PB' =. Además A PB = APB por propiedad de

Transcripción

1 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 PRLEM EL EXMEN ESTTL P es ulquier punto del interior de un triángulo. Sen, y los puntos medios de los segmentos P, P y P respetivmente. emuestr que los triángulos y son semejntes en rzón :. Se un triángulo y P un punto en el interior del mismo., y los puntos medios de P, P y P respetivmente. emostrr Δ Δ en rzón : Primer demostrión: es punto medio de P y es punto medio de P, entones es prlel y ½, luego ' ' (Por el Teorem de Thles) es punto medio de P y es punto medio de P, entones es prlel y ½, luego ' ' (Por el Teorem de Thles) es punto medio de P y es punto medio de P, entones es prlel y ½, luego ' ' (Por el Teorem de Thles) e todo lo nterior se tiene: riterio de semejnz LLL. ' ' ' ' ' ', de donde Δ Δ en rzón : Por el Segund demostrión: P es punto medio de P, entones P, luego P P, de hí P' ; es punto medio de P, P entones P, luego P P, de hí P'. demás P P por propiedd de reflexividd. Entones Δ P ΔP por riterio L y en rzón :, de donde nálogmente Δ P ΔP en rzón :, de donde ' '. e todo lo nterior se tiene riterio LLL y en rzón : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' y Δ P ΔP en rzón :, de donde, por lo que Δ Δ por qed L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

2 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 TRIGNMETRÍ Triángulo Retángulo: El triángulo retángulo es quel que tiene un ángulo que mide 90, es deir tiene un ángulo reto. Este triángulo es muy importnte y sus ldos tienen nomres espeiles. El Ldo ms grnde se llm Hipotenus y los ldos ms pequeños se llmn tetos (serán opuesto ó dyente dependiendo del ángulo que se quier hlr). Los tetos serán opuesto ó dyente dependiendo del ángulo del ul se quier hlr. Tomndo en uent el ángulo lf Tomndo en uent el ángulo et Funiones Trigonométris: Si se tom un ángulo determindo en un triángulo retángulo, teto puesto teto dyente y HI Hipotenus, entones ls seis funiones trigonométris pr diho ángulo son: seno sen 0 HI otngente ot oseno os HI HI sente se tngente tn HI osente s Si tommos en uent el siguiente triángulo: Seno ( α ) 5 Tngente ( α ) 3 4 oseno ( α ) 4 5 o tn gente( α ) 4 3 Sente ( α ) 5 4 o se nte( α ) 5 3 Triángulos y L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

3 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 Hy dos triángulos que yudn onoer los vlores de ls funiones trigonométris pr vrios ángulos importntes: onsiderndo siempre ls longitudes indids en l figur, se pueden enontrr los vlores de ls funiones, por ejemplo: 3 sen ( 30) os(45) tn(60) 3 demás, existen ls siguientes propieddes:. El seno de un ángulo y el seno de su suplemento son igules: sen α sen (80 - α). El oseno de un ángulo es el inverso ditivo del oseno de su suplemento: os α - os (80 - α) 3. senα L tngente de un ángulo es igul l rzón entre el seno y el oseno: tnα os α En un triángulo (de ulquier tipo), se umplen ls siguientes reliones: Ley de Senos: sen Ley de osenos: + os sen sen lguns definiiones neesris: Romo: Prlelogrmo on un pr de ldos dyentes ongruentes. Trpeio: udrilátero que tiene extmente un pr de ldos opuestos prlelos. L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

4 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 ÁRES e un írulo Un írulo o región irulr es l reunión de un irunfereni y su interior. El áre del írulo, es el áre de l región irulr orrespondiente. El áre de un írulo de rdio r es πr. e un setor irulr Un setor irulr es un porión de írulo formd por dos rdios, el ro que rn y el interior de l figur formd por ellos. El áre de un setor irulr de rdio r y θ el ángulo entrl formdo por los ldos del setor, medido en rdines: r S θ e un prlelogrmo El áre de un prlelogrmo es el produto de un se ulquier y l ltur orrespondiente. *h h e un retángulo El áre de un retángulo es igul l produto de sus ldos. e un trpeio El áre de un trpeio es l mitd del produto de su ltur y l sum de sus ses. h h( + ) L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

5 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 e un triángulo El áre de un triángulo es l mitd del produto de ulquier de sus ses y l ltur orrespondiente. h h h El áre de un triángulo retángulo es l mitd del produto de sus tetos. *h Fórmul de Heron: Si, y son ls longitudes de los ldos de un triángulo, semiperímetro del triángulo. El áre del triángulo es: S( S )( S )( S ) + + S es el Si se tomn ls longitudes indids en l figur, se tiene tmién: () denot el áre del triángulo. sen ( ) NT: Posteriormente se revisrán otrs forms de lulr el áre de un triángulo. EJERIIS :. Un udrdo y un retángulo tienen áres igules. Si el retángulo tiene longitudes 5 y 6, uál es l longitud de un ldo el udrdo?. Un trpeio tiene ldos prlelos de longitudes 3 y. El ldo más lrgo de los ldos no prlelos mide 7 y el más orto es perpendiulr los ldos prlelos. lúlese el áre del trpeio. 3. En ulquier triángulo, un medin divide l triángulo en dos triángulos de áres ongruentes. 4. Ls tres medins de un triángulo dividen l mismo en seis triángulos de áres ongruentes. 5. El áre de un romo es igul l mitd del produto de sus digonles. 6. Hllr el áre de un triángulo equilátero de ldo, y tmién el áre de un triángulo equilátero de ldo k. 7. L ltur de un triángulo equilátero es. eterminr l longitud de los ldos y el áre del triángulo. 8. Se un trpeio tl que es prlelo. Los segmentos y se intersen en G. L ret l, que ps por G y es prlel ort l segmento en E y l segmento en F. uál es el resultdo de dividir el áre del triángulo EF entre el áre del triángulo EF expresándolo en términos de los ldos del trpeio? (V Intermpus ITESM) 9. Se MNP un udrdo de ldo igul. onsideremos l irunfereni on entro en y rdio igul. L ret M interfet l irunfereni en K dentro del udrdo y L fuer del udrdo. L ret LP interfet l prolongión del ldo NM en S. Hllr el áre del triángulo KMS. (MM hihuhu 000) L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

6 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 URILÁTERS ÍLIS Postuldo 3 de Eulides: do un punto ulquier y un distni ulquier, podemos trzr un y sólo un irunfereni teniendo omo entro el punto ddo y omo rdio l distni dd. Tngente: Si es un punto sore l irunfereni de entro y rdio r (o,r), m es un ret perpendiulr l rdio en el extremo. r m Sente: ulquier ret m que rue l irunfereni en dos puntos. m uerd: Segmento de ret que teng sus extremos sore l irunfereni y no pse por el entro. iámetro: uerd que ps por el entro. Ángulo entrl: Ángulo formdo por dos rdios. L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

7 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 Ángulo insrito: Ángulo formdo por dos uerds. Ángulo semi-insrito: Ángulo formdo por un uerd y un segmento tngente. Teorem de ro entrl y ro insrito: d un irunfereni on entro y tres puntos, y sore ell, entones emostrión: Se revisrán tres sos:. El ángulo insrito formdo por un diámetro y un uerd: es diámetro, y son rdios, entones es un triángulo isóseles por lo que es ángulo exterior del triángulo, entones + Por lo tnto. El ángulo entrl qued dentro del ángulo insrito: L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

8 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 Se hrá un trzo uxilir, P diámetro. P Entones se tiene por el so : P P y P P demás P + P P + P ( P + P) Por lo tnto 3. Los ldos del ángulo insrito ortn los ldos del ángulo entrl: Se trz P diámetro de l irunfereni. P Por el so se tiene: P P y P P demás P - P P - P ( P - P) Por lo tnto Luego, en generl se umple qed Teorem de tngente y triángulo insrito Se l irunfereni irunsrit l triángulo Δ, se l l tngente en el punto. El ángulo formdo por l tngente y el ldo es igul l ángulo. L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

9 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 udrilátero ílio: udrilátero uyos vérties se enuentrn sore l mism irunfereni. Teorem: El udrilátero es ílio si y sólo si umple un de ls siguientes ondiiones: ) + 80 o ) +80 Fórmul de rhmgupt Si,, y d son ls longitudes de los ldos de un udrilátero ílio, semiperímetro del udrilátero, entones el áre del udrilátero es : S d es el ( S )( S )( S )( S d) LEY E SENS: sen orrespondiente l triángulo. emostrión: R, donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit sen sen Q Se un triángulo y su irunfereni irunsrit, se trz Q ltur desde el vértie, entones se tiene: Q sen, despejndo Q Q sen () Q Se trz un líne uxilir, P diámetro de l irunfereni: L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré P

