Teoría de Sistemas y Señales

Transcripción

1 Teorí de Sitem y Señle Criterio lgerio de etilidd Criterio de Routh Autor Dr. Jun Crlo Gómez Criterio Algerio de Etilidd pr SE en TC Promo que l ondiión neeri y ufiiente pr que un SE en TC repreentdo por u funión trnfereni, e BIBO etle, e que l funión trnfereni e propi y teng todo u polo en el emiplno izquierdo ierto ( Re { p ). l } < form de verifir l etilidd de un item onite entone en lulr l ríe del polinomio denomindor de l FT. Eto e reltivmente fáil i uno dipone de un oftwre omo tl. Por ejemplo, i el polinomio denomindor e D( ) = lo omndo tl que permiten lulr l ríe on TeSyS J. C. Gómez

2 >> d = [,,, ]; >> polo = root(d); >> polo polo = Surge el interrognte de i exitirá lgun ondiión ore lo oefiiente del polinomio denomindor de l funión trnfereni que egure que u ríe (e deir, lo polo de l FT) etén tod en el emiplno izquierdo ierto, e deir que egure que el item e etle, in neeidd de lulr l ríe. De heho et ondiión exite y e onoid omo Criterio de Etilidd de Routh. TeSyS J. C. Gómez Si ien el riterio e del iglo, undo no exití tl, e todví de utilidd pr determinr el rngo de oefiiente del polinomio que egurn l etilidd, undo eto oefiiente etán en form imóli. Supongmo que el polinomio denomindor de l FT de un SE etá ddo por n n n D ( ) = n + n Donde in pérdid de generlidd umimo que el polinomio e mónio (oefiiente del término de myor grdo en, unitrio). Promo que un ondiión neeri pr l etilidd e que tod l ríe de D() tengn prte rel negtiv. Eto requiere que todo lo oefiiente { } n en poitivo (eto e fáil de pror exprendo i i= el polinomio omo produto de término de primero y egundo orden). TeSyS J. C. Gómez

3 Condiión neeri de etilidd de Routh Un ondiión neeri (pero no ufiiente) de etilidd e que todo lo oefiiente del polinomio D() en poitivo. Polinomio ompleto + oefiiente mimo igno Si lguno de lo oefiiente e ero o negtivo entone el item tendrá polo en el emiplno dereho (inetle). Routh (87) y Hurwitz (8) proron que un ondiión neeri y ufiiente pr etilidd e que todo lo elemento de l primer olumn de l tl de Routh en poitivo. tl e un rreglo tringulr que e ontruye prtir de lo oefiiente. Condiión neeri y ufiiente de etilidd de Routh Un item e etle i y ólo i todo lo elemento de l primer olumn de l Tl de Routh on poitivo. TeSyS J. C. Gómez Tl de Routh n n n n n n n n 7 7 TeSyS J. C. Gómez

4 Normlmente hy n+ elemento en l primer olumn de l Tl de Routh. Si todo lo elemento de l primer olumn on poitivo, entone tod l ríe de D() etán en el emiplno izquierdo y por lo tnto el item e etle. Si lo elemento de l primer olumn no on todo poitivo, entone el número de ríe en el emiplno dereho (i.e., polo inetle) e igul l número de mio de igno en l primer olumn. Por ejemplo, i e tiene +,-,+,+, orreponde do mio de igno, y por lo tnto hrá do ríe en el emiplno dereho. Ejemplo D( ) = Tiene ríe en.,.777 ±.788 i,. ±.i,. 888 inetle TeSyS J. C. Gómez 7 Tl de Routh 7 Hy do mio de igno en l primer olumn, por lo tnto D() tiene do ríe en el emiplno dereho (inetle). TeSyS J. C. Gómez 8

5 Etilidd v. Rngo de prámetro El riterio de Routh e útil pr determinr el rngo de gnni del ontroldor que egurn l etilidd de un item retrolimentdo. Por ejemplo R() + - Control P Plnt + ( )( + ) Y() funión trnfereni en lzo errdo reult G ( + ) () = C + + ( ) + TeSyS J. C. Gómez Notr que l plnt en lzo ierto e inetle (tiene polo inetle en y ). tl de Routh reult ( ) Pr que el item e etle dee er > y E deir ( ) TeSyS J. C. Gómez > > 7. y > > 7.

6 Criterio de Routh Co Epeil Si el primer elemento en un de l fil de l tl de Routh e ero, el proedimiento pr determinr l etilidd dee modifire, reemplzndo el ero por un ontnte pequeñ > que luego e he tender ero. Ejemplo Se el polinomio D( ) = Nuev fil TeSyS J. C. Gómez Reemplzo por Vemo que undo tiende ero hy do mio de igno en l primer olumn, por lo que D() tiene do ríe en el emiplno dereho (inetle). En efeto, l ríe on.,.7 ±.88 i,.7 ±. i inetle Criterio de Routh Co Epeil Otro o epeil ourre undo tod un fil de l tl de Routh e ero. Eto indi que hy ríe omplej onjugd ore el eje imginrio. Si l i-éim fil e ero, e form un polinomio uxilir on lo oefiiente de l fil nterior, y e reemplz l fil de ero por lo oefiiente de l derivd del polinomio uxilir, y e omplet l tl. TeSyS J. C. Gómez

7 Ejemplo D( ) = polinomio uxilir ( ) = + d ( ) = d = ± i Vemo que lo oefiiente de l primer olumn on todo poitivo, in emrgo, omo l rie del polinomio uxilir = ± i on tmien ríe del polinomio originl, y etán ore el eje imginrio, el item e inetle. TeSyS J. C. Gómez