se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

Transcripción

1 Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se llm inógnit de l euión. El onjunto de ríes de P() se llm onjunto soluión. Ejemplos: ) - : ) 9 ( ).( ) Grdo de un euión El grdo de P() se llm grdo de l euión polinómi. Así por ejemplo tenemos: es un euión de primer grdo es un euión de segundo grdo Euión polinómi de Primer grdo on un inógnit Tod euión que se pued esriir de l form : ( siendo ) se llm euión polinómi de primer grdo on un inógnit. Euiones equivlentes Dos euiones son equivlentes undo dmiten el mismo onjunto soluión. Propieddes ) Si mos miemros de un euión se les sum un mismo polinomio P(), se otiene otr euión equivlente l dd. ) Si se multiplin mos miemros de un euión por un onstnte se otiene un euión equivlente l dd. Interpretión gráfi L gráfi de un funión polinómi de primer grdo es un ret no prlel l eje OX. En onseueni : Un euión polinómi de primer grdo tiene un solo un ríz. Ineuiones polinómis de primer grdo Se P () < o P()> se denominn ineuiones. Pr resolver ls misms se dee tener en uent ls siguientes lees. ) < < ) <. <., si > Oservión: ) si el número es positivo, l desiguldd onserv el sentido. ) Si el número es negtivo, l desiguldd mi el sentido. Ests propieddes se etienden ls reliones de :. Por ejemplo: 6 > Se le sum 6 mos miemros > 6

2 Se divide por mos miemros > S R / > Por lo tnto el onjunto soluión es el siguiente : { } Euiones polinómis de segundo grdo Un euión polinómi tiene l form : P ( ),siendo P ( ) un polinomio. Si en prtiulr, P() es un polinomio de segundo grdo tenemos un euión de segundo grdo., siendo es el término udrátio o de segundo grdo. es el término linel o de primer grdo. es el término independiente. Resolver un euión polinómi signifi enontrr los vlores de que nuln el polinomio. Estos vlores se llmn ríes de l euión o eros del polinomio. Si es un ríz del polinomio se verifi que P(). Resoluión de euiones inomplets: Un euión de segundo grdo es inomplet undo flt el término linel, el término independiente o mos. Es evidente que no puede fltr el término udrátio pues en este so no serí un euión de segundo grdo. Entones dee ser. Sen los siguientes sos: ) L euión se trnsform en Si se divide por mos miemros se otiene, por lo tnto el onjunto soluión es ) L euión se trnsform en. Se despej., ± Se otiene dos ríes que pueden ser ms reles o omplejs. En mos sos son Números opuestos. ) L euión se trnsform en Se s ftor omún : ( ) Si un produto de dos ftores es ero entones dee ser neesrimente ero uno de los ftores.

3 o Entones : donde son ls ríes de l euión. Resoluión de euiones omplets. Pr resolver un euión de segundo grdo omplet se usn distintos proedimientos. )Ftorizr el polinomio, es deir, trnsformrlo en un produto igul ero. Ls ríes se otienen igulndo ero d uno de los ftores. )Aplir l fórmul que permite hllr ls ríes en funión de sus oefiientes. )Hllr gráfimente ls ríes. En el primer so se puede dr que : )El trinomio es udrdo perfeto Por ejemplo : 6 9 Se verifi que h dos términos que son udrdos perfetos uno que es el dole produto de ls ses. Al ompror se onlue que l euión es un trinomio udrdo perfeto, por lo tnto se puede epresr omo : ( ) ( ) )El trinomio no es udrdo perfeto.en este so se utiliz el proedimiento de ompletr udrdos. Por ejemplo: Se onsider el oefiiente del término linel que en este so es, se lo divide entre dos se lo elev l udrdo, resultndo en el ejemplo :, este número otenido se lo sum rest l euión, pr poder otener de llí un trinomio udrdo perfeto: ( ) trinomio udrdo perfeto Ftorizndo el trinomio : ( ) L epresión otenid es un difereni de udrdos donde () son ls ses, por lo tnto es difereni de udrdos se puede epresr omo : (). (-) (). () Si el produto es ero, neesrimente uno de los ftores es eros, por lo tnto : - - Por lo tnto, los vlores otenidos son ls ríes de l euión. En el segundo so l fórmul que se utiliz es l siguiente:, ±

4 Se puede onoer por ntiipdo l nturlez de ls ríes, sin resolver l euión teniendo en uent el disriminnte.simólimente:. Cuo vlor es : Δ ) Si > ls ríes son reles distints. ) Si ls ríes son reles oinidentes. ) Si < ls ríes son omplejos onjugdos. En el terer so : L euión tiene dos ríes. Ls ríes de l euión son los vlores que nuln l polinomio, es deir, los vlores de pr los ules esos puntos son los puntos de interseión de l práol on el eje. En onseueni pr resolver gráfimente un euión de segundo grdo se onstrue l práol se determinn los puntos de interseión de l mism on el eje OX. Sistems de dos euiones on dos inógnits El onjunto de dos euiones P(,) Q(,) se llm sistem de dos euiones n dos inógnits. Si ms euiones son de primer grdo, se die que es un sistem de dos euiones de primer grdo on dos inógnits. Pr indir que formn un sistem, se rn on un llve. Resoluión de un sistem de dos euiones on dos inógnits Resolver un sistem de dos euiones on dos inógnits signifi hllr el onjunto de ríes omunes. Métodos de resoluión ) Sustituión Se el sistem Despejmos en l primer euión. () Sustituimos el vlor de en l segund euión: -- -(-)- Hemos otenido por sustituión un euión de primer grdo on un inógnit. Resolvemos l euión otenid. Reemplzmos el vlor de en l iguldd() Resolvemos : - S.,

5 ) Igulión Se el sistem Despejmos en ms euiones. De l primer : () De l segund: () Igulmos los dos vlores de. Hemos otenido por igulión un euión de primer grdo on n inógnit. Resolvemos l euión otenid: 6 6 Reemplzmos el vlor de en l iguldd () o en l (). Resolvemos: ) ( S ( ) { }, ) Sum o Rest Se el sistem: Es fáil ver que puede eliminrse l inógnit sumndo miemro miemro - - Otenemos un euión de primer grdo en Resolvemos: Reemplzmos en l primer euión ( o en l segund) 6.

6 ) Determinnte Se el sistem:. ).( ). ( ).( X 8. ).( Y 8 Simólimente: Se el sistem: X Y Si : ) el sistem es omptile determindo. El sistem tiene soluión úni. S, ), el sistem es indetermindo. El sistem dmite infinits soluiones. ), el sistem es inomptile. El sistem no dmite soluión.

7 ) Método gráfio Se el sistem : 9 9 L soluión es el punto de interseión de ls dos rets que representn d euión del sistem diho punto es: P(,6). Por lo onsiguiente el onjunto soluión es: S{(,6)}.