10 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 omo P es diámetro, P 90 y omo Q es ltur Q 90, luego P Q P es ílio, entones P, de donde P Q Luego, por el riterio se tiene ΔP ΔQ, entones Q P Q P despejndo Q y sustituyendo, y P R (y que es diámetro) se tiene Q P R () Luego, de () y () se tiene sen, de donde R R sen R y R sen sen nálogmente pr los otros dos ángulos y ldos se tiene: e ls tres proporiones se tiene el resultdo esperdo: R sen sen sen Teorem: El áre de un triángulo de longitudes,, y rdio de l irunfereni irunsrit R, es ( ) 4R emostrión: Q qed Se un triángulo on su irunfereni irunsrit, Q ltur desde el vértie. e l demostrión nterior se tiene que Q (euión ) R hor, se tiene Q R ( ) 4R, por lo tnto ( ) 4R qed EJERIIS :. Se un udrilátero ílio, un irunfereni que ps por y ort l ret en E, otr irunfereni que ps por y ort l ret en F. Se G el segundo punto de interseión de y. Muestre que E, F y G son olineles.. es un diámetro de un irunfereni, y son puntos de l mism ldos opuestos de tles que. emuestre que Δ Δ 3. Teorem: El áre de un triángulo es igul l produto del semiperímetro y el rdio del írulo insrito; es tmién igul l produto del semiperímetro disminuido en un ldo y el rdio del exírulo orrespondiente. Es deir, si r es el rdio de l irunfereni insrit, r, r y r son los rdios de ls irunferenis exrits y S es el semiperímetro, entones () rs r (S-) r (S-) r (S-) 4. orolrio: + + r r r r L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

11 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 TEREM E PTLME El udrilátero es ílio si y sólo si + emostrión: Pr l demostrión, hemos l siguiente onstruión. onsidermos el udrilátero (que en prinipio puede o no ser ílio) y tommos un punto de mner que los triángulos y sen semejntes. entones utilizndo propieddes de proporiones se Y luego por riterio LL se tiene Δ Δ, de donde, por lo que (), por lo que () omo Δ Δ se tiene tiene e l primer proporión se tiene hor, es ílio si y sólo si + 80 si y sólo si + 80 (y que ) si y sólo si, y son olineles si y sólo si + Luego de () se tiene Y de () se tiene Por lo tnto qed EJERIIS 3:. emostrr el Teorem de Pitágors prtir del Teorem de Ptolomeo.. Enontrr l rzón entre l digonl y el ldo de un pentágono regulr (utilizndo el Teorem de Ptolomeo). 3. onsideremos un írulo on entro, y puntos en l irunfereni tles que 60. Sen M un punto ulquier en el ro, P, Q, R Y S los puntos medios de los segmentos M,, y M respetivmente. emuestr que PQ es perpendiulr RS. 4. L rzón entre los rdios de dos irunferenis onéntris (on el mismo entro) es :3. Si es un diámetro de l irunfereni más grnde, es un uerd de l irunfereni más grnde que es tngente l más pequeñ, y. Enontrr el rdio de l irunfereni myor. 5. Se un irunfereni on entro, un uerd, el punto en l ret tl que está entre y y el segmento teng l mism longitud que el rdio de l irunfereni. Trzmos l ret y hemos ortr en el punto, de modo que esté entre y. uál es l relión entre los ángulos y? L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

12 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 SLUINES LS EJERIIS EJERIIS :. Un udrdo y un retángulo tienen áres igules. Si el retángulo tiene longitudes 5 y 6, uál es l longitud de un ldo el udrdo? Si es el retángulo y EFG el udrdo, se tiene: () , entones (EFG) 400 pero (EFG) E, entones E 400 por lo tnto E 0. Un trpeio tiene ldos prlelos de longitudes 3 y. El ldo más lrgo de los ldos no prlelos mide 7 y el más orto es perpendiulr los ldos prlelos. lúlese el áre del trpeio. 3 Trzmos E un segmento perpendiulr desde hst, entones ( + ) E (3 + ) E 7 ( ) 7E E Sólo flt onoer l longitud de E. E es un retángulo, entones E 3 por lo que E 8, entones por el Teorem de Pitágors: E E Luego () 7E Por lo tnto () En ulquier triángulo, un medin divide l triángulo en dos triángulos de áres ongruentes. L P Se un triángulo, L medin. emostrr L y L tienen l mism áre. Se P ltur del triángulo, por onstruión P es ltur de los triángulos L y L. L es punto medio de y que L es medin, entones L L, luego L P L P ( L ) ( L) Por lo que l medin divide l triángulo en dos triángulos de áres ongruentes. 4. Ls tres medins de un triángulo dividen l mismo en seis triángulos de áres ongruentes. Se un triángulo, L, M y N puntos medios y G rientro. N M emostrr que los seis triángulos formdos tienen l mism áre. L es medin (L) (L); GL es medin (LG) (LG) e lo nterior (G) (G). GN y GM son medins (GN) (GN) G y (GM) (GM) (G) (N) + (GN) (GN) y de l mism mner (G) (GM) e todo lo nterior se tiene (GN) (GM) L nálogmente (GN) (GL) y (GM) (GL) Por lo tnto (GN) (GL) (GM) (GL) (GN) (GM) Es deir, ls seis áres son ongruentes. L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

13 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, El áre de un romo es igul l mitd del produto de sus digonles. Se un romo, P el punto de interseión de ls digonles. es un prlelogrmo y se isen P es punto medio P de y es un romo Δ y Δ son isóseles Δ es isóseles y P es punto medio de P es ltur Δ es isóseles y P es punto medio de P es ltur demás P es punto medio de P P P P ( ) y ( ) P P ( P + P) ( ) ( ) + ( ) + ( ) 6. Hllr el áre de un triángulo equilátero de ldo, y tmién el áre de un triángulo equilátero de ldo k. Utilizremos l fórmul de Herón: s 3 áre s( s )( s )( s ) k k k En generl, utilizremos otr de ls fórmuls onoids (tmién se puede utilizr Herón) Utilizremos el heho de que los ángulos de un triángulo equilátero miden 60, y demás sen(60 ) ( 3)/. Se tiene entones: 3 k k k sen60 k 3 áre 4 k 3 áre 4 7. L ltur de un triángulo equilátero es. eterminr l longitud de los ldos y el áre del triángulo. k k/ Por Teorem de Pitágors enontrremos el vlor del ldo: k 3k k k k Si se tiene y l longitud del ldo, se puede onoer el áre: se ltur 8 3 áre 48 3 L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

14 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, Se un trpeio tl que es prlelo. Los segmentos y se intersen en G. L ret l, que ps por G y es prlel ort l segmento en E y l segmento en F. uál es el resultdo de dividir el áre del triángulo EF entre el áre del triángulo EF expresándolo en términos de los ldos del trpeio? (V Intermpus ITESM) E G F Se h l ltur del triángulo E h es ltur de los triángulos EF y EF F h F h ( EF) Y F h ( EF) ( EF) F ( EF) F h F e ls dos proporiones nteriores se tiene Por lo tnto ( EF ) ( EF) sí que hor usremos l rzón entre F y F: EF es prlel ΔGF Δ F G F G de prlel ΔG ΔG G G G G F F 9. Se MNP un udrdo de ldo igul. onsideremos l irunfereni on entro en y rdio igul. L ret M interfet l irunfereni en K dentro del udrdo y L fuer del udrdo. L ret LP interfet l prolongión del ldo NM en S. Hllr el áre del triángulo KMS. (MM hihuhu 000) L N K M P S Primero lulremos l longitud KM: M es digonl del udrdo que tiene ldo M K es rdio de l irunfereni K e lo nterior KM M K ΔLP es isóseles y que L y P son rdios ΔSML ΔLP y que P y NS son prlels LM L + M +, demás P L LM MS LM P + MS + L P L Por otro ldo, KMS KMP + PMS y que MNP es udrdo y M es su digonl hor sen(35 ) sen(45 ) ( )/ ( )( + ) KM MS sen35 ( KMS ) 4 ( KMS ) 4 L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

15 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 EJERIIS :. Se un udrilátero ílio, un irunfereni que ps por y ort l ret en E, otr irunfereni que ps por y ort l ret en F. Se G el segundo punto de interseión de y. Muestre que E, F y G son olineles. E G F GF es ílio, entones GF + F 80, y F son olineles, entones + F 80 GF GE es ílio, entones GE + E 80, y E son olineles, entones + E 80 GE es ílio, entones + 80 GF + GE 80 E, G y F son olineles. es un diámetro de un irunfereni, y son puntos de l mism ldos opuestos de tles que. emuestre que Δ Δ es diámetro 90 y 90 (en un irunfereni uerds ongruentes se oponen ros y ángulos ongruentes) (por sum de ángulos internos) Luego, por riterio L se tiene Δ Δ 3. Teorem: El áre de un triángulo es igul l produto del semiperímetro y el rdio del írulo insrito; es tmién igul l produto del semiperímetro disminuido en un ldo y el rdio del exírulo orrespondiente. Es deir, si r es el rdio de l irunfereni insrit, r, r y r son los rdios de ls irunferenis exrits y S es el semiperímetro, entones () rs r (S-) r (S-) r (S-) Se un triángulo y su irunfereni insrit Se I el inentro, P, Q y R pies de ltur prtir de I hst los ldos del triángulo Q R P, Q y R son demás los puntos de tngeni de l irunfereni I insrit, y que I es l interseión de ls isetries Luego IP IQ IR r P IP IQ IR r r r ( ) ( I) + ( I) + ( I) r r rs ( ) rs R P I Q Se un triángulo y su irunfereni exrit en el ldo (ldo ) Se I el exentro orrespondiente l ldo, P, Q y R son los pies de ltur desde I hst ls rets, y, respetivmente I P I Q I R r y que son rdios de l irunfereni exrit P R y P Q y que se tienen tngentes desde y resp. I I, I I, luego ΔPI ΔRI y ΔPI ΔQI por LLL, entones (PI ) (RI ) y (PI ) (QI ). L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

