PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Transcripción

1 IES ASTELAR BADAJOZ A enguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO 7 (RESUELTOS por Antonio enguino) ATEÁTIAS II Tiempo máimo: hors minutos ontest de mner lr rond un de ls dos opiones propuests d uestión se puntú sore puntos L liiión inl se otiene de dividir el totl entre OPIÓN A º) Disute el sistem de euiones lineles según los vlores del prámetro resuélvlo pr - Ls mtries de oeiientes mplid son: El rngo de l mtri de oeiientes en unión de es el siguiente: do Deter omptile inóg n Rngo Rngo Pr min º { } Rng F F Pr

2 Inomptile Rngo Rngo Pr Pr - result el sistem Resolviendo por l Regl de rmer:

3 º) Se onsider el triángulo de vérties A( ) B( ) ( ) uál es l interseión de los plnos que psn por d vértie son perpendiulres l ret determind por los otros dos vérties? A B Los puntos A( ) B( ) ( ) determinn los siguientes vetores: B B ( ) ( ) ( ) A A ( ) ( ) ( ) AB B A ( ) ( ) ( ) El plno que ps por A( ) es perpendiulr l ret tiene omo vetor norml l vetor diretor de l ret que es el vetor ( ) por lo que su euión generl es D Pr hllr el vlor de D tenemos en uent que l plno ontiene l punto A: D A ( ) D D El plno que ps por B( ) es perpendiulr l ret tiene omo por lo que su euión generl es D Pr hllr el vlor de D tenemos en uent que l plno ontiene l punto B: vetor norml l vetor diretor de l ret que es el vetor ( ) D B ( ) D D por lo que su euión generl es D Pr hllr el vlor de D tenemos en uent que l plno ontiene l punto : El plno que ps por ( ) es perpendiulr l ret tiene omo vetor norml l vetor diretor de l ret que es el vetor ( )

4 D D D L interseión de los tres plnos es l soluión del sistem ormd por los mismos que es: Ls mtries de oeiientes mplid son ls siguientes: uos rngos son: Rng Rng { } { } { } Rng Rng Según el Teorem de Rouhé-Fröenius el sistem es omptile indetermindo por tener ls dos mtries el mismo rngo éste es menor que el número de inógnits L interseión pedid es un ret L euión de l ret se otiene eliminndo un de ls euiones del sistem por ejemplo: r

5 º) Demuestr que l urv os tiene un punto de inleión en el intervlo [ ] hll l euión de l ret tngente l urv en ese punto H un diujo en un entorno del mismo punto Pr que un unión teng un punto de inleión es neesrio que se nule l segund derivd en ese punto que l terer derivd se distint de ero en el mismo punto: [ ] [ ] os os os os q d en I P un Eiste P I P Pr her un diujo de l unión en el entorno del punto de inleión tendremos en uent que l unión es l sum de dos uniones ontinus en sus dominios que es R pr ls dos lo ul signii que () es ontinu en R Los etremos reltivos de l unión en el entorno de punto de inleión son los siguientes: º 9º º ± ± Pr Pr 5 8 omo puede preirse l unión no tiene máimos ni mínimos en el intervlo

6 ddo [ ] onsiderndo que os ( ) os unión es monóton reiente en el intervlo L repretión grái proimd de l unión en el intervlo es l que se epres en el siguiente gráio l Y () PI O X -

7 º) De un unión () > - semos que tiene por derivd donde es un onstnte Determin l unión si demás semos que () () - H un grái proimd d d L ( ) L ( ) L L ( ) L L Y L L ( ) on > Pr her un repretión grái proimd de l situión tenemos en uent los dtos () () - que el dominio de D l unión es O - - () X Pr estudir los periodos de reimiento dereimiento sí omo los etremos reurrimos su derivd: < D( ) L De l derivd se dedue que l unión es monóton dereiente Teniendo en uent que: lím lím L L L ( ) ( ) L ret - es un síntot vertil de l unión L repretión grái proimd se relej en el gráio djunto

