Números Irracionales

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2 Números Irrionles Los griegos ern onoedores de los números nturles: 0, 1,,,, 5, Estos números son los que se utilizn pr numerr o ontr, pero no nos sirven si queremos expresr ntiddes no exts, omo "l mitd de un os", "l urt prte", et, es deir, friones de oss No obstnte, tmbién ern pes de expresr ese tipo de ntiddes, 8 utilizndo un oiente o rzón entre dos números nturles,,,,, et 5 6 Ern los llmdos números rionles, únios uy existeni er rzonble Además, ulquier número nturl se puede esribir omo si fuer rionl:, 1 5 5, 1 y sí on ulquier número 1 Por lo tnto, si todos los números son rionles, todos los números se tendrín que poder expresr omo un oiente entre otros dos Pero entones, enontrron el número de oro Y fueron inpes de enontrr dos números que l dividirlos de el vlor exto de Phi Se podín proximr muho, muhísimo, pero nun llegr extmente l vlor de Phi Por qué? Es senillo Al dividir dos números nturles, lleg un momento, ntes o después, que l división b, unque obtengs muhos deimles Ahor bien, existen números que no es que tengn muhos deimles, es que tienen infinitos!, nun se bn sus deimles, sí que no se pueden expresr omo oiente de dos números nturles Los pitgórios hbín enontrdo uno de ellos, nuestro Phi Los llmron números irrionles Al finl de estos números se suelen olor puntos suspensivos () pr indir que nun puedes enontrr el último deiml, siempre hy otro detrás Observ vrios ejemplos:, , , Te suen? Este irrionl se llm Phi, Otro ejemplo, es el número que pree l querer resolver l ríz udrd de por ejemplo:, enontrremos un respuest deiml 1, que omo vemos será infinit y en l ul no enontrmos ningun relión ni periodo definido Por lo tnto Prof An Rivs

3 no es un número rionl, es deir no se puede expresr omo oiente de dos números enteros ni por tnto omo deiml exto o periódio, es un ejemplo de número irrionl Además de est, tods ls ríes udrds que no sen exts son tmbién números irrionles: l de, l de 5, et Si representmos los números en un digrm tendrímos: Los números rionles y los irrionles formn el onjunto de los números reles y se design on l letr R Los números reles se representn todos sobre un ret y l llenn por ompleto, por eso se le denomin ret rel R Q U I El Conjunto Q de los números rionles es el onjunto de los enteros, más los frionrios y los deimles periódios El Conjunto I de los irrionles es el onjunto de los números deimles de infinits ifrs no periódis Ejeriio: Indir V o F y justifir ) L longitud de l digonl de un retángulo de ldos y es un número rionl b) 1,1 ) π <,116 Prof An Rivs

4 d) Ls ríes de índie pr de números nturles impres son números irrionles e) L euión x 0 tiene ríes reles Ubiión en l ret numéri Pr ubir los números irrionles en l ret numéri debemos utilizr el teorem de Pitágors Por ejemplo pr ubir, se onstruye un triángulo retángulo uyos tetos sen l unidd, sí obtendremos omo hipotenus del triángulo, x 1 +1 x 1 +1 x Luego on el ompás hiendo entro en 0 y omo rdio l hipotenus del triángulo, mrmos sobre l ret Pr ubir tommos un triángulo retángulo uyos tetos sen y 1, y por Pitágors: x ( x ) +1 ( ) x Luego on el ompás hiendo entro en 0 y omo rdio l hipotenus del triángulo, mrmos sobre l ret El onjunto de los números rionles e irrionles se llm onjunto de números reles y se lo design on l letr R El onjunto de los números reles: Prof An Rivs

5 Es un onjunto infinito, no tiene ni primero, ni último elemento Es un onjunto totlmente ordendo, ddos dos números reles distintos, siempre se puede estbleer entre ellos un relión de menor Los números reles ompletn l ret, esto signifi que d Ejeriio: Indir V o F y justifir f) L longitud de l digonl de un retángulo de ldos y es un número g) myor número rel le orresponde un punto en l ret numéri y d punto de l ret numéri le orresponde un número rel rionl 1,1 h) π <,116 i) Ls ríes de índie pr de números nturles impres son números irrionles j) L euión x 0 tiene ríes reles Resolver los ejeriios (1) l () Prof An Rivs 5

6 RADICALES Se llm sí ls expresiones formds por el signo rdil y un expresión numéri o literl debjo del mismo 1 Ejemplo: - 5x Rdil: 5x Coefiiente: - 1 Simplifiión de rdiles: Trbjremos solo on números reles positivos; pues si onsidermos ( 5) -5 es un ontrdiión pues ( 5) 5 5 Entones lrdo esto diremos que trbjndo on reles positivos; los rdiles se pueden simplifir undo: ) el exponente y el índie son igules b) el exponente y el índie son múltiplos de un mismo número Ejeriios: Simplifir los siguientes rdiles ) b) ) e) f ) d) Extrión de ftores del rdil: Pr extrer términos de un rdil tenemos que tener en uent que, solo pueden slir fuer del rdil quellos términos que el exponente se igul o myor que el índie de l ríz (tener en uent que los números enteros vees se pueden ftorizr y sr del rdil después de ftorizrlos) Ejemplos: Prof An Rivs 6

