Lección 10: TRIÁNGULOS. Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres lados. También tiene tres vértices.

Transcripción

1 1.- QUÉ ES UN TRIÁNGULO? Leión 10: TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres ldos. Tmién tiene tres vérties. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO Ldo: Cd uno de los tres segmentos que limitn l triángulo. Se identifin on letrs minúsuls. Vértie: Es el extremo omún y punto de unión de dos de los ldos del triángulo Ángulo: Es el que formn d dos ldos del triángulo. Ángulo Vértie Ldo Otros elementos notles del triángulo son: - Alturs: Ls lturs de un triángulo son d uno de los segmentos perpendiulres desde d vértie l ldo opuesto, o su prolongión, y que se llm se. Todo triángulo tiene tres lturs que se ruzn en un mismo punto llmdo ortoentro.. Ortoentro Altur 1 Altur Altur 3 - Ortoentro: Esel punto de rue de ls tres lturs de un triángulo. Puede estr situdo dentro del triángulo (en los triángulos utángulos), fuer del triángulo (en los triángulos otusángulos) o en el vértie del ángulo reto de los triángulos retángulos. Ortoentro. - Medins: Son d uno de los segmentos que unen d vértie on el punto medio del ldo opuesto.

2 Ls tres medins de un triángulo se ruzn en el mismo punto, dentro del triángulo, llmdo rientro. - Brientro: Es el punto de rue de l tres medins de un triángulo. Es siempre un punto interior del triángulo. El rientro es el entro de grvedd del triángulo, por lo que si se he un fuerz ontrri l grvedd en ese punto, el triángulo se equilir. En todos los triángulos se umple que l distni del rientro l vértie es el dole que l distni del rientro l punto medio del ldo opuesto. - Meditries: Son d un de ls rets perpendiulres d uno de los ldos del triángulo en su punto medio. Dividen d ldo en dos segmentos igules. Se trzn del mismo modo que l meditriz de un segmento. En todo triángulo hy tres meditries que se ortn en un mismo punto llmdo irunentro.

3 - Cirunentro: Es el punto de rue de ls tres meditries de los tres ldos de un triángulo. Equidist de los tres vérties del triángulo, por lo que hiendo entro en el irunentro y tomndo omo rdio l longitud del irunentro ulquier de los vérties del triángulo se puede trzr un irunfereni que es tngente exterior l triángulo en sus vérties. Reie el nomre de irunfereni irunsrit l triángulo, el uál es un triángulo insrito en l irunfereni. Triángulo utángulo En los triángulos utángulos el irunentro es un punto interior del triángulo. En los triángulos retángulos el irunentro es el punto medio del ldo myor. Y en los triángulos otusángulos es un punto exterior l triángulo. Cirunentro Cirunentro Triángulo retángulo Triángulo otusángulo - Bisetries: Son d un de ls tres semirrets que, on origen en d uno de los tres vérties del triángulo, divide por l mitd d uno de los tres ángulos del triángulo. Ls tres isetries de un triángulo se ruzn en un punto interior del triángulo llmdo inentro.

4 - Inentro: Es el punto en el que se ruzn ls tres isetries del triángulo. Equidist de d uno de los tres ldos del triángulo, por lo que hiendo entro en el inentro y tomndo omo rdio l distni perpendiulr del inentro ulquier de los ldos, se puede trzr un irunfereni que es tngente interior d uno de los ldos del triángulo. Se llm irunfereni insrit en le triángulo. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Según l iguldd de sus ldos y sus ángulos: - EQUILÁTEROS: Tienen sus tres ldos igules y sus tres ángulos tmién igules. Cd ángulo de un triángulo equilátero mide 60º. En los triángulos equiláteros ls lturs, medins, meditries y isetries se superponen por lo que el ortoentro, rientro, irunentro e inentro oiniden en el mismo punto. - ISÓSCELES: Tienen dos ldos igules y el terero desigul. Tmién dos de sus ángulos son igules y el terero desigul. Pueden tener todos los ángulos gudos; o uno reto y los otros dos gudos; o ien uno otuso y los otros dos gudos. - ESCALENOS: Tienen los tres ldos y los tres ángulos desigules. Los ángulos pueden ser los tres gudos, dos gudos y el terero reto u otuso. EQUILÁTERO TRIÁNGULOS ISÓSCELES TRIÁNGULOS ESCALENOS

5 Según el tipo de ángulos que lo formn: - ACUTÁNGULOS: Tienen los tres ángulos gudos. - RECTÁNGULOS: Tienen un ángulo reto y los otros dos gudos. - OBTUSÁNGULOS: Tienen un ángulo otuso y los otros dos gudos. ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO En ulquier so los tres ángulos de ulquier triángulo siempre sumn 180º. Esto supone que en un triángulo no puede her más de un ángulo reto o más de un ángulo otuso; l menos dos de los ángulos de un triángulo ulquier tienen que ser gudos. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son igules si l superponerlos oiniden sus vérties, sus ldos y sus ángulos. Los ldos, vérties y ángulos oinidentes se llmn orrespondientes. Criterios de iguldd: Dos triángulos son igules si umplen un de ests ondiiones o riterios de iguldd: 1º Criterio: Si tienen sus tres ldos respetivmente igules. º Criterio: Si tienen un ldo igul y dos ángulos respetivmente tmién igules. 3º Criterio: Si tienen dos ldos respetivmente igules y los ángulos omprendidos entre ellos tmién son igules. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Pr onstruir un triángulo se deen tener en uent los siguientes prinipios: - Culquier de los ldos de un triángulo es menor que l sum de los otros dos - Los tres ángulos de un triángulo sumn siempre 180º Se puede onstruir un triángulo: -Conoiendo l medid de los tres ldos del triángulo: Siendo los ldos onoidos, y : 1º Se trz el ldo myor que se llmrá y se identifin sus extremos on ls letrs B y C respetivmente. º Con entro en B se trz un ro de rdio y on entro en C se trz un ro de rdio que se rue on el nterior en el punto A 3º Se une A on los puntos B y C quedndo onstruido el triángulo ABC. -Conoiendo un ldo y los dos ángulos ontiguos: Siendo, el ldo onoido, B y C los ángulos ontiguos y y los otros ldos:

6 1º Se trz el ldo y en sus extremos los ángulos B y C. º Se prolongn los ldos delángulo C y el del ángulo B hst que se ortn en el vértie A. Así qued onstruido el triángulo. -Conoiendo dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos: Siendo, y los ldos onoidos, y C el ángulo omprendido entre ellos: 1º Se trz el ángulo C de ldos y y vértie C el punto de orte de mos ldos. º Se unen entre sí los extremos opuestos l vértie C de mos ldos quedndo onstruido el triángulo. ======================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidmente los puntes nteriores, reflexion y estudi lo destdo. Consult tus duds on el profesor y mpli tus onoimientos onsultndo en liros de mtemátis que tengs mno, internet, et Cundo res que y lo ses prue resolver ls siguientes tividdes. 1.- Construye un triángulo de ldos 7 m, 5 m y 4 m. Trz sus lturs. ) Qué lse de triángulo result según l medid de sus ldos? EQUILÁTERO ISÓSCELES - ESCALENO l medid de sus ángulos? ACUTÁNGULO RECTÁNGULO - OBTUSÁNGULO ) Cómo se llm el punto de rue de sus lturs?.- Construye un triángulo que tiene un ldo de 6 m y los dos ángulos ontiguos este ldo miden 60º y 75º respetivmente. Trz ls meditries de sus ldos. ) Qué lse de triángulo result según l medid de sus ldos? EQUILÁTERO ISÓSCELES - ESCALENO l medid de sus ángulos? ACUTÁNGULO RECTÁNGULO - OBTUSÁNGULO ) Cómo se llm el punto de rue de sus meditries? Qué propiedd tiene este punto? 3.- Construye un triángulo que tiene dos ldos ontiguos de 8 m y 10 m y formn un ángulo de 35º. Trz sus medins. ) Qué lse de triángulo result ser según l medid de sus ldos? EQUILÁTERO ISÓSCELES - ESCALENO l medid de sus ángulos? ACUTÁNGULO RECTÁNGULO - OBTUSÁNGULO ) Cómo se llm el punto de rue de sus medins? Qué propiedd tiene este punto? 4.- Construye un triángulo equilátero uyo perímetro mide 15 m. Trz ls isetries de sus ángulos, meditries de sus ldos, sus medins y sus lturs.

