SISTEMA SEXAGESIMAL. Unidad: El grado sexagesimal (º). 1 º = ángulo completo 360. ángulo completo = º = 400 g = 2π rad
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- Ana Isabel Ferreyra San Martín
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1 TRIGNMETRÍ. ÁNGULS igen: Positivos: tido ntihoio. Negtivos: tido hoio. + MEDID DE ÁNGULS Sistem segesiml Sistem entesiml Rdines SISTEM SEXGESIML. Unidd: El gdo segesiml (º. ángulo ompleto 60º º ángulo ompleto 60 Divisoes Minuto segesiml (' Segundo segesiml (" º 60' ' 60" º ' 60 ' " 60 SISTEM ENTESIML. Unidd: El gdo entesiml ( g. ángulo ompleto 400 g. g 400 ángulo ompleto Divisoes m Minuto entesiml ( s Segundo entesiml ( g m m s m s g 00 m 00 RDINES. Unidd: El dián (d. Un dián es un ángulo entl oespondiente un o de iunfeeni de longitud igul l dio de dih iunfeeni. Longitud de l iunfeeni π. ángulo ompleto π d. d ángulo ompleto π d d 57º7 44 RELIÓN ENTRE LS DISTINTS SISTEMS simplifid 60º 400 g π d 80º 00 g π d TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
2 . RZNES TRIGNMÉTRIS RZNES TRIGNMÉTRIS EN UN TRIÁNGUL RETÁNGUL (Rzones tigonométis de un ángulo gudo SEN SEN TNGENTE os teto opuesto hipotenus teto ontiguo hipotenus teto opuesto teto ontiguo os SENTE SENTE TNGENTE ose se o hipotenus teto opuesto hipotenus teto ontiguo teto ontiguo teto opuesto ose se o RZNES TRIGNMÉTRIS DE ULQUIER ÁNGUL P(, SEN SEN TNGENTE SENTE SENTE TNGENTE odend dio sis os dio ose se o odend sis dio odend dio sis sis odend os ose se o TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
3 . SIGN DE LS RZNES TRIGNMÉTRIS P(, P(, Pime udnte I > 0 > 0 > 0 Segundo udnte II < 0 > 0 P(, P(, Tee udnte III uto udnte IV < 0 < 0 > 0 < 0 I II III IV ose os se o TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
4 4. RELINES ENTRE LS RZNES TRIGNMÉTRIS DE UN ÁNGUL ose se os o os os o Fómul fundmentl de l Tigonometí + os + os + ot g + se + ot g os e Reoido de ls zones tigonométis ose ó ose os se ó se < < + < o < + 5. RZNES TRIGNMÉTRIS DE LGUNS ÁNGULS Rzones tigonométis de 0º, 90º, 80º 70º. 0º 90º 80º 70º os ose - se - o 0 0 Rzones tigonométis de 0º, 45º 60º. os 0º 45º 60º ose se o TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 4
5 6. LÍNES TRIGNMÉTRIS onsideemos l iunfeeni tigonométi: E F F E D D Pime udnte I Segundo udnte II E F F E D D Tee udnte III uto udnte IV ose F os se D o EF J! Esto es ieto únimente undo el dio es l unidd:. TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 5
6 7. RELINES ENTRE LS RZNES TRIGNMÉTRIS DE LGUNS ÁNGULS ÁNGULS SUPLEMENTRIS I Son quellos que sumn 80º II 80º P (-, P(, P P 80º- Q - Q os ( 80º ose ( 80º ( 80º os se ( 80º ose se ( 80º o ( 80º o ÁNGULS QUE SE DIFERENIN EN 80º I III 80º+ P(, P Q º+ Q P P (-,- os ( 80º + ose ( 80º + ( 80º + os se ( 80º + ose se ( 80º + o ( 80º + o TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 6
7 ÁNGULS QUE SUMN 60º I IV 60º P(, P 60º- Q - P P (,- os ( 60º ose ( 60º ( 60º os ( 60º se o ( 60º ose se ( 60º o ÁNGULS PUESTS I IV P(, P - Q - P P (,- os ( ose ( ( os ( se o ( ose se ( o TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 7
8 ÁNGULS MPLEMENTRIS I Son quellos que sumn 90º I 90º P (, P(, 90º- Q Q os ( 90º os ose ( 90º ( 90º ( 90º o se o ( 90º se ose ( 90º ÁNGULS QUE SE DIFERENIN EN 90º I II 90º+ P (-, P P(, P 90º+ Q - Q os ( 90º + ( 90º + os ( 90º + o ose se o ( 90º + se ( 90º + ( 90º + ose TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 8
9 8. RZNES TRIGNMÉTRIS DE L DIIÓN SUM Y DIFERENI ( ( + β os β + os β β os β os β ( ( os + β os os β β os β os os β + β β ( + β + β β ( β + β ÁNGUL DLE os os os ÁNGUL MITD os ± + os os ± os ± + os TRNSFRMIÓN DE PRDUTS EN SUMS os β os os β os( + β + os( β β os( + β os( β [ ( + β + ( β ] [ ] [ ] TRNSFRMIÓN DE SUMS EN PRDUTS + + os + os + os + os os os + os os TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 9