8 OPIÓN B º) Disute el rngo de l mtri A según los vlores del prámetro Resuelve el sistem A en el so de - A Rng A Rngo Pr A Rngo Pr Pr - result A el sistem que es equivlente : Resolviendo por l Regl de rmer:

9 º) Sen ls rets s r lul l euión del plno que ps por el origen de oordends es prlelo ls dos rets lul tmién l euión de l ret t que ps por el punto P( ) es perpendiulr l plno enontrdo El plno puede determinrse por el origen por los vetores diretores de ls dos rets Un vetor diretor de l ret r es u Por estr l ret s determind por dos plnos su vetor diretor puede determinrse teniendo en uent que es l mismo tiempo perpendiulr los vetores normles los dos plnos o se es ulquier vetor linelmente dependiente del produto vetoril de los vetores normles los plnos: v j j i j i j i v ; v u O L ret t tiene omo vetor diretor l vetor norml del plno n L epresión de l ret t por uns euiones ontinus es: t ó t

10 º) L nulión de l primer derivd es un ondiión neesri pr que un unión (derivle) prete un etremo reltivo Est ondiión unque neesri no es suiiente Demuestr on un ejemplo l segund irmión En este mismo onteto qué podemos deir de l eisteni de un punto de inleión? En eeto l ondiión de nulión de l primer derivd es neesri pero no es suiiente; un ejemplo ilustrtivo lo onstitue l unión siendo un número rel L primer derivd es que se nul pr ; sin emrgo l unión no tiene un etremo reltivo pr Pr que eist un etremo reltivo tiene que umplirse que se nule l primer derivd que l segund derivd se mor o menor que ero En el so del ejemplo que nos oup se oserv que l segund derivd tmién se nul pr el vlor que nul l primer derivd: on lo ul no puede eistir ni máimo ni mínimo reltivo pr el vlor que nul l primer derivd lo que demuestr lo pedido Un etremo reltivo (máimo o mínimo) eiste en un punto undo sepr un trmo de urv reiente de otro dereiente o vievers; pr ello se tom un número h suiientemente pequeño se omprue que ( h) ( - h) tienen signos distintos todo lo ul indi que un ldo de l urv es reiente l otro dereiente (o vievers) ; por el ontrrio si ( h) ( - h) tienen el mismo signo l urv es monóton reiente o monóton dereiente en un entorno de prue l no eisteni de etremos reltivos on respeto l eisteni de un punto de inleión es ondiión neesri l nulión de l segund derivd pero no es ondiión suiiente; es neesrio que l terer derivd no se nule pr el vlor o vlores que nuln l segund derivd Un punto de inleión eiste en un punto undo sepr un trmo de urv ónvo de otro onveo; pr ello se tom un número h suiientemente pequeño se omprue que "( h) "( - h) tienen signos distintos todo lo ul indi que un ldo de l urv es onve l otro ónv; por el ontrrio si "( h) "( - h) tienen el mismo signo l urv es totlmente ónv o totlmente onve en un entorno de prue l no eisteni de puntos de inleión

11 º) lulr el áre del reinto limitdo por l urv ls rets H un diujo proimdo de l situión Se trt de un unión ontinu en su dominio que es R por ser l sum de dos uniones ontinus en R lo ul signii que () es ontinu en R Vemos si l unión tiene etremos reltivos en el entorno que nos interes pr el álulo del áre pedid: que es el ± os os ± ( º º ) Pr ( ) > ínimo < áimo pr pr ( ) áimo : P : ínimo Q Y omo puede preirse l unión tiene un máimo un mínimo en los etremos del intervlo ddo P - onsiderndo que ( ) que l un- - -/ -/ -/ O / / X ión es simétri on respeto l origen: -/ S / Q ( ) l repretión grái proimd de l situión es l que se puede preir en el gráio djunto onside- - rndo que ls oordends del punto máimo es P(- 5 8) ls del mínimo Q( 5-8)

12 El áre pedid que es l somred de l igur teniendo en uent l simetrí de l unión es l siguiente: S u d d S os os os