16 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 Se x P, y P, entones x + y ( ) ( RI Q) ( RI P) ( QI P) ( RI ) + ( QI ) ( PI ) ( PI ) R r ( ) r ( s ) Q r + P r P r R + Q P P + x + + y x y + + r r r nálogmente se demuestr () r (s-) y () r (s-) 4. orolrio: r r + r + r el ejeriio nterior se tiene: ( ) r, ( ) r, ( ) r y ( ) r, entones s s s s s s s 3s ( + + ) 3s s r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s ) r Por lo tnto r r + r + r EJERIIS 3:. emostrr el Teorem de Pitágors prtir del Teorem de Ptolomeo. Se un retángulo, entones es ílio y que los ángulos opuestos miden 90 por lo que son suplementrios. Por el Teorem de Ptolomeo se tiene + omo se tiene un retángulo, entones, y, entones + Que es el Teorem de Pitágors.. Enontrr l rzón entre l digonl y el ldo de un pentágono regulr (utilizndo el Teorem de Ptolomeo) E Se E un pentágono regulr, entones E se puede insriir en un irunfereni, luego es ílio. omo se tiene un pentágono regulr y Por el Teorem de Ptolomeo se tiene +, entones + de donde Resolviendo l euión pr y tomndo omo onstnte se tiene: ± ± 5 4 ( )( ) ± ( + 4) ± 5 L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

17 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, onsideremos un írulo on entro, y puntos en l irunfereni tles que 60. Sen M un punto ulquier en el ro, P, Q, R Y S los puntos medios de los segmentos M,, y M respetivmente. emuestr que PQ es perpendiulr RS. En el triángulo, S y Q son puntos medios, entones SQ es prlel y SQ ½ En el triángulo M, P y R son puntos medios, entones PR es prlel y PR ½ Entones SQ PR ½ nálogmente PS RQ ½M hor, 60 y Δ es isóseles (y que y son rdios), entones Δ es equilátero por lo que y omo M por ser rdios, entones M, por lo tnto SQ PR PS RQ Entones PSQ es un romo y ls digonles de un romo son perpendiulres Por lo tnto PQ y RS son perpendiulres 4. L rzón entre los rdios de dos irunferenis onéntris (on el mismo entro) es :3. Si es un diámetro de l irunfereni más grnde, es un uerd de l irunfereni más grnde que es tngente l más pequeñ, y. Enontrr el rdio de l irunfereni myor. P Se entro de ls irunferenis, P el punto de tngeni de l irunfereni pequeñ y l uerd de l irunfereni myor. es diámetro 90 P es punto de tngeni P 90 P y ls rets y P son prlels ΔP Δ P omo 3P y que y son rdios y se enuentrn en rzón :3 on el rdio P entones 6P Sustituyendo P 3P 36 P 6 6P 6 hor el rdio myor es, luego 3(6) 8 Por lo tnto el rdio de l irunfereni myor mide 8 L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré

18 limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, Se un irunfereni on entro, un uerd, el punto en l ret tl que está entre y y el segmento teng l mism longitud que el rdio de l irunfereni. Trzmos l ret y hemos ortr en el punto, de modo que esté entre y. uál es l relión entre los ángulos y? Se trz l irunfereni on entro en y rdio r, y dos puntos en l irunfereni y un punto en l ret de mner que está entre y y r Se un punto en l irunfereni tl que ps por Se α y β Δ es isóseles γ Δ es isóseles β Luego γ β pues el ángulo exterior no dyente β en el triángulo α + (80 - γ) + β 80 α - γ + β 0 α γ - β α (β) - β 4β - β 3β α 3β Por lo tnto 3 (Método utilizdo por rquímedes pr triser lgunos ángulos) L GEMETRÍ es el rte de her uenos rzonmientos en mls figurs Poinré