Colegio Diocesano Asunción de Nuestra Señora Ávila Tema 7

Transcripción

1 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Pr onoer l sidurí de Tles de Mileto ( C.), se uent que los serdotes de Egipto lo sometieron un dur prue: verigur l ltur de l pirámide de Kéops. Cuentn que Tles se tendió en el suelo, donde mró on dos ests l longitud de su esttur. Cundo oservó que su somr er igul l distni mrd en el suelo, midió l somr que proyet l fmos pirámide y dijo los serdotes: Aor que mi somr y mi ltur son igules, l longitud de l somr de l pirámide tiene que oinidir on su ltur. Atulmente, utilizndo l trigonometrí, est esper es inneesri. En est unidd vmos dr respuest este y otros prolems nálogos, resolviendo triángulos retángulos y no retángulos, o lo que es lo mismo, lulndo los elementos desonoidos del triángulo prtir de otros dtos. Puede ourrir que ls ondiiones de prtid sen tn déiles que den lugr un infinidd de triángulos. En estos sos se die que el triángulo está indetermindo. Por el ontrrio, si ls ondiiones son muy restritivs, llegn vees ser ontrditoris y no definen triángulo lguno. Finlmente, si on los dtos iniiles sólo se puede onstruir un triángulo deimos que éste está determindo. Los dtos utilizles pr definir un triángulo podrín ser vriopintos: isetries, lturs, rdio de l irunfereni irunsrit,..., lo que omplirí desmesurdmente el prolem. Deprtmento de Mtemátis 1 Mtemátis

2 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem Resoluión de triángulos retángulos. Ddo el triángulo retángulo de l figur, que es reto en elementos son ls siguientes: A, ls reliones entre sus A C Reliones entre los ldos. Teorem de Pitágors. Reliones entre los ángulos. A C 180º o tmién: C 90º Reliones entre los ldos y ángulos. Reliones trigonométris. sen osc os senc tg tg C De los 6 elementos, tres ldos y tres ángulos, de un triángulo retángulo AC, el ángulo reto A es el únio de sus elementos que es siempre onoido. Pr resolver un triángulo retángulo es neesrio onoer, omo mínimo, dos elementos distintos del ángulo reto A. Hy solmente utro forms de determinr un triángulo retángulo, que son ls siguientes: Conoid l ipotenus y un ángulo. Ejemplo 1: Resuelve el triángulo retángulo AC siendo: 15 y 0º. C 90º C 90º 70º sen sen 5'13 os os 14'09 15 A 90º 5'13 0º 14'09 C 70º Oservión: Pr llr elementos desonoidos se deen utilizr siempre fórmuls en ls que intervienen los dtos y un elemento desonoido. Proediendo sí, los errores de proximión que pueden drse l llr los elementos desonoidos no influyen en los álulos posteriores. A C Deprtmento de Mtemátis Mtemátis

3 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Conoidos un teto y un ángulo. Ejemplo : Resuelve el triángulo retángulo AC siendo: 10'4 y 55º. C 90º C 90º 35º sen 15'007 sen tg 71'701 tg 15'007 A 90º 10'4 55º 71'701 C 35º A C Conoidos l ipotenus y un teto. Ejemplo 3: Resuelve el triángulo retángulo AC siendo: 5 y sen r sen 53º 7' 48''.37 os C C r os 36º 5' 11''.63 5 A 90º 0 53º 7' 48'' C 36º 5' 11''.63 A C Conoidos los dos tetos. Ejemplo 4: Resuelve el triángulo retángulo AC siendo: 8 y 4. 5'98 tg rtg 18º 6' 5''.8 tg C C rtg 71º 33' 54''.18 5'98 A 90º 8 18º 6' 5''.8 4 C 71º 33' 54''.18 A C Deprtmento de Mtemátis 3 Mtemátis

