Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

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1 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo (vértie). Si l diretriz es un irunfereni y el eje perpendiulr ell y ps por su entro, es superfiie es llmd ono irulr reto Ls ónis se otienen de l interseión de un plno on un ono irulr reto. Si el plno es perpendiulr l eje, l figur óni es un irunfereni. En unto el plno se inlin, l irunfereni se deform, trnsformándose en un elipse. Si el plno es prlelo l genertriz, se otiene l práol. Cundo el plno es prlelo l eje, ort l superfiie óni en mos ldos respeto del vértie, y se otiene l hipérol. Si el plno ort l superfiie óni en mos ldos respeto del vértie, pero sin ser prlelo l eje, tmién se form un hipérol, pero sus rms no serán simétris. Nosotros estudiremos el so de hipérol on rms simétris. 1

2 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CIRCUNFERENCIA Se llm irunfereni de entro y de rdio R l onjunto de todos los puntos del plno uy distni es igul R. Rdio C ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA y Rdio P 1 (; y) k C (h; k) (0;0) h Si oservmos el triángulo retángulo donde el rdio es l hipotenus, vliéndonos del teorem de Pitágors podemos lulr el rdio de l irunfereni, donde un teto mide ( - h) y el otro teto mide (y k), por lo que será: ( h) + ( y k) R Euión nóni de l irunfereni Donde h y k son ls oordends del entro de l irunfereni.

3 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dds ls oordends del entro C (3 ; -) y el Rdio epresr l euión nóni de l irunfereni. Respuest: ( 3) + ( y ( )) ( 3) + ( y + ) Euión nóni de l irunfereni (0;0) 3 R - C(3;- ) Ejemplo: Dd l euión de h, k y rdio. ( ) + ( y + 5) 3 determinr vlores Respuest: De omprr l euión dd on l euión ( h) + ( y k) R Se dedue que h k - 5 y Rdio 3 3

4 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Cundo el entro de l irunfereni oinide on el origen del sistem de oordends, los vlores de h y k son: y l fórmul qued: h 0 k 0 + y R que se denomin Euión Cnóni Reduid de l Cirunfereni. y P 1 (; y) R (0;0) Centro Ejemplo: Dds ls oordends del entro C (0 ; 0) y el Rdio epresr l euión nóni de l irunfereni. Respuest: ( 0) + ( y 0) + y Euión nóni reduid de l irunfereni

5 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll R C(0;0 ) Ejemplo: (el mino inverso l del ejeriio nterior) Dd l euión + y 16 Deduir los vlores de h, k y Rdio Respuest: de omprr l euión dd on l euión genéri: ( h) + ( y k) R Se dedue que h 0 k 0 Rdio 16 Es deir que el entro de l irunfereni oinide on el origen de oordends. Euión generl de l irunfereni Prtiendo de l euión nóni ( h) + ( y k) R y resolviendo los udrdos de los inomios se lleg l siguiente epresión: h + h + y k y + k R 5

6 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ahor, si reordenmos los términos e igulmos ero: + y h k y + h + k - R 0 D E F Si l término (- h) lo llmmos D l término (- k) lo llmmos E y l término (h + k - R ) lo llmmos F l epresión qued de l form genéri: + y + D + E y + F 0 Euión generl de l irunfereni Ejemplo: Dd l euión + y y Determinr los vlores de h, k y Rdio Compremos ls dos euiones (l que tenemos omo dto y l genéri): + y y y + D + E y + F 0 Podemos oservr que: D - 6 E +10 F Si D - h h h 3 10 Si E - k 10 - k k 5 Si F 18 h + k - R R 3 + ( 5) 18 Con esos dtos podemos esriir l euión nóni de l irunfereni: ( 3) + (y + 5) 6

7 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Es deir que podemos psr de l euión generl l nóni y vievers. Ejemplo: dd l euión: ( 3) + (y + 5) Hllr l euión generl. Soluión: De osevr l euión deduimos que h 3 k -5 y Rdio Si D - h D Si E - k E - (-5) 10 Si F h + k - R F 3 + (-5) De donde será: + y y Not: oservemos que el término F 18 está en el primer miemro. En so de que l euión se presentr de l form: + y y - 18 on el término ( 18) en el segundo miemro, ntes de drle vlor F, deemos psrlo l primer miemro, y que so ontrrio vrirá el signo. 7

8 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll ELIPSE P 1 (; y) F F (0;0) Es el onjunto de puntos del plno, tles que l sum de ls distnis dos puntos fijos llmdos foos es onstnte. P1 F + PF 1 P F + P F Pn F + Pn F te Siendo l longitud del diámetro myor de l elipse. Elementos de l elipse W 1 P 1 (; y) V 1 F 1 0 V O W 8

9 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll V 1, V, W 1, W vérties de l elipse F 1, F foos de l elipse O entro de l elipse punto medio del segmento F F 1 Segmento V V 1 diámetro myor Segmento W W 1 diámetro menor semidiámetro myor semidiámetro menor semidistni fol distni fol segmento F F 1 Como el vértie V 1 es un punto de l elipse, se dee dr que l sum de ls distnis desde este punto los foos se igul. Es deir que: V 1 F 1 F V V1 F1 + V1F te O Pero: V 1F1 VF Entones: V F + V F V F + V F El vértie W 1 tmién es un punto de l elipse, por lo que W1 F1 + W1 F Eso quiere deir que l distni desde W ulquier de los foos dee ser igul W 1 V 1 F 1 0 V O Por el teorem de Pitágors será: + W 9

10 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Eentriidd de l elipse Se entiende por eentriidd l relión entre y. e Como es myor que, el vlor de l eentriidd estrá entre 0 y 1. Si e es un irunfereni Si e 1 impli que los foos se lejn entre sí y tiende igulrse on, de modo que l elipse se estir hst onvertirse en un ret. Euión de l elipse (undo el entro oinide on el origen de oordends) + y 1 Est euión represent ulquier punto perteneiente l elipse, es deir que pr un semieje y otro semieje onoidos, ulquier punto uys oordends (:y) verifiquen est euión (es deir que operndo l euión se igule 1) perteneerá l elipse. En so de que l euión de un vlor distinto de 1, el punto no perteneerá l elipse. 10

11 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Verifir si pr l euión dd los puntos A (:0) y B (5;0) perteneen l elipse. Punto A (;0): + y 1 Reemplzmos en l euión los vlores punto A). y 0 (oordends del Opermos en l euión y otenemos: Vemos que l iguldd se verifi, es deir que ( 1 1), que impli que el punto A si pertenee l elipse. Punto B (5;0): Reemplzmos en l euión los vlores 5 punto A). y 0 (oordends del Opermos en l euión y otenemos: 1, Vemos que l iguldd no se verifi, es deir que ( 1,565 1 ), que impli que el punto B no pertenee l elipse. 11

12 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dd l euión de l elipse, determinr los vlores de,,, eentriidd de l elipse y ls oordends de los utro vérties y de los dos foos y 1 Comprndo l euión dd on l euión genéri: 1 Podemos deduir que y W 1 V 1 F 1 0 V O Por el teorem de Pitágors será: + W De oservr el diujo, vemos que, por el teorem de Pitágors, será: 1 3,6 L eentriidd será: 3,6 e 0,865 (l elipse tiende estirrse) 1

13 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Coordends de los vérties: Vértie V 1 : Según el eje, el vértie está desplzdo un distni hi l izquierd del origen de oordends, por lo tnto será l oordend -. Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su elevión sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V 1 (- ; 0 ) Vértie V : Según el eje, el vértie está desplzdo un distni hi l dereh del origen de oordends, por lo tnto será l oordend +. Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su elevión sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V (+ ; 0 ) Vértie W 1 : Según el eje, el vértie está desplzdo un distni hi el sentido positivo del eje (respeto del origen de oordends), por lo tnto será l oordend +. Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su desplzmiento sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V 1 (0 ; + ) Vértie W : Según el eje, el vértie está desplzdo un distni - hi el sentido negtivo del eje (respeto del origen de oordends), por lo tnto será l oordend -. Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su desplzmiento sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V 1 (0 ; - ) Coordends de los Foos Foo F 1 : Según el eje, el vértie está desplzdo un distni 3,6 hi l izquierd del origen de oordends, por lo tnto será l oordend - 3,6 Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su elevión sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V (-3,6 ; 0 ) 13

14 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Foo F Según el eje, el vértie está desplzdo un distni 3,6 hi l dereh del origen de oordends, por lo tnto será l oordend + 3,6 Según el eje, por estr el vértie situdo sore el eje, su elevión sore el eje será nul, por lo tnto será 0. De este modo ls oordends del vértie serán: V (+3,6 ; 0 ) Euión de l elipse (undo el entro NO oinide on el origen de oordends) Se inorpor en l euión ls oordends del entro de l elipse, pr tener en uent l uiión de l mism en el sistem oordendo: ( h) + ( y k) 1 Siendo h y k ls oordends del entro de l elipse. Est euión represent ulquier punto perteneiente l elipse, es deir que pr un semieje y otro semieje onoidos, y pr oordends del entro (h ; k) tmién onoidos, ulquier punto uys oordends (:y) verifiquen est euión (es deir que operndo l euión se igule 1) perteneerá l elipse. En so de que l euión de un vlor distinto de 1, el punto no perteneerá l elipse. y W 1 V 1 - V - (h;k) (0;0) - W 1

15 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dd l euión de l elipse, determinr los vlores de h, k",,,, eentriidd de l elipse y ls oordends de los utro vérties y de los dos foos. ( 3) 16 + ( y + ) 1 Comprndo l euión dd on l euión genéri: ( h) + ( y k) 1 Podemos deduir que ,6 3,6 L eentriidd será: e 0, 865 Vemos que, respeto del ejeriio nterior donde el entro de l elipse oinidí on el origen de oordends, los vlores de,, y l eentriidd no vrín, es deir que l elipse no se deform l mir de posiión, solo se modifin los vlores de h y k, que ntes ern igules ero y hor tienen d un un vlor espeífio. En unto identifir los vlores de h y k Pr que ( - h) se igul ( 3) dee ser h 3 Pr que (y - k) se igul ( + ) dee ser k - 15

16 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll W 1 (0;0) V 1 - V - (h;k) - W Gráfio sin esl Coordends de los vérties: Vértie V 1 : Pr uir l oordend del vértie, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, pr luego retroeder un distni (hi l izquierd), resultndo 3-1 Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, es deir que será - De modo que ls oordends del vértie V 1 serán (-1 ; -) Vértie V : Pr uir l oordend del vértie, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, pr luego gregr un distni (hi l dereh), resultndo Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, es deir que será - De modo que ls oordends del vértie V 1 serán (+7 ; -) Vértie W 1 : Pr uir l oordend del vértie, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, resultndo 3 16

17 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, pr luego suir un distni, es deir que será De modo que ls oordends del vértie W 1 serán (+3 ; 0) Vértie W : Pr uir l oordend del vértie, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, resultndo 3 Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, pr luego ontinur desendiendor un distni, es deir que será De modo que ls oordends del vértie W 1 serán (+3 ; - ) Coordends de los Foos Foo F 1 : Pr uir l oordend del foo, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, pr luego retroeder un distni 3,6 (hi l izquierd), resultndo 3 3,6-0,6 Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, es deir que será - De modo que ls oordends del vértie V 1 serán (-0,6 ; -) Foo F Pr uir l oordend del vértie, deo desplzrme un distni h3 hi l dereh del eje, pr luego gregr un distni 3,6 (hi l dereh), resultndo 3 + 3,6 + 6,6 Pr l oordend del vértie, deo desender un distni k por dejo del eje, es deir que será - De modo que ls oordends del vértie V 1 serán (+6,6 ; -) Hst quí hemos ontempldo el so en que l elipse es eje prlelo l eje (o oinidente on el eje ). Cso en que l elipse es eje prlelo l eje En este so l euión mi levemente de form: ( h) + ( y k) 1 Nótese que está en oinideni on y que está en oinideni on y 17

18 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll PARÁBOLA Es el lugr geométrio de los puntos de un plno equidistntes un ret y un punto fijos fuer de ell. Denominándose l ret diretriz y l punto foo. Diretriz Vértie Foo Euión de l práol Pr definir un euión que represente todos los puntos de l práol deemos primero referirl un sistem de ejes rtesinos. P (; y) k V F h 18

19 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Donde: V es el vértie de l práol, on oordends ( h ; k ) F es el foo de l práol L euión que represent todos los puntos de l práol (on eje prlelo o oinidente on el eje ) es: ( y k) p( h) Donde p es el prámetro, y es l distni eistente entre el vértie y el foo, que es l mism que eiste entre el vértie y l diretriz. L euión que represent todos los puntos de l práol (on eje prlelo o oinidente on el eje ) es: ( h) p( y k) El signo que teng el prámetro p nos indirá hi donde se orient l práol: F Signo de p positivo Signo de p negtivo F Signo de p negtivo F F Signo de p positivo 19

20 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dd l euión: ( + ) ( y 3) Hllr el vlor del prámetro p, oordends del vértie, oordends del foo y euión de l ret diretriz. Si omprmos l euión dd on l euión genéri de l práol: ( h) p( y k) Podemos deduir que: Pr que ( + ) se igul ( h ) dee ser: h - Pr que ( y - 3 ) se igul ( y k ) dee ser: k + 3 Es deir que ls oordends del vértie de l práol son V (- ; 3) Del heho que ( + ) esté l udrdo se desprende que l práol es eje vertil, es deir on eje fol prlelo l eje y. Pr ser si sus rms se orientn hi rri o hi jo deemos lulr el signo del prámetro p. Pr que se igul p se dee verifir p p 1 Vemos que el prámetro p tiene signo positivo, por lo tnto ls rms de l práol se orientrán hi rri. Coordends del foo: En el sentido de ls, vemos que tiene l mism oordend que el vértie, es deir -. F(-;) V h - k3 y En el sentido de ls, vemos que está elevdo un distni igul k + p, es deir 3 + 1, por lo tnto será y. L ret diretriz es horizontl y está elevd un distni igul k p, es deir 3 1, por lo tnto su euión será y. 0

21 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dd l euión: ( y + ) 8( ) Hllr el vlor del prámetro p, oordends del vértie, oordends del foo y euión de l ret diretriz. Si omprmos l euión dd on l euión genéri de l práol: ( y k) p( h) Podemos deduir que: Pr que ( - ) se igul ( h ) dee ser: h + Pr que (y + ) se igul ( y k ) dee ser: k - Es deir que ls oordends del vértie de l práol son V (+ ; - ) Del heho que ( y + ) esté l udrdo se desprende que l práol es eje horizontl, es deir on eje fol prlelo l eje. Pr ser si sus rms se orientn hi l dereh o hi l izquierd deemos lulr el signo del prámetro p. 8 Pr que -8 se igul p se dee verifir p 8 p Vemos que el prámetro p tiene signo negtivo, por lo tnto ls rms de l práol se orientrán hi l izquierd. Coordends del foo: h k - F(;-) V 6 En el sentido de ls, vemos que está desplzdo un distni igul h - p, es deir, por lo tnto será. En el sentido de ls, vemos que tiene l mism oordend que el vértie, es deir y -. L ret diretriz es vertil y está desplzd un distni igul h + p, es deir + 6, por lo tnto su euión será 6. 1

22 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Veremos hor el so en que el vértie de l práol oinide on el origen del sistem rtesino. y P 1 (; y) F (p;0) En este so h 0 y k 0 on lo ul l euión se redue : L euión que represent todos los puntos de l práol (on eje prlelo o oinidente on el eje ) es: y p Donde p es el prámetro, y es l distni eistente entre el vértie y el foo, que es l mism que eiste entre el vértie y l diretriz. L euión que represent todos los puntos de l práol (on eje prlelo o oinidente on el eje ) es: py

23 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Ejemplo: Dd l euión 8y Hllr el vlor del prámetro p, oordends del vértie, oordends del foo y euión de l ret diretriz. Comprndo l euión dd on l euión genéri de l práol: ( h) p( y k) Podemos deduir que: Pr que ( ) se igul ( h ) dee ser: h 0 Pr que ( y ) se igul ( y k ) dee ser: k 0 Es deir que ls oordends del vértie de l práol son V (0 ; 0) Con lo que l euión se redue : py Del heho que ( ) esté l udrdo se desprende que l práol es eje vertil, es deir on eje fol prlelo l eje y. Pr ser si sus rms se orientn hi rri o hi jo deemos lulr el signo del prámetro p. 8 Pr que -8 se igul p se dee verifir p 8 p Vemos que el prámetro p tiene signo negtivo, por lo tnto ls rms de l práol se orientrán hi jo. y V(0;0) F(0;-) Coordends del foo: En el sentido de ls, vemos que tiene l mism oordend que el vértie, es deir 0. En el sentido de ls, vemos que está elevdo un distni igul k - p, es deir 0 -, por lo tnto será y -. L ret diretriz es horizontl y está elevd un distni igul k + p, es deir 0 +, por lo tnto su euión será y. 3

24 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll HIPÉRBOLA Es el onjunto de puntos del plno tles que l difereni entre sus distnis dos puntos fijos llmdos foos es onstnte. PF PF P F P F te y P(; y) F 1 (-;0) V 1 V - 0 F (;0) Donde: F 1 y F : son los foos de l hipérol Eje fol: ret que ontiene los foos F F 1 : Distni fol OF 1 OF Semidistni fol Centro de l hipérol: (O) punto medio entre F F 1 V V 1 : Eje rel, prinipl o trnsverso de l hipérol OV OV 1

25 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Eentriidd de l hipérol Si oservmos l figur, vemos que l distni es menor que, por lo tnto l relión: F 1 V 1 0 V F e > 1 Si el foo se lej del vértie, l distni será muho myor que l distni, por lo tnto será grnde l eentriidd y se rirán ls rms de l hipérol. Si el foo se er l vértie, l eentriidd tenderá 1 y ls rms de l hipérol se errrán. Representemos en l gráfi: L uiión del eje imginrio (o no trnsverso) qued determind retiendo l distni hst ortr l perpendiulr l eje que ps por el vértie de l hipérol, formándose sí l distni. Est distni, medid desde el entro de l hipérol, nos d los vérties W 1 y W. El segmento W W 1 se denomin eje imginrio. W 1 F 1 (-;0) - V 1 O F (;0) W 5

26 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Si oservmos l gráfi nterior, podemos notr que se form un triángulo retángulo, donde l hipotenus es l distni, y los tetos son ls distnis y. Utilizndo el teorem de Pitágors podemos lulr ulquier de esos vlores si onoemos los otros dos: + SIMETRÍA DE LA HIPÉRBOLA P 3 (- ; y) P( ; y) P 1 (- ; -y) - O P ( ; -y) Vemos en el gráfio que el punto P de oordends ( ; y) tiene puntos simétrios: P 1 simétrio respeto del entro O P simétrio respeto del eje rel P 3 simétrio respeto del eje imginrio 6

27 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Cso 1: Cundo el entro de l hipérol oinide on el origen de oordends. L euión que represent los puntos perteneientes l hipérol es: y 1 Euión nóni de l hipérol Est euión se utiliz undo el entro de l hipérol oinide on el origen de oordends rtesins. Pr que un punto pertenez l hipérol, es deir que esté situdo sore l urv de l hipérol, dee stisfer es euión. Ejemplo: Dd un punto A de oordends ( ; 5) verifir si pertenee l hipérol de euión: y 1 3 Pr verigurlo deemos reemplzr en l euión los vlores de e por ls oordends del punto ddo: ,78 1,56 1 0, Como vemos, l reemplzr los vlores de e en l euión, no se mntiene l iguldd, esto quiere deir que el punto A ( ; 5) no pertenee l hipérol representd por l euión dd. Si el resultdo del reemplzo huiese sido 1 1 el punto A si huiese perteneido l urv. 7

28 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA W 1 F (-;0) V 1 V - 0,0 F(;0) W Por los vérties V 1 y V trzmos ls perpendiulres l eje. Por los vérties W 1 y W trzmos ls perpendiulres l eje. Se genern dos rets uys euiones son: y y Ests rets se llmn síntots de l hipérol. Ls rms de l hipérol se proimn indefinidmente ls síntots, pero nun se ton. En ells l distni entre urv y ret tiende ero undo, y o ms tienden infinito. Ejemplo: Dd l euión y 1 determinr: Semieje rel, semieje 9 16 imginrio, oordends del entro, vérties y foos, eentriidd y euión de ls síntots. Semieje rel: Si Semieje imginrio: Si

