APUNTE: Matrices. Una matriz de tamaño n x m es un arreglo de números reales colocados en n filas (o renglones) y m columnas, de la siguiente forma:

Transcripción

1 PUNE: Mtries UNIVERSIDD NCIONL DE RIO NEGRO signtur: Mtemáti Crrers: Li. en ministrión Profesor: Prof. Mel Chresti Semestre: o ño: 6 Definiión Un mtriz e tmño n x m es un rreglo e números reles oloos en n fils (o renglones) y m olumns, e l siguiente form:... m... m [ ]... m... n n... nm Los números se llmn elementos o entrs e l mtriz. Ejemplos: 5, 7, 6, C D 9 L mtriz es e tmño x (o e oren ) porque tiene fils y olumns. L mtriz es e tmño x porque tiene fils y olumn. E 5 5 Cuáles son los tmños e ls mtries C, D y E? Pr inir un elemento e un mtriz mos su uiión meinte su fil y su olumn. sí, en l mtriz el elemento, el elemento 7, y el elemento. Usos e ls mtries Ls mtries preen en muhos ejemplos en iferentes ienis y en l vi otiin. Por ejemplo, l siguiente tl que muestr ls posiiones en l elimintori sumerin e fútol en el ño 7 es un mtriz e fils y olumns. Los preios e un hotel pueen mostrrse meinte l siguiente tl, que es un mtriz e tmño x: Single Dole riple Con Desyuno $5 $785 $9 Mei Pensión $55 $985 $ Pensión Complet $65 $85 $5 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6

2 Otro ejemplo e uso e mtries son los grfos. Los grfos son gráfios que permiten mostrr lrmente ls reliones entre un onjunto e ojetos. Por ejemplo: minos entre iues, ruts éres, relión lientes-proveeores, rees en generl. Un grfo se form por un onjunto e puntos llmos vérties o noos, y un onjunto e rists que vn e un noo otro noo, e inin qué pres e noos están relionos entre sí. Por ejemplo, pr el grfo e l ereh, el onjunto e noos es,, C, D, E. Si eterminmos que un ini que hy un mino { } ireto e un noo otro, y un ini que no hy mino, l tl y l mtriz sois este grfo son ls siguientes: C D E C D E Un uso muy importnte e ls mtries es l resoluión e sistems e euiones lineles, tem que veremos más elnte. ipos e mtries Ls mtries que tienen igul nti e fils que e olumns se enominn urs. Un mtriz ur e tmño nxn se ie que es e oren n. Los elementos e un mtriz ur pr los ules i j formn l igonl prinipl e l mtriz. Cuáles e ls mtries nteriores son urs? De ests mtries urs, qué elementos formn l igonl prinipl? Ls mtries que tienen un sol fil se enominn vetor fil o vetor renglón. Ls mtries que tienen un sol olumn se enominn vetor olumn. Cuáles e ls mtries nteriores son vetores fil y uáles vetores olumn? Un mtriz uys entrs son toos eros se llm mtriz ero o mtriz nul. Por ejemplo, l mtriz nul e oren es. Cuál son ls mtries nuls e tmño x, x y x5? Un mtriz ur uy igonl prinipl se form sólo por unos y que el resto e los elementos son eros, se llm mtriz ienti. Esrie ls mtries ienti e oren,, y 5. punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6

3 Un mtriz se llm tringulr superior si tos ls entrs por ejo e l igonl prinipl son eros. Un mtriz se llm tringulr inferior si tos ls entrs por enim e l igonl prinipl son eros. Por ejemplo: 9 66 ; es tringulr superior y es tringulr inferior. L mtriz trspuest e un mtriz e tmño nxm se enot por uy fil i es l olumn i e, y uy olumn j es l fil j e. Por ejemplo: si 5 entones y es l mtriz e tmño mxn Cuáles son ls trspuests e ls siguientes mtries? P P Q 7 Q Igul e mtries Dos mtries y el mismo tmño son igules si sus elementos orresponientes son igules, es eir,. u x u 5 x 5 Ejemplo: si y x y entones ee umplirse que:. w x w 5 Por lo tnto se otiene que:. 7 Ejeriio: si M y x x y h z y N 8 5 h m h hllr los vlores e x, y, h, m, z pr que M N. Operiones entre mtries ) Sum y rest e mtries Si [ ] y [ ] omo l mtriz [ ] [ ] son os mtries el mismo tmño, entones se efine l sum e ms mtries tl que, i j y l ifereni e ms mtries omo l mtriz,, i, tl que j punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6

