C? a = 5 m. Área? B? c = 4 m. b 2 = a 2 c 2. b = 3 m c = 4 m. c cos B = a. 4 cos B = B = 36 52' 12'' 5 C C = 90 B. 1 Área = b c 2. a = 5,41 cm. Área?
|
|
- Miguel Mariano Villalobos Acosta
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 4 Resoluión de triángulos. Resoluión de triángulos retángulos Piens y lul lul mentlmente l inógnit que se pide en los siguientes triángulos retángulos: ) = 6 m, = 8 m; ll l ipotenus ) = 35 ; ll el otro ángulo gudo ) = 0 m ) = 55 pli l teorí. En un triángulo retángulo se onoe l ipotenus = 5 m y un teto = 4 m. lul los demás elementos.?? = 5 m Áre?? = 4 m Dtos Inógnit Fórmuls Resoluión = 5 m = = 3 m = 4 m os = 4 os = = 36 5' '' 5 = 90 = 53 7' 48'' Áre Áre = Áre = 3 4 = 6 m. En un triángulo retángulo se onoe l ipotenus = 5,4 m y el ángulo = ".lul los demás elementos. = 5,4 m 33º 4' 5''? Áre??? Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO
2 Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 5,4 m = 33 4' 5'' Áre = 90 sen = = sen os = = os Áre = = ' 5'' = 56 7' 45'' = 5,4 sen 33 4' 5'' = 3 m = 5,4 os 33 4' 5'' = 4,5 m Áre = 3 4,5 = 6,75 m 3. En un triángulo retángulo se onoe un ángulo gudo = " y el teto opuesto =,4 m. lul los demás elementos.? Áre?? =,4 m 4º 5' 30''? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,4 m = 4 5' 30'' Áre = 90 sen = = sen tg = = tg Áre = = ' 30'' = 65 34' 30'' = 5,8 m = 5,8 m Áre =,4 5,8 = 6,34 m 4. Se quiere medir l nur de un río. Pr ello se oserv un árol que está en l otr orill.se mide el ángulo de elevión desde est orill l prte más lt del árol y se otiene 47. lejándose 5 m del río, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 39. lul l nur del río. D Grupo Editoril ruño, S.L m 39 tg 47 = tg 39 = º 39º 47º 5 = 5,4 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 43
3 . Teorem de los senos Piens y lul Oserv el triángulo retángulo del diujo y lul mentlmente el vlor de k k = sen = 6 m = 0 m = 8 m k = 0 m pli l teorí 5. En un triángulo se onoen: = 6,4 m, = 6,4 m y = 73 lul mentlmente el ángulo. uánts soluiones tiene?,5,5 sen 54 = = = 0,57 m sen 73 sen 54 sen 73 Tiene un soluión. 7. En un triángulo se onoen: = 6,5 m, = 7 m y = 67 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? = 6,4 m = 6,4 m Dtos: 73º? El triángulo es isóseles.?? 6,5 m = 73. L soluión es úni. 6. En un triángulo se onoe: =,5 m, = 73 y = 54 lul el ldo. uánts soluiones tiene? 73º 67º 7 m 6,5 7 7 sen 67 = sen = sen 67 sen 6,5 = < 80 = < 80 54º =,5 m? Tiene dos soluiones. 8. De un triángulo se onoen: = 5,6 m, = 69 y = 83 Hll l longitud del diámetro de l irunfereni irunsrit. Grupo Editoril ruño, S.L. 44 SOLUIONRIO
4 69º D? O 9. En un triángulo se onoen: = 5 m, = 8 m y = 7 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? 5 = 8 sen = 8 sen 7 =,5 sen 7 sen 5 No tiene soluión porque sen =,5 > 83º = 5,6 m 0. En un triángulo se onoen: = 7,5 m, = 98 y = 87 lul el ldo. uánts soluiones tiene? 5,6 D = = 6,7 m sen 69 No y soluión porque: + = 98º + 87º = 85º >80 3. Teorem del oseno Piens y lul Un triángulo es utángulo, retángulo u otusángulo según que el udrdo del ldo myor se, respetivmente, menor, igul o myor que l sum de los udrdos de los otros dos ldos. lsifi mentlmente los siguientes triángulos: ) = m, = 3 m, = 4 m ) = 3 m, = 4 m, = 5 m ) = 4 m, = 5 m, = 6 m ) 6 > 3 Otusángulo. ) 5 = 5 Retángulo. ) 36 < 4 utángulo. pli l teorí. En un triángulo se onoen: =,5 m, = 5,7 m y = 63 lul el ldo. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 5 m, = 6 m y = 7 m lul el ángulo = 5,7 m? Grupo Editoril ruño, S.L. 63º =,5 m = + os =,5 + 5,7,5 5,7 os 63 = 4,98 m = 7 m = 5 m = 6 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 45
5 os = = 0, = En un triángulo se onoen: = 4,5 m, = 3,8 m y = 83 30' lul su áre. Semiperímetro = 8 m Áre = 8(8 4,5)(8 5,5)(8 6) =,83 m 5. Un solr tiene form de triángulo y se onoen dos ldos,que miden 8 m y 3 m,y el ángulo que formn,que es de 5. El m vle 30. lul el vlor del solr. = 3,8 m 83º 30' Áre? = 4,5 m Áre = 4,5 3,8 sen = 8,5 m 4. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 4,5 m, = 5,5 m y = 6 m lul el áre. 8 m 3 m 5º Áre = 8 3 sen 5 = 69,56 m Preio = 69,56 30 = 5 086,8 = 6 m = 5,5 m Áre? = 4,5 m 4. Resoluión de triángulos no retángulos Piens y lul En un triángulo ulquier, se se que sen = /. lul mentlmente uánto mide el ángulo. uánts soluiones puede tener, un o dos? Tiene dos soluiones: = 30 y = 50 Grupo Editoril ruño, S.L. 46 SOLUIONRIO