4 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Oservión: Si sólo onoiésemos los dos ángulos gudos entones podrímos onstruir infinitos triángulo, es deir, el triángulo serí indetermindo, por el Teorem de Tles. En l figur se oservn dos triángulos retángulos que tienen los mismos ángulos. Ejeriios: 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.- Apliiones l geometrí. Si queremos lulr distnis o áres de figurs geométris regulres podemos utilizr ls expresiones nteriores siempre y undo podmos otener triángulos retángulos. Lo más típio es resolver polígonos regulres: pentágonos, otógonos,... Como un polígono regulr se desompone en triángulos isóseles, l unir los vérties on su entro, el prolem de resolver un polígono regulr qued reduido resolver triángulos isóseles y por lo tnto triángulos retángulos. Hy que reordr que l potem divide d triángulo isóseles en dos triángulos retángulos igules. Deemos onoer siempre de que polígono se trt, pues sí sremos l medid del ángulo 360º entrl O. Hy que reordr que l medid del ángulo entrl de un polígono regulr es O, n donde n es el número de ldos de dio polígono regulr. Ejemplo 1: Clulr el rdio y l potem de un otógono regulr de ldo 10 m. Rdio r Apotem r 10 r 360º Ángulo entrl: 45º 8 º 30' 5 5 tg º 30' 1'07 tg º 30' 5 5 sen º 30' r 13'06 r sen º 30' Rdio: 13'06 m Apotem: 1'07 m Deprtmento de Mtemátis 4 Mtemátis

5 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Ejemplo : Los tetos de un triángulo retángulo son 3 y 4 m. Hllr l ltur orrespondiente l ipotenus. 3 4 Como es un triángulo retángulo, plindo el teorem de Pitágors: En el primer triángulo (triángulo grnde) tenemos l rzón trigonométri: 4 4 sen r sen 53º 7' 48'' En el segundo triángulo (triángulo pequeño) tenemos l rzón trigonométri: 4 1 sen 3 sen 3 ' L ltur sore l ipotenus mide '4 m Oservión: Por lo tnto, no er neesrio lulr el ángulo. Ejemplo 3: Hllr el rdio de un irunfereni siendo que un uerd de 4'6 m tiene omo ro orrespondiente uno de 70º. 1'3 1'3 sen35º r 1'44 r sen35º r El rdio de l irunfereni mide 1'44 m Ejemplo 4: Hllr el áre de un triángulo AC onoidos 10 m y 8 m y el ángulo omprendido entre ellos 43º. Trzmos l ltur desde el vértie A l ldo, pr sí onstruir un triángulo retángulo, y poder plir ls expresiones trigonométris: sen 43º 8 sen 43º sen 43º Áre 7'79 El áre del triángulo es 7'79 m Deprtmento de Mtemátis 5 Mtemátis

6 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Ejemplo 5: Hllr el áre de un pentágono regulr insrito en un irunfereni de rdio 10 m. 360º Ángulo entrl: 7º 5 36º Pr lulr el áre del pentágono st on lulr el áre de un triángulo y multiplirl por 5. 36º sen 0 sen36º 11' os36º 10 os36º 8' sen36º 10 os36º Áre del pentágono '764 El áre del pentágono es 37'764 m Ejemplo 6: Hllr el áre de un otógono regulr de ldo 10 m tg º 30' 1'07 tg º 30' tg º 30' 40 5 Áre del otógono '84 tg º 30' El áre del otógono es 48'84 m 360º Ángulo entrl: 45º 8 º 30' Pr lulr el áre del otógono st on lulr el áre de un triángulo y multiplirl por 8. Ejeriio: Apliiones l topogrfí. L mediión diret de lturs y distnis es un operión que result menudo difíil y, vees, imposile. No suede lo mismo undo se trt de ángulos, y que su medid se logr on filidd y extitud, mered prtos espeiles, omo el GRAFÓMETRO (mide ángulos orizontles) y el TEODOLITO (mide ángulos orizontles y vertiles). Deprtmento de Mtemátis 6 Mtemátis

7 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Sin emrgo, es posile l mediión indiret de distnis (omo un de ls pliiones prátis de l Trigonometrí) sándonos en l resoluión de triángulos. Por est rzón, destmos l importni de l Trigonometrí en Topogrfí, Agrimensur, et. Ejemplo: Se dese lulr el áre de un prel tringulr. Dos de sus ldos miden 80 m y 130 m. Con un teodolito se mide el ángulo que formn estos ldos, que es 70º. Cuánto mide el áre?. Clulmos l ltur del triángulo: sen 70º 80 sen 70º sen 70º Áre 4886'4 El áre de l prel es 4886'4 m Oservión: Con ls fórmuls que onoemos st or sólo podemos resolver triángulos retángulos, unque si nos ponemos un poo pesdos y pensndo muo podemos resolver tmién triángulos no retángulos. Pero existen otrs fórmuls que nos permiten resolver ulquier tipo de triángulos sin pensr demsido. Pr ello tenemos que otenerls prtir de un serie de teorems. 4.- Teorem de los senos. El teorem de los senos sirve pr relionr los ldos de un triángulo on los ángulos opuestos, y die sí: En todo triángulo ls longitudes de sus ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos respetivos. sen A sen senc Demostrión: C Se el triángulo AC y l ltur orrespondiente l vértie C, por lo que se nos formn dos triángulos retángulos: A sen A sen A sen A sen sen sen sen sen A Deprtmento de Mtemátis 7 Mtemátis

