FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL

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1 FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como reordremos: L euión generl de un práol horizontl es de l form C + D + E + F = 0. Pues ien, l euión ordinri de un práol horizontl on vértie en el origen es = p d lugr l epresión p, que no es un funión, puesto que d 0 del dominio le orresponden dos vlores de, lo que no está permitido en ls funiones. Ejemplo 8 Pensemos en l práol =, u gráfi pree ontinuión: Unidd 5 L práol su euión rtesin

2 Y X Es lro que pr d > 0, tom dos vlores. Si =, = pero tmién = -, et. no repre- Por lo que sent un funión. Podemos her que l epresión nterior se un funión signndo l ríz udrd un solo signo. f ) p o ien f ) p. Cd un de ls ules orresponde medi práol horizontl: f ) p l mitd superior f ) p l inferior. Otr form de resolver el prolem de que l euión de un práol horizontl no orrespond un funión udráti f) = + +, es intermindo los ppeles de ls vriles. Generlmente onsidermos omo un funión de, = f), es deir, es l vrile que depende de, es l vrile independiente. Cundo tul- Unidd 5 L práol su euión rtesin 5-3

3 mos dmos vlores ritrrios lulmos el vlor que le orresponde pr d. Teórimente no ometemos ningún error si intermimos los ppeles de ms vriles onsidermos omo funión de, es deir, = f). En nuestro ejemplo, l epresión = se onvierte en, en l que, vrile independiente, puede tomr ulquier vlor rel, sin restriión. Mientrs que sólo tomrá vlores no negtivos, porque siempre es no negtivo. Con este intermio de vriles, hor es quien le dremos vlores ritrrios lulremos pr d el vlor que le orresponde Ahor tenemos ls prejs ordends, ) on ls que otenemos l siguiente gráfi, que hor sí orresponde un funión, porque d se le soi un sol un : Y X Al nlizr est gráfi tengmos mu en uent que l vrile es independiente que es un funión de. Los ejes oordendos se onservron en l posiión usul, pr no girr l urv. Con l trnsformión que hemos heho, intermindo los ppeles de ls vriles, usremos l relión entre l euión udráti f) = + + l euión generl de l práol horizontl C +D+E+F= Unidd 5 L práol su euión rtesin

4 Unidd 5 L práol su euión rtesin 5-5 Coneptos lve Si trjmos on l funión udráti = + +, omo lo hiimos undo llevmos l euión generl de un práol horizontl l form ordinri: + + =, de donde por tnto: finlmente llegmos l epresión, que reonoemos omo un práol horizontl de l form k) = p h), on vértie Vh, k), que en este so: V,, A l euión otenid le podemos plir el siguiente nálisis: Si > 0, > 0 por lo tnto el ftor > 0 puesto que el ldo izquierdo de l epresión siempre es no negtivo. De > 0 se dedue que > 3 L funión udráti f) = + + es de l mism form que l euión de un práol horizontl epresd en form generl: C + D + E +F = 0, hiendo

5 Esto último signifi que > 0 impli que los puntos de l práol tienen un sis mor que l del vértie, es deir, están l dereh del vértie, lo que su vez signifi que l funión se etiende hi l dereh!, omo se vio en l práol. Y por lo tnto el vértie es el vlor más l izquierd de l funión udráti. Es un vlor mínimo pr! En mio, si < 0, < 0 el ftor de l epresión que <. < 0 pr que el ldo izquierdo se onserve no negtivo. De < 0 se dedue Lo que signifi que los puntos de l práol tienen un sis menor que l del vértie, es deir, l funión se etiende hi l izquierd!, omo ourrió en l práol. Por lo tnto el vértie es el vlor más l dereh de l funión udráti. Es un vlor máimo pr! Hemos visto ómo, nlizndo l funión udráti, hemos rrido resultdos similres los otenidos l estudir l práol horizontl, lo que por ierto, d respuest l pregunt on que iniimos est seión. Este nálisis omprtivo puede llegr más lejos. Revisndo l euión de un práol horizontl omo funión udráti, f) = + +, podemos determinr los intervlos donde l funión f) es positiv donde es negtiv, lo que equivle ser dónde l práol está l dereh del eje Y eje vertil) dónde está l izquierd. Así omo los puntos donde l práol ort l eje Y, que orresponden los eros de l funión, que su vez son ls ríes de l euión + + = 0 Un vez lulds lolizds ls ríes de l euión, lo que no represent mor difiultd, enontrremos que = r = r, supongmos que r < r.. Si > 0, f) = + + = r ) r ) f) será positiv, es deir, estrá l dereh del eje Y, undo el produto nterior se positivo, eso ourrirá undo se umpl lgun de ests dos posiiliddes: i) r > 0 r > 0, lo que su vez impli que: > r > r pero omo r < r, umpliéndose > r utomátimente se umple > r, por tnto f) es positiv en el intervlo r, ). 5-6 Unidd 5 L práol su euión rtesin

6 ii) r < 0 r < 0, lo que su vez impli que: < r < r pero omo r < r, umpliéndose < r utomátimente se umple < r, por tnto f) tmién es positiv en el intervlo, r ). f) será negtiv undo el produto r ) r ) se negtivo, eso ourrirá undo se umpl lgun de ests dos posiiliddes: i) r > 0 r < 0, lo que su vez impli que: > r < r pero omo r < r, lo que dee umplirse es l desiguldd r < < r. Por tnto f) es negtiv en el intervlo r, ). r ii) r < 0 r > 0, lo que su vez impli que: < r > r pero omo r < r, es imposile umplir ms ondiiones. Por lo tnto est posiilidd no port soluiones l desiguldd.. Si < 0, omo l práol re hi l izquierd si r < r, f) será positiv en el intervlo r, ) negtiv en, r ) en r, ). r 3. Si r = r, l funión será tngente l eje Y, l práol tiene su vértie sore el eje Y.. Si l euión + + = 0 no tiene soluiones reles, l funión no ort l eje Y. Ejemplos Enontrr ls oordends del punto más l dereh o más l izquierd de l funión udráti dd en d iniso, sí omo los vlores de donde es funión está l dereh, l izquierd o sore el eje Y. f) = 8 = 8 = ) 8 = + ) 8 - = ) 9; ) = + 9 L práol orrespondiente l gráfi de est funión re hi l dereh, porque = > 0, por lo tnto f) tendrá un punto más l izquierd, que es el vértie de l práol, on oordends V-9, ). Los eros de l funión son ls ríes de l euión 8 = 0, verifir que en efeto: = = -. L gráfi ort l eje Y en los puntos 0, -) 0, ) Unidd 5 L práol su euión rtesin 5-7

7 Pr determinr el intervlo donde l funión es positiv, o se, está l dereh del eje Y, st on resolver l desiguldd 8 > 0; ) + ) > 0. Est desiguldd se umple en dos sos: i) Si > 0 + > 0 > > -, ondiiones que se umplen ms sólo si > ii) Si < 0 + < 0 < < -, ondiiones que se umplen ms sólo si < - Por lo tnto, f) es positiv, o está l dereh del eje Y, en el intervlo, ) en, ) Pr determinr el intervlo donde l funión es negtiv, es deir, donde = f) está l izquierd del eje Y, h que resolver l desiguldd 8 < 0; ) + ) < 0. Est desiguldd se umple en dos sos: i) Si > 0 + < 0 > < -, imposile umplir ms ondiiones. ii) Si < 0 + > 0 < > -, ondiiones que se umplen ms sólo si - < < Por tnto, f) es negtiv en el intervlo,), está l izquierd del eje Y. Verifir estos resultdos en l gráfi de f) = 8 que se muestr ontinuión. Y X Un vez más, reordemos que est gráfi se onstruó on prejs,). Donde l vrile es independiente que es un funión de. Los ejes oordendos se onservron en l posiión usul, pr no girr l urv. 5-8 Unidd 5 L práol su euión rtesin

8 Unidd 5 L práol su euión rtesin 5-9 ) f L práol orrespondiente re hi l izquierd porque = - < 0, por lo tnto tiene un máimo pr, es deir, un punto más l dereh que ulquier, on oordends 0, V. Los eros de l funión son ls ríes de l euión 0, verifi que en efeto: = =. El únio punto donde l gráfi de l funión ort l eje Y es ). L gráfi de f) es tngente l eje Y, es negtiv en el intervlo ),0 en ) 0,, porque < 0 pr. Verifir estos resultdos en l gráfi de ) f que se muestr ontinuión. X Y

9 3 f) = = = 3 ) + 3 = 3 + ) + 3 = 3 ) + Práol que re hi l dereh porque = 3 > 0, por lo tnto tiene un mínimo pr, un punto más l izquierd que ulquier, on oordends V, ). f) es positiv en todo su dominio, porque 3 ) +>0. Los eros de l funión son ls ríes de l euión = 0, ompror que est euión no tiene ríes reles: 6 Verifir estos resultdos en l gráfi de f) = que se muestr ontinuión. Y X. f) = + 8. f) = Ejeriio 9 Enontrr ls oordends del punto más l dereh o más l izquierd de l funión udráti dd en d iniso, sí omo los vlores de donde es funión es positiv, negtiv o ero. Si se trt de un funión que no ort l eje Y o es tngente él, indírlo tmién Unidd 5 L práol su euión rtesin

10 3. f) = f) = f) = - Unidd 5 L práol su euión rtesin 5-5

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