4 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6 ) Prouto e un mtriz por un eslr Si [ ] y R k, entones se efine el prouto e l mtriz por el número rel k omo l mtriz [ ] k k Ejeriio: s ls siguientes mtries hllr,,,, 5,, 5. y ) Prouto entre mtries Si [ ] es e tmño nxp y [ ] es e tmño pxm, entones se efine l multipliión e ms mtries omo l mtriz [ ] e tmño nxm tl que, kj ik p k on n i,..., y m j,..., Ejemplo: sen y. Como es e x y es e x, el prouto e ms será un mtriz e x Es posile relizr el prouto? Por qué?

5 Ejeriio: hllr, si es posile, 5 F G y G F sieno: F y 5 G 9 Propiees e ls operiones entre mtries Sum Conmuttiv: soitiv: ( C) ( ) C Existeni e neutro: one es l mtriz nul Multipliión por un eslr k ( ) k k ( k k) k k k ( k ) ( kk ) k one es l mtriz nul Propiees e l mtriz trnspuest ( ) ( k ) ( ) k Prouto entre mtries No es onmuttiv, es eir, soitiv: ( C) ( ) C Distriutiv respeto l sum: ( C) C y ( C) C Existeni e neutro: I I one I es l mtriz ienti Oserv que: en los números reles el (ero) es el neutro pr l sum y el (uno) es el neutro pr l multipliión. En ls mtries, l mtriz ero es el neutro pr l sum y l mtriz ienti I es el neutro pr l multipliión entre mtries. Ejeriio: Ds ls mtries siguientes verifique tos ls propiees enunis rri. C k k 5 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6 5

6 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6 6 Mtriz Invers Se nxn un mtriz e oren n. Se ie que un mtriz nxn el mismo oren es l invers e si se stisfen ls siguientes os igules: I y I Cómo hllr l mtriz invers usno l efiniión Ejemplo: Se y se. Vmos hllr tl que se l invers e. Por efiniión e mtriz invers, ee umplirse que I. Es eir: Pr que ests os últims mtries sen igules ee umplirse que: ommos ls os primers euiones, e ms espejmos : Reemplzno en lgun e ls os euiones otenemos el vlor e : Ejeriio: tomno l terer y urt euiones, otener los vlores e y : Por lo tnto, l mtriz tl que I es. Importnte! No to mtriz ur tiene invers. Ejeriio: Se. Intentr hllr l mtriz invers por el métoo nterior. Qué suee? Importnte: Si un mtriz tiene invers se ie que es invertile o no singulr. Si no tiene invers, se ie que es singulr. l mtriz invers e un mtriz se l enot por.

7 Métoo e Guss pr hllr l invers Veremos hor otr form e hllr l invers e un mtriz. Primero remos os efiniiones: rnsformiones elementles entro e un mtriz Se llm trnsformión elementl por fil (o por olumn) entro (o sore) un mtriz un e ls siguientes operiones: - Intermir os fils (o os olumns) entre sí. - Multiplir un fil (o olumn) por un eslr (es eir, un número no nulo). - Sumr un fil (o olumn) un múltiplo e otr. Mtries equivlentes Dos mtries son equivlentes si un puee otenerse prtir e l otr meinte trnsformiones elementles. Es eir, un mtriz M, si le plimos un trnsformión elementl un fil o olumn, otenremos un nuev mtriz, que es equivlente M. Pr lulr l invers e un mtriz on el métoo e Guss eemos esriir l mtriz, segui I. L ie es, e un líne vertil, y luego l mtriz ienti I el mismo oren e, es eir: [ ] meinte trnsformiones elementles relizs ls fils e y e I, llegr otener lo siguiente: I. [ ] Veremos el proeimiento on un ejemplo. Vmos hllr l invers e l mtriz ntes / / / / Multiplio l primer fil por ( ) y l sumo l segun fil. Multiplio l segun fil por (/). Multiplio l segun fil por ( ) y l sumo l primer fil. Por lo tnto l mtriz invers e es / / Ejeriios: ) hllr ls inverss e M y e N 5 ) Pror on este métoo que l mtriz nteriormente no tiene invers. punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en ministrión) UNRN ño 6 7