8 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 C ' Del mismo modo, si trzmos l ltur ' orrespondiente l vértie A, otenemos dos triángulos retángulos: A ' senc ' senc senc sen ' sen ' sen sen senc Juntndo ls dos expresiones que emos otenido nos qued: sen A sen senc justo lo que tenímos que demostrr. 5.- Teorem del oseno. El teorem del oseno die que en todo triángulo se verifi: El udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos ldos, menos el dole produto de estos ldos por el oseno del ángulo omprendido entre ellos. Demostrión: os A os os C Si en el triángulo AC de l figur, trzmos l ltur desde el vértie, otenemos el triángulo retángulo CH, y plindo el teorem de Pitágors: H CH Deprtmento de Mtemátis 8 Mtemátis

9 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Considermos el triángulo retángulo AH y plindo el teorem de Pitágors: H AH H AH sustituyendo en l expresión otenemos: AH AH AH AH AH AH Aor nos fijmos en el ángulo A del triángulo retángulo AH y otenemos: os 180º A AH AH os 180º A os A os A sustituyendo en l expresión otenemos: os A os A Análogmente se demuestrn ls otrs igulddes pr los ldos y. Oservión: Como so prtiulr del teorem del oseno, result el onoido teorem de Pitágors. Cundo A 90º, l fórmul se onvierte en: os90º 0 Oservión: Por omodidd pr demostrr el teorem del oseno emos onsiderdo el triángulo otusángulo. Si queremos demostrr ls fórmuls pr los ldos y st on situr el ángulo y el ángulo C omo ángulos otusos, respetivmente. 6.- Resoluión de triángulos no retángulos. Oservión: Pr llr elementos desonoidos se deen utilizr siempre fórmuls en ls que intervienen los dtos y un elemento desonoido. Proediendo sí, los errores de proximión que pueden drse l llr los elementos desonoidos no influyen en los álulos posteriores. Como utilizremos el teorem de los senos y el del oseno, vees pr lulr elementos desonoidos, es imposile erlo utilizndo únimente los dtos, y deemos er mno de elementos lldos previmente. Pr resolver un triángulo no retángulo es neesrio onoer, omo mínimo, tres elementos del triángulo. Como esto es un uestión muy práti, l mejor mner de prender es erlo se de ejemplos, omo los que se te filitn ontinuión. Se pueden presentr los siguientes sos: Deprtmento de Mtemátis 9 Mtemátis

10 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Conoidos un ldo y dos ángulos ulesquier. Ejemplo 1: Resuelve el triángulo AC siendo: 6, 45º y C 105º. A C A C 180º A 180º C 30º sen 8'48 sen A sen sen A senc 11'59 sen A senc sen A 6 A 30º 8'48 45º 11'59 C 105º Conoidos los tres ldos. Ejemplo : Resuelve el triángulo AC siendo: 15, y 17. os A os A os A A 4º 53' 36''.54 A C os os os 86º 37' 39''.77 os C os C osc C 50º 8' 43'' A 4º 53' 36''.54 86º 37' 39'' C 50º 8' 43''.69 Deprtmento de Mtemátis 10 Mtemátis

11 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Conoidos dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos. Ejemplo 3: Resuelve el triángulo AC siendo: 10, 7 y C 30º. A C C os 5'68 os A os A os A A 108º ' 7''.64 os os os 41º 37' 5'' A 108º ' 7'' º 37' 5''.36 5'68 C 30º Conoidos dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos. Ejemplo 4: Resuelve el triángulo AC siendo: 4, 3 y 40º 3'. A C sen sen A sen A sen existen dos posiles vlores pr el ángulo A : A 58º 3' 14''.65 A' 180º A 11º 7' 45''.35 A C 180º C 180º A 80º 55' 45''.35 A' C ' 180º C ' 180º A' 18º 0' 14''.65 Deprtmento de Mtemátis 11 Mtemátis