7 1) ) ) ) 5) b d b 5 9 b b b b b b d d d d d d b d 5 b 5 d b 5 5 REGLA PRÁCTICA: Pr sr un término de un rdil se DIVIDE el exponente del rdindo por el índie de l ríz y se s fuer elevdo l oiente y qued dentro elevdo l resto Introduión de ftores l rdil: Como su nombre indi, es el proeso inverso l extrión y pr ello bst MULTIPLICAR el exponente de d ftor de fuer de l ríz por el índie de l ríz y sumrle el exponente de los ftores de dentro de l ríz si los hubier Ejemplos: ) b) Resolvé los ejeriios (5) y (6) Ríz de otr ríz Psos seguir: 1 Se multiplin los índies Se introduen los rdiles si es neesrio Se ftorizn los números Se extren los ftores que se puede Prof An Rivs

8 Operiones on Rdiles: Adiión y Sustrión de Rdiles Podemos sumr y restr números irrionles solmente undo el rdil que tengmos se el mismo en los términos que me dispongo sumr y restr; es deir que sen semejntes Lo expliremos mejor medinte ejemplos: Sum y rest de rdiles Reordr que: en todo rdil tenemos que tener en uent el número que v delnte de l ríz que se llm COEFICIENTE, lo que hy después del oefiiente se llm PARTE RADICAL y pr sumr o restr bst sumr o restr los oefiientes y poner l mism prte rdil (semejntes) Ejemplos: ) +5 - En este so se me pide relizr un operión ombind de sum y rest ( + 5 1) b) ( 8) + ( ) ) 5 b + b 5 b b + b d) e) Resolver los ejeriios () y (8) Multipliión y División de Rdiles: Pueden presentrse dos sos: I) Los rdiles tienen el mismo índie: Prof An Rivs 8

9 Psos seguir: Ejemplos: 1 Se multiplin los signos Se multiplin los oefiientes Se multipli l prte rdil, olondo todo bjo un mismo rdil Se multiplin los rdindos omo potenis de l mism bse, es deir sumndo los exponentes 5 Se extre lo que se pued del rdil ) x xy x x y x y x y b ) 5 b 5 b 5 5 b 5 b5 5 b 5 b ) 6 : 16 6 : (16 ) 6 : (16 ) 5 d ) x z : z x z : z x z x z II) Los rdiles tienen diferente índie: Psos seguir: 1 Se hll el mm de los índies y se pone el omún Este índie se divide entre d índie de l ríz y el resultdo lo elevmos l rdindo Se resuelven los rdindos omo poteni de otr poteni, es deir multiplindo los exponentes Se multiplin los rdindos omo potenis de l mism bse, es deir sumndo los exponentes 5 Se extre lo que se pued del rdil Ejemplos: 5 ) mm (;5;) 0 0 : : 5 ( ) : 5 ( ) Prof An Rivs 9

10 b ) 6 b x : b x mm (;) 1 6 b x 1 : 6 b x b x 1 : ( b ) x b x 6 b x : b x 6 b x 1 : x 6 b x : ( b x b ) 6 b x 1 5 Resolver el ejeriio (9) Prof An Rivs 10

11 RACIONALIZAR Se llm sí l proeso por el ul se onvierte un denomindor irrionl en otro rionl Es deir, onsiste en her despreer l ríz del denomindor Se presentn diferentes sos: I) Rionlizión de rdiles on un solo rdil en el denomindor ) Un ríz udráti Proedimiento: Se debe multiplir mbos elementos de l rzón (numerdor y denomindor) por l ríz que figur en el denomindor: Ejemplo: b) Un ríz no udráti: Proedimiento: ( ) Se deben multiplir mbos elementos de l rzón (numerdor y denomindor) por un ríz del mismo índie que l del denomindor y tl que su rdindo se el más onveniente pr poder simplifir l ríz y obtener el número rionl desedo Ejemplo: 5 5 b 5 b 5 b ) b b b b b b 5 b b t t t t t t t b ) t t t t t t ) II) Rionlizión de denomindores on dos rdiles Pueden ser un rdil udrátio y un término independiente o dos rdiles de índie Psos seguir: Prof An Rivs 11

12 1 Se multipli el numerdor y el denomindor por el binomio CONJUGADO, del denomindor El onjugdo es el denomindor on el segundo término mbido de signo ( Deben tener igules los primeros términos y opuestos los segundos) El numerdor se resuelve on plindo l propiedd distributiv El denomindor l multiplir por el onjugdo siempre nos d el produto de l sum por l difereni o lo que es lo mismo el udrdo del primero menos el udrdo del segundo, que es un difereni de udrdos Ejemplo: ) 5 5 ( ( ) ( + ) + ) 5 ( ( ) + ) 5 ( + ) b) b t b + t b t b + t ( b t ) ( b t ) b t( b t ) ( b ) ( t ) b ( b t ) t b t Resolver los ejeriios (10) l (18) Prof An Rivs 1

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