Instituto de Enseñanza Superior Lola Mora - IES Profesorado de Educacion Secundaria en Economia

Transcripción

1 0 Instituto de Enseñn Superior Lol Mor - IES rofesordo de Eduion Seundri en Eonomi Curso ropedeutio de Mtemáti

2 Estimdo Ingresnte: Este udernillo hn sido pensdos pr udrte reuperr onsolidr los Conoimientos mtemátios dquiriste en el nivel medio, que son l se pr finr otros más omplejos reliondos on l profesión que elegiste, ontiene ino tems: Conjuntos numérios, olinomios, Ftoreo, Euión Sistem de Euiones. Nuestro prinipl ojetivo es, no sólo que ingresen nuestr Instituión, sino demás que permnen en el rofesordo. Es desde quí que sumimos este ompromiso, pues el ordje de estos tems es fundmentl pr omenr on un ursdo eitoso. r ello te proponemos que te ompromets en prtiipr tivmente en ls tividdes de mner que pueds onstruir tu propio proeto omo futuro lumno futuro profesionl de l eduión. rofundindo de mner refleiv d un de ls tividdes pr re-pensr l eleión que hs relido plnterte sí, tus propios propósitos pr tu futuro desempeño profesionl. Es importnte soliitrte que resuelvs por ntiipdo los ejeriios pr poder onsultr ls difiultdes que pudiern presentrse, en los enuentros de onsult durnte el mes de ferero. Este trjo h sido elordo por el áre de mtemáti del rofesordo de Eonomí, rof. Adrin Roldn, Mel Sure Germn Cmpi Nuestro pensmiento: El Éito no es produto de l sulidd sino del esfuero".

3 DATOS IMORTANTES: Cursdo: Desde: de Ferero Horrio: 9 hs Modlidd: resenil Asisteni: Oligtori Consult: de Ferero del 0 Consult profesores de l átedr ví we: Te invitmos un grupo redo en l pltform de enseñn online redalumnos.om o en feook pr que pueds relir tus onsults. uls en el enle, regístrte o entr en tu uent, entr l grupo: Horrio: 9 hs Emen Curso ropedéutio: 0 Mro0 Horrio: 9 (trer doumento de identidd Título que se otorg: rofesor/ de Eduión Seundri en Eonomí Durión de l rrer: (utro AÑOS

4 - OBJETIVOS Al finlir el tller propedéutio los lumnos deen logrr: Operr on números Reles, plir ls operiones en resoluión de ejeriios prolems. Identifir plir ls propieddes de ls operiones en ejeriios euiones. Operr fluidmente on polinomios Identifir seleionr el ftoreo orreto en epresiones lgeris. Resolver euiones polinómis de primer grdo de segundo grdo en un vrile. Resolver sistems de euiones lineles en dos vriles. lnter l euión o el sistem de euiones neesrio pr resolver prolems. CONTENIDOS Número Reles: Operiones. ropieddes. otenis on eponente rionl. Rdiles. Apliiones olinomios: Operiones on polinomios. Vlor numério. Ceros. Ftoriión de polinomios: ftor omún, ftor omún por grupos, sum rest de potenis de igul grdo (so prtiulr difereni de udrdos, Epresiones rionles. Euiones. Ríes. Resoluión de euiones polinómis de primer grdo de segundo grdo. Apliiones. Resoluión de sistems de euiones. BIBLIOGRAFÍA Leithold, Louis; Álger. Ed. Hrl..99. de Gumán, Miguel-Cóler,José; Mtemáti I C.O.U. Grupo An de Gumán, Miguel otros; Bhillerto Grupo An. 99. de Gumán, Miguel otros; Bhillerto Grupo An. 99 de Gumán, Miguel otros; Bhillerto Grupo An. 99 Videos disponiles en l We de Epresiones lgeris:

5 Videos disponiles en l We de Números Reles: Videos disponiles en l we de euiones sistems de euiones: +lineles

6 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Números nturles. Los números nturles preen por l neesidd de ontr oss. Es un onjunto infinito que omien en el ero que v umentndo un unidd suesivmente sin llegr ningún finl. Se representn por N es el onjunto: N = {0,,,,,,, 7,...}. Algunos liros no inluen el ero pero en generl si se inlue. No tods ls operiones son siempre posiles en el onjunto de los números nturles, vemos primero uáles podemos resolver sin tener prolems: Sum roduto oteniión ero tmién podemos relir otrs operiones en lgunos sos: Rest (si el minuendo es mor que el sustrendo en N, si el minuendo es mor o igul que el sustrendo en N 0. Coiente (Si el dividendo es múltiplo del divisor éste es distinto de ero. Rdiión (odemos etrer ríes udrds de udrdos perfetos, ríes úis de uos perfetos, et.. Números enteros. Son los números nturles los que ñdimos todos los negtivos (se utili el signo - delnte del número. Se representn on Z es el onjunto: Z = {..., -, -, -, 0,,,...} En ls operiones de números nturles se vio l imposiilidd de resolver un difereni en l que el minuendo es menor que el sustrendo, por ejemplo: 9 no tiene soluión en N r poder resolver ests diferenis se ren los números negtivos. En l ret numéri los uimos l iquierd del ero: El onjunto de los números enteros result de unir los nturles on el ero los negtivos:

7 . Entones: : enteros positivos (nturles, : enteros negtivos. or lo tnto, podemos esriir: Se define vlor soluto de un número entero, se simoli, l mismo número si éste es positivo o nulo l opuesto de ( si el número es negtivo. En símolos: or ejemplo: = - = Con respeto ls operiones podemos her ls siguientes oserviones: No h inonvenientes pr efetur l rest. r el produto el oiente se dee tener en uent l regl de los signos. L poteniión es posile si l se es enter pero el eponente es nturl. Números rionles. Los números rionles representn el oiente entre dos números enteros /, se le llm frión siendo l prte superior,, el numerdor l prte inferior,, el denomindor on 0. Se represent por Q es el onjunto Q = {/, Z, 0}. Este onjunto, difereni de los onjuntos N Z no es disreto, que entre dos números ulesquier eiste un número infinito de números rionles. Tmién podemos deir que los números rionles están formdos por los enteros, los deimles etos los deimles periódios. Ls operiones de ls friones son onoids sí que no vmos insistir en ells. Los números rionles se pueden representr omo frión de vris mners, undo esto ourre se die que los números rionles son equivlentes, por ejemplo / /0 son friones equivlentes. Reordemos ls regls ásis pr l sum el produto de friones: r restr dos friones, simplemente summos l minuendo el opuesto del sustrendo: 7

8 El oiente se resuelve multiplindo el dividendo por el reíproo o inverso del divisor: Reordr: Dos números rionles son reíproos o inversos multiplitivos si su produto es igul. L poteniión puede herse en el onjunto de los números rionles pr se rionl eponente entero: Si el eponente es nturl: Si el eponente es negtivo: oteni de eponente rionl: Tod poteni de eponente rionl es igul l rdil uo índie es el denomindor del eponente uo rdindo es l se de l poteni elevd un eponente igul l numerdor del eponente ddo. L poteni de eponente rionl go de ls misms propieddes que l de eponente entero. Rdiión de números rionles Ejemplo: Epresiones deimles uede drse un epresión deiml pr los números rionles, por ejemplo: ½ = ; / = 0, 7 et

9 r epresr un frión omo número deiml es sufiiente efetur el oiente entre el numerdor el denomindor, pero h friones que originn epresiones us ifrs deimles se repiten infinitmente, omo por ejemplo: / = 0,... 0/7 = 0, Ests epresiones reien el nomre de epresiones deimles periódios. Nos interes un proedimiento pr esriir un epresión deiml periódi en form de frión, pr ello tendremos en uent lo siguiente: r mor omodidd en l esritur, esriiremos un sol ve el período on un ro sore él. 0,... = 0, Si el período omien inmeditmente después de l om, l epresión es pur, si eisten ifrs no periódis ntes del período l epresión es mit. or e emplo 0, es pur 0, 7 es mit. Conversión de un epresión deiml periódi pur frión ordinri Ejemplo: 0, = / 9 Tod epresión deiml periódio de prte enter nul se puede trnsformr en un frión ordinri tl que: el numerdor es el período; el denomindor está formdo por tntos nueves omo ifrs tiene el período. Conversión de un epresión deiml periódi mit en frión ordinri Ejemplo: 0,7 = Tod epresión deiml periódi mit on prte enter nul se puede onvertir en un frión ordinri tl que: El numerdor es igul l número que se form esriiendo l prte no periódi seguid del período menos l prte no periódi; El denomindor está formdo por tntos nueves omo ifrs tiene el período, seguido de tntos eros omo ifrs tiene l prte no periódi Números reles. Los números reles están formdos por los rionles los llmdos irrionles. Los irrionles están formdos por los números que tiene infinitos deimles pero no se 9

10 pueden epresr en form de frión, tiene infinits ifrs no periódis. or ejemplo: e, π,... Los números irrionles se representn por I mientrs que los reles se representn on R. Ls operiones de los números reles son onoids sí que no undremos en ells. Vmos ver un gráfio que nos muestr ls reliones entre los distintos onjuntos de números. Representión geométri de los números reles Los números reles se representn en un ret llmd ret rel o eje rel. A d punto de l ret rel le orresponde un únio número rel d número rel está representdo por un únio punto de l ret rel. r l determinión de l esl, se elige un punto que represent l 0 otro punto l dereh que represent el. Se divide l ret l dereh l iquierd de 0, tomndo omo unidd el segmento de longitud igul l determindo por 0. Quedn representdos, entones, los números enteros los números reles ompletn l ret. Los números reles que se representn l dereh de 0 son los reles positivos los que se representn l iquierd, los reles negtivos. El 0 es el número rel que no es positivo ni negtivo. Si, l iguldd = signifi que mos representn l mismo número rel, l desiguldd < signifi que está l iquierd de > signifi que está l dereh de. 0

11 NÚMEROS REALES º Resuelve los siguientes ejeriios: , : 0, 0, 0, : : : j i h g f ñ e n d m l k º Anli si ls siguientes firmiones son verdders o flss. Justifi tu respuest:

12 9 f e d º Clifi on Verddero o flso. Justifi g f e g d j i h º Simplifi undo se posile: f e d º Clul: h d g f e º Dig pr que vlores de son ierts ls siguientes igulddes: 0 9 ( on f e d

13 Epresiones Algeris Un epresión lgeri es quell que vinul números letrs por medio de ls operiones ritmétis: sum, rest, produto, oiente, poteniión rdiión. or ejemplo, son epresiones lgeris: Según ls operiones que feten l o ls indeterminds ls podemos lsifir en según el siguiente udro: Anliemos este udro: Vemos que h dos tipos priniples de epresiones lgeris: ls rionles ls irrionles. Ls epresiones lgeris rionles son quells en ls ules lguns de sus vriles formn prte del denomindor o figurn en el numerdor on eponente entero. or ejemplo: Ls epresiones lgeris irrionles tienen lguns de sus vriles jo un signo rdil o on eponente rionl no entero. or ejemplo: ero tmién se muestr en el udro que ls epresiones lgeris rionles se dividen en dos grupos: ls enters ls frionris. Ls epresiones lgeris rionles enters son quells en ls ules ls vriles están sometids únimente ls operiones de sum, rest roduto (inluid l poteniión de eponente nturl. Ejemplos: Monomios Si en un epresión lgeri rionl enter no interviene ni l sum ni l rest, dih epresión reie el nomre de monomio. Ejemplos:

14 El número que pree multiplindo ls letrs se llm oefiiente. Ls letrs sus eponentes onstituen l prte literl. El grdo de un monomio, es el número de ftores literles que en él figurn, se lul sumndo los eponentes de l prte literl. or ejemplo: Dos o más monomios son semejntes si tienen l mism prte literl. Así, los monomios son semejntes. olinomios Se llm sí ls epresiones lgeris enters en ls que intervienen l sum l rest o un de ells. or ejemplo: El grdo de un polinomio es el del término de más lto grdo. or ejemplo, el grdo de es, pues el terer término es de seto grdo (los demás son de grdo respetivmente. El oefiiente del término que determin el grdo de un polinomio se denomin oefiiente prinipl. El término que no tiene prte literl se denomin término independiente. Un polinomio, de más de un vrile, es homogéneo si todos sus términos tienen el mismo grdo. or ejemplo: es un polinomio homogéneo. Un polinomio es heterogéneo si sus términos no son todos del mismo grdo. Se llm polinomio en l vrile de grdo n (n N 0 l siguiente epresión: donde son los oefiientes, n 0; es l vrile o indetermind; los eponentes de l vrile son enteros no negtivos. Un polinomio está ordendo en form reiente (dereiente undo el grdo de d uno de sus términos v umentndo (disminuendo onseutivmente.

15 Un polinomio ordendo es ompleto undo el grdo de sus términos ument o disminue de uno en uno, inluendo l de grdo ero. El polinomio uos oefiientes son todos eros reie el nomre de polinomio nulo. El polinomio nulo ree de grdo. Si en un polinomio ( se reempl l indetermind por un número rel, se otiene otro número rel denomindo vlor numério del polinomio. or ejemplo: Tmién se die que se h espeilido el polinomio ( pr =, pr =. Dos polinomios son igules si sólo si los oefiientes de los términos de igul grdo son respetivmente igules. En símolos: Ddos Result evidente que dos polinomios igules tienen el mismo grdo. Dos polinomios son opuestos si tienen opuestos los oefiientes de los términos semejntes. Al opuesto de un polinomio ( lo simoliremos ( or ejemplo, ddo, su opuesto es. SUMA OERACIONES CON OLINOMIOS DE UNA VARIABLE r sumr dos polinomios, se sumn término término los términos semejntes. Ejemplo: Ddos ( = Q( = + 7, hllr ( + Q(: Es onveniente ordenr los polinomios de l siguiente mner: El grdo del polinomio sum es menor o igul que el grdo del polinomio sumndo de mor grdo. r efetur l rest de dos polinomios, se sum l polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustrendo. En símolos: (- Q( = ( +[-Q(]. Ejemplo:

16 Ddos (= - + Q(= - +, hllr: ( Q( L disposiión es similr que l usd pr l sum, pero en lugr de esriir Q (, se esrie el opuesto: RODUCTO de un polinomio por un número rel El produto de un polinomio por un número rel se resuelve plindo l propiedd distriutiv: Ejemplo: de dos polinomios r efetur el produto de dos polinomios, se he l siguiente disposiión práti: Efetur (. Q( si ( = - + Q( = + En l primer fil dejo de l líne, enontrmos el produto de ( por, en l segund, el produto de ( por. Notemos que se vn enolumnndo los términos semejntes. or último, efetumos l sum. El grdo del produto es igul l sum de los grdos de los polinomios ftores. rodutos Espeiles Cudrdo de un inomio ( + = + + Cuo de un inomio ( + = roduto de l sum por l difereni de dos términos ( +. ( - = COCIENTE r resolver el oiente de un polinomio por un número rel se pli l propiedd distriutiv.

17 L disposiión práti pr efetur el oiente entre dos polinomios es l que se muestr en el siguiente ejemplo, donde se resuelve el oiente: ( : ( El proedimiento seguir es el siguiente:. El polinomio dividendo dee esriirse ordendo en form dereiente omplet.. Se divide el primer término del polinomio dividendo por el primer término del polinomio divisor.. Se multipli este resultdo por el divisor se rest del polinomio dividendo.. Se jn los términos neesrios se repite l operión hst otener un epresión de grdo menor que el del divisor. Est últim epresión reie el nomre de resto. El grdo del polinomio oiente es igul l difereni entre el grdo del polinomio dividendo el del polinomio divisor. División de un polinomio de un vrile por otro de l form r dividir un polinomio ( por otro de l form, se he uso de un regl práti onoid omo regl de Ruffini. Est regl permite lulr los oefiientes del oiente ntes meniondo, ejemplo: Dividir ( : ( - roedimiento:. En l primer fil se esrien los oefiientes del polinomio dividendo, ordendos en form dereiente omplet. (Si flt lgún término se omplet on ero.. En el ángulo superior iquierdo se esrie.. Se j el primero de los oefiientes se multipli por. Este resultdo se esrie dejo del siguiente se efetú l sum. 7