6 pli l teorí 6. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 9,5 m, = 3 y = 93? Áre?? 3º = 9,5 m 93º Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 9,5 m = 80 ( + ) = 80 ( ) = 55 = 3 = 93 = = sen sen sen sen = = sen sen sen sen = 9,5 sen 3 = 6,5 m sen 55 = 6,5 sen 93 =,59 m sen 3 Áre Áre = sen Áre = 6,5 9,5 sen 93 = 9,7 m 7. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7,5 m, = 6,4 m y = 53 = 7,5 m 53º = 6,4 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 7,5 m = 6,4 m = 53 sen = sen = sen sen sen = 6,4 sen 53 = = 4 57' 40'' 7,5 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = ' 40'' = 37 ' 0'' (No es válido) Grupo Editoril ruño, S.L. Áre = 80 ( + ) sen = = sen sen sen Áre = sen = 80 ( ' 40'') = 84 ' 0'' = 7,5 sen 84 ' 0'' = 9,34 m sen 53 Áre = 7,5 6,4 sen 84 = 3,87 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 47
7 8. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 8,4 m, = 7,6 m y = 6?? = 7,6 m?? 6º = 7,6 m = 8,4 m?? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 8,4 m = 7,6 m = 6 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 8,4 sen 6 = = 75 0' 8'' 7,6 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = ' 8'' = 04 49' 5'' = 80 (75 0' 8'' + 6 ) = 43 49' 5'' = 80 (04 49' 5'' + 6 ) = 4 0' 8'' sen = = sen sen sen 7,6 sen 43 49' 5'' = = 6,0 m sen 6 7,6 sen 4 0' 8'' = =,3 m sen 6 Áre Áre = sen = 8,4 7,6 sen 43 49' 5'' =, m = 8,4 7,6 sen 4 0' 8'' = 7,8 m 9. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7 m, = 5 m y = 65 sen = 7 sen 65 =, No tiene soluión. = sen sen Terer y urto sos de resoluión de triángulos Piens y lul lsifi los siguientes triángulos en posiles e imposiles. Rzon l respuest. ) Triángulo : = 5 m, = 7 m, = 9 m ) Triángulo : = 5 m, = 0 m, = 0 m ) Es posile > 9 L sum de los dos ldos menores es superior l myor. ) Es imposile: < 0 Grupo Editoril ruño, S.L. 48 SOLUIONRIO
8 pli l teorí 0. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 9, m, = 6,7 m y = 75 = 9, m 75º = 6,7 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 9, m = + os = 9, + 6,7 9, 6,7 os 75 = 6,7 m = 75 = + os = sen = sen sen sen = 9,88 m sen = 6,7 sen 75 = 40 55' 9'' 9,88 = 80 ( + ) = 80 ( ' 9'') = 64 4' 4'' Áre Áre = sen Áre = 9, 6,7 sen 75 = 9,77 m. Resuelve un triángulo en el que se onoen: =,5 m, = 0,5 m y = 8, m? = 8, m = 0,5 m Áre?? =,5 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 0,5 m = 8, m = + os os = + sen = sen = sen sen os = 0,5 +8,,5 0,5 8, = 8 54' 53'' 0,5 sen 8 54' 53'' sen =,5 Grupo Editoril ruño, S.L. Áre = 80 ( + ) Áre = sen = 56 8' 8'' = 80 (8 54' 53'' ' 8'') = 40 36' 59'' Áre =,5 0,5 sen 40 36' 59'' Áre = 4,7 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 49
9 . Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,3 m, = 9,5 m y = 4, m uánts soluiones tiene? No tiene soluión porque 5,3 + 4, < 9,5 3. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 8,9 m, = 6,5 m y = 5?? = 6,5 m Áre? 5º = 8,9 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 8,9 m = + os = 8,9 + 6,5 8,9 6,5 os 5 = 6,5 m = + os = 3,05 m = 5 sen = sen = sen sen 8,9 sen 5 sen = = 38 0' 38'' 3,05 = 80 ( + ) = 80 (38 0' 38'' + 5 ) = 6 49' '' Áre Áre = sen Áre = 8,9 6,5 sen 5 = 6, m 4. Hll l distni que y entre dos ros y D,siendo que emos medido l distni que y entre y y emos otenido 450 m, y que on el teodolito emos otenido que D = 48,D = 57, = 4 y D = 53 D 48º 57º 4º 450 m 53º ) En el triángulo se lul = 80 ( ) = = = 450 sen 4 = 553 m sen 33 sen 4 sen 33 ) En el triángulo D se lul D D = 80 ( ) = = D D = 450 sen 95 = 955 m sen 8 sen 95 sen 8 ) En el triángulo D se lul D D = os 48 D = 75 m Grupo Editoril ruño, S.L. 50 SOLUIONRIO
10 Ejeriios y prolems. Resoluión de triángulos retángulos 5. En un triángulo retángulo se onoen los dos tetos =,5 m y = 4,3 m. lul los demás elementos. =,5 m? Áre?? = 4,3 m? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 4,3 m Áre = + tg = = 90 Áre = = 4,97 m tg =,5 = 30 0' 5'' 4,3 = 59 49' 35'' Áre =,5 4,3 = 5,38 m 6. En un triángulo retángulo se onoen un ángulo gudo, = ", y el teto ontiguo, = 3,5 m. lul los demás elementos.? Áre?? 5º 5' 43'' = 3,5 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión Grupo Editoril ruño, S.L. = 3,5 m = 5 5' 43'' Áre = 90 os = = os tg = = tg Áre = = ' 43'' = 37 54' 7'' = 3,5 = 5,7 m os 5 5' 43'' = 3,5 tg 5 5' 43'' = 4,5 m Áre = 3,5 4,5 = 7,88 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 5
11 Ejeriios y prolems 7. En el entro de un lgo sle vertilmente un orro de gu y se quiere medir su ltur. Pr ello se mide el ángulo de elevión desde l orill l prte más lt del orro de gu y se otiene 43 ; trs lejrse 00 m del lgo, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 35. lul l ltur del orro de gu. 9. En un triángulo se onoen: = 9,5 m, = 57 y = 68 lul el ldo. uánts soluiones tiene?? 57º 68º = 9,5 m 43º 35º 00 m = 80 ( ) = 55 9,5 = sen 55 sen 68 = 9,5 sen 68 = 0,75 m sen 55 Hy un soluión. tg 43 = tg 35 = 00 + ltur = 8,07 m = 8, En un triángulo se onoen: = 7, m, = 6,5 m y = 57 lul el ángulo. uánts soluiones tiene?. Teorem de los senos 8. En un triángulo se onoen: = 5,6 m, = 5,6 m y = 58 lul mentlmente el ángulo. uánts soluiones tiene? = 6,5 m 57º = 7, m 5,6 m 5,6 m 58º? El triángulo es isóseles. = 58 L soluión es úni. 7, 6,5 7, sen 57 = sen = sen sen 57 6,5 = < 80 = < 80 Tiene dos soluiones. 3. De un triángulo se onoen: = 8,5 m y = 65 Hll l longitud del rdio de l irunfereni irunsrit. Grupo Editoril ruño, S.L. 5 SOLUIONRIO