29 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Coordends del entro: Como el entro oinide on el origen de oordends, será: O (0 ; 0) Coordends de los vérties: V 1 (- ; 0) (-3 ; 0) V (+ ; 0) (+3 ; 0) W 1 (0 ; +) (0 ; +) W (0 ; -) (0 ; - ) Coordends de los foos: Por teorem de Pitágors: F 1 (- ; 0) (-5 ; 0) F (+ ; 0) (5 ; 0) 5 Eentriidd: e 1, 66 3 Euión de ls síntots: y y 3 y y 3 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Cso : Cundo el entro de l hipérol NO oinide on el origen de oordends. L euión que represent los puntos perteneientes l hipérol es: ( h) ( y k) 1 Euión nóni de l hipérol Est euión se utiliz undo el entro de l hipérol NO oinide on el origen de oordends rtesins. h y k son ls oordends del entro de l hipérol, y deen ser inluíds en l euión pr representr el orrimiento de l hipérol respeto del origen de oordends. 9

30 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll El heho que l hipérol se hlle desplzd respeto del origen de oordends no deform l hipérol, por lo tnto no vrirá su eentriidd, es deir que ls rms de l hipérol tendrán l mism pertur se donde fuere que uiquemos el sistem de ejes rtesinos, y que éstos son solo un punto de refereni. W 1 k F 1 (-;0) - V 1 O F (;0) W h ( 3) ( y ) Ejemplo: Dd l euión 1 determinr: Semieje rel, 5 9 semieje imginrio, oordends del entro, vérties y foos, eentriidd y euión de ls síntots. Semieje rel: Si Semieje imginrio: Si Coordends del entro: Como el entro NO oinide on el origen de oordends, deemos identifir los vlores de h y k. Pr que ( h) se igul ( - 3) dee ser h 3 Pr que (y k) se igul (y - ) dee ser y será: O ( h ; k) (3 ; ) 30

31 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Representemos gráfimente: W 1 F 1 - V 1 - k V - O h3 8 F W Coordends de los vérties: V 1 (h- ; k) (3-5 ; ) (- ; ) V (h+ ;k) (3+5 ; ) (8 ; ) W 1 (h ; k+) (3 ; +3) (3 ; 5) W (h ; k-) (3 ; - 3) (3 ;-1) Coordends de los foos: Por teorem de Pitágors: , 83 F 1 (h- ; k)(3-5,83 ; )(-,83 ; ) F (h+ ; k) (3+5,83 ; ) (8,83;) 5,83 Eentriidd: e 1, Euión de ls síntots: Aquí, por no psr ls rets por el origen, no podemos empler ls euiones vists nteriormente, Deemos plnter l euión de l ret que ps por un punto: (y k) +/- m ( h) donde h y k son ls oordends del entro de l hipérol y m es l pendiente de l ret 31

32 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll Resumiendo: h 3 k + / m + / Con estos dtos formmos ls euiones Pr l primer síntot: 3 ( y k) + ( h) ( y ) + ( 3) ( y ) +.3) y y Pr l segund síntot: 3 ( y k) ( h) ( y ) ( 3) ( y ) +.3) y y CASO EN EL QUE EL EJE FOCAL ES PARALELO O COINCIDENTE CON EL EJE y Hst hor hemos visto l hipérol on el eje fol prlelo o oinidente on el eje, es deir on el eje fol horizontl. Cundo el eje fol es vertil, es deir prlelo, o ien, oinidente on el eje y deemos modifir ls euiones. Si oservmos ls euiones onsiderds hst el momento, podremos dvertir que l distni est en orrespondeni on, y l distni est en oinideni on y. Pr el nuevo so que nos to, l distni estrá en oinideni on y y l distni estrá en oinideni on. Por otro ldo, hst hor l termino en se le rest el término en y, undo en este nuevo so l termino en y se le rest el término en. 3

33 Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Cso 3: Cundo el entro de l hipérol oinide on el origen de oordends. L euión que represent los puntos perteneientes l hipérol es: y 1 Euión nóni de l hipérol Cso : Cundo el entro de l hipérol NO oinide on el origen de oordends. L euión que represent los puntos perteneientes l hipérol es: ( y k) ( h) 1 Euión nóni de l hipérol F (0;) 0,0 - F(0;-) 33

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