APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Creimiento y dereimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cundo un funión es derivle en un punto, podemos onoer si es reiente o dereiente en diho punto: Un funión f() es reiente en un punto, si su derivd es positiv Un funión f() es dereiente en un punto, si su derivd es negtiv. Es deir, Si Si f ( ) f ( ) f f esreienteen esdereiente en f(+h) f() reiente t f ( ) lím h f ( h) h f ( ) +h Como f ( h) f ( ) f ( h) f ( ),es deir, l funión es reiente en f() dereiente f(+h) f ( ) lím h f ( h) h f ( ) +h En este so f ( h) f ( ) f ( h) f ( ), es deir, l funión es dereiente en = Estudir l monotoní de un funión es hllr los intervlos en los que es reiente y dereiente. Se proede de l siguiente form: Se hll l derivd, se igul ero y se resuelve l euión resultnte Con los puntos en los que se nul l derivd dividimos el dominio en intervlos.

2 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Se estudi el signo de l derivd en un punto ulquier de d uno de los intervlos resultntes. Ejemplo 1. Hll los intervlos de reimiento y dereimiento de l funión 3 f ( ) 6 9 Hllmos l derivd: f ( ) L igulmos ero y resolvemos l euión resultnte: Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y otenemos los intervlos (,1), ( 1,3) y ( 3, ) Estudimos el signo de l derivd en un punto ulquier de d intervlo: Pr =, f ( ) 9, es deir, positiv Pr =, f ( ) 3, es deir, negtiv Pr =, f ( ) 9, positiv L monotoní de l funión qued reflejd en l siguiente tl: Intervlos (-, 1) (1, 3) (3, + ) Signo de l derivd Funión Máimos y mínimos. Son los puntos en que l funión mi de monotoní. Si un funión derivle present un máimo o un mínimo en un punto (, ), entones f ( ) En el punto de sis = l funión ps de reiente dereiente Geométrimente signifi que l tngente en el punto = es horizontl Si f ( ) y eiste l segund derivd, se verifi: Si f ( ), hy un mínimo reltivo en el punto Si f ( ), hy un máimo en diho punto. Demostrión: Lo hemos pr el so de mínimo:

3 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 3 Si f ( ) l funión y f () es reiente en luego f ( h) f ( ) f ( h) Y omo f ( ), f ( h) f ( h), es deir, l derivd es negtiv l izquierd de (funión dereiente) y positiv l dereh (funión reiente), por tnto, eiste mínimo reltivo en. Pr l determinión de máimos y mínimos podemos utilizr los siguientes riterios: Criterio de l primer derivd: Se determinn los intervlos de reimiento y dereimiento. Eiste máimo reltivo en los puntos en que l funión ps de reiente dereiente. Eiste mínimo reltivo en los puntos en que ps de dereiente reiente. Criterio de l segund derivd: Clulmos l primer derivd, l igulmos ero y resolvemos l euión resultnte. Hllmos l segund derivd. Ls ríes de l euión otenid se sustituyen en l segund derivd. Si el resultdo otenido es positivo eiste mínimo y si es negtivo máimo. Ejemplo. 3 Hll los máimos y mínimos de l funión f ( ) 3 Hllmos l primer derivd y resolvemos l euión f ( ) : f ( ) ª derivd: f ( ) 6 Vlores de l segund derivd en los puntos otenidos: f ( 1) 6( 1) 6 mínimo pr = - 1 f ( 1) máimo pr = 1 Máimo(1, ) Mínimo(-1,-) Convidd y onveidd. Los oneptos on onveidd y onvidd son reltivos. Adoptremos el siguiente riterio:

4 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. L funión es onve en un intervlo si l gráfi de l funión qued enim de l ret tngente en un punto ulquier del intervlo. L funión es ónv undo l gráfi qued por dejo. ónv onve Puntos de infleión son quellos en los que l funión mi de onve ónv o de ónv onve. Un funión derivle es onve en un intervlo (, ), si f ( ), (, ) Un funión derivle es ónv en un intervlo (, ), si f ( ), (, ) Estudir l urvtur de un funión onsiste en hllr los intervlos en los que es ónv y onve. Se proede de l siguiente form: Se hll l segund derivd, se igul ero y se resuelve l euión resultnte. Con los puntos en los que se nul l derivd dividimos el dominio en intervlos. Se estudi el signo de l derivd en un punto ulquier de d uno de los intervlos resultntes. Ejemplo. Hll los intervlos de onvidd y onveidd y los puntos de infleión de l funión f ( ) 6 Primer derivd: f ( ) 3 1 Segund derivd: f ( ) Dividiendo el dominio R por los puntos 1 y 1 se otienen los siguientes intervlos: (, 1), ( 1,1) y (1, ) Estudimos el signo de l segund derivd en un punto ulquier de d intervlo: Pr = - f ( ) 1.( ) 1 36, funión onve. Pr =, f ( ) 1, funión ónv Pr =, f ( ) 36, funión onve L urvtur qued reflejd en l siguiente tl:

5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5 Intervlos (-, -1) (-1, 1) (1, + ) Signo de l ª derivd Funión Eisten puntos de infleión pr = -1 y pr = 1

6 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6 Ejeriios resueltos. 1.- Estudi el reimiento y dereimiento de ls siguientes funiones en los puntos que 5 se indin: ) f ( ) en = - 1; ) f ( ) en = 1 1 Soluión: 1 f ( ) ; f ( ) ) f ( 1) L funión es dereiente en = -1 ( 1) 1 5 ) f ( ) 1 5( 1) (5 ) f ( ) ( 1) ( 1) ( 1) f ( 1) L funión es reiente en = 1 (.1 1) 9 Osérvese que en l derivd otenid el numerdor es positivo y el denomindor es siempre positivo por estr elevdo l udrdo por lo que l funión es reiente no solo en = 1 sino en todos los puntos de su dominio..- Estudi l monotoní de l funión y e Soluión: y e y 1. e e. e (1 )

7 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7 e e ( 1 ) ó 1 e es siempre myor que ero, luego l úni soluión posile se otiene de l euión 1 = -1 El dominio de l funión dd es R por trtrse del produto de un eponenil (de dominio R) y un polinómi (de dominio tmién R). Dividiendo el dominio por el punto 1 se otienen dos intervlos (, 1) y ( 1, ) Estudimos el signo de l derivd en un punto ulquier de d intervlo: 1 1 Pr = -, y ( ) e (1 ).( 1) (negtiv) e e Pr =, y () e (1 ) 1 (positiv) Se otienen sí los siguientes intervlos de reimiento y dereimiento: Intervlos (-, -1) (-1, + ) Signo de l derivd - + Funión 3.- Hll los vlores de y en l funión f ( ) siendo que ps por el punto P(-, 1) y tiene un etremo reltivo en el punto de sis = -3 Soluión: Si ps por el punto (-, 1), pr = - l funión vle 1, es deir, ( ) ( ) 1 3 Como tiene un etremo pr = -3 su derivd se nul en diho punto, es deir, f ( ) ( 3) = 6 Y sustituyendo en l euión = -3 se otiene el vlor de 6 3 = Hll, y en l funión f ( ) d siendo que el punto P(,) es un máimo y el punto Q(,) un mínimo. Soluión: 3 L funión ps por (,), por tnto,... d d = 3 L funión ps por (,), por tnto,... d Luego 8 d Por otr prte, el punto P(, ) es un máimo lo que indi que su derivd se nul pr =, es deir, f ( ) 3 ; f () 3.. = Como el punto Q(,) es un mínimo, su derivd se nul pr = :

8 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág Formndo un sistem on ls euiones otenids result: 1 8 d d = 1; = -3

9 APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 13 Ejeriios propuestos 1.- Estudi l monotoní de l funión f ( ) ( 1) e.- Estudi l monotoní de l funión f ( ) e ( 3 3) y mínimos reltivos. y determin los máimos 3.- Dd l funión f ( ), hll los intervlos de reimiento y dereimiento y 1 los etremos reltivos..- Hll los máimos y mínimos de l funión (Soluión: mínimo pr = e ) y L y determin los puntos de infle- 5.- Estudi l urvtur de l funión ión. f ( ) Hll l euión de l tngente l gráfi de f ( ) 6 en su punto de infleión. (Soluión: y = ) Hll los vlores de y pr que l urv y 1 teng en el punto (, 1) un infleión y l pendiente de l ret tngente en diho punto vlg 1. (Soluión: = ; = 1 )