α, β Escalares α u Multiplicación por un escalar Espacios Vectoriales Vector: Magnitud, dirección y sentido Combinación lineal Suma de vectores

Transcripción

1 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Espios Vetoriles Vetor: Mgnitd direión y sentido ω ν Cominión linel ω Vetores Eslres Mltipliión por n eslr Sm de etores de

2 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de Se { } R y x y x R ( R ) y x R ) y (x R y y x x y x y x y x y x ω Se R d d M M d M d R ϖ d d d d M d d

3 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Ls leyes de diión y mltipliión por n eslr tienen en omún n grn número de propieddes lgeris. A dih estrtr se le onoe omo ESPACIO VECTORIAL Definiión: Se V n onjnto no ío y se K n mpo donde se definen ls operiones de sm () y mltipliión por n eslr (.) K pede ser: R reles C omplejos N ntrles Q rionles o z enteros V es n espio etoril (EV) si mple on ls sigientes xioms:. L sm de dos elementos en V es errd de

4 Tem Álger Linel (Espios etoriles) V : V y es úni. L diión es onmtti V :. L diión es soiti ( ) ( ) V :. Existe en V n elemento netro pr l diión e V : e e 5. Todo elemento de V tiene n inerso z V z V : z e z 6. L mltipliión de n etor de V por n eslr es errdo V y K : V 7. L mltipliión por n eslr es soiti ( ) ( ) V y K : 8. Distritiidd de l mltipliión sore l diión de eslres ( ) V y K : 9. Distritiidd de l mltipliión sore l diión de etores ( ) V y K :. Existeni de l nidd de K de

5 Tem Álger Linel (Espios etoriles) V : Ls ondiiones de sm o mltipliión por n eslr peden ser l sl o proponerse. Ejemplo: Se el onjnto A ( ) mltipliión definids por { R} definido sore R y ls ondiiones de sm y ( ) ( ) ( ) ( ) A ( ) A ( ) ( ) ( ) A R Verifiqe si A es n Espio Vetoril y y γ R Sen ( ); ( ); ( ) A ) Verifir si A : V y es úni ( ) ( ) ( ) A Cmple el xiom ) Verifir si A : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cmple el xiom A : ) Verifir si ( ) ( ) 5 de 5

6 Tem Álger Linel (Espios etoriles) [( ) ( ) ] ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Verifir si e A : e e Se e ( e) ( e) ( ) ( ) ( e ) ( ) Cmple el xiom e e e Cmple el xiom 5) Verifir si A z A : z e z Se z ( z) ( z) ( ) ( ) ( z ) ( ) z z Tl qe z ( - ) z A : z ( - ) Cmple el xiom 6) Verifir si A y R : A ( ) ( ) A 7) Verifir si A y R : ( ) ( ) Cmple el xiom ( ) ( ) 6 de 6

7 Tem Álger Linel (Espios etoriles) [ ( ) ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cmple el xiom 8) Verifir si A y R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cmple el xiom 9) Verifir si A y R : ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cmple el xiom ) Verifir si A : ( ) ( ) Cmple el xiom 7 de 7

8 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Por tnto el onjnto A ( ) { R} mltipliión mostrds es n E.V. sore R. definido jo ls ondiiones de sm y Sespios Vetoriles Se V espio etoril sore K y se S n sonjnto de V s es n sespio de (SEV de V) si es n EV sore K respeto l diión y l mltipliión por n eslr Teorem Se V n espio etoril sore V y se S n sonjnto de V. S es n sespio etoril de V si y sólo si ) S : S Cerrdr jo l sm ) K : S : S Cerrdr jo l mltipliión por n eslr Ejemplo: Verifir qe en R. T R es n SEV de ls mtries de orden dos elementos 8 de 8

9 Tem Álger Linel (Espios etoriles) 9 de 9 E. V. R d d M R T Sonjnto de M Sen: ; T R ) Verifir qe T T : T T Cmple el xiom ) Verifir qe mple T T Tl qe el onjnto T es n Sespio etoril de M

10 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Cominión linel. Conjnto generdor. Bse y dimensión. Coordends de n etor y mtriz de trnsiión Definiión es n ominión linel de... n si pede expresrse omo... n n Donde... n son eslres Considerndo e) EV R R {( xy) xy R} de

