MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11
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- Alejandro Saavedra Rodríguez
- hace 7 años
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1 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso -.- L Lun es el stélite nturl de l Tierr y tiene un órit elíti on el entro de l Tierr en uno de sus foos. Est órit tiene los siguientes dtos: = 800 km, e=0.05. Tomndo omo rdio de l Tierr R= 70 km y omo rdio de l Lun 78 km ) Hllr un euión olr de l órit de l Lun. ) Hllr l distni más lejn de l suerfiie de l Tierr l suerfiie de l Lun y l distni r = /. Soluión ) = 800km, = e=90km, = - = 79950, = /= 89 km ) L distni más lejn es el unto ogeo y hemos de tener en uent los rdios, luego, d = +-R T -R L = 955 km L distni r = / es d = = 75 km (osérvese que se trt de l longitud del rámetro menos los rdios de los stros).- Los lnets desrien órits elítis on el Sol en uno de sus foos. ) Hllr l euión olr de l órit de Mrte siendo que tiene or eentriidd e = 0,09 y que el semieje myor es = 7,9 km. ) Hllr l distni más lejn de Mrte l Sol (felio) y l distni r = /. ) Hllr un euión rtesin de l órit. Soluión ) Euión olr de l órit de Mrte r, on. eos e e r eos os ) Distni más lejn l sol (felio): 5.95 r 0.09 os 0 9. km Unidd Doente de Mtemátis /
2 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso - Distni r : 5.95 r 0.09os 5.8 km ) Euión rtesin de l órit: y (7.9 ) (.9 ) y y Dd l hiérol de euión hllr l euión olr de su rm dereh suoniendo que l direión del eje olr oinide on l direión ositiv del eje de siss y que el olo está: i) en el foo izquierdo de l hiérol. ii) en el entro de l hiérol. En el so i), hllr l euión olr de sus diretries y síntots. Soluión i) r eos 0 9 os 0 9 os 9 e 0 9 so Euión olr de ls diretries: dir dir ' ' r os r os r 9 os 0 9 r 9 os Euión olr de ls síntots: Son rets que, en el sistem de refereni y, sn or el unto (, 0) y tienen de endiente ; or tnto, tienen de euión: y' ' y' ' 9 r sen r os 9; y desejndo r se otiene y l euión ol,r: Unidd Doente de Mtemátis /
3 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso - 9 r sen os ii) P (r, ) hiérol PF e. dist(p, dir) Por el teorem del oseno en el triángulo OPF, se verifi: PF r r os dist(p, dir) PD OM r os - PF r r os Por tnto, e. dist(p, dir) r os - Elevndo l udrdo en l eresión nterior y oerndo se otiene: r os r r os r os e os os r os os º método Efetundo el mio olres en l roi euión rtesin de l hiérol ues hor oinide el olo on el origen del sistem de refereni rtesino: y r os r sen 0r os 9r sen r 0os 9sen 900 r 0os 9sen os 9 - os 9 9os Unidd Doente de Mtemátis /
4 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso - ) Dd l ráol de euión y =, hllr su euión olr suoniendo que l direión del eje olr oinide on l direión ositiv del eje de siss y que el olo está en el foo de l ráol. Soluión: y ; e =. L euión deud es: r e os os. 5) Verifir que l euión r determin un elise y hllr los semiejes y ls 5 os euiones olres de sus diretries. Soluión: 5 r 5 os 5 =, e = os 5 5 Por ser e <, se trt efetivmente de un elise; y, or l form de l euión, un foo está en el olo, l diretriz no ort l eje olr y l óni y el foo están en el mismo semilno reseto de l diretriz. d y y` / F d d ` de d 5 e 5. 5, = e e. 5. L diretriz d tiene de euión: ` d r os d r L otr diretriz d tiene de euión: os. ` r os = d r 9 os Unidd Doente de Mtemátis /
5 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso - ) Verifir que l euión r determin l rm dereh de un hiérol y 5 os hllr ls euiones olres de sus diretries y síntots. Soluión: 5 r, e = 5 os 5 os. Por ser e >, se trt de un rm de un hiérol. A l vist de l euión, l óni y el foo están del mismo ldo reseto de l diretriz y el eje olr no ort dih ret, luego, l situión es l siguiente: Así ues, se trt de l rm dereh de un hiérol. d e e, 5 e, = Ls euiones olres de ls diretries se hlln de form nálog omo se hizo en el rolem nterior, oteniéndose: y y` d r, d r. 5 os 5 os d / Ls euiones de ls síntots reseto l sistem de F refereni, y (de origen el entro de l óni, y de ` ejes los de l óni) son: y. d ` 5 d Los nuevos ejes son hor: y` y Reseto estos nuevos ejes, ls euiones rtesins de ls síntots son, or tnto: y` (`5). Por onsiguiente, ls euiones olres de ests rets son: r sen = (r os 5) ; es deir, oerndo r d uno de los signos se otiene: 0-0 r =, r = sen - os os sen 7) Un elise de eentriidd e tiene un foo en el origen y su diretriz orresondiente tiene de euión olr ros = 8. Siendo que el eje olr es OX +, se ide: ) Hllr ls oordends del otro foo. ) L euión olr de l elise ) Diujr l elise Soluión: Unidd Doente de Mtemátis 5/
6 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso - y y` De l euión de l diretriz: / 8 r ` 8 F` F os ` se dedue que l diretriz está l dereh del foo F (olo); or tnto, el eje olr ort l dir` dir diretriz y l óni y el foo están en el mismo semilno (izquierdo) reseto de l mism. Dee usrse un euión del tio : r e os ) Ls oordends olres del otro foo serán: F`(r =, ). Hllemos : 8 e, luego Por tnto, : F`(r =, ). 5 5 ) r e os os ) Unidd Doente de Mtemátis /
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se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
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Cónicas. = 0 son rectas que pasan por su centro y tienen de pendiente m tal que: a) m = a
.- Las asíntotas de la hipérbola a x + a y + axy + a 0x + a 0y + a 00 = 0 son retas que pasan por su entro y tienen de pendiente m tal que: a a) m = a b) m es raíz de m + a m + a 0 a = a + am + a m = )
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Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l
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SenB. SenC. c SenC = 3.-
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α A TRIGONOMETRÍA PLANA
TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.
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Álgebra Vectorial Matemática
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TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
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m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular
Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo
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