7 ) Qué lse de triángulo result según l medid de sus ldos? EQUILÁTERO ISÓSCELES - ESCALENO l medid de sus ángulos? ACUTÁNGULO RECTÁNGULO - OBTUSÁNGULO ) Cómo se llm el punto de rue de sus isetries? Qué propiedd tiene este punto? ======================================================================== TEOREMAS DEL TRIÁNGULO.- TEOREMA DE PITÁGORAS Se pli solo en los triángulos retángulos, donde l ldo myor se le llm hipotenus (es el ldo opuesto l ángulo reto) y los ldos menores se les llmn tetos (ldos ontiguos l ángulo reto). Si no son igules, uno es el teto myor y el otro el teto menor. TRIÁNGULO RECTÁNGULO ESCALENO TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES CATETO HIPOTENUSA CATETO HIPOTENUSA MAYOR CATETO MENOR CATETO Y el teorem de Pitágors die que: El udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de sus tetos. Se expres on l siguiente fórmul: = + donde es l hipotenus; y son los tetos. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS -Cálulo del ldo desonoido de un triángulo retángulo De est fórmul deduimos ls siguientes: Que nos permiten hllr lo que miden los ldos desonoidos de un triángulo retángulo on lo que se pueden resolver un grn ntidd de prolems geométrios.

8 PROBLEMA RESUELTO 1.- Clul l hipotenus de un triángulo retángulo uyos tetos miden 3 m y 4 m. Cteto myor, = 4 m Cteto menor, = 3 m Hipotenus,? Al trtrse de un triángulo retángulo, se puede resolver plindo el teorem de Pitágors: = m L hipotenus del triángulo mide 5 metros. PROBLEMA RESUELTO.- En un triángulo retángulo, l hipotenus mide 89 m y uno de sus tetos mide 80 m. Cuánto mide el otro teto? Hipotenus, = 89 m. Cteto, = 80 m. Cteto? Al trtrse de un triángulo retángulo se puede hllr uno de los tetos plindo el teorem de Pitágors: = + = m El otro teto mide 39 m. PROBLEMA RESUELTO 3.- Se dese onoer l ltur de un árol siendo que proyet sore el suelo un somr de 1 m y que l distni del extremo de l somr l punto más lto del árol es de 0 m. Longitud de l somr, 1 m. Distni del extremo de l somr l pio del árol, 0 m. Altur del árol? Suponiendo que el árol ree dereho y por lo tnto form un ángulo reto on el suelo donde se proyet su somr, se form un triángulo retángulo on el árol, su somr y l líne imginri que v del extremo de l somr más lejdo del árol y el pio del árol, tl omo se puede ver en el diujo: Donde l distni del extremo de l somr l pio del árol es l hipotenus,, del triángulo y l longitud de l somr proyetd sore el suelo es el teto del triángulo y l ltur del árol es el teto que se desonoe y que se puede hllr plindo el teorem de Pitágors: = + = m El árol mide 16 metros de ltur.

9 ACTIVIDADES Lee detenidmente los puntes nteriores, reflexion y estudi lo destdo. Consult tus duds on el profesor y mpli tus onoimientos onsultndo en liros de mtemátis que tengs mno, internet, et. Cundo res que y lo ses prue resolver ls siguientes tividdes. 5.- En un triángulo retángulo, su hipotenus mide 6 m y el tetos menor m. Cuánto mide el otro teto? 6.- Hll lo que mide l hipotenus de un triángulo retángulo uyos ldos menores miden 30 y 40 m respetivmente. 7.- Hll l ltur de un triángulo equilátero de dos metros de ldo. (Redonde el resultdo ls déims). 8.- Se quiere desender en tirolin desde l terrz de un edifiio de 58 m de ltur. Pr ello se quiere olgr un uerd desde el extremo de un poste de m de ltur situdo en el orde de l terrz, hst l se de un árol de l lle situdo 80 m de l puert del edifiio. Qué longitud dee tener es uerd? ======================================================================== 3.- TEOREMA DE TALES (Consúltlo y estúdilo en ls págins 168,169, 170, 171, 17, 173, y 177) Un serie de dos o más rets prlels (t, u, v, ) que ortn dos sentes (r, s) determinn sore ests y entre ells segmentos proporionles. v u C I r t B I A I O A B C s Según Tles se umple: OA OA OB OB OC OC AB AB AC AC BC BC...

10 Tmién se umple que: OA OB OA OC OB OC OA OB OA OC OB OC AB AB AC AC BC BC PROBLEMA RESUELTO 4.- Cuál es l ltur de un edifiio que proyet un somr sore el suelo de 5 metros si es mism hor un stón de 1 metros proyet sore el suelo un somr de 0 75 metros? Longitud de l somr del edifiio, = 5 m. Altur del stón, = 1 m. Longitud de l somr del stón, = 0 75 m. Altur del edifiio, x? Como el edifiio es perpendiulr l suelo, form un triángulo retángulo on su somr y l líne imginri que une el extremo de l somr más lejd del edifiio y el punto más lto del mismo. Por otro ldo, el stón olodo perpendiulrmente l suelo tmién form un triángulo retángulo on su somr y l líne imginri que une el extremo de l somr más lejdo del stón y su empuñdur. Teniendo en uent que l longitud de l somr de un uerpo es diretmente proporionl su ltur, estos dos triángulos son semejntes y que los ldos que formn el ángulo reto en mos son proporionles y por lo tnto se pueden situr en l posiión de Tles, omo se puede oservr en el diujo. x Pr hllr x(ltur del edifiio) se puede plir el teorem de Tles formulndo l siguiente proporión: 0'75 1' 5 1' 30 x 40 m x 5 x 0'75 0'75 El edifiio mide 40 metros de ltur. ========================================================================

11 ACTIVIDADES Lee detenidmente los puntes nteriores, reflexion y estudi lo destdo. Lee tmién en ls págins 168, 169, 170, 171, 175 y 176 del liro, reflexion y estudi lo destdo. Consult tus duds on el profesor y mpli tus onoimientos onsultndo en liros de mtemátis que tengs mno, internet, et Cundo res que y lo ses prue resolver ls siguientes tividdes. 9.- Págin 170, tividd Págin 171, tividd Págin 171, tividd Págin 176, tividd Págin176, tividd Págin176, tividd 17. ======================================================================== 4.- MEDIDAS DEL TRIÁNGULO: ÁREA Y PERÍMETRO El perímetro de un triángulo es l medid de su ontorno. Y es igul l sum de sus tres ldos. P = + + Siendo P el perímetro y, y los ldos del triángulo. En un triángulo isóseles, omo tiene dos ldos igules, se podrí lulr tmién on l siguiente fórmul: P = + En un triángulo equilátero, que tiene los tres ldos igules, tmién se podrí utilizr l siguiente fórmul: P = 3 El áre, A, de un triángulo es igul l mitd del produto de su se,, por su ltur, h. Se puede hllr on l siguiente fórmul: h A L se de un triángulo es ulquier de sus ldos y l ltur es l perpendiulr l se desde el vértie opuesto. Altur h Bse

12 En los triángulos equiláteros l ltur es perpendiulr l se en su punto medio. En los triángulos isóseles si se tom omo se el ldo desigul, su ltur tmién es perpendiulr l se en su punto medio. En mos sos l ltur se puede hllr si onoemos su se, plindo el teorem de Pitágors. PROBLEMA RESUELTO 5.- Hll el perímetro y el áre de un triángulo uyos ldos miden 5 m, 8 m y 5 m respetivmente. Ldo = 5 m Ldo = 8 m Ldo = 5 m Perímetro, P? Áre, A? h Al tener dos ldos igules se trt de un triángulo isóseles y por lo tnto su perímetro se puede hllr plindo l siguiente fórmul: El perímetro de este triángulo es de 18 entímetros. P = + P = = = 18 m Tomndo omo se el ldo y omo ltur l perpendiulr h l ldo, el áre de un triángulo se puede hllr plindo l siguiente fórmul: h A Pr hllr l ltur hy que tener en uent que este segmento form un triángulo retángulo on l mitd de l se y uno de los ldos igules ó, donde l ltur y l mitd de l se son sus tetos y uno de los ldos igules es l hipotenus. Por lo tnto l ltur se puede hllr plindo el teorem de Pitágors. h h h 8 h m A m El áre del triángulo mide 1 m. ========================================================================

13 ACTIVIDADES Lee detenidmente los puntes nteriores, reflexion y estudi lo destdo. Consult tus duds on el profesor y mpli tus onoimientos onsultndo en liros de mtemátis que tengs mno, internet, et. Cundo res que y lo ses prue resolver ls siguientes tividdes Clul el áre y el perímetro de un triángulo equilátero de 8 m de ldo Hll el perímetro y el áre de un triángulo uyos ldos miden 16 m, 1 m y 16 m Cuál es el perímetro y el áre de un triángulo retángulo uyos tetos miden 6 m y 8 m respetivmente? ======================================================================