Eje normal. P(x,y) LLR Eje focal
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- Concepción Rivero Barbero
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1 . L Hipérol...1 L Hipérol omo lugr geométrio. L hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte. Los puntos fijos se denominn foos de l hipérol l onstnte es l distni que eiste entre vértie vértie, omo se muestr en l siguiente figur. Asíntots Eje norml P(,) LLR Eje fol F V V F Longitud del ldo reto. En l hipérol, l igul que en l elipse, tiene dos foos; por lo tnto, tiene dos ldos retos su fórmul es: LLR= Asíntots. Pr un urv dd eiste un ret que medid que un punto de ell se lej del origen, l distni de ese punto l ret deree, es deir; tiende ero, dih ret se le denomin síntot. Ests rets se ruzn en el entro de l hipérol. L euión de ests rets es: Si l hipérol es horizontl. Si l hipérol es vertil... Euión ordinri de l hipérol on su entro en el origen. Prtimos de l definiión de hipérol, l ul es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte, de uerdo l siguiente figur. F (-,0) V V F(,0) Eje 179
2 dpf dpf = ( ) 0-0 = Despejmos l primer ríz. 0 = + 0 iguldd. elevmos l udrdo mos miemros de l (+) + = (-) + eliminndo términos semejntes grupndo. (+) + = = (-) = =4 +4 eliminndo términos semejntes. dejmos solit l término que ontiene l ríz 4=+4 +4 dividiendo entre 4. Aplindo inverso ditivo - = + elevndo l udrdo mos miemros de l iguldd. (- ) = desrrollmos el inomio udrdo = ((-) + ) = ( -+ + ) = = ftorizndo on respeto ( - )- = ( - ) si = + entones = - sustituéndol tenemos: ( ) - = ( ) dividiéndol entre nos qued: 1 180
3 L siguiente tl muestr lgunos puntos importntes de l hipérol, sí omo su euión ordinri. Figur. Euión. Fórmuls. F (-,0) V V F(,0) Eje fol 1 = + C(0, 0) F(, 0) F (-, 0) V(, 0) V (-, 0) LLR= e= e>1 F(0,) 1 = + C(0, 0) F(0, ) F (0, -) V(0, ) V (0, -) LLR= F (o,-) e= e>1.. Euión generl de l hipérol. Tod euión de un hipérol se puede representr en su form generl, l ul es: A +C +D+E+F=0 Donde A>0 C<0, est euión se otiene l multiplir tod l euión por el produto de sus oientes, desrrollr los inomios l udrdo e igulr ero. Tmién prtir de l euión generl de l hipérol podemos enontrr l euión ordinri, esto se logr ompletndo trinomios udrdos perfetos (TCP). 181
4 Ejemplo 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: L euión 1 es de l form: 4 9 (9) 18 LLR = = = =9 1 por lo que:.6 e= = = 1.8 =4 = 4 = =9 = 9 = Tmién semos que: = + =4+9 = 1 =.6 Con los vlores de, determinmos sus elementos: C(0,0) C(0,0) F(,0) F(.6,0) F (-,0) F (-.6,0) V(,0) V(,0) V (-,0) V (-,0) Ejemplo. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es =0 Primero l psmos su form ordinri =0 términos. ordenmos 9-5 =-5 dividimos entre Ordenndo términos =9 = 9 = =5 = 5 =5 Tmién semos que: = + =9+5 = 4 =5.8 Con los vlores de, determinmos sus elementos. C(0,0) C(0,0) F(0,) F(0, 5.8) F (0,-) F (0, -5.8) V(0,) V(0, ) V (0,-) LLR= = e= V (0,-) (5) 50 = = e= =
5 Ejemplo. Hllr l euión ordinri generl de l hipérol que se muestr en l siguiente figur. Como onoemos el vlor de l euión está en funión de deeremos de determinr el vlor de, semos tmién que: = + por lo que: F F = =.87 Como el entro de l hipérol está en el origen del sistem oordendo tenemos que su euión deerá tener l form: 1 F(,0) F(4,0) por lo que =4 V(,0) V(1,0) por lo que =1 Por lo tnto su euión será: en su form generl seri: =0 1(15) 18
6 Ejeriios pr resolver en lse. Ejeriio 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: Ejeriio. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es:
7 Ejeriio. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es: - -1=0 Ejeriios omo tre de evluión. 1. Enontrr el entro, los vérties, los foos, l LLR, l eentriidd, ls euiones de ls síntots l gráfi de l hipérol u euión es:
AA = Eje menor La elipse.
3.. L elipse. 3... L elipse omo lugr geométrio. L elipse es el lugr geométrio del onjunto de puntos P(, ) u sum de ls distnis dos puntos fijos llmdos foos equivlen l dole de un onstnte (), l ul represent
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47 ESTUDIO DEL CONO ELIPTICO Not: Lo diujos orrespondientes ls interseiones de este estudio tienen el mismo speto l estudio del ono irulr. Sin emrgo l interseión on plnos prlelos l plno son en este so
Unidad 2 Determinantes
Unidd Determinntes PÁGIN SOLUCIONES. Ls mtries usds son ls siguientes: 5 Est mtriz no tiene invers.. Hiendo eros eslonmos ls mtries, oteniendo:, luego el rngo es. 4 4 4 El rngo es. PÁGIN 45 SOLUCIONES.
Triángulos y generalidades
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IES ASTELAR BADAJOZ A enguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO 7 (RESUELTOS por Antonio enguino) ATEÁTIAS II Tiempo máimo: hors minutos ontest de mner lr rond un de ls dos opiones propuests
6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Consideremos la siguiente figura: Según el teorema de Pitágoras se tiene que: d x. y 2
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a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.
Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l
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MATRICES Y DETERMINANTES
Drio Estudio C/ Grn Ví, 8 Mdrid, Espñ T: () 9 98 E: info@drioestudio.es www.drioestudio.es. Dds ls tries A y B, lulr: ) A B ) A t B t. Dds ls tries A, B, C y D, relizr todos los produtos que sen posiles..
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1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10
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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
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Hacia la universidad Análisis matemático
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1.-Algunas desigualdades básicas.
Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd
SenB. SenC. c SenC = 3.-
TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,
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CONSTRUCCION DE TRIANGULOS
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Recuerda lo fundamental
6 L semejnz sus pliiones Reuerd lo fundmentl urso:... Fe:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... sus distnis... Por ejemplo, si ls figurs F F' son semejntes,
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CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.
Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece
{a,b,c,e,d,f} {a,h,a,b,c} {c,e,e,d,c,b} {d,e,g,e,e,d} {e,e} {h,a,b,c,a,h} {c,d,e,c} {a,b,c,d,e,c} {a,h,a} {b,a,c,d,f}
RUTA Un rut de longitud n desde u v en G es un seueni de n rists e 1,,e n de G pr el ul existe un seueni x 0 =u, x 1,., x n-1, x n =v de vérties tl que e i tiene, pr i=1,, n los puntos finles x i-1 y x
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