12 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 senc 48'6 sen senc sen ' senc ' ' 15'19 sen senc ' sen Vemos que tiene dos soluiones: 4 A 58º 3' 14''.65 4 A' 11º 7' 45'' º 3' 3 40º 3' 48'6 C 80º 55' 45''.35 ' 15'19 C ' 18º 0' 14''.65 Oservión: Cundo los dtos pr l resoluión de un triángulo AC, son dos ldos y uno de sus ángulos opuestos, entones es un prolem que puede tener un, dos o ningun soluión. Oservión: Siempre que se posile y que evitr l utilizión del teorem de los senos pr lulr ángulos, y que on el seno se otienen dos ángulos menores de 180º y por lo tnto pueden existir dos soluiones. Esto no se puede evitr en este último so. Oservión: Lógimente, en l resoluión de triángulos no pueden slir resultdos negtivos (ldos ni ángulos negtivos). En el so de que esto suediese entones signifirí que ese vlor no serí soluión del triángulo. Oservión: Si sólo onoiésemos los tres ángulos entones otendrímos infinitos triángulos (triángulos semejntes), es deir, tendrímos un triángulo indetermindo (por el teorem de Tles). Ejeriios: 11, 1, 13 Deprtmento de Mtemátis 1 Mtemátis

13 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem Apliiones l topogrfí de triángulos no retángulos. Hy muos prolems topográfios en los ules y que utilizr los teorems nteriores pr poder resolver los triángulos no retángulos que se otienen. Vmos estudir los modelos más omunes on los que nos vmos enontrr. Ejemplo 1: Mrí, Mrtín y Edurdo vn eslr un montíulo del que desonoen l ltur. A l slid del puelo n medido el ángulo de elevión, que mide 30º. Hn vnzdo 00 m st l se del montíulo y n vuelto medir el ángulo de elevión, siendo or 45º. Clulr l ltur del montíulo. C A Del triángulo no retángulo tenemos omo dtos: 00, A 30º, 180º 45º 135º A C 180º C 180º A 15º Pr lulr l ltur neesitmos lulr l longitud o l longitud ; mejor l que es más pequeñ: sen A 386'37 sen A senc senc Aor onsidermos el triángulo retángulo CP tl que: 45º sen 45º sen 45º 73'05 L ltur del montíulo es de 73'05 m. Deprtmento de Mtemátis 13 Mtemátis

14 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 Ejemplo : Tres puelos A, y C están unidos por rreters rets y llns. L distni de A es 6 km y l de C 9 km. El ángulo que formn ls rreters A y C es 10º. Cuánto distn A y C? os10º 13'076 L distni entre los puelos A y C es de 13'076 km. Ejemplo 3: Se oserv un gloo utivo desde dos puntos situdos 1 km, on ángulos de elevión de 45º y 60º, respetivmente. Clulr l ltur que está ese gloo siendo que se enuentr entre ellos. A C El gloo se enuentr en el punto. Conoemos los siguientes dtos del triángulo: 1, A 45º, C 60º A C 180º 180º A C 75º Pr lulr l ltur neesitmos lulr l longitud o l longitud ; yo e deidido lulr l longitud : senc 0'896 sen senc sen Aor pr lulr l ltur onsidermos el triángulo retángulo de l izquierd: sen 45º sen 45º 0'63 L ltur del gloo es de 0'63 km. Ejeriios: 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0, 1 Ejeriio voluntrio: Deprtmento de Mtemátis 14 Mtemátis

15 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 EJERCICIOS 1.- Clul l longitud de l somr de l torre Eiffel (ltur, 300 m) undo l inlinión de los ryos solres medid sore el orizonte es de 14º..- L onstruión de l fmos torre de Pis onluyó en el ño 184. Al terminr se omproó que l prte más lt de l torre se sepr de l vertil unos 90 m. En l tulidd, l seprión es de unos 5 m y l ltur de l torre unos 55 m. Clul el ángulo que form l torre on l vertil. 3.- Un moned mide '4 m de diámetro. Hll el ángulo que formn ls tngentes di moned desde un punto situdo 6 m del entro. 4.- Desde un nve espil se ve l Tierr jo un ángulo de 0º. Siendo el rdio de l Tierr kilómetros, ll l distni de l nve l superfiie terrestre. 5.- Desde un fro olodo 40 m sore el nivel del mr se ve un ro jo un ángulo de depresión de 55º. A qué distni del pie del fro se ll el ro?. Deprtmento de Mtemátis 15 Mtemátis

16 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem Un esler de omeros de 10 m de longitud se fijdo en un punto de l lzd. Si se poy sore un de ls fds form un ángulo on el suelo de 45º y si se poy sore l otr fd form un ángulo de 30º. Hll l nur de l lle. Qué ltur se lnz on di esler sore d un de ls fds?. 7.- An y Pedro quieren medir l ltur de l torre de un stillo. El ángulo de elevión de l velet de un torre es de 45º 15', un distni de 7 m de l torre. Si l mir del teodolito de enuentr 1'1 m sore el suelo, lul l ltur de l torre. 8.- Prue que en todo triángulo retángulo se verifi: sen os C tg os senc 9.- En un triángulo ulquier, prue ls siguientes reliones: ) sen A sen C ) os A os C ) tg A tg C d) sen A sen A C e) sen sen A C 10.- Hll l fórmul generl del áre de un polígono regulr de ldo. Aplíl un otógono regulr on ldo 10 m En un triángulo AC se onoe el ldo C 10 m, el ángulo AC que vle 105º y el ángulo AC que vle 30º. Hll los ldos y el áre del triángulo. 1.- Se AC un triángulo tl que 5 m, 6 m y C 60º. Clulr uánto mide el otro ldo, los otros ángulos y el áre Resuelve los siguientes triángulos: ) 1 m, 8 m, A 150º ) 7 m, 57 m, C 75º 47' ) 3'78 m, A 105º, 38º 47' d) 6 m, 8 m, 9 m e) 40 m, 60 m, A 4º f) 11'5, 138'9, A 33º 7' 14.- Desde ierto punto del suelo se ve el punto más lto de un torre formndo un ángulo de 30º on l orizontl. Si nos ermos 75 m i el pie de l torre, ese ángulo mide 60º. Hll l ltur de l torre Dos migos n reído ver un ovni, desde dos puntos situdos 800 m, on ángulos de elevión de 30º y 75º, respetivmente. Srís llr l ltur l que está el ovni siendo que se enuentr entre ellos?. Deprtmento de Mtemátis 16 Mtemátis

17 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem Desde l orill de un río se ve un árol en l otr orill jo un ángulo de 45º, y si se retroede 40 m, se ve jo un ángulo de 30º. Hll l ltur del árol y el no del río Un nten de 1'5 m de ltur se olodo en el tejdo de un edifiio. Desde un punto de l lle medimos los ángulos de elevión de l se y del extremo superior de l nten, que son 46º y 50º respetivmente. Qué ltur tiene el edifiio? Desde ierto lugr se ve el punto más lto de un torre jo un ángulo de 35º. Si se retroede 00 m, se ve l mism torre pero jo un ángulo de 0º. Clul l ltur de l torre Pedro y An ven desde ls puerts de sus ss un torre de televisión jo ángulos de 45º y 60º. L distni entre sus ss es de 16 metros y l nten está situd entre sus ss. Hll l ltur de l torre. 0.- Dos persons distntes 00 m entre sí oservn un omet on ángulos de elevión de 35º y 5º respetivmente. Si l omet se enuentr entre ls dos persons, lulr ls distnis de l omet d un de ells. 1.- Un person de 180 m de esttur ve l op de un pino jo un ángulo de 40º. Si se lej 10 m del pino, ve di op jo un ángulo de 0º. Clul l ltur del árol..- Se dese onoer l distni entre dos úspides on ojeto de onstruir un telefério. Desde el vlle se otienen por mediión diret los dtos que preen en l figur. Clul l distni entre ls nders. Deprtmento de Mtemátis 17 Mtemátis

18 Colegio Dioesno Asunión de Nuestr Señor Ávil Tem 7 CUESTIONES 1.- Los les que sujetn un torre de un emisor de rdio tienen sus nljes en un irunfereni de 10 m de rdio. Cd le form on l orizontl un ángulo de 45º. Podrís indir l ltur de l torre sin relizr álulos?..- Si en un triángulo retángulo onoes l ipotenus y un teto, qué fórmuls emplerís pr resolver el triángulo?. 3.- De un triángulo se se que tiene dos ángulos que miden A 60º y 70º. Se puede resolver?. 4.- Tles se tendió en el suelo, donde mró on dos ests l longitud de su esttur. Cundo oservó que su somr er igul l distni mrd en el suelo, midió l somr que proyet l fmos pirámide y dijo los serdotes: Aor que mi somr y mi ltur son igules, l longitud de l somr de l pirámide tiene que oinidir on su ltur. Srís explir ls rzones de Tles de Mileto pr poder er l nterior firmión?. Deprtmento de Mtemátis 18 Mtemátis