10 9. RESLUIÓN DE TRIÁNGULS RETÁNGULS ÁNGULS 90º + 90º º son omplementios + 90º TEREM DE PITÁGRS + RZNES TRIGNMÉTRIS os os 0. RESLUIÓN DE TRIÁNGULS N RETÁNGULS ÁNGULS º TEREM DEL SEN Los ldos de un tiángulo son popoionles los os de los ángulos opuestos. L zón onstnte ente el ldo de un tiángulo el o del ángulo opuesto es igul l diámeto de l iunfeeni iunsit l mismo: siendo R el dio de l iunfeeni iunsit l tiángulo. TEREM DEL SEN R + os El uddo del ldo de un tiángulo es igul l sum de los uddos de los otos dos ldos menos el dole poduto de los mismos po el oo del ángulo ompendido ente ellos. nálogmente: + + os os TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez 0
11 TEREM DE L TNGENTE + + En todo tiángulo, l sum de dos ldos es su difeeni omo l tngente de l semisum de los ángulos opuestos es l tngente de l semidifeeni de los mismos. FÓRMULS DE RIGGS donde p es el semipeímeto.. ÁRE DE UN TRIÁNGUL ( p ( p p ( p ( p ( p p ( p ( p ( p p ( p Ddo un ldo l ltu soe diho ldo. h h S Ddo un ldo dos ángulos. S Ddos los ldos el dio de l iunfeeni iunsit. S 4R donde R es el dio de l iunfeeni iunsit. Ddo el peímeto el dio de l iunfeeni insit. S p siendo p el semipeímeto el dio de l iunfeeni insit. Ddos los tes ldos. ( + S p ( p ( p ( p donde p es el semipeímeto. TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
12 . FUNINES TRIGNMÉTRIS 70º 60º π/ π FUNIÓN SEN 80º π FUNIÓN SEN 90º π/ 0º 0 0 π/ π/ π/ 0 π π π/ TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
13 FUNIÓN TNGENTE 0 π/ π π/ π TRIGNMETRÍ Gedo ustos Gutiéez
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Te de Estdo Sólido 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino. Pob que, b b, b π π π Donde los vectoes b i cumplen l siguiente elción: b πδ i j ij Po constucción geométic, los dos conjuntos de vectoes y b
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II II.1 RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. a c. hipotenusa. hipotenusa
Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Funiones trigonométris Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UNIDAD II II. RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Un ángulo es l porión
Geometría y trigonometría: Educación Matemática Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media para Educación para Personas Jóvenes y Adultas
Guí de prendizje Nº 4 Geometrí y trigonometrí: Herrmients pr resolver prolems Eduión Mtemáti Segundo Nivel o ilo de Eduión Medi pr Eduión pr Persons Jóvenes y dults DE_6016.indd 1 25-01-13 17:44 DE_6016.indd
Desigualdades y operaciones aritméticas
Desigulddes y operciones ritmétics Desigulddes y l operción dición Sumr un número mos ldos de un desiguldd. Si < y c R, entonces + c < + c. Ejemplo. Si < 3, entonces 7 < 4. Ejemplo. Si + 4 >, entonces
14327,, = 238, 47,, 14327,, = 238, 47,, = 3º 58, 47,,
MEDID DE LS ÁNGULS Y SU CLSIFICCIÓN. El ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas reciben el nombre de lados. Los ángulos se pueden designar
Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos
Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics.
BLOQUE II. Geometría. 10. Elementos en el plano 11. Triángulos 12. Los polígonos y la circunferencia 13. Perímetros y áreas
LOQUE II Geometía 0. Elementos en el plano. Tiángulos. Los polígonos y la cicunfeencia. Peímetos y áeas 0 Elementos en el plano. Elementos básicos en el plano Dibuja una ecta y contesta a las siguientes
Triángulos congruentes
Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors
TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Escaleno: Obtusángulo: un ángulo obtuso TEOREMAS FUNDAMENTALES O PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
TRIÁNGULO: Superfiie pln limitd por tres segmentos o ldos que se ortn dos dos en tres vérties. NOMNLTUR: Los vérties se nombrn on letrs minúsuls y los ldos on letrs myúsuls emplendo l mism letr que el
Razones trigonométricas
LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos
Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.
Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TUTORIAL DE PREPARAIÓN MATEMATIA 009 RELAIONES MÉTRIAS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO I.- MARO TEORIO DEPTO. DE MATEMATIA Ls relciones métrics en un triángulo rectángulo son 5 relciones plicles sólo este tipo
Senx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2
EJERIIOS. lculr en : Sen( - 0º) = os( + 0º) ) b) c) 4 d) 6 e). Si : Tg (8 º) Tg ( + º) = Hllr: K = Sen tg 6 7 7 ) b) c) - d) - e) ) 0, b) c), d) e) 8. Si : Tg =, Sen lculr : K Tg ) c) e) ( ) b) d) ( ).
Universidad de Tarapacá Facultad de Ciencias Departamento de Física
Univesidad de Taapacá Facultad de Ciencias Depatamento de Física Aplica el álgea de vectoes: Poducto escala Poducto vectoial Magnitudes físicas po su natualeza Escalaes Vectoiales Es un escala que se
E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619
1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del
TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)
TEMS DE MTEMÁTIS (Opsiines de Seundri) TEM 8 TRIGONOMETRÍ PLN. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS..nepts sre trignmetrí... Definiión... Rznes de ánguls mplementris... Otr definiión de rzón trignmétri..4. Rznes de
INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración
Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES
PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo
. PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio
344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:
LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Criterios de igualdad entre triángulos.
TRIÁNGULO Triángulo. Superfiie pln liitd por tres línes (ldos). Polígono ás pequeño. lsifiión de los triángulos. Ldos Ángulos UTÁNGULO Tiene los tres ángulos gudos. RTÁNGULO Tiene un ángulo reto y dos
Resolución de triángulos rectángulos
Resoluión de triángulos retángulos Ejeriio nº 1.- Uno de los tetos de un triángulo retángulo mide 4,8 m y el ángulo opuesto este teto mide 4. Hll l medid del resto de los ldos y de los ángulos del triángulo.
APUNTES DE CRISTALOGRAFÍA: RETÍCULO RECÍPROCO Màrius Vendrell RETÍCULO RECÍPROCO
RETÍCULO RECÍPROCO A pti el etíulo efinio nteiomente, en el que omo nuo oespone un motivo o llmemos etíulo ieto, es posible efini oto etíulo (que llmemos eípoo) en el ul los tes vetoes funmentles son:
II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ls rzones trigonométris se utilizn fundmentlmente en l soluión de triángulos retángulos, reordndo que todo triángulo retángulo tiene un ángulo de
R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:
Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3
Simbolo Magnitud Unidades E I Rigidez a flexión N m 2, Pa m 4 y Deflexión, deformación, flecha m. Deflexión y. = para x = MAX. = θ.
Fórmuls de deformción de vigs.vsoftre.com ruee Clculdor de deformción de igs en vsoftre.com Simolo gnitud Uniddes E I igidez fleión N m, m Defleión, deformción, flech m endiente, giro - osición del punto
12 Cuerpos. en el espacio. 1. Elementos básicos en el espacio. Dibuja a mano alzada un punto, una recta, un romboide y un cubo.
12 uepos en el espcio 1. Elementos básicos en el espcio ibuj mno lzd un punto, un ect, un omboide y un cubo. P I E N S A Y A L U L A Rect Punto Romboide ubo né clculist 489,6 : 7,5 = 65,28; R = 0 1 2 Escibe
Figura 1. Teoría y prática de vectores
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo
Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, las diagonales, el perímetro y el área.
POLÍGONOS. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO. Los elementos de un polígono son los ldos, los vértices, los ángulos interiores, los ángulos exteriores, ls digonles, el perímetro y el áre. LADO REGIÓN EXTERIOR A
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Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015
LEY DE SENOS Y COSENOS
FULTD DE IENIS EXTS Y NTURLES SEMILLERO DE MTEMÁTIS GRDO: 10 TLLER Nº: 1 SEMESTRE 1 LEY DE SENOS Y OSENOS RESEÑ HISTÓRI Menelo de lejndrí L trigonometrí fue desrrolld por strónomos griegos que onsidern
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
MISIÓN 010-I GEOMETRÍ SEMEJNZ E TRIÁNGULOS 1. EFINIIÓN os triángulos se llmn semejntes uno tienen sus ángulos respetivmente ongruentes y los los homólogos proporionles. Los los homólogos son los opuestos
Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES
8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =