d b t d d h d b puesto que t d es un onstnte. Por lo tnto, en este so, l integrl doble de f se puede esribir omo el produto de dos integrles simples: 5 th da b t d d h d donde, b, d

11 964 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES EJEMPLO 5 Si,,, entones. medinte l euión 5 sen os da sen d os d [os ] [sen ] z & L funión f, sen os en el ejemplo 5 es positiv en, sí que l integrl represent el volumen del sólido que e rrib de bjo de l gráfi de f mostrd en l figur 6. FIGUA 6 5. EJECICIOS etermine f, d f, d.. f,. f (,) e 4 Clule l integrl iterd d d d d 8., da 9. sen da,., da,,, 6,,, 5. sen d d d d d d. u du dv. v5 6 5 os d d e d d e d d s d d. e da,., da,,,, 4 Bosqueje el sólido uo volumen está ddo por l integrl iterd. u du dr. r 4. sen ss t ds dt. 4 d d 5 Clule l integrl doble da, 6. os da,,, 7.,,,,, da 4. d d 5. Enuentre el volumen del sólido que e debjo del plno z rrib del retángulo,,. 6. etermine el volumen del sólido que e debjo del prboloide hiperbólio z 4 rrib del udrdo,,.

12 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES Enuentre el volumen del sólido que e debjo del prboloide elíptio 4 9 z rrib del retángulo,,. 8. Enuentre el volumen del sólido enerrdo por l superfiie z e sen los plnos,, z. 9. etermine el volumen del sólido otdo por l superfiie z se los plnos z,,, z.. Enuentre el volumen del sólido del primer otnte limitdo por el ilindro z 6 el plno 5. CAS 4. ibuje el sólido que e entre ls superfiies z e os z pr,. Use un sistem lgebrio omputionl pr proimr el volumen de este sólido orreto hst utro deimles. 5 6 Enuentre el vlor promedio de f sobre el retángulo ddo. 5. f,, tiene vérties,,, 5,, 5,, 6. f, e s e,, 4,. Enuentre el volumen del sólido enerrdo por el prboloide z ( ) los plnos z,,,, 4. ;. Grfique el sólido que se enuentr entre l superfiie z /( ) el plno z está otdo por los plnos,,, 4. A ontinuión enuentre su volumen. CAS. Use un sistem lgebrio omputionl pr hllr el vlor eto de l integrl 5 e da, donde,,. espués use el CAS pr dibujr el sólido uo volumen está ddo por l integrl. CAS 7. Use un CAS pr lulr ls integrles iterds d d Ls respuests ontrdien l teorem de Fubini? Eplique lo que suede. 8. () En qué form los teorems de Fubini Clirut son similres? (b) Si f, es ontinu en, b, d t, f s, t dt ds d d pr < < b, < < d, demuestre que t t f,. 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES Pr integrles simples, l región sobre l que se integr es siempre un intervlo. Pero pr integrles dobles, se dese poder integrr un funión f no sólo sobre retángulos, sino tmbién sobre regiones de form más generl, omo l que se ilustr en l figur. Se supone que es un región otd, lo que signifi que puede ser enerrd en un región retngulr omo en l figur. Entones se define un nuev funión F on dominio medinte F, f, si si, está en, está en pero no en FIGUA FIGUA

13 966 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES z gráfi de f Si l integrl doble de F eiste sobre, entones se define l integrl doble de f sobre medinte FIGUA FIGUA 4 z gráfi de F f, da F, da donde F está dd por l euión L definiión tiene sentido porque es un retángulo, por lo tnto, F, da h sido definid previmente en l seión 5.. El proedimiento que se usó es rzonble, porque los vlores de F, son undo, está fuer de, por onsiguiente, no ontribuen on l integrl. Esto signifi que no import qué retángulo se use, siempre undo onteng. En el so que f, ún se puede interpretr f, da omo el volumen del sólido que e rrib de debjo de l superfiie z f, (l gráfi de f ). Se puede ver que esto es rzonble si se omprn ls gráfis de f F en ls figurs 4 se reuerd que F, da es el volumen debjo de l gráfi de F. En l figur 4 se muestr tmbién que es probble que F teng disontinuiddes en los puntos límite de. Sin embrgo, si f es ontinu en l urv límite de tiene un buen omportmiento en un sentido fuer del lne de este libro, entones se puede demostrr que F, da eiste, por lo tnto, f, da eiste. En prtiulr, éste es el so pr los siguientes tipos de regiones. Se die que un región pln es de tipo I si e entre ls gráfis de dos funiones ontinus de, es deir,, b, t t donde t t son ontinus en, b. Algunos ejemplos de regiones tipo I se muestrn en l figur 5. =g () =g () =g () =g () =g () =g () b b b FIGUA 5 Alguns regiones tipo I =g () d =g () b FIGUA 6 A fin de evlur f, da undo es un región de tipo I, se elige un retángulo, b, d que ontiene, omo en l figur 6, se F l funión dd por l euión ; es deir, F onuerd on f en F es fuer de. Entones, por el teorem de Fubini, Observe que F, si g o g porque entones, está fuer de. Por lo tnto d f, da F, da b F, d t F, d t f, d t d t F, d d

14 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES 967 porque F, f, undo t t. Así, se tiene l siguiente fórmul que permite evlur l integrl doble omo un integrl iterd. Si f es ontinu en un región tipo I tl que, b, t t d =h () =h () entones f, da b t t f, d d L integrl del ldo dereho de () es un integrl iterd que es similr ls onsiderds en l seión nterior, eepto que en l integrl intern se onsider omo un onstnte no sólo en f, sino tmbién en los límites de integrión, t t. Se onsidern tmbién ls regiones plns de tipo II, que se pueden epresr omo d =h () =h () 4, d, h h donde h h son ontinus. En l figur 7 se ilustrn dos regiones de este tipo. Si se usn los métodos que se empleron pr estbleer (), se puede demostrr que FIGUA 7 Alguns regiones de tipo II 5 f, da d donde es un región de tipo II dd por l euión 4. h h f, d d V EJEMPLO Evlúe da, donde es l región otd por ls prábols. (_, ) =+ (, ) SOLUCIÓN Ls prábols se ortn undo, es deir,, por lo tnto. Se not que l región, bosquejd en l figur 8, es un región de tipo I, pero no un región de tipo II se puede esribir,, = Puesto que el límite inferior es el límite superior es, l euión d _ da d d FIGUA 8 [ ] d d 4 d

15 968 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES = (, 4) = NOTA Cundo se estblee un integrl doble omo en el ejemplo, es esenil dibujr un digrm. A menudo es útil dibujr un fleh vertil omo en l figur 8. Entones los límites de integrión de l integrl intern se leen del digrm omo sigue: l fleh omienz en el límite inferior t, que d el límite inferior en l integrl, l fleh termin en el límite superior t, que d el límite superior de integrión. Pr un región tipo II, l fleh se trz horizontlmente del límite izquierdo l dereho. FIGUA 9 es un región de tipo I EJEMPLO Enuentre el volumen del sólido que e debjo del prboloide z rrib de l región en el plno otdo por l líne l prábol. SOLUCIÓN En l figur 9 se ve que es un región de tipo I,, 4 (, 4) Por lo tnto, el volumen debjo de z rrib de es = V da d d =œ d d FIGUA omo un región tipo II & En l figur se muestr el sólido uo volumen se luló en el ejemplo. Ye rrib del plno, debjo del prboloide z, entre el plno el ilindro prbólio d SOLUCIÓN e l figur se ve que se puede esribir tmbién omo un región tipo II: Por lo tnto, otr epresión pr V es {, 4, s} = z V da 4 s d d 4 s d d ] FIGUA V EJEMPLO Evlúe da, donde es l región otd por l líne l prábol 6. SOLUCIÓN L región se muestr en l figur. e nuevo es tipo I tipo II, pero l desripión de omo un región de tipo I es más omplid porque el límite inferior onst de dos prtes. Por lo tnto, se prefiere epresr omo un región tipo II: {(, ) 4, }

16 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES 969 =œ +6 =- (5, 4) = - =+ (5, 4) _ =_œ +6 (_, _) (_, _) _ FIGUA () omo un región de tipo I (b) omo un región de tipo II Entones (5) d da 4 4 d d d 4 [ ( ) ] d d z (,, ) Si se hubier epresdo omo un región de tipo I por medio de l figur (), entones se hbrí obtenido = T ++z= (,, ) da d d 5 s6 d d s6 s6,, pero esto hbrí requerido más trbjo que el otro método. FIGUA EJEMPLO 4 Enuentre el volumen del tetredro otdo por los plnos z,, z. += o =- =, SOLUCIÓN En un pregunt tl omo ést, es onsejble dibujr dos digrms: un del sólido tridimensionl otr de l región pln sobre l ul e. En l figur se muestr el tetredro T otdo por los plnos oordendos, z, el plno vertil el plno z. Puesto que el plno z ort l plno (u euión es z ) en l líne, se ve que T está rrib de l región tringulr en el plno otdo por ls línes,. (Vése figur 4.) El plno z se puede esribir omo z, sí que el volumen requerido se loliz debjo de l gráfi de l funión z rrib de FIGUA 4 {,, }

17 97 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES Por onsiguiente, V da [ ] d d d d 4 d = = V EJEMPLO 5 Evlúe l integrl iterd. sen d d SOLUCIÓN Si se intent evlur l integrl omo está, se enfrent l tre de evlur primero sen d. Pero es imposible herlo en términos finitos, puesto que sen d no es un funión elementl. (Vése el fin de l seión 7.5.) Así que se debe mbir el orden de integrión. Esto se llev bo l epresr primero l integrl iterd dd omo un integrl doble. Si se us () hi trás, se tiene FIGUA 5 omo un región de tipo I = = FIGUA 6 omo un región de tipo II sen d d sen da donde,, Se bosquej est región en l figur 5. espués, de l figur 6 se ve que un desripión lterntiv de es,, Esto permite usr 5 pr epresr l integrl doble omo un integrl iterd en el orden inverso: sen d d sen da sen d os ] sen d d [ sen ] d os POPIEAES E INTEGALES OBLES Se supone que tods ls siguientes integrles eisten. Ls tres primers propieddes de ls integrles dobles sobre un región se deduen de inmedito de l definiión ls propieddes 7, 8 9 en l seión f, t, da f, da f, da f, da t, da

18 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES 97 Si f, t, pr tod, en, entones 8 f, da t, da L siguiente propiedd de ls integrles dobles es similr l propiedd de ls integrles simples dd por l euión b f d. f d b f d Si, donde no se trslpn eepto quizá en sus límites (vése figur 7), entones FIGUA 7 9 f, da f, da f, da L propiedd 9 se puede usr pr evlur ls integrles dobles en ls regiones que no son ni tipo I ni II, pero se pueden epresr omo un unión de regiones de tipo I o tipo II. En l figur 8 se ilustr este proedimiento. (Vése los ejeriios 5 5.) FIGUA 8 () no es tipo I ni tipo II. (b) =, es tipo I, es tipo II. z z= L siguiente propiedd de ls integrles estblee que si se integr l funión onstnte f, sobre un región, se obtiene el áre de : FIGUA 9 Cilindro on bse ltur da A En l figur 9 se ilustr por qué es iert l euión : un ilindro sólido u bse es u ltur es tiene un volumen A A, pero se sbe que su volumen se puede esribir tmbién omo da. Por último, se pueden ombinr ls propieddes 7, 8 pr probr l siguiente propiedd. (Vése el ejeriio 57.) Si m f, M pr tod, en, entones ma f, da MA

19 97 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES EJEMPLO 6 Use l propiedd pr estimr l integrl e sen os da, donde es el diso on entro en el origen rdio. SOLUCIÓN Como sen os, se tiene sen os, por lo tnto, e e sen os e e Así, on m e e, M e A en l propiedd, se obtiene 4 e e sen os da 4e 5. EJECICIOS 6 Evlúe l integrl iterd.. d d.. ( ) d d s os e sen dr d 6. ( ) d d d d v s v du dv 7. está otd por el írulo on entro en el origen rdio. da, 8. da, es l región tringulr on vérties,,,,. 7 8 Evlúe l integrl doble s da,. os da, está otd por,,. 4. da, está otd por s 5. da, 6. da, 5 da, da, {, p, sen } da, e da,,,,,, e, ln, 4,,, es l región tringulr on vérties,,,,. da, está enerrd por s 9 8 Enuentre el volumen del sólido ddo. 9. ebjo del plno z rrib de l región otd por 4.. ebjo de l superfiie z rrib de l región otd por.. ebjo de l superfiie z rrib del triángulo on vérties,, 4,,.. Enerrdo por el prboloide z los plnos,,, z.. Aotdo por los plnos oordendos el plno z Aotdo por los plnos z,, z. 5. Aotdo por los ilindros z, los plnos z, Aotdo por el ilindro z 4 los plnos,, z en el primer otnte. 7. Aotdo por el ilindro los plnos z,, z en el primer otnte. 8. Aotdo por los ilindros r z r. ; 9. Use un luldor o omputdor pr estimr ls oordends de los puntos de interseión de ls urvs 4. Si es l región otd por ests urvs, estime da.

20 SECCIÓN 5. INTEGALES OBLES SOBE EGIONES GENEALES 97 ;. Enuentre el volumen proimdo del sólido en el primer otnte que está otdo por los plnos, z z el ilindro os. (Use un dispositivo de grfiión pr estimr los puntos de interseión.) Enuentre el volumen del sólido restndo dos volúmenes.. El sólido enerrdo por los ilindros prbólios, los plnos z, z.. El sólido enerrdo por el ilindro prbólio los plnos z, z. 5 5 Eprese omo un unión de regiones del tipo I o tipo II evlúe l integrl. 5. da (, ) 5. da =(+)@ _ =-Á _ CAS 4 Tre el sólido uo volumen está ddo por l integrl iterd.. ( ) d d Use un sistem lgebrio omputionl pr hllr el volumen eto del sólido. 5. ebjo de l superfiie z 4 rrib de l región otd por ls urvs pr. 6. Entre los prboloides z z 8 dentro del ilindro. 7. Enerrdo por z z. 8. Enerrdo por z z Bosqueje l región de integrión mbie el orden de integrión. 9. f, d d f, d d Evlúe l integrl invirtiendo el orden de integrión d d s s s9 s9 ln e d d f, d d rsen os s os d d e 4 d d s ( ) d d 4 f, d d 4 s9 4 rtn f, d d sp sp e / d d f, d d os( ) d d CAS 5 54 Use l propiedd pr estimr el vlor de l integrl. 5. e ( ) da, Q es el urto de írulo on entro en el origen rdio en el primer udrnte. 54. sen 4 ( ) da, T es el triángulo enerrdo por ls rets,, Enuentre el vlor promedio de f sobre l región. 55. f(, ), es el triángulo on vérties (, ), (, ), (, ) 56. f(, ) sen, está enerrdo por ls urvs, 57. emuestre l Propiedd. 58. Al evlur un integrl doble sobre un región, se obtuvo un sum de integrles iterds omo sigue: f, da f, d d f, d d Bosqueje l región eprese l integrl doble omo un integrl iterd on orden inverso de integrión. 59. Evlúe tn 4 da, donde,. [Sugereni: eplote el heho de que es simétri on respeto mbos ejes.] 6. Use simetrí pr evlur 4 da, donde es l región otd por el udrdo on vérties 5,, Clule s da, donde es el diso, identifindo primero l integrl omo el volumen del sólido. 6. ibuje el sólido otdo por el plno z el prboloide z 4 enuentre su volumen eto. (Use su CAS pr onstruir l gráfi, hllr ls euiones de ls urvs límite de l región de integrión evlur l integrl doble.)

21 974 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES 5.4 INTEGALES OBLES EN COOENAAS POLAES Supong que se dese evlur un integrl doble f, da, donde es un de ls regiones mostrds en l figur. En ulquier so, l desripión de en términos de oordends retngulres es bstnte omplid, pero se desribe fáilmente por medio de oordends polres. + = + =4 + = FIGUA () =s(r, ) r, πd (b) =s(r, ) r, πd P(r, )=P(, ) euerde de l figur que ls oordends polres r, de un punto se relionn on ls oordends retngulres, medinte ls euiones r r r os r sen O FI GUA (Vése l seión..) Ls regiones de l figur son sos espeiles de un retángulo polr r, r b, que se muestr en l figur. A fin de lulr l integrl doble f, da, donde es un retángulo polr, se divide el intervlo, b en m subintervlos r i, r i de igul mplitud r b m se divide el intervlo, en n subintervlos j, j de igul mplitud n. Entones los írulos r r i los ros j dividen l retángulo polr en pequeños retángulos polres mostrdos en l figur 4. = j = j_ = r=b ij (r i *, j*) Î r= =å r=r i O å O r=r i_ FIGUA etángulo polr FIGUA 4 ivisión de en subretángulos

22 SECCIÓN 5.4 INTEGALES OBLES EN COOENAAS POLAES 975 El entro del subretángulo polr ij r, r i r r i, j tiene oordends polres j r i * r i r i j* j j Se lul el áre de ij usndo el heho de que el áre de un setor de un írulo on rdio r ángulo entrl es r. Al restr ls áres de dos setores de est lse, d uno de los ules tiene ángulo entrl j j, se enuentr que el áre de ij es A i r i r i r i r i r i r i r i r i r* i r Aunque se h definido l integrl doble f, da en términos de retángulos ordinrios, se puede demostrr que, pr funiones ontinus f, se obtiene siempre l mism respuest por medio de retángulos polres. Ls oordends retngulres del entro de ij son r* i os j*, r i * sen j*, de modo que un sum de iemnn representtiv es m n i j f r i * os j*, r i * sen j* A i m n i j f r i * os j*, r i * sen j* r i * r Si se esribe tr, rf r os, r sen, entones l sum de iemnn en l euión se puede esribir omo m n i j tr i *, j* r que es un sum de iemnn pr l integrl doble Por lo tnto, se tiene b tr, dr d f, da lím m, n l m lím m, n l m n i j n i j f r i * os j*, r i * sen j* A i tr i *, j* r b f r os, r sen r dr d b tr, dr d CAMBIO A COOENAAS POLAES EN UNA INTEGAL OBLE Si f es ontinu en un retángulo polr ddo por r b, b, donde b, entones f, da b f r os, r sen r dr d

23 976 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES L fórmul en () die que se onvierte de oordends retngulres polres en un integrl doble si se esribe r os r sen, l usr los límites de integrión propidos pr r, remplzr da por r dr d. Teng uiddo de no olvidr el ftor diionl r en el ldo dereho de l fórmul. Un método lásio pr reordr esto se muestr en l figur 5, donde el retángulo polr infinitesiml se puede onsiderr omo un retángulo ordinrio on dimensiones rd dr, por lo tnto, tiene áre da r dr d. d da dr r r d FIGUA 5 O EJEMPLO Evlúe 4 da, donde es l región en el semiplno superior otdo por los írulos 4. SOLUCIÓN L región se puede desribir omo Es l mitd de nillo mostrd en l figur (b), en oordends polres está dd por r,. Por lo tnto, por l fórmul, 4 da,, 4 r os 4r sen r dr d r os 4r sen dr d [r os r 4 sen ] r r d 7 os 5 sen d & Aquí se us l identidd trigonométri sen os Vése en l seión 7. un reomendión er de l integrión de funiones trigonométris. [7 os 5 os ] d 7 sen 5 5 sen 4 5 V EJEMPLO Enuentre el volumen del sólido otdo por el plno z el prboloide z. FIGUA 6 z (,, ) SOLUCIÓN Si z en l euión del prboloide, se obtiene. Esto signifi que el plno ort l prboloide en el írulo, sí que el sólido está debjo del prboloide rrib del diso irulr ddo por [vése ls figurs 6 ()]. En oordends polres está dd por r,. Puesto que r, el volumen es V da d r r dr r r r dr d r 4 4

24 SECCIÓN 5.4 INTEGALES OBLES EN COOENAAS POLAES 977 Si se hubiern empledo oordends retngulres en lugr de oordends polres, entones se hbrí obtenido V da s s d d que no es fáil evlur, porque se requiere hllr l siguiente integrl: d = r=h ( ) Lo que se h heho hst quí se puede etender l tipo de región más omplid de l figur 7. Es similr ls regiones retngulres tipo II onsiderds en l seión 5.. e heho, l ombinr l fórmul de est seión on l fórmul 5..5, se obtiene l siguiente fórmul. O å =å r=h ( ) Si f es ontinu en un región polr de l form r,, h r h FIGUA 7 =s(r, ) å, h ( ) r h ( )d entones f, da h f r os, r sen r dr d h En prtiulr, si se tom f,, h h h en est fórmul, se ve que el áre de l región otd por, r h es A esto onuerd on l fórmul.4.. da h r d V EJEMPLO Use l integrl doble pr hllr el áre enerrd por un pétlo de l ros de utro hojs r os. h r dr d h d = π 4 SOLUCIÓN el bosquejo de l urv en l figur 8 se ve que el pétlo está ddo por l región {r, 4 4, r os } Así que el áre es =_ π 4 A 4 da os 4 r dr d FIGUA [ r ] os d 4 4 os d 4 4 os 4 d 4 [ 4 4 sen 4] 4 4 8

25 978 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES (-)@+ = (o r= os ) V EJEMPLO 4 Enuentre el volumen del sólido que e debjo del prboloide z, rrib del plno dentro del ilindro. SOLUCIÓN El sólido e rrib del diso uo írulo límite tiene l euión o bien, después de ompletr el udrdo, FIGUA 9 z (vénse ls figurs 9 ). En oordends polres se tiene r r os, por lo tnto el írulo límite se onvierte en r r os, o r os. Así, el diso está ddo por {r,, r os }, por l fórmul, se tiene FIGUA V 4 os4 d da os 8 os os 4 d [ sen 8 sen 4] r r dr d os 4 d 8 r 4 os 4 os d d 5.4 EJECICIOS 4 Se muestr un región. eid si emple oordends polres o retngulres esrib f, da omo un integrl iterd, donde f es un funión ontinu rbitrri en... 4 =- 5 6 Bosqueje l región u áre está dd por l integrl evlúe l integrl r dr d os r dr d 7 4 Evlúe l integrl dd mbindo oordends polres. 4 _ 7. da, donde es el diso on entro en el origen rdio. 8. da, donde es l región que e l izquierd del eje entre los írulos _ 6 9. os da, donde es l región lolizd rrib del eje dentro del írulo 9.. s4 da, donde, 4, e. da, donde es l región otd por el semiírulo s4 el eje.. e da, donde es l región en el primer udrnte enerrdo por el írulo 5.

26 SECCIÓN 5.4 INTEGALES OBLES EN COOENAAS POLAES 979. rtn da, donde, 4, 4. da, donde es l región en el primer udrnte lolizd entre los írulos Use un integrl doble pr hllr el áre de l región. 5. Un pétlo de l ros r os. 6. L región enerrd por l urv r 4 os. 7. L región dentro de los írulos r os r sen. 8. L región dentro del rdioide r os u fuer del írulo r os u 9 7 Use oordends polres pr hllr el volumen del sólido. 9. ebjo del ono z s rrib del diso 4.. Abjo del prboloide z 8 rrib del plno. Enerrd por el hiperboloide z el plno z. entro de l esfer z 6 fuer del ilindro 4.. Un esfer de rdio. 4. Aotdo por el prboloide z el plno z 7 en el primer otnte. 5. Arrib del ono z s debjo de l esfer z. 6. Aotdo por los prboloides z z entro del ilindro 4 el elipsoide 4 4 z () Se us un bro ilíndri on rdio r pr her un perforión por el entro de un esfer de rdio r. Enuentre el volumen del sólido en form de nillo que qued. (b) Eprese el volumen del iniso () en términos de l ltur h del nillo. Observe que el volumen depende sólo de h, no de r o r. 9 Evlúe l integrl iterd onvirtiendo oordends polres. s9 9. sen ( ) d d. s. ( ) d d. s d d s s d d. Un lber es irulr on un diámetro de 4 pies. L profundidd es onstnte lo lrgo de ls línes este-oeste se inrement de form linel desde pies en el etremo sur hst 7 pies en el etremo norte. etermine el volumen del gu en l lber. 4. Un spersor gríol distribue gu en un ptrón irulr de rdio pies. Suministr gu un profundidd de e r pies por hor un distni de r pies desde el spersor. () Cuál es l ntidd totl de gu suministrd por hor l región dentro del írulo de rdio entrdo en el roidor? (b) etermine un epresión pr l ntidd promedio de gu por hor por pie udrdo suministrd l región dentro del írulo de rdio. 5. Use ls oordends polres pr ombinr l sum en un integrl doble. espués evlúe l integrl doble. 6. () Se define l integrl impropi (sobre el plno ompleto) donde es el diso on rdio entro en el origen. emuestre que (b) Un definiión equivlente de l integrl impropi del iniso () es donde S es el udrdo on vérties,. Use esto pr demostrr que () eduz que (d) Medinte el mbio de vrible t s, demuestre que (Éste es un resultdo fundmentl pr probbilidd estdísti.) 7. Use el resultdo del ejeriio 6 iniso () pr evlur ls siguientes integrles. () s s d d s I lím l e d e da e da e da e da lim l S e d e d e d s e d s d d s s4 d d e da (b) s e d e d d

27 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES POYECTO E APLICACIÓN å h CAEA E OBJETOS CICULAES Supong que un bol sólid (un ni), un bol hue (un pelot de sqush), un ilindro sólido (un brr de ero) un ilindro hueo (un tuberí de plomo) ruedn por un pendiente. Cuál de estos objetos lleg primero l fondo? (Hg un infereni ntes de proeder.) Pr ontestr est pregunt se onsider un bol o ilindro on ms m, rdio r momento de ineri I (respeto l eje de rotión). Si l íd vertil es h, entones l energí potenil en l prte superior es mth. Supong que el objeto lleg l fondo on veloidd v veloidd ngulr w, de modo que v vr. L energí inéti en el fondo onsiste en dos prtes: mv de l trslión (l bjr l pendiente) I de l rotión. Si se supone que l pérdid de energí de l friión de rodmiento es insignifinte, entones l onservión de energí d. emuestre que v mth mv I th I*. Si t es l distni vertil reorrid en el tiempo t, entones on el mismo rzonmiento usdo en el problem se muestr que v t I* en ulquier tiempo t. Use este resultdo pr mostrr que stisfe l euión diferenil d dt t I* sen s donde es el ángulo de inlinión del plno. donde I* I mr. esuelv l euión diferenil del problem demuestre que el tiempo de vije totl es h I* T t sen Esto demuestr que el objeto on el vlor más pequeño de I* gn l rrer. 4. emuestre que I* pr un ilindro sólido e I* pr un ilindro hueo. 5. Clule I* pr un bol prilmente hue on rdio interno rdio eterno r. Eprese su respuest en términos de b r. Qué suede undo l undo l r? 6. emuestre que I* pr un bol sólid e I* 5 pr un bol hue. Así, los objetos terminn en el siguiente orden: bol sólid, ilindro sólido, bol hue, ilindro hueo. 5.9 CAMBIO E VAIABLES EN INTEGALES MÚLTIPLES En álulo unidimensionl se emple on freueni un mbio de vrible (un sustituión) pr simplifir un integrl. Si se invierten los ppeles de u, se puede esribir l regl de sustituión (5.5.6) omo b f d d f tutu du donde tu t, b td. Otr form de esribir l fórmul es omo sigue: b f d d f u d du du

28 SECCIÓN 5.9 CAMBIO E VAIABLES EN INTEGALES MÚLTIPLES Un mbio de vribles puede ser útil tmbién en ls integrles dobles. Y se h visto un ejemplo de esto: onversión oordends polres. Ls nuevs vribles r se relionn on ls vribles impres medinte ls euiones r os r sen l fórmul de mbio de vribles (5.4.) se puede esribir omo f, da S f r os, r sen r dr d donde S es l región en el plno r que orresponde l región en el plno. e mner más generl, se onsider un mbio de vribles que está ddo por un trnsformión T del plno uv l plno : Tu, v, donde se relionn on u v medinte ls euiones tu, v hu, v o, omo lguns vees se esribe, u, v u, v Por lo omún, se supone que T es un trnsformión C, lo que signifi que t h tienen derivds priles ontinus de primer orden. Un trnsformión T es en relidd un funión uo dominio rngo son subonjuntos de. Si Tu, v,, entones el punto, se llm imgen del punto u, v. Si no h dos puntos que tengn l mism imgen, T se llm uno uno. En l figur se muestr el efeto de un trnsformión T en un región S en el plno uv. T trnsform S en un región en el plno llmd imgen de S, que onst de ls imágenes de los puntos en S. S (u, ) T T! (, ) FIGUA u Si T es un trnsformión uno uno, entones tiene un trnsformión invers T del plno l plno uv podrí ser posible resolver ls euiones pr u v en términos de : u G, v H, V EJEMPLO Un trnsformión se define por ls euiones u v uv Enuentre l imgen del udrdo S u, v u, v. SOLUCIÓN L trnsformión he orresponder el límite de S on el límite de l imgen. Así que se omienz por hllr ls imágenes de los ldos de S. El primer ldo, S, está ddo

29 4 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES S (, ) (, ) S S S S (, ) u por v u. (Vése fig..) e ls euiones dds se tiene u,, por lo tnto,. Así, S se he orresponder on el segmento de ret de,, en el plno. El segundo ldo, S, es u v, si u en ls euiones dds, se obtiene Al eliminr v se obtiene v v T 4 4 = - 4 (_, ) FIGUA (, ) =- 4 (, ) que es l prte de un prábol. e mner similr, S está dd por v, u, u imgen es el ro prbólio 5 4 Por último, S 4 está ddo por u v u imgen es v,, es deir,. (Observe que undo se v lrededor del udrdo en el sentido ontrrio ls mneills del reloj, tmbién se reorre l región prbóli en direión ontrri ls mneills del reloj). L imgen de S es l región (mostrd en l figur ) otd por el eje ls prábols dds por ls euiones 4 5. Ahor se verá ómo un mbio de vribles fet l integrl doble. Se empiez on un retángulo pequeño S en el plno uv u esquin inferior izquierd es el punto u, v us dimensiones son u v. (Vése fig..) u=u r (u, ) Î (u, ) S Îu = T (, ) r (u, ) FIGUA u L imgen de S es un región en el plno, uno de uos límites es, Tu, v. El vetor ru, v tu, v i hu, v j es el vetor de posiión de l imgen del punto u, v. L euión del ldo inferior de S es v v, u urv imgen está dd por l funión vetoril ru, v. El vetor tngente en, est urv imgen es r u t u u, v i h u u, v j u i u j e mner similr, el vetor tngente en, l urv imgen del ldo izquierdo de S ( sber, u u ) es r v t v u, v i h v u, v j v i v j

30 SECCIÓN 5.9 CAMBIO E VAIABLES EN INTEGALES MÚLTIPLES 5 r (u, ) r (u b Î ) Se puede proimr l región imgen TS por el prlelogrmo determindo por los vetores sentes ru u, v ru, v b ru, v v ru, v FIGUA 4 r (u Î ) mostrdos en l figur 4. Pero ru u, v ru, v r u lím u l u Î r, por lo tnto, ru u, v ru, v u r u r (u, ) Îu r u e mner similr, ru, v v ru, v v r v FIGUA 5 Esto signifi que se puede proimr medinte un prlelogrmo determindo por los vetores u r u v r v. (Vése fig. 5.) Por lo tnto, se puede proimr el áre de medinte el áre de este prlelogrmo, el ul, de l seión.4, es 6 u r u v r v r u r v u v Al lulr el produto punto, se obtiene i j k r u r v u u v v u v u v k u u v k v El determinnte que surge en este álulo se llm jobino de l trnsformión se le d un notión espeil. & eibe el nombre de jobino en honor l mtemátio lemán Crl Gustv Job Jobi (84-85). Aunque el mtemátio frnés Cuh fue el primero que usó estos determinntes espeiles reliondos on derivds priles, Jobi desrrolló on ellos un método pr evlur integrles múltiples. 7 EFINICIÓN hu, v es El jobino de l trnsformión T ddo por tu, v, u, v u u v v u v v u Con est notión se puede usr l euión 6 pr dr un proimión del áre A de : 8 donde el jobino se evlú en u, v., A u, v u v

31 6 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES A ontinuión se divide un región S en el plno uv en retángulos S ij ls imágenes en el plno se les llm ij. (Vése fig. 6.) S ij S Î Îu T ij (u i, j ) ( i, j ) FIGUA 6 u Al plir l proimión (8) d ij, se proim l integrl doble de f sobre omo sigue: f, da m donde el jobino se evlú en u i, v j. Observe que est sum doble es un sum de iemnn pr l integrl S m n i j n i j f i, j A, f tu i, v j, hu i, v j u, v u v, f tu, v, hu, v u, v du dv El rgumento nterior he pensr que el siguiente teorem es ierto. (En libros de álulo vnzdos se d un demostrión omplet.) 9 CAMBIO E VAIABLES EN UNA INTEGAL OBLE Supong que T es un trnsformión C uo jobino es no nulo que relion un región S en el plno uv on un región en el plno. Supong que f es ontinu en, que S son regiones plns tipo I o tipo II. Supong tmbién que T es uno uno, eepto quizá en el límite de S. Entones f, da S, f u, v, u, v u, v du dv El Teorem 9 die que se mbi de un integrl en un integrl en u v l epresr en términos de u v esribir, da u, v du dv Observe l similitud entre el Teorem 9 l fórmul unidimensionl en l euión. En lugr de l derivd ddu, se tiene el vlor bsoluto del jobino, es deir,, u, v.

32 SECCIÓN 5.9 CAMBIO E VAIABLES EN INTEGALES MÚLTIPLES 7 r= = S r=b Como un primer ilustrión del Teorem 9, se muestr que l fórmul pr integrión en oordends polres es sólo un so espeil. Aquí l trnsformión T del plno r l plno está dd por å =å tr, r os hr, r sen = T b r=b r l representión geométri de l trnsformión se muestr en l figur 7. T estblee un orrespondeni entre un retángulo ordinrio en el plno r el retángulo polr en el plno. El jobino de T es, r, r r os sen r sen r os r os r sen r r= å =å FIGUA 7 Trnsformión en oordends polres Así, el Teorem 9 d f, d d S que es lo mismo que l fórmul f r os, r sen, r, dr d b f r os, r sen r dr d V EJEMPLO Use el mbio de vribles u v, uv pr evlur l integrl, donde es l región otd por el eje ls prábols da ,. SOLUCIÓN L región se ilustr en l figur. En el ejemplo se desubrió que TS, donde S es el udrdo,,. e heho, l rzón pr her el mbio de vribles pr evlur l integrl es que S es un región muho más simple que. Primero se neesit evlur el jobino: Por lo tnto, por el Teorem 9,, u, v da S 8 u u, uv u, v da v v u v u v uv du dv 8 v u 4u 4v uv4u v du dv [ 4u 4 v u v ] u u dv v 4v dv [v v 4 ]

33 8 CAPÍTULO 5 INTEGALES MÚLTIPLES NOTA El ejemplo no fue un problem mu difíil de resolver, porque se tení un mbio de vribles deudo. Si no se tuvier un trnsformión, entones el primer pso es onsiderr un mbio de vribles propido. Si, es difíil de integrr, entones l form de f, puede her pensr en un trnsformión. Si l región de integrión es difíil, entones l trnsformión debe ser elegid de modo que l región orrespondiente en S en el plno uv teng un desripión onveniente. EJEMPLO Evlúe l integrl e da, donde es l región trpezoidl on vérties,,,,,,. SOLUCIÓN Puesto que no es fáil integrr por l form de est funión: e, se he un mbio de vribles sugerido u v Ests euiones definen un trnsformión T del plno l plno uv. El Teorem 9 hbl er de un trnsformión T del plno uv l plno. Se obtiene l despejr de ls euiones : u v u v El jobino de T es, u, v u u v v Pr hllr l región S en el plno uv orrespondiente, se not que los ldos de están sobre ls línes (_, ) = (, ) u=_ S u= (_, ) (, ) = u, de ls euiones u, ls línes imgen en el plno uv son u v v u v v Así, l región S es l región trpezoidl on vérties,,,,,, mostrd en l figur 8. Puesto que T T! S u, v v, v u v -= -= El Teorem 9 d e da S, e uv du dv u, v v v e uv ( ) du dv [ve uv uv ] uv dv FIGUA 8 e e v dv 4e e