18 . Se ontinú el proedimiento hst el último oefiiente. Los números otenidos son los oefiientes del polinomio oiente, el último es el resto de l división. Como hemos visto, el grdo del polinomio oiente es l difereni entre el grdo del polinomio dividendo el del polinomio divisor, por lo que, l dividir plindo l Regl de Ruffini, el grdo del oiente es un unidd menor que el grdo del divisor. Teorem del Resto: El resto de l división de ( por ( es igul ( Demostrión: Si C( es el oiente de (:( el resto es igul R, entones se umple: ( = C(. ( + R; hiendo = : ( = C(. ( - + R, pero = 0, entones C(. 0 = 0 ( =R Apliquemos el teorem del resto en el oiente que resolvimos por l regl de Ruffini: R = = = = = = El teorem del resto puede servir omo verifiión, pr ser si hemos resuelto orretmente un oiente medinte l regl de Ruffini, pero su pliión más importnte es pr verigur si un polinomio es divisile o no por otro de l form (, que si lo es, el resto de l división será ero l pliión del teorem, nos evit el tener que resolver el oiente. Conseueni del teorem del resto: Si ( = 0, entones ( es divisile por (. CEROS O RAÍCES DE UN OLINOMIO Diremos que: ϵ R es ero o rí de ( ( = 0 Ejemplos: es rí de ( = 0 pues ( =. 0 = 0-0 = 0 Se demuestr que Todo polinomio de grdo n dmite n ríes. Es deir que un polinomio de grdo dmite un úni rí, uno de segundo grdo tiene dos ríes, et.

19 r hllr l rí de un polinomio de grdo, se despej l inógnit relindo operiones mos ldos del signo igul: - 0 = 0 = 0 restndo 0 en mos miemros X = 0 / dividiendo mos miemro por X = operndo Ls ríes de un polinomio de segundo grdo ( = + +, se hlln medinte l fórmul resolvente: r hllr ls ríes de un polinomio de grdo mor que, pliremos el teorem de Guss, que permite resolver un euión de grdo superior en el so de que eist l menos un rí rionl. FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS Un polinomio ( es primo o irreduile si no se puede desomponer en un produto de polinomios de grdo positivo, menor que el grdo de. or ejemplo, el polinomio + puede esriirse de muhs mners diferentes: pero tods ells tienen lgo en omún: son el produto de un número rel por un polinomio de grdo. Si volvemos leer l definiión de polinomio primo, vemos que nuestro ejemplo l umple, pues tods ls desomposiiones son el produto de un polinomio de grdo ero (que no es positivo, por otro de grdo (que no es menor que el grdo del polinomio ddo, por lo tnto, el polinomio propuesto en el ejemplo es primo. En generl: todo polinomio de grdo es primo. Si un polinomio no es primo, se denomin ompuesto. Estudiremos hor lguns forms de trnsformr polinomios ompuestos en produtos de ftores primos, este proeso lo denominmos ftoriión o ftoreo. 9

20 Ftor omún Un epresión lgeri es ftor omún undo figur en todos los términos del polinomio, por ejemplo: + 0 = ( + Oservemos que etrer el ftor omún es el proeso inverso efetur el produto de un monomio por un polinomio. Ftor omún por grupos En este so no h un epresión que se omún todos los términos, pero el polinomio puede seprrse en grupos de términos que tienen un ftor omún. (Los grupos formdos deen tener igul ntidd de términos. Ejemplo: = ( + + ( + Notemos que hn queddo dos términos donde el ontenido del préntesis es ftor Ftor omún ftor omún omún. = ( + ( + Se etrjo ftor omún el préntesis Trinomio Cudrdo erfeto Vimos que l desrrollr el udrdo de un inomio se otiene un trinomio, que se denomin trinomio udrdo perfeto. r ftorer un trinomio udrdo perfeto proedemos de l siguiente form: + + rimero deemos enontrr dos términos que sen udrdos perfetos. En nuestro ejemplo: = ( = ( Luego, deemos verifir que el dole produto de ls ses es igul l término restnte:.. = 0

21 De uerdo l signo que teng este dole produto, el trinomio será el udrdo de l sum o de l difereni de ls ses, en nuestro so, es: Cutrinomio uo perfeto + + = ( + Al desrrollr el uo de un inomio, se otiene un utrinomio uo perfeto. El método pr ftorerlo es similr l so nterior, supongmos que queremos ftorer Deemos enontrr dos términos uos perfetos: = ( = ( Después es neesrio her dos verifiiones: que el triplo del udrdo de l primer se por l segund es uno de los términos restntes: ( = qu el triplo de l primer se por el udrdo de l segund es el otro término:. ( =. = or lo tnto, el utrinomio qued ftoredo omo: = ( + Difereni de udrdos Vimos que l multiplir un sum por un difereni se otiene l difereni entre los udrdos de los términos, entones, proediendo en form invers, un difereni de udrdos se ftore omo el produto de l sum por l difereni de ls ses. Ejemplo: = ( ( = ( -. ( + Sum o difereni de potenis de igul grdo revimente, deeremos estudir uándo un sum o difereni de potenis de igul grdo ( n ± n, es divisile por l sum o difereni de sus ses ( ±. Ejemplo : Ftorer : + 7 = rimero verifimos que es un sum de potenis de igul grdo, + 7 = + Ls ses son. Vemos que est sum es divisile por l sum de ls ses, que su eponente es impr, por lo tnto: + 7 = ( + ( + 9

22 Ejemplo : Ftorer: + = En este so, no podemos her el oiente por l sum de ls ses, que el primer renglón nos indi que esto es posile sólo si el eponente es impr, pero tmpoo podemos dividir por l difereni de ls ses, que l sum nun es divisile por l difereni de ls ses (segundo renglón del udro. or lo tnto, est epresión es irreduile Ejemplo : Ftorer: - = Tenemos quí un difereni de potenis de igul grdo impr. No podemos dividir por l sum, que esto es posile solmente si el eponente es pr (terer renglón del udro, pero se puede her el oiente por l difereni de ls ses, que, omo lo indi el urto renglón del udro, es siempre posile. = ( - ( + + Regl práti: Oservemos que el ftoreo de un sum o difereni de potenis de igul grdo siempre es igul l produto de l sum o rest de ls ses por un polinomio C(. Dremos lguns regls que nos permitirán formr diho polinomio sin tener que efetur el oiente: Si C( multipli l sum de ls ses, los signos de sus términos son lterndos, en mio si multipli l difereni de ls ses, sus términos son todos positivos. El grdo de C( es n. C( tiene omo primer término el produto de l primer se elevd l n por l segund on eponente ero, el segundo término es el produto de l primer se elevd l n por l segund elevd l eponente, sí se formn los demás términos (los eponentes de l primer se dereen desde n hst 0, los de l segund reen desde 0 hst n. EXRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Ls epresiones lgeris frionris tienen l form polinomios., donde Q son or ejemplo: Simplifiión de epresiones lgeris rionles Si se dividen numerdor denomindor de un epresión lgeri rionl frionri por un mismo polinomio, se otiene un epresión rionl equivlente (no igul l dd. r ello, se ftoren mos se eliminn los ftores omunes:

23 Operiones on epresiones lgeris rionles Ls operiones que se pueden relir on ls epresiones lgeris frionris, omenndo por l sum lgeri. Al igul que lo que suede on ls friones, ls epresiones lgeris frionris pueden ser de igul o distinto denomindor. En el primero de los sos, se otiene otr epresión frionri de igul denomindor, uo numerdor es l sum lgeri de los numerdores de ls epresiones sumndos, en el segundo es neesrio lulr el omún denomindor, que es el múltiplo omún de menor grdo de los denomindores de ls epresiones dds. Ejemplos: r multiplir epresiones lgeris rionles, se multiplin los numerdores denomindores entre sí, previ simplifiión. El oiente se resuelve de igul form que en ls friones numéris: se multipli el dividendo por el reíproo del divisor:

24 EXRESIONES ALGEBRAICAS º Identifi ules de ls siguientes epresiones son enters, frionris e irrionles: d º Siendo que: 7 d lul los vlores de,, d que l verifin. º Clul en d so ( o vlor numério del polinomio: ; 0,; ; ( 7 ( on on on º Ddos los polinomios: : ( ; ( ; ( d lul º Ddos los polinomios ( Q( efetú l división de en Q enuentr el oiente el resto. En so de ser posile pli l regl de Ruffini. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Q e Q d Q Q Q º Enuentr los eros del polinomio (

25 7º Determin los polinomios que umpln en d so on ls ondiiones pedids: De terer grdo, uos eros son,-, el oefiiente de es el número. De urto grdo, uos eros son los números,, (0 = º Anli si es un ero del polinomio ( = En so firmtivo enuentr su multipliidd, si es posile, los demás eros. 9º Ftore los polinomios plindo: Hll el ftor omún:. - =. - =. - =. 0 - =. m n + 7mn =. m -0 m = 7. - =. + + = 9. - = 0. - =. - + = d = Hll el ftor omún por grupos: = = = =. m - m + n - n = = = = = = Resuelve los trinomios udrdos perfetos:. - + = =. m - m + = =. m - 0mn + n = = =. + + = 9. + ª + 9 = 0. m - 70 mn + 9n = d Resuelve ls diferenis de udrdo:. 9 - = =. - =. 9p - 0q =. m n - =. 9 - t = 7. 9m - 9 n =. - k =

26 e Resuelve los utrinomios uos perfetos: = = =. + / + / + /= = = =. / - / + - / = f Resuelve ls sums diferenis on potenis de igul grdo:. + =. =. =. 7 + =. - / =. + = = = 9. + = 0. / 9 = g Ftore, : d e f p g h i 0 7 p 9 0 j m n ñ k l 7 0º Determin el vlor de m pr que los términos que siguen sen el desrrollo del udrdo de un inomio: m m m

27 7 EXRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS º Simplifi ls siguientes epresiones: m m º Efetú ls siguientes operiones: j i h g f e m m n n m m d q p q p q pq p m m m m m m m m m m m m n n n n f e d 7 9

28 Conepto de euión Un euión es un iguldd donde por lo menos h un número desonoido, llmdo inógnit o vrile, que se umple pr determindo vlor numério de dih inógnit. Se denominn euiones lineles o de primer grdo ls igulddes lgeris on inógnits uo eponente es (elevds uno, que no se esrie. Como proedimiento generl pr resolver euiones enters de primer grdo se deen seguir los siguientes psos:. Se reduen los términos semejntes, undo es posile.. Se he l trnsposiión de términos (plindo inverso ditivo o multiplitivo, los que ontengn l inógnit se uin en el miemro iquierdo, los que ren de ell en el dereho.. Se reduen términos semejntes, hst donde es posile.. Se despej l inógnit, dividiendo mos miemros de l euión por el oefiiente de l inógnit (inverso multiplitivo, se simplifi. Resoluión de euiones de primer grdo on un inógnit r resolver euiones de primer grdo on un inógnit, plimos el riterio del operdor inverso (inverso ditivo o inverso multiplitivo, omo veremos en el siguiente ejemplo: Resolver l euión = Deemos tener ls letrs un ldo los números l otro ldo de l iguldd (=, entones pr llevr el l otro ldo de l iguldd, le plimos el inverso ditivo (el inverso ditivo de es +, porque l operión invers de l rest es l sum. Entones hemos: + = + En el primer miemro se elimin on + tendremos: = + = Ahor tenemos el número que está multiplindo l vrile o inógnit, entones lo psremos l otro ldo de l iguldd dividiendo. r herlo, plimos el inverso multiplitivo de (que es ½ mos ldos de l euión: ½ = ½ Simplifimos tendremos hor: = /

29 9 = Entones el vlor de l inógnit o vrile "" es. ECUACIONES º Resuelve ls siguientes euiones verifi ls soluiones enontrds: 0 9 k j i h g f e d º Resuelve ls siguientes euiones: g f e d k j i h 0

30 º Determin los vlores de, pr que l euión ++=0, teng: dos soluiones reles. un rí dole re de soluiones reles º Determin k, de modo tl que l euión + (k- - k=0 º Enuentr un euión de segundo grdo on oefiientes enteros, us soluiones sen: - Sistems de euiones lineles Definiión Un sistem de dos euiones lineles on dos inógnits son dos euiones lineles de ls que se us un soluión omún. Viene ddo por l epresión: + =,, p, q son los oefiientes p + q = r r son los términos independientes Un soluión de un sistem de dos euiones lineles on dos inógnits es un pr de vlores (, que verifin ls dos euiones l ve. Resolver el sistem es enontrr un soluión. Ejemplo: sistem de dos euiones lineles on dos inógnits: + = + = 9 = es un soluión del sistem ( + ( = + = = ( + ( = + = 9 Un sistem de euiones, según el número de soluiones que teng, se llm: Sistem Comptile Determindo, si tiene un úni soluión. L representión gráfi del sistem son dos rets que se ortn en un punto. 0

31 Sistem Comptile Indetermindo, si tiene infinits soluiones. L representión gráfi del sistem son dos rets oinidentes. Sistem Inomptile, si no tiene soluión. L representión gráfi del sistem son dos rets que son prlels. Métodos de resoluión Método gráfio El método gráfio pr resolver este tipo de sistems onsiste, por tnto, en representr en unos ejes rtesinos, o sistem de oordends, ms rets ompror si se ortn, si es sí, dónde. H que tener en uent, que, en el plno, dos rets sólo pueden tener tres posiiones reltivs (entre sí: se ortn en un punto, son prlels o son oinidentes (l mism ret. Si ls dos rets se ortn en un punto, ls oordends de éste son el pr (, que onformn l úni soluión del sistem, que son los únios vlores de ms inógnits que stisfen ls dos euiones del sistem, por lo tnto, el mismo es omptile determindo. Si ls dos rets son prlels, no tienen ningún punto en omún, por lo que no h ningún pr de números que representen un punto que esté en ms rets, es deir, que stisfg ls dos euiones del sistem l ve, por lo que éste será inomptile, o se sin soluión. or último, si ms rets son oinidentes, h infinitos puntos que perteneen ms, lo ul nos indi que h infinits soluiones del sistem (todos los puntos de ls rets, luego éste será omptile indetermindo. El proeso de resoluión de un sistem de euiones medinte el método gráfio se resume en ls siguientes fses: i. Se despej l inógnit en ms euiones. ii. Se onstrue, pr d un de ls dos funiones de primer grdo otenids, l tl de vlores orrespondientes.

32 iii. iv. Se representn gráfimente ms rets en los ejes oordendos. En este último pso h tres posiiliddes:. Si ms rets se ortn, ls oordends del punto de orte son los únios vlores de ls inógnits e. Sistem omptile determindo.. Si ms rets son oinidentes, el sistem tiene infinits soluiones que son ls respetivs oordends de todos los puntos de es ret en l que oiniden ms. Sistem omptile indetermindo.. Si ms rets son prlels, el sistem no tiene soluión. Sistem inomptile. Reduión Resolver un sistem por el método de reduión onsiste en enontrr otro sistem, on ls misms soluiones, que teng los oefiientes de un mism inógnit igules o de signo ontrrio, pr que l restr ó sumr ls dos euiones l inógnit despre. Ejemplo: + = = + = + = = 0 = = = = =

33 Sustituión r resolver un sistem por el método de sustituión se despej un inógnit en un de ls euiones se sustitue su vlor en l otr. + = + = + = + = + = + ( = X + ( = + - = = - = ( + = = Igulión r resolver un sistem por el método de igulión se despej l mism inógnit en ls dos euiones se iguln. + = 7 + = 0 + = 7 + = 0 = 7 - = = 0 = = 7 - = 7 ( = 7 = º Clsifi los sistems de euiones polinómis de primer grdo siguientes medinte el método gráfio. Determin el onjunto de soluiones undo se posile: 0 9

34 9 7 d e 0 f 7 0 g h i j 0 º lnte l euión o el sistem de euiones que orrespond resuelve: L mitd de un número, ms l terer prte de su onseutivo, ms l urt prte del siguiente, es igul este último Cuáles son los números? L se mor de un trpeio es igul l dole de l otr se, l ltur del mismo es de, m Cuánto mide d se si l superfiie es de 7 m? Un empres dese invertir $ Un prte del dinero se invierte en un fondo que pg el,% nul el resto en otro que pg el % nul. Clul l sum invertid en d ts si el ingreso nul es de $.0. d Uno de los tetos de un triángulo mide 0m l hipotenus mide 0 m más que el otro teto. Cuánto mide el perímetro l superfiie del triángulo? e Jun Luis son hermnos. Jun le llev tres ños su hermn, pero dentro de siete ños ell tendrá seis séptimo de l edd de él. Cuántos ños tiene d uno? f L difereni entre el udrdo de un número el udrdo de su mitd es de 9. Cuál es diho número? g L sum de los udrdos de dos números positivos onseutivos es de. Cuáles son? h Los ldos de un retángulo miden 7m respetivmente. Cuántos m deen umentrse d uno de esos ldos pr que el áre del nuevo retángulo se de 70 m?