12 R? = + os = 8, + 7,5 8, 7,5 os 87 = 0,8 m = 8,5 m 65º 35. En un triángulo se onoen los tres ldos: = m, = 3 m y = 4 m lul el ángulo D = 8,5/sen 65 = 9,38 m R = 9,38/ = 4,69 m 3. En un triángulo se onoen: = 7 m, = 8,5 m y = 9 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? 7 = 8,5 sen 9 sen sen = 8,5 sen 9 =, 7 No tiene soluión porque sen =, > 33. En un triángulo se onoen: = 7,5 m, = 5 y = 73 lul el ldo. uánts soluiones tiene? + = = 98 > 80 No tiene soluión. = + os os = + os = = 04 8' 39'' 36. En un triángulo se onoen: = 8 m, = 0 m y = 65 lul su áre. = 4 m = m? = 3 m 3. Teorem del oseno 34. En un triángulo se onoen: = 8, m, = 7,5 m y = 87 lul el ldo = 8 m Áre? 65º = 0 m Grupo Editoril ruño, S.L. = 7,5 m 87º? = 8, m Áre = sen Áre = 8 0 sen 65 = 36,5 m 37. En un triángulo se onoen los tres ldos: = 8 m, = 9 m y = 0 m lul el áre. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 53
13 Ejeriios y prolems = 0 m Áre? = 9 m Semiperímetro = 3,5 Áre = 3,5(3,5 8)(3,5 9)(3,5 0) = 34, m = 8 m 4. Resoluión de triángulos no retángulos 38. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 3,5 m, = 56 y = 85 85º?? Áre? 56º? = 3,5 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 3,5 m = 56 = 85 Áre = 80 ( + ) sen = = sen sen sen sen = = sen sen sen Áre = sen = 80 ( ) = 39 = 3,5 sen 56 =,9 m sen 85 3,5 sen 39 = =, m sen 85 Áre =,9 3,5 sen 39 = 3, m 39. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 4,6 m, = 3,7 m y = 58?? Áre? = 4,6 m 58º? = 3,7 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 4,6 m = 3,7 m = 58 Áre sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = = sen sen sen Áre = sen sen = 3,7 sen 58 = 43 36'' 4,6 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = '' = 36 59' 4'' (No es válido) = 80 ( '') = 78 59' 4'' = 4,6 sen 78 59' 4'' = 5,3 m sen 58 = 5,3 3,7 sen 58 = 8,35 m Grupo Editoril ruño, S.L. 54 SOLUIONRIO
14 40. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5, m = 4,3 m = 73 uánts soluiones tiene? 5, = 4,3 sen sen 73 sen = 5, sen 73 =,6 4,3 No tiene soluión porque sen =,6 > 4. Resuelve un triángulo en el que se onoen: =,5 m, = 3, m y = 58? 58º?? Áre? Áre? =,5 m = 3, m =,5 m?? Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión =,5 m = 3, m = 58 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 3, sen 58 = 76 45' 9'',5 omo el ángulo suplementrio de tiene el mismo seno, puede eistir un = ' 9'' = 03 4' 3'' = 80 ( ' 9'') = 45 4' 3'' = 80 ( ' 3'') = 8 45' 9'' sen = = sen sen sen,5 sen 45 4' 3'' = = 9,63 m sen 58,5 sen 8 45' 9'' = = 4,36 m sen 58 Áre Áre = sen =,5 3, sen 45 4' 3'' = 53,9 m =,5 3, sen 8 45' 9'' = 4,4 m 5. Terer y urto sos de resoluión de triángulos 4. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 3 m, = 7 m y = 65 Grupo Editoril ruño, S.L.? = 7 m? Áre? 65º? = 3 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 55
15 Ejeriios y prolems Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 3 m = + os = + os = os 65 = 7,08 m = 7 m = 65 sen = sen = sen sen = 80 ( + ) sen = 3 sen 65 = 50 9' 56'' 7,08 = 80 (50 9' 56'' + 65 ) = 64 40' 4'' Áre Áre = sen Áre = 3 7 sen 65 = 8,4 m 43. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,8 m, = 7,3 m y = 6,5 m? = 6,5 m Áre? = 7,3 m?? = 5,8 m Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 5,8 m = 7,3 m = + os os = + 7,3 + 6,5 5,8 os = 7,3 6,5 = 49 7' 5'' = 6,5 m sen = sen = sen sen 7,3 sen 49 7' 5'' sen = 5,8 = 7 33' 3'' = 80 ( + ) = 80 (49 7' 5'' ' 3'') = 58 9' 4'' Áre Áre = sen Áre = 5,8 7,3 sen 58 9' 4'' Áre = 7,98 m 44. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7, m, = 5,4 m y = 83 = 5,4 m?? Áre? 83º = 7, m? Grupo Editoril ruño, S.L. 56 SOLUIONRIO
16 Dtos Inógnits Fórmuls Resoluión = 7, m = + os = + os = 7, + 5,4 7, 5,4 os 83 = 8,46 m = 5,4 m = 83 = sen = sen sen sen = 80 ( + ) sen = 7, sen 83 = 57 38' 3'' 8,46 = 80 (57 38' 3'' + 83 ) = 39 ' 9'' Áre Áre = sen Áre = 7, 5,4 sen 83 = 9,3 m 45. Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 47 m, = 5 m y = 99 m. uánts soluiones tiene? No tiene soluión porque = Hll l distni que y entre los pios de dos montñs y D, siendo que se medido en un llnur ern l distni que y entre y y se otenido 900 m, y que on el teodolito se otenido que D = 47, D = 45, = 47 y D = 44 D 47º 45º d = 900 m 44º 47º ) En el triángulo se lul = 80 ( ) = = = 900 sen 47 = 003 m sen 4 sen 47 sen 4 Grupo Editoril ruño, S.L. ) En el triángulo D se lul D D = 80 ( ) = = D D = 900 sen 9 = 95 m sen 44 sen 9 sen 44 ) En el triángulo D se lul D D = os 47 D = 955 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 57
