Unidad 2 Determinantes

Transcripción

1 Unidd Determinntes PÁGIN SOLUCIONES. Ls mtries usds son ls siguientes: 5 Est mtriz no tiene invers.. Hiendo eros eslonmos ls mtries, oteniendo:, luego el rngo es El rngo es.

2 PÁGIN 45 SOLUCIONES. Hemos un tl on l informión del prolem: OJETOS COMPR EUROS PG Jun José Jesús Mrí Merhe Mrin y y z y y z Un soluión puede ser: Jun on mrí y 6 José on mrin z 6 Entones: 9 y z Jun ompr y su espos mrí 9 José ompr y su espos mrin Jesús ompr 8 y su espos Merhe

3 . l onstruir pirámides tetrédris de ols preen los números tetrédrios:, 4,,, 5, 56, 84, n n n que formn un progresión geométri de terer orden de término generl: 6 Si ls dos pirámides son igules, el mínimo número es ols, on lo que formrí un pirámide tetrédri de rist 4 prtir de dos tetrédris de rist. Si ls pirámides iniiles no son igules, el número mínimo de ols es de 68, número otenido l sumr ls ols de dos pirámides tetrédris de rists 8 y 4, y ols y 56. L nuev pirámide tetrédri formd por 68 ols tiene de rist 5, pues: n n n 68 n 5 6

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5 SOLUCIONES. Ls soluiones son:. plindo l regl de Srrus se otiene:. En d so: 4. L soluión qued: 8 5

6 5. L soluión en d so es. I I d 4 6. Qued del siguiente modo: Summos l segund y l terer olumn y el resultdo lo olomos en l terer olumn. De l terer olumn smos ftor omún y z t. Quedrí: z t y t y z y z t z t y z t z t C C C y t y z t y z t y t y z y z t y z El último determinnte tiene dos olumns igules, por tnto es nulo. Multiplimos y dividimos l primer fil por, l segund por y l terer por. Smos ftor omún de l primer olumn y de l segund. Otenemos: El último determinnte tiene dos olumns igules, por tnto es nulo. 7. En d so qued: Pr l mtriz, multiplimos su determinnte por /5 y los elementos de l primer olumn por -5 y otenemos: / 5 5 / El vlor del último determinnte es ero l tener dos olumns igules. 6

7 Pr l mtriz, en su determinnte sustituimos los elementos de l fil terer por l sum de los elementos de ls fils terer y segund, otenemos: Oservmos que el determinnte de l mtriz es divisile por 5. Eisten otrs forms de ominr línes de este determinnte pr otener números múltiplos de 5, por ejemplo l sum de los elementos de l olumn terer on el dole de los elementos de l olumn segund. 8. En d so qued: Puede oservrse que los números, 98 y 56 son múltiplos de. Operndo en d fil, multiplimos l primer olumn por, l segund por y summos mos resultdos en l terer olumn. Quedrí: Proediendo de form nálog: Proediendo de form nálog:

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9 SOLUCIONES 9. L soluión en d so es: En l mtriz : α ; el resto no eisten En l mtriz : α - ; α - ; α En l mtriz C : α - ; α ; α ; α 4 En l mtriz : ; el resto no eisten En l mtriz : - ; ; - En l mtriz C : C - ; C - ; C - ; C 4 -. Ls mtries djunts son: d 5 4 d d C. L resoluión qued: Hemos eros los elementos y y desrrollmos por l primer fil pr otener: 9 Desrrollmos por l terer fil. Posteriormente en el determinnte de orden resultnte hemos eros los elementos y y desrrollmos por l primer olumn pr otener: Hemos eros los elementos ; y 4 y desrrollmos por l primer olumn. Posteriormente hemos eros los elementos, 4 y 4. Clulmos el determinnte resultnte multiplindo los elementos de l digonl prinipl

10 . Ls soluiones son: Ls mtries inverss son ls siguientes: / / / / no tiene invers. d / 5 / 5 / / / / 6 / / / e f / / / / / /

11 4. El rngo según el prámetro qued del siguiente modo: 5. Los determinntes pedidos son: 6. En d so qued: El determinnte de l mtriz es det. L mtriz in vers es: L euión es. Desrrollndo el determinnte otenemos. Ls soluiones de l euión son y los números omplejos i y i. 7. l ser det 9 57, este determinnte se nul pr. Pr este vlor de l mtriz no es invertile.

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13 SOLUCIONES 8. L soluión en d so es: Sumndo tods ls olumns y el resultdo l primer; Restndo de tods ls fils l primer; Desrrollndo. L difereni de ls dos primers fils l segund fil; Desrrollndo por l primer olumn; Utilizndo l regl de Srrus. Su vlor es nulo l tener dos olumns igules. d En este so:

14 4 9. L soluión del ejeriio qued: L euión qued: I. Diremos lo siguiente: No eiste l invers de pr todos los vlores de k que hen. k k Pr k qued / / / /. L soluión es: El primer determinnte es: n n n n donde el orden de l mtriz es 4. inlmente:. L soluión es en d so: t Como podemos ver ls dos mtries son igules. Por otro ldo: I I t

15 5. L soluión es l siguiente: 5 C C C 4. L soluión en d uno de los sos es: El determinnte de l invers qued: ; por otro ldo, el del produto propuesto es: 6 t t. Y finlmente: t 5. Qued: Si C C C C Est determinnte es ero pues tiene un olumn tod de eros. 6. L soluión die sí: Clulmos el determinnte: Por tnto l disusión qued: Si el rngo de es uno. Si el rngo de es dos. Si ± el rngo de es tres. En los sos propuestos: Pr no eiste puesto que Pr luego eiste y vle: