22. Trigonometría, parte II

Transcripción

1 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por α el ángulo que inlue el segmento OP on el eje de oordends x. P O α x Vmos determinr ls oordends del punto P. Pr ello diujmos un perpendiulr l eje de oordends x por el punto P. Así otenemos un triángulo retángulo on ángulo α e hipotenus. El teto dente mide l oordend x del punto P. P O α x Est oordend P x = sin(α) similr P = os(α). Conluimos que ls oordends del punto P son P( os(α), sin(α) ). 22-

2 Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Est ide permite extender l definiión de ls funiones trigonométris ún pr ángulos mores que 90. Por definión, os(α) es l oordend x de un punto que se otiene l rotr (, 0) por el ángulo α en sentido mtemátimente positivo, es deir, en sentido ontrrio de ls mneills del reloj. De mner similr sin(α) se define omo l oordend de este mismo punto. Ejemplo. L siguiente ilustrión muestr sin(50 ) = 0.5 os(50 ) = P sin(50 ) = 0.5 O 50 (,0) x os(50 ) = De est mner extendemos el dominio de ls funiones trigonométris seno oseno. El dominio es el rngo de números que podemos dr omo rgumento l funón. Con l definión de l funión seno omo sen(α) = teto opuesto hipotenus sólo tiene sentido tomr α en el rngo de Con l nuev definión extendimos este rngo de Aún más, si pensmos que girr un punto por un ángulo de 400 es lo mismo que girrlo por 40 = entones podemos evlur ls funiones trigonométris sen os en ulquier ángulo α. Ls gráfis de ls funiones trigonométris Ls siguientes figurs muestrn ls gráfis de ls funiones trigonométris. 22-2

3 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II = sin α α = os α α = tn α α 22-3

4 Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Un identidd trigonométri importnte Ddo que d punto P(osα, sinα) se enuentr sore l irunfereni on entro (0, 0) rdio se tiene por el Teorem de Pitágors l siguiente identidd: (os α) 2 + (sin α) 2 = 2 =. Pero en vez de (osα) 2 se esrie os 2 α en vez de (sin α) 2 omo sin 2 α. Así que se tiene os 2 α + sin 2 α =. Simetrís De ls gráfis podemos oservr ls siguientes simetrís: Si reflejmos l gráfi del seno en α = 90 entones nd mi. Como f formul esto se expres omo sin(80 α) = sin α Si reflejmos l gráfi del oseno en α = 90 otenemos l gráfi de os. Por ello os(80 α) = os α Ams simetrís ls usremos más delnte en este mismo texto. Si omprmos ls gráfis del seno oseno otenemos que l del oseno es orrid hi l izquierd por 90. Como fórmul tenemos os(α) = sin(α + 90 ). L últim identidd es tn α = sin α osα. El Teorem de senos Considermos hor un triángulo ulquier, es deir, uno que puede ser isóseles, retángulo o ninguno de ello. Diujmos un de ls lturs, por ejemplo h. C h A α β B 22-4

5 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II Podemos lulr l ltur h de dos mners. Considerndo el triángulo izquierdo otenemos sin α = h del ldo dereho sin β = h. Si despejmos en mos ldos h otenemos sin α = h = sin β. Por ello, si dividimos entre los vlores sinα sin β tenemos sin α = sin β. (22.) Es importnte onsiderr tmién el so si uno de los dos ángulos, α o β, es mor que 90 omo lo ilustr l siguiente figur: C h A α β β En este so tenemos β = 80 β por ello sin(β ) = sin(β). Por ello onluimos que l euión (22.) es ún válido en este so. Si repetimos el rgumento lulmos l ltur h de dos mners otenemos =. sinβ sin γ Si lo juntmos on l euión (22.) otenemos sin α = B sin β = A l euión (22.2) se le llm el Teorem de senos. sin γ. (22.2) Ejemplo 2. Un triángulo ABC tiene ángulos α = 25 β = 96 el ldo = 5.2 m. Clul l longitud de los dos ldos. Primero se lul el terer ángulo: γ = 80 α β = 59. Por el Teorem de senos se tiene De mner similr = sin α = sin β sin γ = sin 25 sin γ = sin m 7.49 m. sin m 7.64 m. sin 59

6 Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Es interesnte ver qué nos die el Teorem de senos en el so de un triángulo retángulo. C A α β B Si γ = 90 tenemos sin γ = sin 90 =. En este so el Teorem de senos die: sin α = sin β =. Por ello otenemos sin α = sin β =, lo que símos lo tommos omo definiión. El Teorem del oseno El Teorem de osenos es un generlizión del Teorem de Pitágors. Este último die ómo se relionn los ldos de un triángulo retángulo. El Teorem del oseno tmién firm ómo se relion un ldo on respeto los otros dos ldos pero tomndo en uent el ángulo γ. El Teorem del oseno die que 2 = os γ. Pr l demostrión diujmos l ltur h denotmos su pie (es deir el punto donde to el ldo ) por P. L siguiente figur muestr dos sos que tendremos que onsiderr por seprdo. C u γ h P u h P u γ C A B A B 22-6

7 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II En el ejemplo izquierdo, el pie P está dentro del ldo. En este so P divide el ldo en dos prtes BP = u PC = u. Por el Teorem de Pitágors tenemos 2 = h 2 + ( u)2 = h u + u 2. Por el mismo teorem podemos reesriir h + u 2 = 2 por l definiión de oseno en el triángulo APC tenemos osγ = u, es deir, osγ = u. Por ello 2 = h u + u 2 h 2 + u 2 = 2 = u u = osγ = osγ. El otro so posile es que el pie P quede fuer del ldo. Un situión sí se muestr en l figur nterior del ldo dereho. En este so tenemos 2 = h 2 + ( + u)2 = h u + u 2 nuevmente tenemos h 2 +u 2 = 2. Pero hor tenemos u = os(80 γ) = os γ. Nuevmente tenemos 2 = h u + u 2 h 2 + u2 = 2 = u u = os γ = osγ. Ejemplo 3. Un triángulo tiene ldos = 7.8 m, = 6.3 m el ángulo γ = 32. Clul l longitud del terer ldo. Por el Teorem del osenos tenemos 2 = osγ = (7.8 m) 2 + (6.3 m) m 6.3 m os32 = m m m 2 = 7.8 m 2 Al sr l ríz udrd (solo on signo positivo, ddo que se trt de un longitud) otenemos = 7.8 m 2 = 4.4 m 22-7

8 Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Funiones inverss Si tenemos un triángulo ddo por los tres ldos, entones podemos usr el Teorem del oseno pr lulr el vlor de osα: 2 = os(α) = 2 os(α) = os(α) div( 2) Cómo otenemos de hí el vlor de α? Neesitmos desher el efeto de l funión osenos en mos ldos. Esto se he on l funión invers de oseno. Est funión se simoliz on os : α = os ( ). Ejemplo 4. Si = 3 m, = 22 m = 26 m entones os(α) = (22 m)2 + (26 m) 2 (3 m) m 26 m 99 m2 = 44 m 2 = = α = os (0.7395) = Como ls funiones trigonométris son periódis, l funión invers sólo puede regresr el vlor dentro de ierto rngo. Por ejemplo sen(30 ) = 0.5 = sen(50 ). L luldor no se uál fue de los dos ángulos es α si sin(α) = 0.5. El rngo de ángulos que regresn ls funiones trigonométris inverss es omo sigue: sen os tn de de 0 80 de En los Ejeriios de 7 0 l migüedd de ls funiones trigonométris inverss será un tem. 22-8

9 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II Ejeriios Pr medir el nho de un río se vis un punto C del otro ldo desde dos puntos A B. Se mide BAC = 36.4 ABC = 82.2 l distni AB = 34.8 m. Cuál es el nho del río? 2 Un heptángono regulr tiene su entro en (0, 0) un esquin en (0, 0). Clul ls oordends de ls otrs esquins. 3 Un triángulo está ddo por α = 32.6, γ = 59. l longitud de l isetriz w = 6.5 m. Clul los tres ldos,. 4 Un prlelogrm ABCD está ddo por l longitud de los ldos AB = CD = 8 m BC = DA = 5 m el ángulo DAB = 60. Clul l longitud de ls digonles AC BD. 5 Cuál es el áre del triángulo on los ldos = 8.7 m, = 4.2 m = 6. m? 6 Clul los ángulos del triángulo ddo por los ldos = 7.2 m, = 5.5 m = 0.9 m. 7 Si sen(α) = 0.5, uáles son todos los posiles vlores pr α? Us l gráfi del seno omo ud pr enontrr l soluión. 8 Un triángulo tiene los ldos = 6 m = 30 m el ángulo γ = 5. () Clul el ángulo α on el Teorem de senos. () Ahor olvid el vlor de γ vuelve lulr γ on el Teorem de senos prtir de los vlores onoidos de, α (que lulste en el iniso nterior). () Cuál es tu interpretión? 9 Clul los ángulos del triángulo ddo por los ldos = 6. m, = 7.2 m = 2.7 m () Clul primero elángulo α usndo el Teorem del oseno. () Ahor lul los otros dos ángulos usndo el Teorem de senos. () Clul los β γ usndo diretmente el Teorem del oseno. (d) Cuál resultdo es orreto? 22-9

10 Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II 0 De un triángulo se onoe los ldo = 4 m, = 0 m demás elángulo α = 5. () Soluión onstrutiv. En tu uderno trz un segmento reto = AB de 0 m de longitud. Con el trnsportdor mide en A un ángulo de α = 5. Así otienes un ro que inlue on el ángulo α. Finlmente trz un irunfereni on entro B rdio = 4 m. Oserv que h dos interseiones de l irunfereni on el ro. () Soluión trigonométri. Clul γ on el Teorem de senos. Oserv que h dos soluiones unque tu luldor sólo te d un vlor pr γ, el ángulo 80 γ tmién es un soluión. En d so lul β = 80 α γ luego. () Compr ls dos soluiones. En un terreno plno se ponen dos plos un distni ext de 00 m en los puntos que llmremos A B. Se miden los ángulos hi un terer punto C en el terreno. Se mide un ángulo de elevión de 3.6 de A hi C demás los ángulos horizontles BAC = 8.20 ABC = 92.05, donde C es el pie de C (el punto jo de C que está l mism ltur que A B). Clul l distni horizontl AC l ltur CC. 2 El pio de un montñ M se vis desde dos puntos A C en el terreno se ve jo el ángulo de elevión de 2.8 desde A. El punto C se ve jo un ángulo de elevión de 3.6 desde A demás se miden los ángulos horizontles M AC = 23. M C A = 3.4, donde M C son los pies de M C. A qué ltur está l im si AC = 850 m A tiene un ltur de 60 m sore el nivel de mr? 3 Demuestr el siguiente resultdo: L isetriz de un triángulo divide el ldo opuesto en l mism proporión que tienen los ldos dentes. Aud: Se w l isetriz S el punto donde w ort el ldo. Además se denot u = AS v = BS. A demostrr u =. Us el Teorem de v senos pr demostrr que = onlue de hí el resultdo. u v 22-0