17 Ejeriios y prolems Pr mplir 47. Un person que mide,78 m proyet un somr de,5 m. uál es el ángulo de elevión del Sol en ese momento? = 4 = 7 = 4 m tg = 7/4 = 60 5' 8'' = 9 44' 4'' = = 8,06 m 50. En un triángulo retángulo, l ipotenus mide 0 m y el áre 96 m. Hll los demás elementos del triángulo retángulo.,78 m,5 m α?? Áre = 96 m? = 0 m? = 53 7' 48'', = 36 5' '' = 96 + = 0 se otiene: = 6 m, = m tg = 6 Ángulo de elevión = α tg α =,78/,5 α = lul mentlmente el rdio de un irunfereni irunsrit un triángulo en el que un ldo mide 7 m y el ángulo opuesto En un triángulo retángulo, un teto mide el dole que el otro. lul l mplitud de sus ángulos gudos. D = 7 = 7 : = 7 = 4 m sen 30 Rdio = 4/ = 7 m 5. En un triángulo se onoen: = 6 m, = 4,5 m y = 85 lul el ángulo. uánts soluiones tiene? tg = / = = = 6 m 49. En un triángulo retángulo, un teto mide 7 m y el áre 4 m. Hll los demás elementos del triángulo retángulo.??? Áre = 4 m = 7 m? 85º? = 4,5 m 6 = 4,5 sen = 4,5 sen 85 sen 85 sen 6 = 48 0' 38'' = 3 39' '' (No es válido) = 46 39' '' Tiene un soluión. Grupo Editoril ruño, S.L. 58 SOLUIONRIO
18 Prolems 53. Un int trnsportdor de rón lleg desde un puerto de mr st un entrl térmi; si l int mide 350 m y se quiere que eleve el rón 50 m de ltur, qué ángulo de elevión dee llevr l int? 56. lul l potem y el áre de un eptágono regulr uyo ldo mide 9, m 9, m 5º 4' 5'' 4,6 m 350 m 50 m tg 5 4' 5'' = 4,6 = 4,6 = 9,55 m tg 5 4' 5'' Áre = 7 9, 9,55 = 307,5 m Ángulo de elevión = sen = 50/350 = Ddo un triángulo isóseles en que los ldos igules miden 9 m y el desigul 6 m, lul l ltur reltiv l ldo desigul. 57. Dos persons están en un ply y ven un gloo desde los puntos y, de form que ls dos persons y el gloo están en un plno perpendiulr l suelo. L distni entre ls dos persons es de 5 km,el ángulo de elevión del gloo desde el punto es de 55,y desde el punto, de 48. lul l ltur l que se enuentr el gloo. 9 m 9 m 6 m ltur = = 9 3 = 8,49 m 55º 48º 5 Grupo Editoril ruño, S.L. 55. lul l potem y el áre de un eágono regulr uyo ldo mide 5,4 m sen 60 = 5,4 = 5,4 sen 60 = 4,68 m Áre = 6 5,4 4,68 = 75,8 m 5,4 m 60º 5,4 m Resolviendo el sistem: tg 55 = / tg 48 = (5 ) se otiene: =,87 km = 3,4 km 58. Un ángulo de un triángulo mide de mplitud 75 y el rdio de l irunfereni irunsrit mide 5 m. Hll l medid del ldo opuesto l ángulo ddo. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 59
19 Ejeriios y prolems 75º 5 m 60. Tres puelos, y están formndo un triángulo. Si l distni = 5 km, distni = 43 km y el ángulo que se form en es de 75, uál es l distni que y entre los puelos y? = R sen 75 = 0 sen 75 = 9,66 m 59. Tres puelos, y están unidos por rreters rets que formn un triángulo; l distni de st es de km, de st de 5 km y el ángulo mide 60. lul l distni del puelo l 43 km 75º 5 km = os 75 = 43,79 km 6. Un solr tiene form de triángulo, del que se onoen: = 53 m, = 47 m y = 60 lul el áre del solr. = 47 m 60º = 53 m Áre = sen 60 = 078,63 m 5 km km 60º 5 = sen 60 sen sen = sen 60 = = 80 ( ) = = 5 sen 76 8' 46'' sen 60 = 5 sen 76 8' 46'' = 6,8 km sen Un señl de soorro de un teléfono móvil se esu desde dos ntens y seprds entre sí 5 km, el ángulo mide 54 y el ángulo mide 66. lul ls distnis que y desde d un de ls ntens y l teléfono móvil. 54º 66º 5 km Grupo Editoril ruño, S.L. 60 SOLUIONRIO
20 = 80 ( ) = 60 = 5 = 5 sen 66 = 6,37 km sen 66 sen 60 sen 60 = 5 = 5 sen 54 = 3,354 km sen 54 sen 60 sen Dos torres de lt tensión y se enuentrn seprds por un lgo. Se tom un punto uilir y se miden ls distnis = 33 m, = 45 m y el ángulo = 73. Hll l distni que y entre dis torres. ) ) 6 0 ) tg = 6/0 = ) tg / = 8/0 / = 48 5 = Se ve mejor en un ut entrd porque el ángulo es myor lul el áre de un triángulo isóseles en el que los ldos igules miden 7,5 m, y el desigul, 5 m 7,5 m 7,5 m 45 km 73º 33 km = os 73 = 47,39 m Semiperímetro = 0 m 5 m Áre = 0(0 7,5) (0 5) = 7,68 m 66. lul el áre de un pentágono regulr uyo ldo mide 7,6 m 64. L pntll de un ine oup un longitud de 6 m. Si l fil 5 está situd 0 m de l pntll, ll el ángulo jo el que ve un espetdor l pntll y di en qué lugr tendrá mejor visión si está olodo en: ) un ut totlmente lterl. ) un ut totlmente entrd. 36º 54º 3,8 m 7,6 m Grupo Editoril ruño, S.L. tg 54 = = 3,8 tg 54 = 5,3 m 3,8 Áre = 5 7,6 5,3 = 99,37 m 67. lul el áre de un otógono regulr uyo ldo mide 3,8 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 6
21 Ejeriios y prolems Pr profundizr º 30' 67º 30',9 m 3,8 m 69. En un llnur y un montñ ortd vertilmente en un orill de un río. Desde l otr orill se ve el punto más lto de l montñ jo un ángulo de 60. lejándose del río perpendiulrmente 00 m, el ángulo de elevión mide 30. lul: ) l nur del río. ) l ltur de l montñ. tg 67 30' = =,9 tg 67 30' = 4,59 m,9 Áre = 8 3,8 4,59 = 69,77 m 68. Un nten de rdio está sujet por dos les que vn desde l prte más lt l suelo. Los puntos de sujeión de los les y el pie de l nten están linedos. Se n medido los ángulos que form l orizontl on d uno de los les y son 40 y 50. Siendo que l distni entre los pies de los les es de 60 m, lul l ltur de l nten. 30º 00 60º Resolviendo el sistem: tg 60 = / tg 30 = /(00 + ) se otiene: = 50 m = 86,6 m 70. Un ro emite un señl de soorro que se reie en dos estiones de rdio y. Se onoen los ángulos = 68, = 55 y l distni entre ls estiones de rdio, que es de 3 km. lul l distni que y desde el ro d un de ls estiones de rdio. 40º 50º 60 Resolviendo el sistem: tg 40 = /(60 ) tg 50 = / se otiene: = 4,8 m = 9,5 m 68º 55º 3 km Grupo Editoril ruño, S.L. 6 SOLUIONRIO
22 El ángulo = 80 ( ) = 57 = 3 = 3 sen 68 = 5,47 km sen 68 sen 57 sen 57 = 3 = 3 sen 55 =,465 km sen 55 sen 57 sen 57 8 m O 50º P 0 m O' 7. En un triángulo uno de los ldos es el dole de otro y el ángulo opuesto este ldo menor mide 30.lul uánto mide d uno de los otros ángulos. OPO = = 30º plindo el teorem del oseno en el triángulo OPO OO = os 30 = 6,34 m 30 = sen 30 sen sen = sen 30 = = 90 = Sore un de ls orills prlels de un río se n tomdo dos puntos, y, 60 m de distni entre sí. Desde estos puntos se mirdo un ojeto,, sore l otr orill.ls visules desde los puntos y formn on l líne unos ángulos de 50 y 80, respetivmente. lul l nur del río. 50º 80º 60 m 7. Ls digonles de un romoide miden 5 m y m y formn un ángulo de 60. lul uánto miden los ldos. 6 m 6 m 60 7,5 m 7,5 m plindo el teorem del oseno en el triángulo O = 7, ,5 6 os 60 = 6,87 m plindo el teorem del oseno en el triángulo OD D = 7, ,5 6 os 0 =,7 m O D Resolviendo el sistem: tg 80 = tg 50 = 60 se otiene: = 0,4 m = 59,09 m 50º 60 80º Grupo Editoril ruño, S.L. 73. Dos irunferenis, uyos rdios son de 8 m y 0 m, se ortn. El ángulo que formn ls tngentes respetivs en el punto de interseión mide 50. Hll l distni entre los dos entros de ls irunferenis. 75. Se dese llr desde el punto l distni un torre y su ltur. Por imposiilidd de medir l se sore el plno vertil que ps por y D se n tomdo ls siguientes medids.l longitud = 5 m en el plno orizontl.el ángulo de elevión desde st D es de 38 ; y en el triángulo, el ángulo = 46 y el ángulo = 54. Hll l distni y l ltur D. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 63
23 Ejeriios y prolems D En el triángulo : = 80 ( ) = sen 46 = = =,4 m sen 46 sen 54 sen 54 46º 54º D tg 38 = D =,4 tg 38 = 86,83 m,4 5 m 38º Grupo Editoril ruño, S.L. 64 SOLUIONRIO
24 Linu/Windows GeoGer Windows ri Pso pso 76. Medir l ltur de un montñ En l llnur, desde un punto ulquier, se mide el ángulo de elevión y se otiene 43 ; trs errse l montñ 00 m, se vuelve medir el ángulo de elevión y se otiene 5. Hll l ltur de l montñ. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) Utiliz el mismo diujo pr lulr l nur de un río sore el que se medido el ángulo de elevión desde un orill l prte más lt de un árol que está en l otr orill, que resultdo ser de 47. lejándose 3 m del río y volviendo medir el ángulo de elevión, se otiene 39 ) ierr el doumento. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) rrstr uno ulquier de los vérties pr modifir el triángulo. Qué le sigue suediendo l oiente que se otiene l dividir d ldo por el seno del ángulo opuesto y el vlor del diámetro? ) undo un ángulo es reto, qué prtiulridd tiene el ldo opuesto? ) ierr el doumento. ) El oiente es igul l diámetro. ) Es el diámetro de l irunfereni irunsrit. 78. so Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 6, m, = 7,4 m y = 48 uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. L nur del río es: 9,5 m Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo, pon = 7,5 m, = 6,4 m y = 53. uánts soluiones y? 77. Teorem de los senos Grupo Editoril ruño, S.L. Hy un úni soluión. TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 65
25 Linu/Windows GeoGer Prti 80. Teorem del oseno Diuj un triángulo en el que se onoen: = 6,8 m, = 5,3 m y = 57 lul el ldo Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores del ldo y de los ángulos siguientes: = 9,5 m, = 47 y = 93. uánts soluiones y? Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo siguientes: = 0 m, = 5,4 m y = 75. Siguen siendo igules los vlores que se otienen del ldo? Solo y un soluión. 8. so 3 Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 5,6 m, = 4,7 m y = 69 uánts soluiones tiene? Los vlores del ldo min. 8. so Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 6,4 m, = 55 y = 8 uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd Edit los vlores de los ldos y del ángulo siguientes: = 9, m, = 6,7 m y = 75. uánts soluiones y? Grupo Editoril ruño, S.L. 66 SOLUIONRIO
26 Windows ri 84. álulo de distnis entre dos puntos no esiles Hll l distni que y entre dos ntens y D de telefoní móvil que están en l otr prte del río, siendo que se medido l distni que y entre y y se otenido 700 m, y que on el teodolito se otenido que D = 0, D = 45, = 35 y D = 40 Solo y un soluión. 83. so 4 Resuelve un triángulo en el que se onoen: = 7,3 m, = 6, m y = 5,4 m uánts soluiones tiene? Resuelto en el liro del lumndo. Resuelto en el liro del lumndo. Geometrí dinámi: intertividd ) Edit los vlores de los ldos siguientes: =,5 m, = 0,5 m y = 8, m. uánts soluiones y? ) Edit los vlores de los ldos siguientes: = 5,3 m, = 9,5 m y = 4, m. uánts soluiones y? Geometrí dinámi: intertividd Utilizndo el prolem nterior, ll l distni que y entre dos ros y D, siendo que se medido l distni entre y y se otenido 450 m, y que on el teodolito se otenido que D = 48, D = 57, = 4 y D = 53 ) Grupo Editoril ruño, S.L. ) No y soluión. D = 75 m TEM 4. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS 67
TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Más detalles7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales
7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se
Más detallesUNIDAD 7 Trigonometría
UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier
Más detallesUNIDAD 7 Trigonometría
UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 4º E.S.O. Académicas AB = OA
ÁNGULO. GRDO. TRIGONOMETRÍ El grdo es l medid de d uno de los ángulos que resultn l dividir el ángulo reto en 90 prtes igules. Su símolo es el º. 4º E.S.O. démis IRUNFERENI GONIOMÉTRI ÁNGULO. RDIÁN. 90º
Más detallesTEOREMA DE PITÁGORAS
TEOREMA DE PITÁGORAS 1.- El ldo de un udrdo mide 10 m. Cuánto mide su digonl? (Aproxim el resultdo hst ls déims)..- Ls digonles de un romo miden 15 m y 17 m, respetivmente. Cuánto miden sus ldos? (Aproxim
Más detalles1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Resolver un triángulo es llr ls longitudes de sus ldos y ls mplitudes de sus ángulos. Ls fórmuls que se plin son: ) Ls rzones trigonométris: ˆ
Más detallesBLOQUE IV. Geometría. 11. Semejanza. Teorema de Thales y Pitágoras 12. Cuerpos en el espacio 13. Áreas y volúmenes
LOQUE IV Geometrí 11. Semejnz. Teorem de Thles y Pitágors 1. uerpos en el espio 13. Áres y volúmenes 11 Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 1. Figurs semejntes P I E N S Y L U L Si l Torre del Oro mide
Más detallesDefiniciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.
89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr
Más detallesSemejanza. Teoremas de Thales y Pitágoras
11 Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 1. Figurs semejntes P I E N S Y L U L Si l Torre del Oro mide proximdmente 0 m de lto, uánto mide proximdmente de lto l Girld de Sevill? Si l Torre de Oro mide 1
Más detallesUnidad didáctica 4. Trigonometría plana
Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6,
Más detallesProblemas de trigonometría
Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα
Más detallesResolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del
Más detallesSemejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
Más detallesColegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 7
Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Pr onoer l sidurí de Tles de Mileto (646 546.C.), se uent que los serdotes de Egipto lo sometieron un dur prue: verigur l ltur de l pirámide de Kéops.
Más detallesLos polígonos y la circunferencia
l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =
Más detalles4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
Más detallesGEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Ley de senos
Profr. Efrín Soto Apolinr. Ley de senos Hst hor hemos resuelto triángulos retángulos, pero tmién es omún enontrr prolems on triángulos que no son retángulos, omo utángulos u otusángulos. Pr resolver estos
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr
Más detallesSegundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2)
Segundo Periodo ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA (2) Derehos ásios de prendizje: Comprende y utiliz l ley del seno y el oseno pr resolver prolems de mtemátis y otrs disiplins que involuren triángulos no retángulos.
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
SOLUIONES LOS EJERIIOS DE L UNIDD Pág. 1 Págin 187 PRTI Rzones trigonométrics de un ángulo 1 Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos y en cd uno de los siguientes triángulos rectángulos. Previmente,
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo
Más detallescos sa, a 10 cm. Calcula el valor de los ángulos agudos, y la c) Factorizando y expresando cos 2 1 sen 2,se obtiene: medida de los catetos.