11 Tem Álger Linel (Espios etoriles) 5 ( ) ( ) Si y ( ) y es n ominión linel (CL) de Dependeni linel Cominión linel Eión de dependeni linel y Donde es el etor ero y pree omo n ominión linel de Definiión Se {... n} S n onjnto de etores ) S es linelmente dependiente (L.D.) si existen eslres... n no todos igles ero tl qe... nn E. De dependeni linel de

12 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Ejemplo: ) S es linelmente independiente (L.I.) si l igldd... nn Sólo se stisfe on... Se el EV R ( ) { R} y 5 ; ; R sen Determinr sí son LD o LI ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) n 5 Por tnto: ~ R / R (-)R de

13 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de ; por tnto el onjnto { } es el linelmente independiente Utilizndo l mtriz en form eslond nóni 5 ~ 5 ~ 6 ~ ~ R 5 R R R R R 6 R R R R El onjnto es Linelmente independiente Utilizndo l mtriz en form nóni eslond si ningún renglón se he eros el onjnto es L.I. En so de qe lgún(os) renglón(es) se(n) ero el onjnto es L.D. Teorem Si S es n onjnto L.I. entones lqier sonjnto de S tmién lo es

14 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Teorem Todo onjnto qe ontienen l etor ero es L.D. Conjnto generdor Cndo todos los etores de n E.V. peden otenerse medinte n ominión linel de n onjnto finito de etores se die qe tl onjnto es generdor del espio EV V n γ γ... m m γ m m m m Definiión Se V n EV sore K y se {... m} die qe B es generdor de V si pr todo etor tles qe... mm B n onjnto finito de etores de V. Se V existen eslres... m de

15 Tem Álger Linel (Espios etoriles) En generl ndo n onjnto es generdor (CG) es LD podemos sprimir lgno de ss etores y otener de ello otro onjnto generdor del mismo EV el l es LI denomindo BASE Definiión Se llm se de n EV n CG de V qe es LI Teorem Se V n EV de K. Si {... m} B es n se de V entones lqier otr se de diho espio está formd por m etores. Definiión Se V n EV sore K. Si {... m} dimensión m. dim Vm B es n se de V se die qe V es de Teorem Si V es n EV de dimensión m lqier onjnto LI formdo por m etores es n se de diho EV Teorem Si V es n EV de dimensión m y W n SEV V entones dim Wm entones WV W m. En prtil si dem 5 de 5

16 Tem Álger Linel (Espios etoriles) 6 de 6 Ejemplo Se R V Un E.V. sore R { } A determinr si A es n se de V Verifimos si A gener V Se: V ω ω

17 Tem Álger Linel (Espios etoriles) 7 de 7 5 A gener V Pr erifir si A es se de V se determin s dependeni linel ω ω { } ω ω A es Linelmente independiente. A es se de V. Coordends de n etor respeto n se ordend Si onsidermos el espio R Μ Pr el l el onjnto B es n se

18 Tem Álger Linel (Espios etoriles) B { } Pr 7 Μ 7 U pede expresrse omo: A los eslres 7 y - se les llm Coordends de en l se B y se represent 7 [] B etor de oordends de en l se B Definiión Se {... n} B n se del espio etoril V sore K y se x V x... nn. Los eslres... n B T ( ) en l se B y el etor se B. Si se llmn oordends de x x se llm etor de oordends de x en l 8 de 8

19 Tem Álger Linel (Espios etoriles) 9 de 9 Mtriz de trnsiión A y B son ses de V Se V V T A T B def f e d Como V A entones los etores del onjnto A se peden expresr omo n ominión linel de los etores de l se B () T B T B T B γ γ γ γ γ γ Podemos definir n mtriz A B γ γ γ Μ

20 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Tl qe A ( ) Μ A B B γ γ γ d e f Ejemplo: B [ ] A Μ B ΜA A A ΜB B { } Se V ( x y z) z zx ; x y z R A {( ) ( ) } y B {( 6)( ) } n EV sore R y los onjntos dos ses de V M A B ) determinr ) expresr z ( 8) omo n C.L. de los etores de l se B tilizndo l mtriz de trnsiión A B M {( )( ) } { } {( 6)( ) } { } ω ω ω ω A B ( ) ( ( ) ( ) ( 6) ( ) () () de

21 Tem Álger Linel (Espios etoriles) De () 6 De 6 M A B ) z ( 8) A ( z ) B MB ( z) A ( ) T A z ( 8) ( ) ( ) ( z) T A z B de

22 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Tl qe z z z ( 6) ( ) ( ) ( ) ( 8) Prodto Interno Conjnto de eslres Conjnto de etores Operión de sm y mltipliión por n eslr Operiones de ntrlez lgeri Mgnitd Distni Ánglo Coneptos métrios El prodto interno se generliz n E.V. lqier del prodto eslr R (llmdo tmién prodto interno ) Definiión Se V n E.V. sore C. Un prodto interno (p.i.) en V es n fnión de VxV en C qe sign d prej ordend ( ) de etores de V n eslr C prodto por qe stisfe ls sigientes propieddes: llmdo de

23 Tem Álger Linel (Espios etoriles) ) ( ) Simetrí ) ( ω) ( ) ( ω) Aditiidd )( ) ( ) Homogeneidd ) si Positiidd represent el onjgdo del número omplejo ( ) Donde Si C i i R Ejemplo: En el E.V. P de los polinomios de grdo menor o igl dos on oefiientes reles se define l fnión Se ( p q) p() i q() i p q Ρ Ρ erifir si es n prodto interno i { x x R} p r q x x x x x x Ρ Ρ Ρ ) Verifir si ( p q) ( qp) de

24 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de [ ] [ ] qp p q qp p q ) Verifir si pr p q r q p [ ] [ ] p r q p r p q x x r q ) Verifir si p q p q [ ] p q p q x x p ) Verifir si p p pr p pp p si pp

25 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Entones ( p q) p() i q() i i es prodto interno. Teorem Se V n E.V. sore C y se (-) n prodto interno en V entones ( ) ( )( ) donde ( ) es el módlo de ( ) y son L.D. ( ) ( ) ( ) ( ) y son L.I. y son L.D. V. L igldd se mple si Definiión Se V n EV sore R y se.. n p.i. en V. Se llm norm de en V y se represent on l número rel no negtio definido por ( ) /. L desigldd de Chy- Shrz (C-S) pede ser expresd omo ( ) ( ) Prodto de etores Prodto de eslres 5 de 5

26 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Propieddes qe stisfe tod norm Si V es n EV on p.i. entones ) ) o ) ) V y C Se die qe n etor es nitrio ndo. Pr lqier etor nitrio. Desigldd del triánglo e es Definiión Se llm distni de se represent d ( ) d [ ] ( ) ( )( d( ) d( ) d( ω) ) d ) d ) d ) d ω l número rel definido por: Definiión Se V en EV on prodto interno rel y sen y dos etores no nlos de V. Se llm ánglo entre y l número rel θ en el interlo θ Π 6 de 6

27 Tem Álger Linel (Espios etoriles) os θ ( ) ( ) i si os θ R L desigldd de C-S se expres ( ) ( ) Existe no y sólo n θ on interlo θ Π yo oseno es igl l oiente. Ejemplo: x y Se el p.i. en C definido omo x y x y donde y y y son los onjgdos de y y y ) Otener el ánglo θ qe formn los etores x y y. x x x y y C y y. Pr los etores x ( i i) y 7 de 7

28 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Solión: ( x y) [( i i)( i) ] i ( i)( i) i ( i)( i) i 8i i i i i i R x y x x y y ( x x [( i)( i) ]) ( i)( i) ( i i ) i ( y y) [( i)( i) ] ( i)( i) ( i i i ) ( ) ( x y) R Cosθ x y θ 9º 8 de 8

29 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Ortogonlidd En n EV on prodto interno dos etores omo os θ θ Π ( ) 9º V son ortogonles si ( ) Definiión Se V n EV on p.i. y se S {... } qe S es ORTOGONAL ndo j ORTONORMAL. n n onjtno de etores de V. Se die i j i si demás i el onjnto es Teorem Se V n EV on p.i. y se { e e... en} V i B donde i ( ei ) ei ei Si B es n se ortonorml ( ) B n se ortogonl. Entones i ei Proeso de Grm-Shmit Se G (... ) (... ) G de Go n onjnto qe gener V. El proedimiento onstrye o qe tmién gener V. L ide es formr no no los etores 9 de 9

30 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de n... i pr i K K K K i i

31 Tem Álger Linel (Espios etoriles) Ejemplo: Otener n se ortonorml del EV V generdo por los etores A { } {( ) ( ) ( ) } Solión ) Otener (... ) ( ) G ( ) ( ) [( )( ) ] [( )( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( ) ] ( ) de

32 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de B Go e e e Bse ortogonl

33 Tem Álger Linel (Espios etoriles) de { } 6 6 e e B 6 6 e e BASE ORTONORMAL