0 Demuestr, de form rzond, ls siguientes igulddes: lul el ángulo de elevión del Sol sore el orizonte, se ) ( sen ) ose o se siendo que un esttu proyet un somr que mide otg os tres vees su ltur. ) ( sen
Más detallesNombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES
8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =
Más detallesResolución de Triángulos Rectángulos
PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) exigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión
Más detallesLección 3.4. Leyes del Seno y Coseno. 21/02/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 17
Leión 3.4 Leyes del Seno y Coseno /0/04 Prof. José G. Rodríguez Ahumd de 7 Atividdes 3.4 Refereni Texto: Seíón 8. Ley de los Senos; Problems impres -5 págins 577 y 578 (53 y 533); Seión 8. Ley de los Cosenos;
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE GUADALUPE
Áre: MTEMÁTIS Dignostio Trigonometrí Feh: Enero de 07 onoimiento: Rzones Trigonométris y TP Doente: Sntigo Vásquez Grdo: UNDEIMO Estudinte: Ojetivo: Repsr los oneptos ásios sore rzones trigonométris, teorem
Más detallesCriterios de igualdad entre triángulos.
TRIÁNGULO Triángulo. Superfiie pln liitd por tres línes (ldos). Polígono ás pequeño. lsifiión de los triángulos. Ldos Ángulos UTÁNGULO Tiene los tres ángulos gudos. RTÁNGULO Tiene un ángulo reto y dos
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los
Más detallesResolución de Triángulos Rectángulos
PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) eigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión
Más detallesResolución de triángulos rectángulos
Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 103 REFLEXION Y RESUELVE Prolem 1 Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr hllr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr su somr
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los
Más detallesColegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.
TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos.
Más detallesLección 10: TRIÁNGULOS. Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres lados. También tiene tres vértices.
1.- QUÉ ES UN TRIÁNGULO? Leión 10: TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres ldos. Tmién tiene tres vérties. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO Ldo: Cd uno de los tres segmentos que limitn l
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60
Más detallesTriángulos y generalidades
Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 103 REFLEXION Y RESUELVE Prolem 1 Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr hllr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr su somr
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio
Más detallesCOLEGIO PEDAGOGICO DE LOS ANDES GUIA DE TRIGONOMETRÍA RECUPERACION PERIODO UNO CECIMO GRADO. = 57,29578 grados = 57º rad
OLEGIO PEDGOGIO DE LOS NDES GUI DE TRIGONOMETRÍ REUPERION PERIODO UNO EIMO GRDO Los ángulos se pueden medir en grdos sexgesimles y rdines Un ángulo de 1 rdián es quel uyo ro tiene longitud igul l rdio
Más detallesAPUNTE: TRIGONOMETRIA
APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo
Más detallesQué tienes que saber?
Trigonometrí Qué tienes que sber? QUÉ tienes que sber? tividdes Finles Ten en uent Rzones trigonométris de un ángulo gudo, α: teto opuesto sen α hipotenus teto dyente os α hipotenus teto opuesto tgα teto
Más detallesGuía - 4 de Matemática: Trigonometría
1 entro Eduionl Sn rlos de rgón. oordinión démi Enseñnz Medi. Setor: Mtemáti. Nivel: NM Prof.: Ximen Gllegos H. Guí - de Mtemáti: Trigonometrí Nomre(s): urso: Feh. ontenido: Trigonometrí. prendizje Esperdo:
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detallesRAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto
Más detallesDepartamento de Matemática
Deprtmento de Mtemáti Trjo Prátio N 2: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMA DE PITÁGORAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Segundo Año 1) Clulen x en los siguientes gráfios si te informn
Más detallesSenB. SenC. c SenC = 3.-
TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,
Más detallesTRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos).
TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos.
Más detalles2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general)
2.7. POLÍGONO REGULR INSRITO EN UN IRUNFERENI (Método generl) Reuerd: Ddo el rdio del polígono de n ldos (3 m) 1. Diuj un irunfereni de 3 m. de rdio. 2. Trz su diámetro, y divídelo en n prtes igules. 3.
Más detalles3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t
3- Clul l mplitud de los ángulos interiores de los siguientes udriláteros. s t 36 r u rstu trpeio isóseles û x 16 tˆ x 30 TRIÁNGULOS Se llm triángulo tod figur de tres ldos. Un triángulo tiene tres vérties,
Más detallesTRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente
Más detallesResolución de triángulos de cualquier tipo
Resoluión de triángulos de ulquier tipo Ejeriio nº 1.- Hll los ldos y los ángulos de este triángulo: Ejeriio nº.- Clul los ldos y los ángulos del siguiente triángulo: Ejeriio nº 3.- Hll los ldos y los
Más detallesCONSTRUCCION DE TRIANGULOS
ONSTRUION DE TRINGULOS INTRODUION Ls exigenis que se imponen un figur que se dese onstruir son ls siguientes: 1) l mgnitud de segmentos, ros, ángulos y áres. 2) l posiión reltiv de puntos y línes. 3) l
Más detallesResumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.
Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,
Más detallesDISTINGUIR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
7 REPSO Y POYO OJETIVO DISTINGUIR LS RZONES TRIGONOMÉTRICS Nomre: Curso: Feh: Ddo un triánguo retánguo, definimos s rzones trigonométris de uno de sus ánguos gudos : seno sen oseno os tngente tg (teto
Más detallesBLOQUE IV Geometría. 11. Semejanza. Teoremas de Thales y Pitágoras 12. Cuerpos en el espacio 13. Áreas y volúmenes
LOQUE IV Geometrí 11. Semejnz. Teorems de Thles y Pitágors 12. uerpos en el espio 13. Áres y volúmenes ontenidos del loque El loque omienz on el estudio de l semejnz y dos de los teorems más importntes
Más detallesUNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
UNIDAD LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivo.
Más detallesNombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES
8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =
Más detallesTeorema de Pitágoras
Profr. Efrín Soto Apolinr. Teorem de Pitágors En geometrí, uno de los teorems más importntes es el teorem de Pitágors porque se pli muy freuentemente pr resolver prolems. En todo triángulo retángulo que
Más detalles22. Trigonometría, parte II
22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x 2 + 2 =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por
Más detallesHaga clic para cambiar el estilo de título
Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles
Más detalles12. Los polígonos y la circunferencia
l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes
Más detalles1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)
Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics
Más detalles2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ángulo que forman sus bisectrices.
GEOMETRÍ 1.- Determin ls medids de los ángulos desconocidos. ) b) " 31º " 20º 47º 2.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivmente. Determin el ángulo que formn sus bisectrices. 3.- uánto
Más detallesEn todo triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras. sen C hipotenusa. cos C. BC : hipotenusa B AC. (Regla: SOHCAHTOA)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Recordmos los siguientes conceptos: ABC es un triángulo rectángulo en A : BC : hipotenus AB : cteto dycente B ó cteto opuesto C AC : cteto opuesto B ó cteto dycente C Propiedd de
Más detallesResolución de triángulos.
Resolución de triángulos. 06 Resuelve los siguientes triángulos. ) 10 cm, 14 cm, c cm e) 2,1 cm; 1,4 cm; c 1, cm ) 6 cm, c 9 cm, A $ 9 12' f) 9 cm, c 5 cm, B10 $ 27' c) 7 cm, B $ 49', C $ 66 40' g), cm;
Más detallesResolución de triángulos cualesquiera tg 15 tg 55
Resuelve los siguientes triángulos: ) 3 cm 17 cm 40 ) 5 cm c 57 cm 65 c) 3 cm 14 cm c 34 cm ) c 3 +17 3 17 cos 40 c 1,9 cm 17 3 + 1,9 3 1,9 cos 9 56' '' 10 ( + ) 110 3' 5'' ) 5 + 57 5 57 cos 65 79,7 cm
Más detallesUNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE
UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.
Más detallesMATEMATICA Parte III para 1 Año
Crpet e Trjos Prátios e MATEMATICA Prte III pr 1 Año APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO:... PROFESOR:... DIVISIÓN:... Crpet e Trjos Prátios e Mtemáti Prte III 1º ño Págin 1 POLÍGONOS TRIÁNGULOS 3) En el triángulo
Más detalles1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.
º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.
Más detallesDepartamento: Física Aplicada III
Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los
Más detallesTema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza
Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión
Más detallesTrigonometría Ing. Avila Ing. Moll
Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur
Más detallesDISTINGUIR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
7 REPASO Y APOYO OBJETIVO DISTINGUIR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Nomre: Curso: Fe: Ddo un triánguo retánguo, definimos s rzones trigonométris de uno de sus ánguos gudos : seno sen oseno os tngente tg (teto
Más detallesLos triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:
Más detallesMAT I RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. «Mi pereza no me deja tiempo libre para nada» Escritor MATERIAL ÍNDICE:
4 «Mi perez no me dej tiempo lire pr nd» Esritor MT I RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ÍNDIE: MTERIL 1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO (0º 90º). RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO ULQUIER (0º 360º) 3. RZONES
Más detallesFIGURAS SEMEJANTES. r B CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes condiciones:
Lo fundmentl de l unidd Nombre y pellidos:... urso:... Feh:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... y sus distnis... D F D' ' F' ' ' Por ejemplo, si ls figurs
Más detallesLÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS
LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Trzr un perpendiulr en el extremo de un segmento de 60 mm. de longitud. Trzr un perpendiulr
Más detallesSEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
MISIÓN 010-I GEOMETRÍ SEMEJNZ E TRIÁNGULOS 1. EFINIIÓN os triángulos se llmn semejntes uno tienen sus ángulos respetivmente ongruentes y los los homólogos proporionles. Los los homólogos son los opuestos
Más detalles6 Aplicaciones de la trigonometría
6 Apliiones de l trigonometrí LEE Y COMPRENDE El relto nrr ómo se luló l medid de l Tierr pr estleer un medid de longitud universl: el metro. Cómo se llevó o? El álulo de l medid de l Tierr se llevó o
Más detallesCALCULAR LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS
9 LULR L RZÓN DE DOS SEGMENTOS REPSO Y POYO OJETIVO 1 RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un punto
Más detallesOBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO
OJETIVO 1 lulr l RzÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detalles1. Definición de Semejanza. Escalas
Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión
Más detallesGYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. TRIGONOMETRÍA. EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. PROBLEMAS.
GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ MATEMÁTICAS TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS - Determinr ls longitudes de los ldos y los tmños de los ángulos interiores del triángulo ABC si semos:
Más detalles344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:
LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detalles11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de
Más detallesRazones trigonométricas de un ángulo agudo. Relaciones fundamentales
B C Mtemátis I - º Billerto Rzones trigonométris de un ángulo gudo. Reliones fundmentles En todo triángulo retángulo BC ls rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos, en este
Más detallesRecuerda lo fundamental
6 L semejnz sus pliiones Reuerd lo fundmentl urso:... Fe:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... sus distnis... Por ejemplo, si ls figurs F F' son semejntes,
Más detallesRazones trigonome tricas de un a ngulo agudo. Relaciones fundamentales
Rzones trigonome tris de un ngulo gudo. Reliones fundmentles En todo triángulo retángulo C ls rzones trigonométris (seno, oseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos, en este so, se definen de l siguiente
Más detalles- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna.
9. CIRCUITOS SIMPLES DE CORRIENTE ALTERNA Conoidos los omponentes, hor se prenderá ómo se omportn de form individul l estr onetdos un fuente de limentión de orriente ltern. El onoimiento de l ley de Ohm
Más detallesX. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.
X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos
Más detalles( ) [ ( )( ) ] ( ) ( ( ) ) =
Ejeriios pr reuperr º ESO Nomre : Deprtmento de mtemátis Grupo: º Clulr el resultdo de ls siguientes epresiones: ; : ( [ ( ( ] ( ( ( º Clulr el resultdo de ls siguientes epresiones : ; 9 0 [( ( ( ] [ (
Más detallesMAT I RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. «Mi pereza no me deja tiempo libre para nada» Escritor MATERIAL ÍNDICE:
4 «Mi perez no me dej tiempo lire pr nd» Esritor MT I RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ÍNDIE: MTERIL 1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO (0º 90º). RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO ULQUIER (0º 360º) 3. RZONES
Más detalles